2022年河南省開封市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)x,>GR,集合A={1,2X},B=［x,y］,若力nB=g},則（）

1111

A.{1,2）B.{-1，3}C.{—1，L2）D.{1,2,2）

2.（5分）命題：VxER,x+|x|20的否定為（）

A.x+|x|<0B.3x6R,x+|x|W0C.3x6R,x+|x|<0D.3x6R,x+|x|20

3.（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=|z-i|=1,且在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于第一象限，則z=（）

1V3V313443

A.一+一iB.一+-iC.—+-iD.一+T

22225555

3廠/7T、

4.(5分)已知sina=耳，CtG咳,71),則tan?—a)=()

11

A.-7B--7C.一D.7

7

XV

5.（5分）設(shè)A,r分別是雙曲線C—-—=l（a>0,b>0）的一個頂點和焦點，過A,

P分別作C的一-條漸近線的垂線，垂足分別為4,F,若然=3則C的漸近線方程

\rFf\2

為（）

A.y=±V3xB.y=±等xC.y=土空xD.y=土孝生

6.（5分）溶液酸堿度是通過p”計算的，pH的計算公式為p”=-儂獷］,其中［父］表示溶

液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，若人體胃酸中氫離子的濃度為2.5XK/2摩爾/升，

則胃酸的P”是（參考數(shù)據(jù)：々2^0.3010）（）

A.1.398B.1.204C.1.602D.2.602

7.（5分）已知公差為1的等差數(shù)列{*}中，G2=43q6,若該數(shù)列的前〃項和S"=0,則〃

=（）

A.10B.11C.12D.13

8.（5分）若［幻表示不超過x的最大整數(shù)，例如［0.3］=0,n.5］=1.則如圖中的程序框圖運

行之后輸出的結(jié)果為（）

A.102B.684C.696D.708

9.（5分）已知函數(shù)/（x）=sin（3%+9）（3>0,0V3V5）的圖象過點P（0,｝，現(xiàn)將y=/

TT

（x）的圖象向左平移三個單位長度得到的函數(shù)圖象也過點P,則（）

A.3的最小值為2B.3的最小值為6

C.3的最大值為2D.3的最大值為6

x2y2

10.（5分）已知（2,1）是圓C：=+*=l（a>b>0）上一點，則連接橢圓C的四個頂

點構(gòu)成的四邊形的面積（）

A.有最小值4B.有最小值8C.有最大值8D.有最大值16

11.（5分）騎行是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛.如圖是某

一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓4（前輪），圓。（后輪）的半徑均為百，△

ABE,ABEC,△EC。均是邊長為4的等邊三角形，設(shè)點P為后輪上一點，則在騎行該

自行車的過程中，品達(dá)到最大值時點P到地面的距離為（）

V6r-

C.|+73D.—4-73

2

12.（5分）如圖，將一塊直徑為2遮的半球形石材切割成一個正四棱柱，則正四棱柱的體積

取最大值時，切割掉的廢棄石材的體積為（)

A.2V3TT—4B.4v57r—4C.2V3TT---D.-----------^―

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知兩個單位向量￡。的夾角為60°,則丘+2力|=.

1

14.(5分)在(——X)6的展開式中，常數(shù)項為.

x

15.(5分)若函數(shù)f(x)=ex+ae'x(?GR)為奇函數(shù)，則不等式/(/nx)</(|/nx|)的解集

為.

16.(5分)如圖，某直徑為5遍海里的圓形海域上有四個小島，已知小島B與小島C相距

為5海里，cos4/1D=—小則小島B與小島。之間的距離為海里；小島2,

C,。所形成的三角形海域BCD的面積為平方海里.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：

共60分.

17.(12分)已知數(shù)列｛如｝的前“項和為S”“1=2,且加加+i+S”+i=l

(1)證明：數(shù)列｛"S"｝為等差數(shù)列；

(2)選取數(shù)列｛a｝的第2"(wGN*)項構(gòu)造一個新的數(shù)列｛為｝,求｛為｝的前八項和7k

18.(12分)如圖，四邊形ABC。是圓柱OQ的軸截面，圓柱OQ的側(cè)面積為6次兀，點P

在圓柱。。的底面圓周上，且△OPB是邊長為次的等邊三角形，點G是。P的中點.

(1)若G是。P的中點，求證：AG1BD；

(2)若法=2后\求GB與平面4BCZ)所成角的正弦值.

19.(12分)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F,S(Z,4)為C上一點，直線/

交C于M,N兩點(與點S不重合).

