第二章靜電場Electrostaticfield本章研究的主要問題是：在給定的自由電荷分布以及周圍空間介質(zhì)和導(dǎo)體分布的情況下，如何求解電場。注意兩點(diǎn)：①電荷靜止，即：②電場不隨時(shí)間變化，即:本章求解靜電場的方法有：①分離變量法;②鏡像法；③格林函數(shù)法。求解的依據(jù)是：唯一性定理。

本章主要內(nèi)容靜電場的標(biāo)勢(shì)及其微分方程唯一性定理拉普拉斯方程，分離變量法鏡象法格林函數(shù)法電多極矩

§2.1靜電場的標(biāo)勢(shì)及其微分方程Scalarpotentialanddifferentialequationforelectrostaticfield1.靜電場的標(biāo)勢(shì)和微分方程靜電現(xiàn)象滿足以下兩個(gè)條件：即①電荷靜止不動(dòng)；②場量不隨時(shí)間變化。故

把靜電條件代入Maxwell'sequations中去，即得電場滿足的方程這兩方程連同介質(zhì)的電磁性質(zhì)方程是解決靜電問題的基礎(chǔ)。根據(jù)電場方程（即的無旋性），可引入一個(gè)標(biāo)勢(shì)。在電磁學(xué)中，已知因?yàn)橄嗑酁閮牲c(diǎn)的電勢(shì)差為所以由于又因?yàn)樵诰鶆蚋飨蛲缘慕橘|(zhì)中，則有此方程稱為泊松方程（Poissonequation).即這里，故有

若在無源區(qū)域內(nèi)（），上式化為此方程稱為拉普拉斯方程（Laplaceequation)

在各種不同條件下求解Poissonequation或Laplaceequation是處理靜電問題的基本途徑。

這個(gè)式子只反映了電荷激發(fā)電場這一面，而沒有反映電場對(duì)電荷的作用另一面。如果空間還有導(dǎo)體存在的話，那么物理機(jī)制為2、靜電場的基本問題如果電荷是連續(xù)分布的，則觀察點(diǎn)處的標(biāo)勢(shì)為

考慮到感應(yīng)情況，諸問題的模擬是：導(dǎo)體++++++++++++----------給定電荷分布求空間一點(diǎn)電場分布而場引起導(dǎo)體上感應(yīng)電荷分布而感應(yīng)電荷分布反過來引起

現(xiàn)在，要找出一個(gè)電荷對(duì)它鄰近的電場是怎樣作用的，一點(diǎn)上的電場和它鄰近的電場又是怎樣聯(lián)系的，即要找出電荷和電場相互作用規(guī)律的微分形式，而在導(dǎo)體表面或其他邊界上場和電荷的相互作用關(guān)系則由邊值關(guān)系和邊界條件反映出來，稱之為邊值問題。（1）在介質(zhì)的分界面上，電場滿足的邊值關(guān)系為且為電勢(shì)所滿足的邊值關(guān)系：由于，故，且介質(zhì)2介質(zhì)12'1'21在介質(zhì)分界面附近取兩點(diǎn)1和2，而,所以

注意：可代替，即可代替p2p1P'1P'2即得故有而可見∵證：另外，由方程可得到：對(duì)于介質(zhì)的分界面也就是說，在兩種不同介質(zhì)的分界面上,電勢(shì)滿足的關(guān)系為即（2）在介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上的情況由于靜電平衡條件，我們知道：導(dǎo)體內(nèi)部；導(dǎo)體表面上的場強(qiáng)與表面⊥，導(dǎo)體是等勢(shì)體；導(dǎo)體內(nèi)無電荷分布（），電荷只分布在導(dǎo)體的表面上（）。導(dǎo)體1自由電荷σε介質(zhì)2因此，在導(dǎo)體與介質(zhì)的分界面上，即有歸納起來，靜電場的基本問題是：求出在每個(gè)區(qū)域(均勻)內(nèi)滿足泊松方程，在所有在靜電情形下，能量W可以用電勢(shì)和電荷表出。由得分界面上滿足邊值關(guān)系和在所研究的整個(gè)區(qū)域邊界上滿足邊界條件的電勢(shì)的解。3、利用靜電標(biāo)勢(shì)來描述靜電場的能量已知在線性介質(zhì)中靜電場的總能量為

若我們考慮的是體系的總能量，則上式的體積分是對(duì)全空間進(jìn)行的。因此上式右邊第二項(xiàng)的面積分是對(duì)無窮大的面進(jìn)行的。有限的電荷體系在無窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)，電場，而面積~r2,故在r→∞時(shí)，面積分項(xiàng)的值=0，故有因此即（2）適用于求總能量（如果求某一部分能量時(shí)，面積分項(xiàng)）；討論：對(duì)的使用注意幾點(diǎn)：（1）適用于靜電場，線性介質(zhì)；（3）不能把看成是電場能量密度，它只能表示能量與存在著電荷分布的空間有關(guān)。真實(shí)的靜電能量是以密度的形式在空間連續(xù)分布，場強(qiáng)大的地方能量也大；（4）中的是由電荷分布激發(fā)的電勢(shì)；（5）在靜電場中，電場決定于電荷分布。在場內(nèi)沒有獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)。因而場的能量就由電荷分布所決定。（6）若全空間充滿了介電常數(shù)為ε的介質(zhì)，且得到電荷分布ρ所激發(fā)的電場總能量4、舉例討論[例1]求均勻電場的電勢(shì)。Solution:因?yàn)榫鶆螂妶鲋忻恳稽c(diǎn)強(qiáng)度相同，其電力線為平行直線，選空間任一點(diǎn)為原點(diǎn)，并設(shè)原點(diǎn)的電勢(shì)為。yoxpθ式中

為與點(diǎn)的距離。

這里有個(gè)參考點(diǎn)選擇問題。[例2]均勻帶電的無限長直導(dǎo)線的電荷線密度的λ，求空間的電勢(shì)。Solution:故得到根據(jù)，得到選取柱坐標(biāo)：源點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,z'），場點(diǎn)的坐標(biāo)為（R,0），考慮到導(dǎo)線是無限長，電場強(qiáng)度顯然與z無關(guān)。這里，先求場強(qiáng)，后求電勢(shì)。場點(diǎn)pRozz'電荷源

由于電荷元為，因此令且設(shè)p0點(diǎn)與導(dǎo)線的垂直距離為R0，則p點(diǎn)到p0點(diǎn)的電勢(shì)差為而故若選p0為參考點(diǎn)（即），則

§2.2唯一性定理Uniquenesstheorem

本節(jié)內(nèi)容將回答兩個(gè)問題：（1）要具備什么條件才能求解靜電問題（2）所求的解是否唯一

電常數(shù)為，它是各向同性的。SV每一個(gè)區(qū)域給定電荷分布小區(qū)域，每一個(gè)小區(qū)域內(nèi)介把一個(gè)區(qū)域V找分為許多（1）有介質(zhì)存在的情況1、靜電問題的唯一性定理

