二、最大值與最小值問題一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值高數(shù)極值與最值一、函數(shù)的極值及其求法高數(shù)極值與最值定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱為的極大值點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小值點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極小值

.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)

.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值

.高數(shù)極值與最值注意:為極大值點(diǎn)為極小值點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn).1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如,為極大值點(diǎn),是極大值是極小值為極小值點(diǎn),函數(shù)高數(shù)極值與最值設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)

且在(x0-δ

x0)

(x0

x0+δ)內(nèi)可導(dǎo)

(1)如果在(x0-δ

x0)內(nèi)f

(x)

0

在(x0

x0+δ)內(nèi)f

(x)

0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)如果在(x0-δ

x0)內(nèi)f

(x)<0

在(x0

x0+δ)內(nèi)f

(x)>0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值

(3)如果在(x0-δ

x0)及(x0

x0+δ)內(nèi)f

(x)的符號(hào)相同

那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值

定理2(第一充分條件)

x1x2x3x4x5“左正右負(fù)”“左負(fù)右正”高數(shù)極值與最值確定極值點(diǎn)和極值的步驟(1)求出導(dǎo)數(shù)f

(x);(2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);(3)考察在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近f

(x)的符號(hào);

(4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值.設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)

且在(x0-δ

x0)

(x0

x0+δ)內(nèi)可導(dǎo)

(1)如果在(x0-δ

x0)內(nèi)f

(x)

0

在(x0

x0+δ)內(nèi)f

(x)

0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)如果在(x0-δ

x0)內(nèi)f

(x)<0

在(x0

x0+δ)內(nèi)f

(x)>0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值

(3)如果在(x0-δ

x0)及(x0

x0+δ)內(nèi)f

(x)的符號(hào)相同

那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值

定理2(第一充分條件)

高數(shù)極值與最值例1.

求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得令得3)列表判別是極大值點(diǎn)，其極大值為是極小值點(diǎn)，其極小值為高數(shù)極值與最值證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.定理3(第二充分條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f

(x0)

0

f

(x0)

0

那么

(1)當(dāng)f

(x0)

0時(shí)

函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)當(dāng)f

(x0)

0時(shí)

函數(shù)f(x)在x0處取得極小值.

高數(shù)極值與最值定理3(第二充分條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f

(x0)

0

f

(x0)

0

那么

(1)當(dāng)f

(x0)

0時(shí)

函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)當(dāng)f

(x0)

0時(shí)

函數(shù)f(x)在x0處取得極小值.

應(yīng)注意的問題：

如果f

(x0)

0

f

(x0)

0

則定理3不能應(yīng)用

但不能由此說明f(x0)不是f(x)的極值。討論：

函數(shù)f(x)

x4

g(x)

x3在點(diǎn)x

0是否有極值？高數(shù)極值與最值例2.

求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.高數(shù)極值與最值定理3(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),是極小點(diǎn);是極大點(diǎn).2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn),且不是極值點(diǎn).當(dāng)充分接近時(shí),上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定,故結(jié)論正確.證:利用在點(diǎn)的泰勒公式,可得高數(shù)極值與最值例如,例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理1~

定理3)都是充分的.說明:當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí),不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿足定理1~定理3的條件.高數(shù)極值與最值觀察與思考：

觀察哪些點(diǎn)有可能成為函數(shù)的最大值或最小值點(diǎn),

怎樣求函數(shù)的最大值和最小值.

二、最大值與最小值問題x1x2x3x4x5Mm高數(shù)極值與最值

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其最大值和最小值只可能在區(qū)間的端點(diǎn)及區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)處取得.

函數(shù)在閉區(qū)間[a

b]上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中的最大者;其最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中的最小者

極值與最值的關(guān)系x1x2x3x4x5Mm高數(shù)極值與最值最大值和最小值的求法

(1)求出函數(shù)f(x)在(a

b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)

設(shè)這此點(diǎn)為x1

x2

xn;

(2)計(jì)算函數(shù)值

f(a)

f(x1)

f(xn)

f(b);(3)判斷:

最大者是函數(shù)f(x)在[a

b]上的最大值

最小者是函數(shù)f(x)在[a

b]上的最小值

最大值最小值高數(shù)極值與最值特別:

當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)

對(duì)應(yīng)用問題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)高數(shù)極值與最值例3.