(1)若/過點尸且傾斜角為60°,|FM|=4在第一象限)，求C的方程；

(2)若p=2,直線SM,SN分別與)，軸交于A,B兩點，且?茄=8,判斷直線/是

否恒過定點？若是，求出該定點；若否，請說明理由.

20.(12分)某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)由2Z-1(k6N*)個

相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為p(0<p<l),各元件之間相互獨立.當(dāng)

控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設(shè)備正常運行，否則設(shè)備停止運行，記設(shè)備正

常運行的概率為〃(例如：p2表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常運行的概率；p3

表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運行的概率).

(1)若p=,,當(dāng)k=2時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，

并求P2;

(2)已知設(shè)備升級前，單位時間的產(chǎn)量為。件，每件產(chǎn)品的利潤為4元，設(shè)備升級后，

在正常運行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的2倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為

高端產(chǎn)品的概率為±每件高端產(chǎn)品的利潤是8元.記設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為丫

4

(單位：元).

(i)請用p左表示E(丫)；

(ii)設(shè)備升級后，若將該設(shè)備的控制系統(tǒng)增加2個相同的元件，請分析是否能夠提高E

(H.

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=8-e")?(/—€R).

(1)當(dāng)m=0時，求/(x)在x=l處的切線與y軸的交點坐標(biāo)；

(2)已知g(x)="(x+1),若-1時，/(x)Wg(x)恒成立，求的取值范圍.

(-)選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第

一題計分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程1(10分)

22.(10分)在直角坐標(biāo)系尤。>，中，曲線C的參數(shù)方程為［x=‘cos@,(華為參數(shù))，直線

(y=sin(p

/I的參數(shù)方程為沈之產(chǎn)叫a為參數(shù),ovaV打直線/2的參數(shù)方程為憂;二儼s

-toLTicc乙-Lcc/du

(f為參數(shù)，0<a<，).

(1)將。的參數(shù)方程化為普通方程，并求出人與12的夾角；

(2)已知點P(l,0),M,N分別為八，/2與曲線C相交所得弦的中點，且△PMN的

2

面積為不？求。的值.

33

［選修4?5：不等式選講］(10分)

23.已知a,b,cGR+,且C而C=1.

(1)求證：a24-h2+c2>+1+

(2)若a=b+c,求a的最小值.

2022年河南省開封市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)x,yeR,集合4={1,2X],B={x,y},若AnB={；},則4UB=（）

1111

A.{1,2）B.{—1，刃C.{—1，1，2）D.{1,2,

【解答】解：???A={1,2X],B={x,y},且AnB=g},

:.2X=2，即x=-1,貝ijy=

11

可得A={1,-},B={-1,

1

."UB={-1,1,-}.

故選：C.

2.（5分）命題：VxeR,x+|x|20的否定為（）

A.3A-￡R,X+|X|<0B.S.YGR,X+|X|W0C.3XGR,X+|X|<0D.3XER,X+|犬|20

【解答】解：由含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論，

命題：VxGR,X+IH20的否定為：axeR,x+|x|<0.

故選：C.

3.（5分）設(shè)復(fù)數(shù)2滿足團(tuán)=憶-4=1,且在復(fù)平面內(nèi)2對應(yīng)的點位于第一象限，則2=（）

1V3V313443

A.-+—iB.一+-iC.一+TD.-+-/

22225555

【解答】解：設(shè)z=〃+初（小旄R）,

(x2+y2=l1J3

??jr^—7——77^1'解得V=2>*=±T'

+(y-1)2=1乙L

??,在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于第一象限，

Ax>0,y>0,

.一招

..Z_彳+>.

故選：B.

4.（5分）已知simz=。，ae（^,n）,則七即4一文）=（）

1

A.-7B.一亍C.一D.7

7

【解答】解：sina=aE,TT),可得cosa=—1—yp=一己，

sina3

tana=------=一了,

cosa4

3

則ta靖-。)=給鬻=含=7,

故選：D.

ey2

5.（5分）設(shè)A,尸分別是雙曲線C：---=l（a>0,b>0）的一個頂點和焦點，過A,

尸分別作C的一條漸近線的垂線，垂足分別為A,F,若船=3則C的漸近線方程

|FF/|2

為（）

A.y=±V3xB.y=±等%C.y=±坐%D.y=±孝%

【解答】解：設(shè)A（小0）,F（c,0）,雙曲線的一條漸近線為云-町=0,

jAAf\1

由胃即尸un尸l=2A4'|,

\FFf\2

_/口\bc\\ab\

可得=2-y==,

y/a2+b2yJa2+b2

即為c=2a,

則b=y/c2—a2=\[3a,

所以雙曲線的漸近線方程為y=±A,即），=±岳，

a.

