塑性平面應(yīng)變和滑移線(xiàn)場(chǎng)理論一、塑性應(yīng)力場(chǎng)的根本方程

本節(jié)討論理想剛塑性材料的平面應(yīng)變問(wèn)題，這種材料的特性為屈服前處于無(wú)變形剛性狀態(tài)，一旦屈服即進(jìn)入塑性流動(dòng)狀態(tài)。o

由前面可知，平面塑性應(yīng)變狀態(tài)是物體中各點(diǎn)的塑性流動(dòng)都平行于給定的xy平面，以及變形與z

無(wú)關(guān)：w=0。非零應(yīng)力有及。在體積不可壓縮和小變形條件下，任一微小

單元在塑形應(yīng)變狀態(tài)下的畸變?cè)隽渴且粋€(gè)純剪變性。所以，每一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為一個(gè)純剪應(yīng)力加一個(gè)靜水壓力；〔4-34〕★

剛塑性增量理論的本構(gòu)方程：〔4-35〕〔4-35`〕

由

于是，〔4-36〕〔4-37〕★屈服條件：〔Mises〕化簡(jiǎn)后為〔4-38〕

于是，在塑性區(qū)內(nèi)主應(yīng)力為〔4-39〕

〔4-40〕〔4-41〕

這就是說(shuō)，在塑性區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，可用靜水壓力與純剪應(yīng)力兩個(gè)分量來(lái)表示，如圖示。

★

在不計(jì)體力的情況下，平衡方程為：〔4-42〕二、滑移線(xiàn)及其幾何性質(zhì)1、滑移線(xiàn)場(chǎng)理論：分析塑性區(qū)內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，如圖〔a)示：

z

y

x由于中間應(yīng)力為——是主應(yīng)力且——記作對(duì)此我們一定能畫(huà)出三向應(yīng)力圓。如圖〔b)示：〔a)

X軸〔b)?

應(yīng)力圓上的

兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)兩個(gè)最大切應(yīng)力面，兩面是正交的。

點(diǎn)的切應(yīng)力為-k,從x

軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)角到法線(xiàn)方向。

點(diǎn)的切應(yīng)力為k,從法線(xiàn)方向轉(zhuǎn)角到法線(xiàn)方向。?在塑性區(qū)的每一點(diǎn)都可以找到兩組正交的截面，其截面上切應(yīng)力最大，一是方向，在該面上切應(yīng)力為負(fù)值，另一是方向，在該面上切應(yīng)力為正值。且規(guī)定：，的方向符合右手坐標(biāo)系。?

每一點(diǎn)都有、方向線(xiàn)，連接無(wú)限接近點(diǎn)的、線(xiàn)，就

得到了、兩組互相正交的曲線(xiàn)。這些曲線(xiàn)就是最大切應(yīng)力跡線(xiàn)。因?yàn)椴牧涎刈畲笄袘?yīng)力方向滑移產(chǎn)生塑性變形。

★

習(xí)慣上把最大切應(yīng)力跡線(xiàn)稱(chēng)為滑移線(xiàn)。★

、兩組滑移線(xiàn)在塑性區(qū)形成互相正交的滑移線(xiàn)網(wǎng)格，

這網(wǎng)格稱(chēng)為滑移線(xiàn)場(chǎng)。如圖示：yxo

k

kkk

滑移線(xiàn)網(wǎng)格把塑性區(qū)分割成無(wú)數(shù)滑移線(xiàn)單元，每個(gè)單元上作用著：正應(yīng)力；切應(yīng)力k;

線(xiàn)與x軸之夾角

線(xiàn)方程為：

線(xiàn)方程為：

線(xiàn)線(xiàn)。

、線(xiàn)的方程與特征線(xiàn)方程完全相同，因此特征線(xiàn)與滑移線(xiàn)重合。特征線(xiàn)方向就是最大切應(yīng)力所在平面的法線(xiàn)方向。由圖可得以下關(guān)系式：〔4-43〕將上式代入平衡方程得方程式：(a)既然每一點(diǎn)都有兩個(gè)相互垂直的特征線(xiàn)〔滑移線(xiàn)〕，我們可以將坐標(biāo)系轉(zhuǎn)變一下，建立一局部坐標(biāo)系：如圖示。

p

x

y

將x,y

軸轉(zhuǎn)為，軸，屈服條件與平衡方程并不變，此時(shí)，取此時(shí)〔a)式為

即有：積分得：〔4-44〕〔A)(沿線(xiàn)〕〔沿線(xiàn)〕〔4-45〕〔B)