①在每個(gè)均勻區(qū)域中滿足，即有

至此，不知道邊界條件，即不知道區(qū)域的邊界S上的一些條件。這個(gè)問題正是唯一性定理所要解決的，下面討論之。②在各個(gè)均勻區(qū)域的交界面上，滿足：已知：幾個(gè)區(qū)域就有幾個(gè)泊松方程。iierj-=?2

設(shè)區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布在V的邊界S上給定或

（ii）電勢(shì)的法向?qū)?shù)，則V內(nèi)的電場唯一地被確定。（i）電勢(shì)唯一性定理：

證明：設(shè)有兩組不同的解和滿足唯一性定理的條件，只要讓得即可。在均勻區(qū)域Vi內(nèi)有令下面采用的證法：在兩均勻區(qū)域界面上有在整個(gè)區(qū)域V的邊界S上有或者函數(shù)必有：令且進(jìn)一步分析：在兩個(gè)均勻區(qū)域Vi和Vj的界面上,由于和的法向分量相等，又有，因此內(nèi)部分界面的積分為對(duì)所有區(qū)域求和得到

而在S面上，從而有(這里）因此故

由可見，和至多只能相差一個(gè)常數(shù)，但電勢(shì)的附加常數(shù)對(duì)電場沒有影響，這就是說靜電場是唯一的。（2）有導(dǎo)體存在的情況由于,而,只有，要使成立，唯一地是在V內(nèi)各點(diǎn)上都有即在V內(nèi)任一點(diǎn)上，。

在無窮遠(yuǎn)處，電場為零，即在S面上或者表示成SVερS1S2

討論區(qū)域是導(dǎo)體外空間V，即V是由導(dǎo)體外表面，及S包面所圍成的空間，當(dāng)S在無窮遠(yuǎn)處時(shí)，所討論的區(qū)域就是導(dǎo)體外的全空間V。A類問題：已知區(qū)域V中電荷分布，及所有在此基礎(chǔ)上，把問題分為兩類：約定：證明：設(shè)存在著兩個(gè)解和,這意味著在區(qū)域V內(nèi)，

體的形狀和排列；每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)都給定。B類問題：已知區(qū)域V中電荷分布，及所有導(dǎo)體的形狀和排列；每個(gè)導(dǎo)體的總電荷都給定。因?yàn)閷?dǎo)體面就是邊界面，因此上述導(dǎo)體的電勢(shì)或者總電荷就是邊界條件。先用反證法證A類問題。和都滿足泊松方程：第i個(gè)導(dǎo)體的表面為面上，該導(dǎo)體的電勢(shì)為

。那么，在

面上，

和都必須等于。即在

面上，令

則有應(yīng)用格林定理：式中被積函數(shù)，要使上式成立，必然在V中每一點(diǎn)上有于是，V中每一點(diǎn)上，。令，有

但在導(dǎo)體表面上，，即得到常數(shù)=0，即，使得令代入格林公式中，得也設(shè)存在兩個(gè)解和，則有再用反證法證B類問題這就說明了對(duì)A類問題有唯一解。與不一定相等，但對(duì)同一導(dǎo)體而言，故可從積分號(hào)內(nèi)提出來，于是因?yàn)樵趯?dǎo)體表面處，電勢(shì)并沒有給定，但根據(jù)電磁學(xué)中的知識(shí)，導(dǎo)體在靜電平衡時(shí)為一等勢(shì)體。雖然

因?yàn)橹校琒i表示電場中第i個(gè)導(dǎo)體的表面，導(dǎo)體在靜電平衡時(shí)，在導(dǎo)體外，緊靠導(dǎo)體表面處的場強(qiáng)方向與導(dǎo)體表面垂直，場強(qiáng)的大小與導(dǎo)體表面對(duì)應(yīng)點(diǎn)的面電荷密度成正比，即從而得到現(xiàn)在分析：這樣就有式中和都表示第i個(gè)導(dǎo)體所帶的總電荷，又因?yàn)樗墙o定的，即故對(duì)每一個(gè)導(dǎo)體表面都有此結(jié)論。因此得到果V內(nèi)的電荷密度分布已知，并S0VεS1S2由于，此常數(shù)對(duì)電場無影響，所以此時(shí)仍說是唯一的。同理，，要使上式成立，必然是唯一性定理（另外一種證明方法）且各邊界面滿足下列條件之一時(shí)：所包圍，其中S0是最外包圍面。如區(qū)域V由封閉面S0、S1、S2、···等用反證法證明。證明：設(shè)有兩上電勢(shì)和，它們都滿足場方程(i)Si面上電勢(shì)已知；(ii)Sj面上為等勢(shì)面。未知常數(shù)，并且Sj

面上流出的電通量已知。(iii)Sk面上的電場法線分量En已知。則區(qū)域V內(nèi)電場強(qiáng)度被唯一確定。并滿足上述邊界條件，則，或者，和不必相等，可以相差一個(gè)常數(shù)，即由矢量恒等式這里因?yàn)?，并。要使其等?，則必須。而要證明場中每一點(diǎn)成立，只需證明現(xiàn)在考察上式右邊的面積分之值。則有其中因?yàn)?/p>

a)

設(shè)Si面滿足(i)類邊界條件，則故Si面積分為零。

b)設(shè)Sj面滿足(ii)類邊界條件，由于故可以將從積分號(hào)內(nèi)提出來，則有由于(ii)類邊界條件中還包括有給定總通量值，即c)

設(shè)Sk面滿足(iii)類邊界條件，則從而使得由于在Sk面上En值給定，故則由此可見，滿足場方程組和邊界條件的和必須滿足等式即，唯一性定理證畢。[例1]有一半徑為a的導(dǎo)體球，它的中心恰位于兩種均勻無限大介質(zhì)的分界面上，介質(zhì)的介質(zhì)常數(shù)分別是與。若導(dǎo)體球總電荷為Q

，求導(dǎo)體球表面處自由電荷分布。2、用唯一性定理解決實(shí)際問題Solution:

設(shè)導(dǎo)體球上下兩半球各自帶電量為q1和q2，則

Q=q1+q2又因?yàn)閷?dǎo)體球是等勢(shì)體，上下半球電勢(shì)相等，即Qa另外，總電荷Q一定，無限遠(yuǎn)處電勢(shì)為0，故滿足唯一性定理?xiàng)l件。則得根據(jù)唯一性定理，得到電荷面密度為：故即得到：[例2]兩同心導(dǎo)體球殼之間充以兩種介質(zhì)，左半球介電常數(shù)為，右半球介電常數(shù)為。設(shè)內(nèi)球殼半徑為a，帶電荷為Q，外球殼接地，半徑為b，求電場和球殼上的電荷分布。baS1S2Solution:

以唯一性定理為依據(jù)來解本題。

a)寫出本題中電勢(shì)應(yīng)滿足的方程和邊值關(guān)系以及邊界條件此區(qū)域V為導(dǎo)體球與球殼之間的空間，邊界面有兩個(gè)，即S1和S2，S1是導(dǎo)體球表面，S2是導(dǎo)體球殼內(nèi)表面,邊界條件為：在S1上總電量是Q，在S2上。

在兩種介質(zhì)中，電勢(shì)都滿足Laplace方程，在介質(zhì)交界面上，電勢(shì)連續(xù)，電位移矢量的法向分量連續(xù)（因?yàn)榻唤缑嫔希?/p>

應(yīng)滿足的定解條件為：現(xiàn)在不論用什么方法，只要求出的點(diǎn)函數(shù)能滿足上述條件，那么就是本題的唯一解。

由于對(duì)稱性,選取球坐標(biāo),原點(diǎn)在球心,直接積分b)根據(jù)已知的定解條件，找出電勢(shì)的解在r=b處：可求得解，因?yàn)椴浑y看出：在兩介質(zhì)的交界面上：從而得到同理，在r=b處：即得這樣，也滿足了Dn連續(xù)的條件。又因?yàn)樵趦山橘|(zhì)的交界面上，與，但都只與r有關(guān)，所以由此得到A=C

到此為止，在條件中，除了在面上總電量為Q外，也滿足了其它全部條件，而也只剩下一個(gè)待定常數(shù)A?，F(xiàn)在用必須滿足在面上總電量等于Q這個(gè)條件來確定A，即根據(jù)電勢(shì)所得到的結(jié)果，有從而得到：c)電場和電荷分布情況相應(yīng)地，有由此可見▲在導(dǎo)體球（r=a）表面上：可見▲在導(dǎo)體球殼內(nèi)（r=b）處：▲還可進(jìn)一步求出束縛電荷（極化電荷）分布：也可看出：所以已知▲在導(dǎo)體球表面上極化電荷面密度分布：而極化電荷體密度：即在兩種介質(zhì)中，極化電荷體密度都為零。因?yàn)?。因而，所以▲故得到?dǎo)體球表面上的總電荷分布：

在前面計(jì)算過程中，得出導(dǎo)體球面上注意：▲在兩種介質(zhì)交界面處：

導(dǎo)體球內(nèi)的靜電場由和共同激發(fā)，由于均勻分布，所以在球內(nèi)的電場為零。但由于非是常數(shù)，但是或在每個(gè)半球面上雖然都是常數(shù)，但，，即在球面上不是均勻分布的?，F(xiàn)在來說明不能均勻分布的原因。假定是均勻分布的，那么由可見，在兩個(gè)半球面上，因值不同而不同。均勻分布必將導(dǎo)致它在球內(nèi)的場不為零，這樣導(dǎo)體球就不能達(dá)到靜電平衡。由此可見，要使導(dǎo)體球達(dá)到靜電平衡，的分布必須是非均勻的。

§2.3

拉普拉斯方程，分離變量法Laplace'sequation,methodofseparatevariation

眾所周知，電場是帶電導(dǎo)體所決定的。自由電荷只能分布在導(dǎo)體的表面上。因此，在沒有電荷分布的區(qū)域V里,Poisson'sequation就轉(zhuǎn)化為

Laplace'sequation，即產(chǎn)生這個(gè)電場的電荷都是分布于區(qū)域V的邊界上，它們的作用通過邊界條件反映出來：本節(jié)內(nèi)容主要是研討

Poisson方程的求解方法。①給定②給定或?qū)w總電量因此，討論的問題歸結(jié)為：

a、怎樣求解（通解）Laplace'sequation.b、怎樣利用邊界條件及邊值關(guān)系求出積分常數(shù)。Laplace'sequation可以用分離變量法求通解，其求解條件是：①方程是齊次的。②邊界應(yīng)該是簡單的幾何面。

（A、B、C為待定系數(shù)）1、用分離變量法求Laplace'sequation的通解在數(shù)學(xué)物理方法中，該方程的通解的（1）在直角坐標(biāo)系中設(shè)或者寫成（2）在柱坐標(biāo)系中該方程的通解為如果考慮與z軸無關(guān)（k=0）情況，并討論的區(qū)域是，故通解為其中，Jm為m階第一類貝塞爾函數(shù)，Nm為m階第二類貝塞爾函數(shù)。其通解為這里A，B，C，D為待定系數(shù)。（3）在球坐標(biāo)系中這里為締合勒讓德（Legendre)函數(shù)對(duì)于具有軸對(duì)稱的問題，m=0(取此軸為極軸）且這里為勒讓德函數(shù)，

、為待定系數(shù)。對(duì)于球?qū)ΨQ的問題，m=0,n=0。且2、利用邊界條件定解

說明兩點(diǎn)：

及導(dǎo)體的總電荷

第一，如果考慮問題中有i個(gè)區(qū)域（均勻分布），必須有i個(gè)相應(yīng)的Laplace'sequation.

第二，在每個(gè)區(qū)域的交界面上，應(yīng)該滿足邊值關(guān)系：邊界條件：3、舉例說明定特解的方法[例1]一個(gè)內(nèi)徑和外徑分別為R2和R3的導(dǎo)體球殼，帶電荷為Q。同心地包圍著一個(gè)半徑為R1的導(dǎo)體球（R1<R2)，使半徑R1的導(dǎo)體球接地，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和這個(gè)導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷。QR1R2R3

第一步：分析題意，找出定解條件。Solution:根據(jù)題意，具有球?qū)ΨQ性，電勢(shì)不依賴于極角和方位角，只與半徑r有關(guān)。(ii)因整個(gè)導(dǎo)體球殼為等勢(shì)體，有故定解條件為：邊界條件：

(i)因?yàn)閷?dǎo)體球接地，有

由方程式(1)、(2)可看出，電勢(shì)不依賴于φ，取n=0；不依賴于θ，取,故得到導(dǎo)體球殼內(nèi)、外空間的電勢(shì)：(iii)球殼帶電量為Q，根據(jù)Gausstheorem第二步，根據(jù)定解條件確定通解和待定常數(shù)從而得到由（3）式得將（13）式代入（12）式，即得由（4）式得由（5）式得將A、B、C、D系數(shù)代入到（6）、（7）式，即得電勢(shì)的解：因此得到：導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷為[例2]介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)球，半徑為R，被置于均勻外場中，球外為真空。求電勢(shì)分布。

zR

由于這個(gè)問題具有軸對(duì)稱性，取極軸z沿外電

場

方向，介質(zhì)球的存在使空間分為兩個(gè)均勻區(qū)域—球內(nèi)、球外。兩區(qū)域內(nèi)都沒有自由電荷。因此電勢(shì)滿足Laplace’sequation。以代表球外區(qū)域的電勢(shì)，代表球內(nèi)區(qū)域的電勢(shì)，故Solution:

第一步：根據(jù)題意，找出定解條件。

比較兩邊系數(shù)，得由于問題具有軸對(duì)稱性，即與無關(guān)，故由（2）式得第二步：根據(jù)定解條件確定通解和待定常數(shù)故有：由（6）式得從中可見比較的系數(shù)，得再由（3）、（4）式或者（7）、（8）式得到：由（13）、（14）式給出由（15）、（16）式給出：由此得到電勢(shì)為▲相應(yīng)地，球內(nèi)、外的電場強(qiáng)度為

第二項(xiàng)和第三項(xiàng)之和實(shí)際上是一個(gè)等效的放在原點(diǎn)的偶極子在球外產(chǎn)生的電場，其電偶極矩為其中因此，球外區(qū)域的電場為：同理得到▲在球內(nèi)總電場作用下，介質(zhì)球的極化強(qiáng)度的

由此可見，球內(nèi)的場是一個(gè)與球外場平行的恒定場。而且球內(nèi)電場比原外場弱，這是極化電荷造成的。▲介質(zhì)球的總電偶極矩為§2.4鏡象法Methodofimages

根據(jù)前面的內(nèi)容討論知道：在所考慮區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷分布時(shí)，可用Laplace'sequation求解場分布；在所考慮的區(qū)域內(nèi)有自由電荷分布時(shí)，且用Poisson‘sequation

求解場分布。

如果在所考慮的區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)或多個(gè)點(diǎn)電荷，區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面，這類問題又如何求解場分布？這就是本節(jié)主要研究的一個(gè)問題。解決這類問題的一種特殊方法稱為—

鏡象法。

1、鏡象法的基礎(chǔ)問題

在點(diǎn)電荷附近有導(dǎo)體或介質(zhì)存在時(shí)，空間的靜電場是由點(diǎn)電荷和導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的束縛電荷共同產(chǎn)生的。

在所求的場空間中，導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷對(duì)場點(diǎn)而言能否用場空間以外的區(qū)域（導(dǎo)體或介質(zhì)內(nèi)部）某個(gè)或多個(gè)假想的電荷來代替呢？

光學(xué)理論給我們的啟發(fā)，看過哈哈鏡的人會(huì)有這樣的印象：平面鏡內(nèi)的象與物大小一樣，凸面鏡內(nèi)的象比物小，凹面鏡內(nèi)的象比物大。

當(dāng)我們把點(diǎn)電荷作為物，把導(dǎo)體或介質(zhì)界面作為面鏡，那么導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷就可作為我們所說的象然后把物和象在場點(diǎn)處的貢獻(xiàn)迭加起來，就是我們討論的結(jié)果。

鏡象法的理論基礎(chǔ)是唯一性定理。其實(shí)質(zhì)是在所研究的場域外的適當(dāng)?shù)胤剑脤?shí)際上不存在的“象電荷”來代替真實(shí)的導(dǎo)體感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷對(duì)場點(diǎn)的作用。在代替的時(shí)候，必須保證原有的場方程、邊界條件不變，而象電荷的大小以及所外的位置由Poisson'sequationorLaplace'sequation和邊界條件決定。2、鏡象法的理論基礎(chǔ)這里要注意幾點(diǎn)：

a)

唯一性定理要求所求電勢(shì)必須滿足原有電荷分布所滿足的Poisson'sequationorLaplace'sequation。因此，在所研究的場域內(nèi)不可放置象的電荷，也就是說，象電荷必須放在研究的場域外。c)象電荷是虛構(gòu)的，它只在產(chǎn)生電場方面與真實(shí)的感應(yīng)電荷或極化電荷有等效作用。而其電量并不一定與真實(shí)的感應(yīng)電荷或真實(shí)的極化電荷相等，不過在某些問題中，它們卻恰好相等。b)由于象電荷代替了真實(shí)的感應(yīng)電荷或極化電荷的作用，因此放置象電荷后，就認(rèn)為原來的真實(shí)的導(dǎo)體或介質(zhì)界面不存在。也就是把整個(gè)空間看成是無界的均勻空間。并且其介電常數(shù)應(yīng)是所研究場域的介電常數(shù)。

用鏡象法解題大致可按以下步驟進(jìn)行：

a)

正確寫出電勢(shì)應(yīng)滿足的微分方程及給定的邊界條件；

b)

根據(jù)給定的邊界條件計(jì)算象電荷的電量和所在位置；

d)鏡象法所適應(yīng)的范圍是：①場區(qū)域的電荷是點(diǎn)電荷，無限長帶電直線；②導(dǎo)體或介質(zhì)的邊界面必是簡單的規(guī)則的幾何面（球面、柱面、平面）。3、鏡象法的具體應(yīng)用

[例1]接地?zé)o限大平面ySoaQx

c)

由已知電荷及象電荷寫出勢(shì)的解析形式；

d)

根據(jù)需要要求出場強(qiáng)、電荷分布以及電場作用力、電容等。（1）界面為平面的情況

下面按界面形狀的不同分類舉例討論：求空間中的勢(shì)分布。其電量為Q，距板a處，導(dǎo)體板附近有一點(diǎn)電荷，應(yīng)電荷，右半空間的電勢(shì)必須滿足以下條件：Solution:

根據(jù)靜電屏蔽可判定接地導(dǎo)體板左半空間沒有電場。右半空間的電場是Q及S面上的感應(yīng)電荷面密度共同產(chǎn)生的。以假想的點(diǎn)電荷Q'等效地代替感為了滿足方程(1)

，假想的電荷Q'必須在左半空間內(nèi)，這樣才能使原方程不變，由(2)

、(3)可求出Q'的位置及大小，等效圖為θabr'ryxRP(x,y,z)Q(a,0,0)Q'(-b,0,0)

因此，在右半空間任一點(diǎn)的電勢(shì)為：這里因?yàn)椋汗视校河?3)式得到，要使該式成立，只有故得到討論:

▲如果導(dǎo)體板不接地，左半空間有電場存在。這時(shí)左、右兩半空間的電勢(shì)必須滿足以下條件：▲現(xiàn)在求無限大接地導(dǎo)體板平面上的感應(yīng)電荷分布情況：根據(jù)導(dǎo)體平衡條件，導(dǎo)體面上有所以其中▲進(jìn)一步求無限大導(dǎo)體面上的總感應(yīng)電荷Q感：因?yàn)镾板面在y,z平面上，故可見與Q異號(hào)，這是合理的。

所以yxozdsρθ

▲最后，求點(diǎn)電荷Q受到的作用力：因?yàn)榱γ芏瓤梢?，?dǎo)體板面上總感應(yīng)電荷恰好等于點(diǎn)電荷Q的電量。所以總力為而故有