故選：A.

6.（5分）溶液酸堿度是通過p”計算的，〃”的計算公式為-&[/],其中[V]表示溶

液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，若人體胃酸中氫離子的濃度為2.5X10-2摩爾/升，

則胃酸的pH是（參考數(shù)據(jù)：/^2^0.3010）（）

A.1.398B.1.204C.1.602D.2.602

【解答】解：由可得，PH=-/g（2.5X。2）=一（/g2.5+/gl（）-2）=_（i-2/g2-2）

=1+2/^2^1.6020.

故選：C.

7.（5分）已知公差為1的等差數(shù)列｛〃〃｝中，。52=〃3。6,若該數(shù)列的前〃項和品=0,則〃

=（）

A.10B.11C.12D.13

【解答】解：,公差d=l,452=4346,該數(shù)列的前"項和S”=0,

，（％+4）2=（m+2）（ai+5）,〃ai+"（）式）=0,

解得。1=-6,〃=13.

故選：D.

8.（5分）若因表示不超過x的最大整數(shù)，例如［0.3］=0,［1.5］=1.則如圖中的程序框圖運

行之后輸出的結(jié)果為（）

開始

K=0

S=0

（結(jié)束

K=K+1

___］-1

A.102B.684C.696D.708

【解答】解：由程序圖可知，最終輸出的5=舄］+點+國+…+暗］,

從尚到島］共10項,均為0，

從喘］到埸］共10項，均為1,

從［書］到［需］共10項，均為11，

從［蜉］到［號］共3項，均為12，

故5=10X1+10X2+-+10X11+12X3=10X（1+2+-+10+II）+36=10x^1+11^11+

36=696.

故選：C.

9.（5分）已知函數(shù)f（%）=sin3%+?）（3>0,0v9V今）的圖象過點P（0,手，現(xiàn)將y=/

（X）的圖象向左平移g個單位長度得到的函數(shù)圖象也過點P,則（）

A.3的最小值為2B.3的最小值為6

C.3的最大值為2D.3的最大值為6

【解答】解：函數(shù)/（x）=sin（3X+w）（3>0,0<9，）的圖象過點P（0,1）,

1

所以f（0）=sin（p=2，

故<P=親

當(dāng)函數(shù)f（x）的圖象向左平移g個單位，得到g（%）=+等+5），

1

由于函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0,-）；

2

所以g（0）=sin（等+看）=2，

故0）的最小值為2.

故選：A.

x2y2

10.（5分）已知（2,1）是圓C/+宣=l（Q>b>0）上一點，則連接橢圓C的四個頂

點構(gòu)成的四邊形的面積（）

A.有最小值4B.有最小值8C.有最大值8D.有最大值16

27

【解答】解：因為（2,1）是橢圓C方X+匕V=1上的點，

41

所以W+77=L

a2b2

4i7121

所以-7+77當(dāng)且僅當(dāng)一=工，即。=26時，取等號），

a2b2abab

A.

所以布，即ab，4,

所以連接連接橢圓C的四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為S=%2a?26=2"28,

所以連接橢圓C的四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積的最小值為8,

故選：B.

11.（5分）騎行是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛.如圖是某

一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓。（后輪）的半徑均為遮，△

ABE,ABEC,△ECZ）均是邊長為4的等邊三角形，設(shè)點P為后輪上一點，則在騎行該

自行車的過程中，兄?己達(dá)到最大值時點P到地面的距離為（）

3V3V6/—

D.—+y3

2

【解答】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則A(-8,0),C(-2,-2V3),圓D

的方程為了+尸=3,

設(shè)尸(V3cosa,V3sina),則AC=(6,-2V3),CP—(V3cosa+2,V3sina+2V3),

：.AC'CP=(6,-2V3)(Ucosa+2,V3sina+2V3)

=6V3cosa+12-6sina-12

—12cos(ot+)W12,

當(dāng)僅當(dāng)a+V=2%r時取“="，此時a=Y+2Hr(任Z),

3/o

則尸（3-岑），

所以點尸到地面的距離為產(chǎn)+V3=

故選:B.

