2000年高考數(shù)學試題（全國舊課程）理科PAGEPAGE42000年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷1至2頁．第II卷3至9頁．共150分．考試時間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．設集合和都是自然數(shù)集合，映射把集合中的元素映射到集合中的元素，則在映射下，象20的原象是A．2B．3C．4【答案】C【解析】，解得．2．在復平面內(nèi)，把復數(shù)對應的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對應的復數(shù)是A．B．C．D．【答案】B【解析】所求復數(shù)為．3．一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是，這個長方體對角線的長是A．B．C．6D．【答案】D【解析】設長、寬和高分別為，則，∴，∴，∴對角線長．4．已知，那么下列命題成立的是A．若是第一象限角，則B．若是第二象限角，則C．若是第三象限角，則D．若是第四象限角，則【答案】D【解析】用特殊值法：取，A不正確；取，B不正確；取，C不正確；D正確．5．函數(shù)的部分圖像是【答案】D【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，A、C錯誤；且當時，．6．《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應納稅所得額．此項稅款按下表分段累進計算：某人一月份應交納此項稅款元，則他的當月工資、薪金所得介于A．800~900元B．900~1200元C．1200~1500元D．1500~2800元【答案】C【解析】當月工資為1300元時，所得稅為25元；1500元時，所得稅為元，所以選C．11．過拋物線的焦點作一直線交拋物線于兩點，若線段與的長分別是，則等于A．B．C．D．【答案】C【解析】特殊值法．作軸，即將代入拋物線方程得，∴．【編者注】此題用一般方法比較復雜，并要注意原方程不是標準方程．12．如圖，是圓錐底面中心到母線的垂線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角為A．B．C．D．【答案】D【解析】設圓錐的底面半徑為，高為，上半部分由共底的兩個圓錐構(gòu)成，過向軸作垂線，垂足為，，∴，原圓錐的體積為，解得，∴．第II卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線．13．乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名參加比賽．3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有種（用數(shù)字作答）．【答案】252【解析】不同的出場安排共有．14．橢圓的焦點為，點為其上的動點，當為鈍角時，點橫坐標的取值范圍是．【答案】【解析】方法一：（向量法）設，由題設，即，，又由得，代入并化簡得，解得．方法二：（圓錐曲線性質(zhì)）設，∵，∴，又，，當為鈍角時，，解得．15．設是首項為1的正項數(shù)列，且，則它的通項公式是．【答案】【解析】條件化為，∵∴，即，累成得．16．如圖，分別為正方體的面、面的中心，則四邊形在該正方體的面上的射影可能是．（要求：把可能的圖的序號都填上）【答案】②③【解析】投到前后和上下兩個面上的射影是圖形②；投到左右兩個面上的射影是圖形③．三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（I）當函數(shù)取得最大值時，求自變量的集合；（II）該函數(shù)的圖像可由的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？【解】本小題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查利用三角公式進行恒等變形的技能以及運算能力．滿分12分．（Ⅰ）．——6分取得最大值必須且只需，即．所以當函數(shù)取得最大值時，自變量的集合為——8分（Ⅱ）將函數(shù)依次進行如下變換：（i）把函數(shù)的圖像向左平移，得到函數(shù)的圖像；（ii）把得到的圖像上各點橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像；（iii）把得到的圖像上各點縱坐標縮短到原來的倍（橫縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像；（iv）把得到的圖像向上平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像；綜上得到函數(shù)的圖像．——12分18．（本小題滿分12分）如圖，已知平行六面體的底面是菱形，且．（I）證明：；（II）假定，記面為，面為，求二面角的平面角的余弦值；（Ⅲ）當?shù)闹禐槎嗌贂r，能使平面？請給出證明．【解】本小題主要考查直線與直線、直線與平面的關(guān)系，邏輯推理能力，滿分12分．（Ⅰ）證明：連結(jié)，和交于，連結(jié)．∵四邊形是菱形，∴．又∵，∴，∴，∵，∴，——2分但，∴平面，又平面，∴．——4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴是二面角的平面角．在中，，∴．——6分∵，∴．∴，∴，即．作，垂足為．∴點是的中點，且，所以．——8分（Ⅲ）當時，能使平面證明一：∵，∴，又，由此可推得．∴三棱錐是正三棱錐．——10分設與相交于．∵，且，∴．又是正三角形的邊上的高和中線，∴點是正三角形的中心，∴平面．即平面．——12分證明二：由（Ⅰ）知，平面，∵平面，∴．——10分當時，平行六面體的六個面是全等的菱形，同的證法可得，又，∴平面．——12分19．（本小題滿分12分）設函數(shù)，其中．（I）解不等式；（II）求的取值范圍，使函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．【解】本小題主要考查不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識，分類討論的數(shù)學思想方法和運算、推理能力．滿分12分．（Ⅰ）不等式即，由此得，即，其中常數(shù)．所以，原不等式等價于即——3分所以，當時，所給不等式的解集為；當時，所給不等式的解集為．——6分（Ⅱ）在區(qū)間上任取，使得．．——8分（?。┊敃r，∵，∴，又，∴，即．所以，當時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)．——10分（ii）當時，在區(qū)間上存在兩點，滿足，，即，所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)．綜上，當且僅當時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．——12分20．（本小題滿分12分）（I）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)；（II）設是公比不相等的兩個等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列．【解】本小題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運算能力，滿分12分．（Ⅰ）因為是等比數(shù)列，故有，將代入上式，得，——3分即，整理得，解得或．——6分（Ⅱ）設的公比分別為，．為證不是等比數(shù)列，只需證．事實上，，．由于，又不為零，因此，故不是等比數(shù)列．——12分21．（本小題滿分12分）某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示．（Ⅰ）寫出圖一表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式；寫出圖二表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿收益最大？（注：市場售價和種植成本的單位：元/kg，時間單位：天）【解】本小題主要考查由函數(shù)圖像建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問題，考查運用所學知識解決實際問題的能力，滿分12分．（Ⅰ）由圖一可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為——2分由圖二可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為．——4分（Ⅱ）設時刻的純收益為，則由題意得即——6分當時，配方整理得，所以，當時，取得區(qū)間上的最大值100；當時，配方整理得所以，當時，取得區(qū)間上的最大值．——10分綜上，由可知，在區(qū)間上可以取得最大值100，此時，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大．——12分22．（本小題滿分14分）如圖，已知梯形中，點分有向線段所成的比為，雙曲線過三點，且以為焦點．當時，求雙曲線離心率的取值范圍．【解】本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運算能力和綜合應用數(shù)學知識解決問題的能力，滿分14分．如圖，以的垂直平分線為軸，直線為軸，建立直角坐標系，則軸．因為雙曲線經(jīng)過點，且以為焦點，由雙曲線的對稱性知關(guān)于軸對稱．——2分依題意，記，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高．由定比分點坐標公式得．設雙曲線的方程為，則離心率．由點