這正好說明是源電荷Q與象電荷的庫侖力（吸引力）。但要注意：光線是直線傳播到導(dǎo)體板面上的。有的地方是與板面⊥，有的地方是與板面有一定夾角；但電力線切線方向是場強(qiáng)的方向，電力線在板面附近處處與板面⊥，這一點(diǎn)通過靜電平衡原理可知。Q‘Qba根據(jù)光的反射可找到Q'的大小和位置▲鏡象法的圖形與光路用此圖比較：[例2]在無窮大空間中充滿介電常數(shù)為和的兩種均勻電介質(zhì)，其分界面為平面。設(shè)在介質(zhì)中放一點(diǎn)電荷Q，其所在位置距分界面為a，試求二介質(zhì)中的電勢(shì)分布。QaSolution:

設(shè)中電勢(shì)的，中的電勢(shì)為，并滿足如下定解條件：a)

求空間的電勢(shì)時(shí)，設(shè)想將半空間換成與半空間一樣，而以假想的電荷Q'來代替分處理問題的方法是：界面上極化電荷對(duì)半空間的場的影響；

b)

求半空間的電勢(shì)時(shí)，設(shè)想將半空間換成半空間一樣，而以假想的電荷Q"來代替Q和分界面上的極化電荷對(duì)半空間場的影響。由此可見：xxSS右半空間左半空間acbQ'Q"Qr"rr'RooP(x,y,z)yy換成P'換成Rθ在x>0的區(qū)域，空間一點(diǎn)的電勢(shì)為在x<0的區(qū)域，空間任一點(diǎn)的電勢(shì)為由(5)式得即有再根據(jù)電荷守恒守律：Q=Q'+Q"(9)將(9)式代入(8)式，即有故得要使該式成立，必有b=c=a(10)

再根據(jù)（4）式，則有即由此可見：從而得到：故最終得到x>0區(qū)域電勢(shì)為：x<0區(qū)域電勢(shì)為：

根據(jù)光的反射可找到Q'

的大小和位置；根據(jù)光的折射可找到Q"的大小和位置,（但嚴(yán)格說來光線在不同介質(zhì)內(nèi)傳播，其方向有所改變。這里僅僅是理想化的，根據(jù)實(shí)際問題類比思維）。

Q‘Qba折射反射▲分界面為介質(zhì)時(shí)，鏡象法與光路圖比較：（2）界面為球面的情況[例3]有一半徑為Ro的接地導(dǎo)體球，距球心為a(a>Ro)處有一點(diǎn)電荷Q，求空間的電勢(shì)分布。aQRoSolution:

取球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，球心到點(diǎn)電荷Q的方向?yàn)閤軸，設(shè)Q的坐標(biāo)為（a,0,0)。根據(jù)靜電平衡條件。球內(nèi)的電勢(shì)為零。故只討論外空間的電勢(shì)即可。

球外空間的電勢(shì)由Q及球面上感應(yīng)電荷共同激發(fā)的，其電勢(shì)所滿足的定解條件為：用一個(gè)象電荷Q'來代替球面上的感應(yīng)電荷，為了不改變?cè)匠?，Q'必須在球內(nèi)，并距球心為b，故等效為：球外空間一點(diǎn)的電勢(shì)為RobQ'aQxrr'P(x,y,z)θ

在b<R0的區(qū)域，不論Q'取任何值，其解都滿足方程和在無窮遠(yuǎn)處的邊界條件。現(xiàn)在的問題是如何調(diào)整Q'和b的數(shù)值使得解也滿足(2)式。因此，把(2)式用于其解，則則有：式中，左邊為一常數(shù)，右邊含有變量，對(duì)任何值都要使上式成立，只有使兩邊都等于零，即移項(xiàng)得到將(6)式代入(5)式得由(4)式得解此二次方程，得到將此代入(6)式，即有分析這里解的形式，可知b=a不符合物理要求，由于此時(shí)Q‘在球外空間，改變了原方程，故b=a及Q’=±Q應(yīng)該舍去。又由于(2)式的要求，不符合要求。至此取下面的值才是符合要求的解。因此，球外空間任一點(diǎn)的電勢(shì)為▲球面上的感應(yīng)電荷面密度：即感應(yīng)電荷的大小等于象電荷Q'的大小?！部梢赃@樣證明：根據(jù)Gauss定理，對(duì)球作Gauss面，即aQRoQ感bQ'▲總感應(yīng)電荷為故Q感=Q'即感應(yīng)電荷的電量Q感等于象電荷的電量Q'。式中的是象電荷Q'和真實(shí)電荷Q共同產(chǎn)生的，即顯然，[例3]的解(8)式不滿足電中性的條件，如果在球內(nèi)再添置一個(gè)象電荷

，則滿足電中性條件，為了不破壞導(dǎo)體是等位體的條件，▲根據(jù)上述例子，作如下幾點(diǎn)討論：

導(dǎo)體球不帶電，即要求滿足電中性條件a)導(dǎo)體球既不接地又不帶電這種情況與[例3]的差別僅在于邊界條件，這里由對(duì)稱性知道，Q"必須放在球心處，于是再由b)導(dǎo)體球不帶電其電勢(shì)的U0

這種情況與[例3]的差別仍然在邊界條件，這里得到

是已知常數(shù)，導(dǎo)體球的電勢(shì)為，相當(dāng)于在球心處放置了電量為的點(diǎn)電荷，顯然，其解為c)若點(diǎn)電荷Q在導(dǎo)體球殼內(nèi)距球心a處這時(shí)與[例3]的情況相比，僅是源電荷的位置由球由得到外搬進(jìn)到球內(nèi)。此時(shí)，接地球殼外無場強(qiáng)，場的區(qū)域在球內(nèi)。故可根據(jù)光路可逆性原理來解釋：球內(nèi)的電勢(shì)等于源電荷Q和球面上的感應(yīng)電荷（球殼內(nèi)表面）—象電荷Q'（在球外處）產(chǎn)生的電勢(shì)：這里要注意：象電荷的電量Q'大于源電荷的電量Q，球內(nèi)的電勢(shì)與導(dǎo)體球是否接地、是否帶電無關(guān)。d)若導(dǎo)體球帶電q但不接地這種情況的物理模型為：RobQ'aQxrr'Pq-Q'則球心有電荷（q-Q')

，則P點(diǎn)的電勢(shì)為由得到▲導(dǎo)體對(duì)點(diǎn)電荷Q的作用力：此時(shí)，源電荷Q所受到的作用力來自球面上的電荷，即從而得到

▲當(dāng)a>>R0

，，即近似為兩點(diǎn)電荷作用，作用力為排斥力；▲當(dāng)Q靠近球面時(shí)，，此時(shí)不論q與Q是否同號(hào)，作用力永遠(yuǎn)為引力，這可由在Q附近的感應(yīng)電荷與其反號(hào)來解釋。ooaaQ'Q'QQ點(diǎn)電荷Q在球內(nèi)點(diǎn)電荷Q在球外bb▲鏡象法與光路圖比較R0------++++++Solution:

本題的物理圖象是在原有的均勻電場中放置一中性導(dǎo)體球。此時(shí)導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷也要在空間激發(fā)場，故使原來的場空間電場發(fā)生了變化，如圖所示。由此可見，球外空間任一點(diǎn)的場將是一個(gè)均勻場和一個(gè)球體感應(yīng)電荷等效的偶極子的場的迭加。場區(qū)域只能在球外。由于靜電屏蔽，[例4]均勻場中的導(dǎo)體球所產(chǎn)生的電勢(shì)。

第一步：用兩個(gè)點(diǎn)電荷±Q激發(fā)一均勻場點(diǎn)電荷±Q放在對(duì)稱軸z=±a處，a很大，Q也很大，在坐標(biāo)原點(diǎn)附近的區(qū)域內(nèi)。+Q-Qzaao第二步：將一中性導(dǎo)體球放在均勻場中此時(shí)+Q在球面上感應(yīng)的電量為，-Q在球面上感應(yīng)電量為，這仍然保持導(dǎo)體球?yàn)殡娭行?不管導(dǎo)體球接地與否)。根據(jù)唯一性定理，導(dǎo)體球外的電勢(shì)就是這四個(gè)點(diǎn)電荷分別在某點(diǎn)產(chǎn)生的

+Q-QzaaR0bbo這樣一來，±Q相當(dāng)于兩個(gè)場源電荷，球面上將出現(xiàn)感應(yīng)電荷，由象電荷來代替它，即電勢(shì)的迭加，即因?yàn)閍>>R，

,則選略去和又因?yàn)榻詾樾×浚瑧?yīng)用展開式即則有

的第一項(xiàng)恰好等于一個(gè)原均勻場以o點(diǎn)為參考點(diǎn)電勢(shì)。第二項(xiàng)恰好等于位于o點(diǎn)的電偶極矩為的電偶極子的電勢(shì)。（3）界面為柱面的情況令則[例5]有一線電荷要密度為η的無限長帶電直線與半徑為R0的接地?zé)o限長導(dǎo)體園柱軸線平行。直線與園柱軸yaaηxηR0R0Solution:

由于導(dǎo)體柱面把整個(gè)空間分成柱內(nèi)、柱外兩個(gè)區(qū)域，而柱內(nèi)有，柱外區(qū)域電勢(shì)滿足定解條件：

處于帶電直線的電場中的導(dǎo)體園柱，其柱面上要出現(xiàn)感應(yīng)電荷，空間任一點(diǎn)的電勢(shì)就是帶電線和感應(yīng)電荷分別產(chǎn)生的電勢(shì)的迭加。

現(xiàn)假定導(dǎo)體園柱面的感應(yīng)電荷密度為，距軸線為b，由于帶電直線不僅帶電(均勻)且是無限長的，導(dǎo)體園柱也是無限長的，故垂直于柱軸的任何平面上的電勢(shì)分布是完全相同的，即是一個(gè)二維場，因此可取一垂直于柱軸的平面來討論。若取oa連線與圓柱面的交點(diǎn)為電勢(shì)參考點(diǎn)。則園柱外空間任一點(diǎn)的電勢(shì)為Robλ'aηxrr'P(x,y)θR0即其中由(2)式得即由(4)式，即有要使該等式成立，必有比較兩邊系數(shù)，即解這下一元二次方程得到化簡(7)式得到：由(6)式得其中

b1=a不符合物理要求。故有：因而柱面外任一點(diǎn)的勢(shì)為（4）界面為劈形的情況[例6]有兩個(gè)相交的接地導(dǎo)體平面，其夾角為，若在所夾區(qū)域內(nèi)有一電量為Q的點(diǎn)電荷，求下列情況下所夾區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)：Solution:

從上面的例子可以看出，用鏡象法處理問題時(shí)，只要象電荷都放在所考慮的區(qū)域之外，就不會(huì)改變電勢(shì)在該區(qū)域內(nèi)所滿足的泊松方程。故檢驗(yàn)解是否正確的關(guān)鍵是看它能否滿足全部邊界條件。Q

▲下面按夾角不同情況分別討論其電勢(shì)分布情況。

a、APB-QQ-QQorr1r2Rr3132

要使A板的電勢(shì)為零，應(yīng)以A板為對(duì)稱面，將A板上的感應(yīng)電荷以象電荷-Q放置在與源電荷Q對(duì)稱的位置“1”處；要使B板的電勢(shì)為零，應(yīng)以B板為對(duì)稱面，將B板上的感應(yīng)電荷以象電荷-Q放置在與源電荷Q對(duì)稱的位置“2”處，而且還需在“1”相對(duì)于B板的對(duì)稱位置“3”處放置+Q的象電荷，才能保證，不難看出，此時(shí)也滿足。于是所考慮的區(qū)域內(nèi)，勢(shì)滿足定解條件。所考慮區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)為BAQ+Q+Q-Q-Q-Q12345b、要保證則必須有5個(gè)象電荷，其位置，大小和符號(hào)如圖示，于是所求區(qū)域內(nèi)電勢(shì)為BAQ+Q+Q-Q-Q-Q123452-Q+Q67

c、一般說明：只要滿足偶數(shù)的情形，都可用鏡象法求解，此時(shí)象電荷的個(gè)數(shù)等于，加上原來的電荷總共有個(gè)，這些點(diǎn)電荷都在過原點(diǎn)電荷與兩導(dǎo)體面的交線垂直面內(nèi)。而且都在此垂面與交線的交點(diǎn)為圓心，交點(diǎn)到原點(diǎn)電荷處的距離為半徑的圓周上。若不滿足該條件，則象電荷在所求區(qū)域內(nèi)，改變了原方程，否掉。

要保證則必須有7個(gè)象電荷，故電勢(shì)為§2.5格林函數(shù)法MethodofGreenfunction

本節(jié)要介紹的是一種用Green定理來求解靜電邊值問題的方法。即給定區(qū)域V內(nèi)電荷分布，和區(qū)域V的邊界面S上各點(diǎn)的電勢(shì)或電勢(shì)法向?qū)?shù)，求區(qū)域V內(nèi)各點(diǎn)的電勢(shì)值。

如果邊界條件是給定S上的電勢(shì)，這類邊值問題稱為第一類邊值問題，也稱狄利克萊邊值問題；如果邊值（界）條件是給定S上的，這類邊值問題稱為第三類邊值問題，也稱諾埃曼邊值問題。若在處有一點(diǎn)電荷Q，則電荷密度可寫為顯然在這里，我們將要討論這些邊值問題是怎樣借助于有關(guān)點(diǎn)電荷的較簡單的邊值問題而得到解決的。1、點(diǎn)電荷密度的函數(shù)表示因?yàn)辄c(diǎn)電荷分布的特點(diǎn)是在點(diǎn)電荷所在處的電荷密度變?yōu)闊o窮大，而在其他地方電荷密度為零。一個(gè)處在點(diǎn)上的單位點(diǎn)電荷，它所激發(fā)的電勢(shì)方程為