D)x

12.（5分）如圖，將一塊直徑為2%的半球形石材切割成一個正四棱柱，則正四棱柱的體積

取最大值時，切割掉的廢棄石材的體積為（）

C.2V3TT-^^D.4V3n--i^

A.2V3TT—4B.4V3TT-4

【解答】解：設(shè)正四棱柱的底面正方形邊長為a,高為兒

則底面正方形的外接圓半徑r=￥。，.'./+r2=h2+ga2=3,；.a2=6-2/?2,

；?正四棱柱體積U=a2h—(6—2h2)h——2h3+6/i(0<h<V3),

V=-6層+6=-6(力+1)(〃-1),

工當(dāng)0<〃<l時，V>0；當(dāng)1V/V遍時，V<0；

二V=-2及+6%在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,次)上單調(diào)遞減，.V|6=l=4,

又半球的體積為三兀x(V3)3=2?兀，

,切割掉的廢棄石材的體積為2百兀-4.

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知兩個單位向量：，而勺夾角為60°,則丘+2&=_夕_.

【解答】解：兩個單位向量:前勺夾角為60°,

.\a9b=1X1Xcos60°=

：?(a+2b)2=a2+4a?b+4h2

1

=l+4x1+4X1

=7,

：.\a+26|=V7.

故答案為：V7.

1

14.(5分)在(--x)6的展開式中，常數(shù)項為-20.

x

11

【解答】解：6的展開式的通項公式為6-r-(-x)r=(-1)y

Z

令2r-6=0,則r=3,

所以常數(shù)項為C^-(-1)3=-20.

故答案為：-20.

15.(5分)若函數(shù)/(x)=炭+“/》(?6R)為奇函數(shù)，則不等式/(加x)</(|/nx|)的解集

為(0,I).

【解答】解：函數(shù)/(X)(a€R)為奇函數(shù),

可得f(0)=0,即1+4=0,解得a=-1,

即有f(x)"-e),

/(-x)+f(x)=6」-/+/-/8=0,可得/(x)為奇函數(shù)，

由，(x)=-+/'>0,可得/(x)在R上單調(diào)遞增，

則不等式f(/nx)</(|/zix|)等價為

可得/”x〈0,解得0<x<l,

可得所求解集為(0,1).

故答案為：(0,1).

16.(5分)如圖，某直徑為5遍海里的圓形海域上有四個小島，已知小島8與小島C相距

為5海里，cos/BAD=—￡則小島8與小島￡>之間的距離為3西海里；小島B,

□---

C,。所形成的三角形海域8C。的面積為平方海里.

【解答】解：圓的內(nèi)接四邊形對角互補，cosC=cos(K-A)=-cosA=>0,

.________Q

C為銳角，sinC=71—cos2c=引

BDBD「「

在三角形5CQ中，由正弦定理得一二=丁=5迷，可得3。=3遙，

stnC-

5

在三角形BCD中，由余弦定理得(3V5)2=CZ)2+52-2-CD-5-^

整理得CD?-8CQ-20=0,可得(8+2)(CQ-10)=0,解得C￡>=10(負(fù)根舍去)，

所以S&BCD=10X5X1=15平方海里.

故答案為：3西，15.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：

共60分.

17.(12分)已知數(shù)列｛“”｝的前〃項和為S”，g=2,且皿+i+S”+i=l(〃CN*).

(1)證明：數(shù)列｛"%｝為等差數(shù)列;

(2)選取數(shù)列｛S〃｝的第2"(〃CN*)項構(gòu)造一個新的數(shù)列｛加｝,求｛b｝的前〃項和S.

【解答】(1)證明：?.■數(shù)列｛“"｝的前"項和為S”<71=2,且“a.+i+Si+i=1(“eN),

n(Sn+1"Sn)+5"+1=1,即(〃+1)Sn+1"nSn=1,

數(shù)列｛〃％｝為等差數(shù)列；

(2)解：由(1)知，"S”=2+1X(?-1)=〃+1,

1i

：,Sn=1+-,即b”=$2n=1+m，

1111

〃=1+2+1+/+1+/+…+1+呼

1111=n-去+1.

=71+774----7-----0+…+7^7=71+

222232n

18.(12分)如圖，四邊形ABCD是圓柱OQ的軸截面，圓柱0Q的側(cè)面積為6871■，點P

在圓柱0Q的底面圓周上，且△OPB是邊長為V5的等邊三角形，點G是。P的中點.

(1)若G是。尸的中點，求證：AGLBDx

【解答】證明：(1)設(shè)圓柱0Q的底面半徑為r,高為兒

因為三角形。PB是邊長為遮的等邊三角形，所以4BP=60°,r=V3.