增量形式：〔沿線(xiàn)〕〔沿線(xiàn)〕〔4-46〕〔C〕〔A〕——就是滑移線(xiàn)單元的平衡微分方程?！睟〕〔C〕——就是滑移線(xiàn)單元的平衡微分方程的積分或差分形式。

2、滑移線(xiàn)的主要性質(zhì)〔1〕漢基第一定理

d

c

ab如沿族滑移線(xiàn)中的任一條移動(dòng)，從滑移線(xiàn)轉(zhuǎn)到同族滑移線(xiàn)那么所轉(zhuǎn)過(guò)的角度和應(yīng)力的變化量保持常數(shù)。即有：

，〔4-47〕〔4-48〕推論〔1〕：假設(shè)滑移線(xiàn)為直線(xiàn)族，此時(shí)滑移線(xiàn)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上的，值必為常數(shù)，那么所得應(yīng)力解為均勻應(yīng)力場(chǎng)。推論〔２〕：如果〔或族〕滑移線(xiàn)的某一段線(xiàn)是直線(xiàn)，那么被族〔或族〕滑移線(xiàn)所截割的所有線(xiàn)的相應(yīng)線(xiàn)段都是直線(xiàn)。如圖示:BA

aab

b〔２〕漢基第二定理

若沿某一滑移線(xiàn)移動(dòng)（如），則另一族滑移線(xiàn)在交點(diǎn)處的曲率半徑的變化＝沿該線(xiàn)所通過(guò)的距離。即：或：AA`BB`證明：由于〔定義〕又可寫(xiě)為〔AB〕令A(yù)B=A`B`=那么其中于是有或由漢基第一定理，為一常數(shù)，因而有：〔4-49〕同理可得：沿線(xiàn)：或：沿線(xiàn)：〔4-50〕三、邊界條件及根本邊值問(wèn)題〔1〕用表示的應(yīng)力邊界條件：

y

x

on應(yīng)用滑移線(xiàn)解法分析塑性應(yīng)力場(chǎng)時(shí)，根本方程中的未知量是；應(yīng)力邊界條件也用表示。邊界如圖示：應(yīng)力、，方向與、、關(guān)系如下〔4-51a〕

在邊界上也應(yīng)滿(mǎn)足屈服條件：將上式代入〔4-51〔a)式得：〔4-51b)那么〔4-52〕

其中：是的主值；

m是任一整數(shù)，m取0或1；為兩組解答。例：如圖，自由邊界，

求出：

對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為：或是拉還是壓，不能由邊界決定。

y

x

n〔2〕第一邊值問(wèn)題〔柯西問(wèn)題〕

設(shè)給定的邊界是光滑曲線(xiàn)AB如圖。它不是滑移線(xiàn)，且與任一滑移線(xiàn)僅相交一次。(0,0)(1,1)(m,m)(m+1,n+1)AByxoAB線(xiàn)上各點(diǎn)的、，需求邊界內(nèi)的塑性應(yīng)力場(chǎng)。稱(chēng)為第一邊值問(wèn)題。P(0,0)(1,1)(m,m)(m+1,m+1)AByxo

●利用滑移線(xiàn)的數(shù)值解法如下：〔a)曲線(xiàn)AB用〔0，0〕，〔1，1〕，``````〔m,m)分成微段；〔b)同一滑移線(xiàn)上,、滿(mǎn)足：或〔線(xiàn)〕〔線(xiàn)〕P觀(guān)察m,m+1相鄰兩點(diǎn)：〔線(xiàn)〕〔線(xiàn)〕〔4-53〕式中——右邊為量，可求出交點(diǎn)m,m+1點(diǎn)的應(yīng)力分量。〔c)交點(diǎn)的位置，坐標(biāo)確實(shí)定。坐標(biāo)滿(mǎn)足：〔〕〔〕