對(duì)于單位點(diǎn)電荷而言，Q=1，其密度為假設(shè)有一包含點(diǎn)的某空間區(qū)域V，在V的邊界S上有如下邊界條件2、Green函數(shù)則把滿足邊界條件（4）式的（3）式的解稱為泊松方程在區(qū)域V的第一類或第二類邊值問題的Green函數(shù)。

Green函數(shù)一般用表示，表示單位電荷所在的位置，代表觀察點(diǎn)，在（3）式和（4）式中，把換成G，即Green函數(shù)所滿足的方程和邊界條件為3、Green公式和邊值問題的解

當(dāng)均為連續(xù)，可微的標(biāo)量點(diǎn)函數(shù)，故

在這里，將用Green公式把一般Poisson方程的邊值問題的解用Green函數(shù)聯(lián)系起來。（1）先看Green公式的兩種形式根據(jù)Gauss定理，知道

如果上式中的對(duì)調(diào)，即，同理得到又于是，有式中V為包圍面S所圍的面積，該式稱為Green第一公式。該式稱為Green第二公式

Green第一、第二公式是等價(jià)的。同時(shí)，視方便而選取之。Green公式對(duì)解靜電問題的意義是：在區(qū)域V內(nèi)找一個(gè)待定函數(shù)（為待求），通過這個(gè)公式從已知確定未知。

（2）邊值問題的解給定一個(gè)區(qū)域V，其中給定了將（6）式減去（7）式，得現(xiàn)在，取滿足V給定了S且待求的邊值問題：相應(yīng)的Green函數(shù)問題是：邊界條件：

取滿足代入Green第二公式，有

因?yàn)镚reen公式中積分，微分都是對(duì)變量進(jìn)行的，由于Green函數(shù)關(guān)于源點(diǎn)和場點(diǎn)是對(duì)稱的，即

，為方便起見，把變量換為，故有改為，即得該式左邊第二項(xiàng)為得到a)在區(qū)域V中，任一點(diǎn)的勢(shì)唯一地決定電荷分布及邊界的值故得到討論幾點(diǎn)：這就是用Green函數(shù)求解靜電問題的一種形式解。b)如果所取的Green函數(shù)屬于第一類問題，即這時(shí)則有

在這里要說明一點(diǎn)的是：對(duì)第二類靜電邊值問題不能用第二類齊次邊界的Green函數(shù)，即，因這實(shí)質(zhì)上就是第一類邊值問題的解

c)如果所取的Green函數(shù)屬于第二類問題，即為Green函數(shù)所代表的物理意義是在處存在一個(gè)單位電荷在空間所激發(fā)的電勢(shì)。因此即代表單位電荷在邊界上所激發(fā)的電場，由Gauss定理知道由此可見故式中為在邊界面S上的平均值。從而，Green函數(shù)在邊界上的最簡單的形式是取這樣且有第二類靜電邊值問題的Green函數(shù)解的形式：

在實(shí)際問題中，常遇到這類問題：在所考察的區(qū)域包含有無窮大的邊界面，假如，考察一導(dǎo)體球外的空間電勢(shì)分布問題，這時(shí)所考察的區(qū)域是球面和無窮大曲面間包圍的區(qū)域，所以這時(shí)邊界面S→∞故有于是故得到以上的討論，表面上制裁似乎把靜電邊值問題的解找到了，其實(shí)并作為此，因?yàn)橹挥邪褑栴}的Green函數(shù)找到了，才能對(duì)表達(dá)式（第一類邊值問題的形式解和第二類邊值問題的形式解）作出具體的計(jì)算。實(shí)際求Green函數(shù)本身并不是件容易的事，所以以上解的形式只具有形式解的意義。當(dāng)然，它把唯一性定理更具體地表達(dá)出來了。在這里介紹幾種不同區(qū)域的Green函數(shù)的制作方法。此式稱為外問題的Green函數(shù)解的形式。4、Green函數(shù)的制作其中，代表單位電荷的所在位置（源點(diǎn)坐標(biāo)），代表觀察點(diǎn)坐標(biāo)（場點(diǎn)坐標(biāo)）。現(xiàn)在，證明上述Green函數(shù)是否滿足Green函數(shù)所滿足的微分方程。證明：選電荷所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，即，在球坐（1）無界空間的Green函數(shù)即在無窮大空間中放一個(gè)單位點(diǎn)電荷，求空間某處的電勢(shì)，也就是Green函數(shù)。當(dāng)r=0時(shí)，取一小球面S

包圍著原點(diǎn)，取對(duì)小球體積V積分，即標(biāo)系中而考慮球?qū)ΨQ性，得到

從函數(shù)性質(zhì)可知，保持小體積V的面積為1，從而有故得到這里把與互換，不變，即有這就說明Green函數(shù)具有對(duì)稱性。（2）上半空間的Green函數(shù)即在接地導(dǎo)體平面的上半空間，由于，屬于第一類邊值問題。與微分方程比較，即有

根據(jù)鏡象法得到：yzor2r1這也可看到（3）球外空間的Green函數(shù)即在接地導(dǎo)體示外的空間，由，屬于第一類邊值問題。yzxRR'R0r'αθθ'o根據(jù)鏡象法得其中：

在制作Green函數(shù)時(shí)，必須注意：求Green函數(shù)本身不是很容易的，只有當(dāng)區(qū)域具有簡單幾何形狀時(shí)才能得出解析的解，如果時(shí)，Green函數(shù)法也可以用來解Laplaceequation的邊值問題。5、Green函數(shù)法的應(yīng)用舉例[例]

在無窮大導(dǎo)體平面上有半徑為a的園，園內(nèi)和園外用極狹窄的絕緣環(huán)絕緣,設(shè)園內(nèi)電勢(shì)為V0，導(dǎo)體板其余部分電勢(shì)為零，求上半空間的電勢(shì)。Solution:靜電問題：axyzRP(ρ,φ,z)P'(ρ',φ',z')V0相當(dāng)于無窮大金屬平板旁邊放置單位電荷求電勢(shì)問題此題Green函數(shù)滿足的形式為其Green函數(shù)為故Green函數(shù)為換為柱坐標(biāo)，且有其中：又∵電荷密度，還有故得到因?yàn)榉e分面S是z'=0的無窮大平面，法線沿-z'方向，而中的積分只需對(duì)r≤a積分，即可。由于S上只有園內(nèi)部分電勢(shì)不為零，因此式子在很遠(yuǎn)處，(R2+z2>>a2)的電勢(shì)可以展開成冪級(jí)數(shù)，積分的被積函數(shù)分母展開故注意到cos(φ-φ')對(duì)φ'一個(gè)或數(shù)個(gè)2π周期的積分為零，故