因為圓柱。。的側(cè)面積為6次兀，所以27n■力=6臼兀，解得：h=3.

在底面圓中，ZAPB=90°,ZABP=60°,所以AP=BPtan60°=3.

因為圓柱0Q的母線OA_L底面APB,所以DALBP,DALAP.

因為NAP8=90°,所以辦JLBP,又％nAZ)=A,所以8尸_1_面4Po.

因為AGu面4P。，所以BPJ_AG.

在三角形ZMP中，AD=AP=3,G是。P的中點，所以。FLAG.

又BPCDP=P,所以46_1面8/7).

因為BDu面PBD,所以4G_L8O.

解：⑵在底面內(nèi)過。作QxJ_48,連結(jié)0Q.以。為原點，Ox,OB,0Q分別為x,y、

z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

則0(0,0,0),4(0,-V3,0),B(0,V3,0),C(0,聰,3),0(0,-

V3,3),(2(0,0,3),P(|,苧，0).所以而=(一|,*,0).

因為防=2t5\所以G(l,0,1),

所以晶=(一1,近,-1).

顯然，x軸的單位向量￡=(1,0,0)是平面A2C。的一個法向量.

TTT廠

設(shè)GB與平面ABCQ所成角。，則sin6=\cos(n,GB)|—嗎—“[°：%：—唱.

|Mx|GB|1XV1+3+1'

19.(12分)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F,SG,4)為C上一點，直線/

交C于M,N兩點(與點S不重合).

(1)若/過點尸且傾斜角為60°,|FM=4在第一象限)，求C的方程；

(2)若p=2,直線SM,SN分別與)，軸交于A,B兩點,且A?b=8,判斷直線/是

否恒過定點？若是，求出該定點；若否，請說明理由.

【解答】⑴解：拋物線C：/=2川(p>0)的焦點為唬，0),

因為過點F且傾斜角為60°,所以/：y=V3(x-1),

聯(lián)立（〃>0）,可得12x2-20px+3P2=0,

解得x-3P或X=看，

又M在第一象限，所以久w=^p,

3V

因為|FM|=4,所以mp+]=4,

解得p=2,

所以拋物線C的方程為夕=4*

（2）解：由已知可得拋物線C的方程為），2=4x,點S（4,4）,

設(shè)直線/的方程為x=M2y+〃，點M（1,%），N（[,，2），

將直線I的方程與拋物線C：y2=4x聯(lián)立得y2-4my-4n=0,

所以A=16〃/+16〃>0,yi+*=4m,yiy2=-4〃（*）,

直線SM的方程為y—4=馬—（%—4）,

今-4

令x=0求得點A的縱坐標(biāo)為色同理求得點B的縱坐標(biāo)為包

yi+4y2+4

由％?°B=為丫2+期;i）+16=8'化簡得y，y2=4（y，+y2）+16，

將上面（*）式代入得-4〃=16，〃+16,BPn—-4m-4,

所以直線/的方程為x=，wy-4機(jī)-4,即x+4=〃？（y-4）,

所以直線/過定點（-4,4）.

20.（12分）某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)由兼-1（虻N*）個

相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為p（0<p<l）,各元件之間相互獨立.當(dāng)

控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設(shè)備正常運行，否則設(shè)備停止運行，記設(shè)備正

常運行的概率為0?（例如：R表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常運行的概率；p3

表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運行的概率）.

（1）若p=|,當(dāng)&=2時;求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，

并求P2;

（2）己知設(shè)備升級前，單位時間的產(chǎn)量為“件，每件產(chǎn)品的利潤為4元，設(shè)備升級后，

在正常運行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的2倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為

1

高端產(chǎn)品的概率為一，每件高端產(chǎn)品的利潤是8元.記設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為y

4

（單位：元）.

(i)請用p*表示E(y)：

(ii)設(shè)備升級后，若將該設(shè)備的控制系統(tǒng)增加2個相同的元件，請分析是否能夠提高E

(D.

【解答】解：(1)因為％=2,所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的可能取值為0,1,

2,3,

因為每個元件的工作相互獨立，且正常工作的概率均為p=|,所以X?見3,I),

所以P(X=0)=或.(金。?&)3=務(wù),

212

Z\1f2

==cl(K7!k=-

p(-9

3

24

zx2(I-)1

==l-—3=-

2)CJk379

P(X=3)=第.($3,(1)0=捺,

所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列為:

X0123

p1248

279927

控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3xj=2,P2=P(X=2)+

4,820

PD(fYX=3)=9+27=27-

(2)(/)設(shè)備升級后，在正常運行狀態(tài)下，單位時間內(nèi)的利潤為?x8+—x4=10a,

22

所以y的分布列為：

Y10。0

設(shè)備運行概率Pk1-Pk

所以E(Y)^10aXp/t+0X(1-pQ=10apk.