差分形式：〔〕〔〕

可解出〔d)重復(fù)計(jì)算可得出ABP范圍內(nèi)的塑性應(yīng)力場(chǎng)。(3)第二邊值問(wèn)題〔黎曼問(wèn)題〕邊界上某一點(diǎn)的兩條正交的滑移線(xiàn)，其各點(diǎn)的、，如圖示：求：區(qū)域AoBC內(nèi)的塑性應(yīng)力場(chǎng)。

o`y

x

BoAC(m,n)(m,n-1)(m-1,n)(1,1)(m,0)(0,1)(o,2)(0,n)步驟：〔a)分網(wǎng)，如圖示〔b)求、，由漢基第一定理：所以可求出〔m,n)點(diǎn)的、值?！瞔)點(diǎn)〔m,n)的坐標(biāo)：從〔1，1〕開(kāi)始，逐點(diǎn)進(jìn)行?！?〕第三邊值問(wèn)題〔混合問(wèn)題〕四、塑性應(yīng)力場(chǎng)及滑移線(xiàn)場(chǎng)的實(shí)例1、均勻應(yīng)力場(chǎng)最簡(jiǎn)單的滑移線(xiàn)場(chǎng)是由兩族平行的直滑移線(xiàn)組成的〔如圖〕。沿著這些滑移線(xiàn)的都相等，同族滑移線(xiàn)之間的夾角等于零。

證：由漢基第一定理，

沿這兩組滑移線(xiàn)分別有一一相等的值和一一相等的值。而所有也必相等，應(yīng)力是均勻分布的，即稱(chēng)為均勻應(yīng)力場(chǎng)。例：圖示直線(xiàn)邊界上那么

pn

x

即在邊界上各點(diǎn)、都相等，因而所有的、相等，得出的滑移線(xiàn)場(chǎng)就如下圖。

2、簡(jiǎn)單應(yīng)力場(chǎng)由直滑移線(xiàn)族和曲滑移線(xiàn)族組成的滑移線(xiàn)場(chǎng)也是常見(jiàn)的，在這種情況下，沿直滑移線(xiàn)〔=常量〕的是常量，但沿曲滑移線(xiàn)有改變。這樣的應(yīng)力分布稱(chēng)為簡(jiǎn)單應(yīng)力場(chǎng)。如圖示

例如：連接兩個(gè)均勻應(yīng)力場(chǎng)的塑性應(yīng)力場(chǎng)也是簡(jiǎn)單應(yīng)力場(chǎng)。

o

3、軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力場(chǎng)圖示圓孔壁上受均布?jí)毫的作用。由對(duì)稱(chēng)條件：

滑移線(xiàn)方程為：積分：所以〔線(xiàn)〕〔線(xiàn)〕p

ao

x

應(yīng)力分量：與厚壁塑性區(qū)的應(yīng)力分量一致。例1：試求剛性條形根底的極限承載力。寬2a，z方向長(zhǎng)2a，視為平面應(yīng)變問(wèn)題，地基是半無(wú)限大剛塑性材料，受均布?jí)毫.解：(1)分析：1、由AB邊界確定均勻應(yīng)力場(chǎng)ABC.2、自由邊界AG,BE也有均勻應(yīng)力場(chǎng)AGF,BED.3、均勻應(yīng)力場(chǎng)之間有簡(jiǎn)單應(yīng)力場(chǎng)BCD與ACF相連?！?〕確定邊界上的，值。〔邊界上ABaaABGEFDCxyxy

屈服條件：(a)

在邊界BE上：

2(a)由(a)圖得：=4。〔即線(xiàn)與邊界的夾角〕(b)(c)

在邊界AB上：??

2

(d)(b)由(b)圖得：=-/4〔即線(xiàn)與邊界的夾角〕(e)邊界AG同BE?！?〕繪出滑移線(xiàn)。沿ACDE是同一條線(xiàn)：由式〔1〕〔2〕

由

=式得：例2：?jiǎn)芜吺芫鶋毫Φ男w，設(shè)楔體的頂角。xyoDACB

nt解：〔1