求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.高數(shù)極值與最值因此也可通過例3.

求函數(shù)說明:求最值點(diǎn).與最值點(diǎn)相同,由于令(自己練習(xí))在閉區(qū)間上的最大值和最小值.高數(shù)極值與最值

例4

工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km

A點(diǎn)到火車站B的距離為100km

欲修一條從工廠到鐵路的公路CD

已知鐵路與公路每公里運(yùn)費(fèi)之比為3:5

為了使火車站B與工廠C間的運(yùn)費(fèi)最省

問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？DC20kmAB100km

解

x

設(shè)AD

x(km)

y

5k

CD

3k

DB(k是某個(gè)正數(shù))

B與C間的運(yùn)費(fèi)為y

則DB=100

x

高數(shù)極值與最值其中以y|x

15

380k為最小

因此當(dāng)AD

15km時(shí)

運(yùn)費(fèi)最省

由于y|x

0

400k

y|x

15

380k

例4

工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km

A點(diǎn)到火車站B的距離為100km

欲修一條從工廠到鐵路的公路CD

已知鐵路與公路每公里運(yùn)費(fèi)之比為3:5

為了使火車站B與工廠C間的運(yùn)費(fèi)最省

問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？y

5k

CD

3k

DB(k是某個(gè)正數(shù))

解

設(shè)AD

x(km)

B與C間的運(yùn)費(fèi)為y

則高數(shù)極值與最值

解

把W表示成b的函數(shù)

函數(shù)在唯一駐點(diǎn)b0處一定取得最大值

由W

b

0知

例5

把直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁

問矩形截面的高h(yuǎn)和寬b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W()最大?高數(shù)極值與最值用開始移動(dòng),例6.設(shè)有質(zhì)量為5kg的物體置于水平面上,受力F作解:

克服摩擦的水平分力正壓力即令則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題.設(shè)摩擦系數(shù)問力F與水平面夾角

為多少時(shí)才可使力F的大小最小?高數(shù)極值與最值令解得而因而F

取最小值.解:即令則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題.高數(shù)極值與最值清楚(視角

最大)?觀察者的眼睛1.8m,例7.

一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于解:設(shè)觀察者與墻的距離為xm,則令得駐點(diǎn)根據(jù)問題的實(shí)際意義,觀察者最佳站位存在,唯一,駐點(diǎn)又因此觀察者站在距離墻2.4m處看圖最清楚.問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最高數(shù)極值與最值存在一個(gè)取得最大利潤的生產(chǎn)水平?如果存在,找出它來.售出該產(chǎn)品x千件的收入是例8.設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x千件的成本是解:售出x千件產(chǎn)品的利潤為問是否故在x2=3.414千件處達(dá)到最大利潤,而在x1=0.586千件處發(fā)生局部最大虧損.高數(shù)極值與最值說明：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為邊際成本稱為邊際收入稱為邊際利潤由此例分析過程可見,在給出最大利潤的生產(chǎn)水平上即邊際收入＝邊際成本（見右圖）成本函數(shù)收入函數(shù)即收益最大虧損最大高數(shù)極值與最值內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件過由正變負(fù)為極大值過由負(fù)變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值(4)判別法的推廣定理3定理3高數(shù)極值與最值最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實(shí)際意義判別.思考與練習(xí)2.連續(xù)函數(shù)的最值1.

設(shè)則在點(diǎn)a

處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:利用極限的保號(hào)性高數(shù)極值與最值2.設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點(diǎn)處(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo),且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D提示:

利用極限的保號(hào)性.高數(shù)極值與最值3.設(shè)是方程的一個(gè)解,若且則在(A)取得極大值;