(ii)若控制系統(tǒng)增加2個元件，則至少要有k+1個元件正常工作，設(shè)備才能正常工作,

設(shè)原系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)為"

第一類：原系統(tǒng)中至少有A+1個元件正常工作，

其概率為P(f>k+l)=pk-C⑤T?pk?(1-p)kT；

第二類：原系統(tǒng)中恰好有k個元件正常工作，新增2個元件中至少有1個正常工作，

其概率為P(f=k)=-Pk-(1-p)1^1-[1-(1-p)2]=?pF(1-p?T.

(2-p);

第三類：原系統(tǒng)中恰好有k-1個元件正常工作，新增2個元件全部正常工作，

其概率為P(f=k-1)=C皓.pl-(1-p)k-p2=C料"+1-(1-p)k,

所以Pk+1=Pk-C梟_i?pk?(1-p)I+啖-?pm?(1-p)I,(2-p)+C肄1?

k

pk+i-(1-p)=pk+C泰_i-pk.(i-p)k.Qp-1),

所以Pk+i-Pk=-pk'(1-p)k-(2p-1),

1

所以當(dāng)5VpVI時，PM-Pk>0,Pk單調(diào)遞增，即增加2個相同元件，設(shè)備正常工作的

概率變大，

當(dāng)0<P<%寸，PM-pk^o,即增加2個相同元件，設(shè)備正常工作的概率沒有變大，

因為E(7)=\Oapk,

11

所以當(dāng)3VpVI時，E(H提高；當(dāng)OVpW*時，E(H沒有提高.

21.(12分)已知函數(shù)/'(%)=(^—ex)?(%2—rn)(mER).

(1)當(dāng)"2=0時，求/(x)在x=l處的切線與y軸的交點坐標(biāo)；

(2)已知g(x)=，(x+l),若1時，/(x)Wg(x)恒成立，求〃?的取值范圍.

【解答】解：(1)當(dāng)機(jī)=0時，/(%)=8-?*)?/,/(l)=|-e,

f(x)=x-F(7+2x),f(1)=1-3e,

故切線方程為y-(i-e)=(l-3e)(x-1),

即y=(1—3e)x+2e-當(dāng)x=0時，y=2e—

所以/(x)在x=l處的切線與)，軸的交點坐標(biāo)為(0,2e-i)；

(2)依題意，當(dāng)x2-1時，/(x)Wg(x)恒成立，

即8-ex)?(x2-m)<ex(x+1)恒成立，

1

即-1時，(2—ex)?(%2—m)—ex(x+1)<0恒成立，

取K=-l代入，則《一》?(1一瓶)工0,此時用21,

取x=0代入，則&-1)-(-m)-1<0,此時機(jī)W2,

所以1《2；

1

下面證明，當(dāng)1時，(2—ex)?(%2—m)—ex(x+1)<0恒成立，

構(gòu)造函數(shù)F(x)=&-靖)-(%2-m)-ex(x+1),%>-1,

也即是證明F(x)WO在區(qū)間[-1,+8)上恒成立.

下面分兩種情形進(jìn)行討論：

情形一：當(dāng)-IWxW-妨2時，有3—ex>0,

11

止匕時F(x)=(^-ex)?(x2-m)-e*(x+1)W0-ex)?(%2-1)-ex(x+1),

1-

因為-14xW—ITL2f訝一e"NO,——iwo,e">0,久+1N0,

所以&-ex)■(x2-1)-ex(x+1)<0,即尸(x)WO；

1

情形二，當(dāng)x>-妨2時，--ex<0,

ii

止匕時產(chǎn)(%)=(2—ex)?(%2—m)—ex(x+1)W;一ex)?(%2—2)—ex(x+1),

ii

設(shè)/(%)=—ex)?(x2—2)—e*(x+1)=—1—ex(x24-x—1),

則hf(x)=x-F(W+3x)=x[\-(x+3)],

當(dāng)x20時，/(x+3)23,此時h'(x)=x[\-e"(x+3)]W0,

所以力(x)在[0,+8)上遞減，所以〃(x)Wh(0)=0,

當(dāng)-加2VxV0時，(p(x)=—(x+3),<p(x)=/