其中§2.6電多極矩

Electricmultipolemoment

本節(jié)所要討論的問題是：在真空中，假若激發(fā)電場的電荷全部集中在一個(gè)很小的區(qū)域（如原子、原子核內(nèi)），而要求的又是空間距場源較遠(yuǎn)的場，這時(shí)可以采用多極矩近似法來解決問題。1、多極矩的概念對(duì)于帶電體系而言，若電荷分布在有限區(qū)域V內(nèi)，在V中任取一點(diǎn)o作為坐標(biāo)原點(diǎn)，區(qū)域V的線度為l，場點(diǎn)P距o點(diǎn)為R。多極矩法是討論R>>l情況下的場分布問題。

以一個(gè)最簡單的例子來說明：假設(shè)V中有一個(gè)點(diǎn)電荷Q，位于（a,o,o）點(diǎn)上，如果對(duì)遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電勢(shì)來說，相當(dāng)于xyzoQa=xyzoQ+xyzoQaxyzoQa-QxyzoQ零級(jí)近似如果作為一級(jí)近似，且xyzQaxyzoQQxyzoa/2-Qo=+zo+xy-Q-QQ+Q如果作二級(jí)近似，同理得到+yxyzoQa=xyzoQxzoQa/2-QxyzoQ+xyzo+Q-Q一級(jí)近似

zQz+xyo-QQxyo-Q-Q-Q-Qa/4Q-QQQQxyzoxyzo-QQQa/2二級(jí)近似

總之，移動(dòng)一個(gè)點(diǎn)電荷到原點(diǎn)，對(duì)場點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)偶極子分布的誤差；移動(dòng)一個(gè)偶極子到原點(diǎn)，對(duì)場點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)電四極子分布的誤差；移動(dòng)一個(gè)電四極子到原點(diǎn)，對(duì)場點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)電八極子分布的誤差；……。z-Qxyo-QQQ-Qa/4+

2、點(diǎn)電荷系的多極展開式

假定V內(nèi)都是點(diǎn)電荷，其中第i個(gè)點(diǎn)電荷qi位于點(diǎn)A處，如圖所示。zxPyAqjqiqkol符合R>>l

的條件，P點(diǎn)的電勢(shì)為令，則相對(duì)于原點(diǎn)，有因?yàn)楸硎驹邳c(diǎn)o處的電荷的電勢(shì)；其中表示在點(diǎn)o處的電四極矩的電勢(shì)。各個(gè)包含cosθ的因式就是級(jí)數(shù)的勒讓德多項(xiàng)式Pn(cosθ)。實(shí)際上，通過這個(gè)多極子的展開式，P點(diǎn)的電勢(shì)可寫為表示在點(diǎn)o處的電偶極矩的電勢(shì)；故可將對(duì)在原點(diǎn)附近作泰勒級(jí)數(shù)展開。zxPyVoρ由于源點(diǎn)到場點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于帶電區(qū)域V的線度，

對(duì)于三元函數(shù)f(x,y,z)，在原點(diǎn)x=0,y=0,z=0鄰域的泰勒級(jí)數(shù)是：

在一元函數(shù)f(x)情況下，在原點(diǎn)x=0鄰域的泰勒級(jí)數(shù)為：如果在x=a鄰域展開，泰勒級(jí)數(shù)是：如果在x=a,y=b,z=c點(diǎn)鄰域展開，且展開式為有了以上泰勒級(jí)數(shù)展開式，把代替f(x)，因r是的函數(shù)，即。把場點(diǎn)固定不變。而讓源點(diǎn)變化，并把在原點(diǎn)o附近展開，且有因?yàn)?/p>

所以令從而得到討論展開式的每項(xiàng)物理意義：

▲展開式的第一項(xiàng)：故得到表示體系總電荷集中于原點(diǎn)的勢(shì)，它作為小區(qū)域帶電系在觀察點(diǎn)的勢(shì)的零級(jí)近似。

▲展開式的第二項(xiàng)：表示體系總偶極子集中于原點(diǎn)處，對(duì)場點(diǎn)產(chǎn)生的勢(shì)，它作為體系在觀察點(diǎn)的勢(shì)的一級(jí)近似。

▲展開式的第三項(xiàng)：表示體系總四極矩集中于原點(diǎn)處，對(duì)場點(diǎn)產(chǎn)生的勢(shì)。它作為體系在觀察點(diǎn)的勢(shì)的二級(jí)近似。綜上所述，展開式表明：一個(gè)小區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布的電荷在遠(yuǎn)處激發(fā)的場等于一系列多極子在遠(yuǎn)處激發(fā)的場的迭加。討論：

（1）如果帶電體系的總電荷為零，計(jì)算電勢(shì)時(shí)必須考慮偶極子，只有對(duì)原點(diǎn)不對(duì)稱的電荷分布才有電偶極矩；如果帶電體系的總電荷為零，總電偶極矩也為零，計(jì)算電勢(shì)時(shí)必須考慮電四極矩。只有對(duì)原點(diǎn)不是球?qū)ΨQ的電荷分布才有電四極矩。

（2）對(duì)電四極矩的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)電四極矩是一個(gè)張量，有9個(gè)分量，即其中

i,j=1,2,3也可以寫成a）因?yàn)?，，。則的9個(gè)分量只有6個(gè)分量獨(dú)立。這里的為單位張量。即

b)

又因?yàn)?/p>

▲下面主要證明電四極矩的9個(gè)分量，只有5個(gè)分量是獨(dú)立的：現(xiàn)在，選擇一個(gè)量乘以故有將此式加到中去，并不改變的值，即重新定義：或者根據(jù)的重新定義式可以看到：由此可見，張量的9個(gè)分量只有5個(gè)分量是獨(dú)立的。zP(x,y,z)-q(o,o,-z′)oq(o,o,z′)lθRr-r+分析：體系可看成小區(qū)域（R>>l

），體系對(duì)原點(diǎn)而言是不對(duì)稱的，總電荷為零，故沒有零級(jí)近似。但是，即（3）幾種典型的多極矩產(chǎn)生的場

a）

總偶極矩不為零，即則分析：體系為小區(qū)域（R>>l

），體系內(nèi)總電荷為零，總偶極矩為零，故沒有零級(jí)近似和一級(jí)近似。由于電荷分布不具有球?qū)ΨQ性，可見有電四極矩存在。故有zP(x,y,z)-qolθRr-r+qq-qba

b）

這里即

分析：體系總電荷為Q，其密度為，由于

積分都是對(duì)橢球進(jìn)行的，為此引入廣義球坐標(biāo)變換：

c)

半軸為a,b,c橢球體內(nèi)均勻帶電，總荷為Q，求它相對(duì)于橢球中心的電偶極矩、電四極矩以及準(zhǔn)確到二級(jí)近似的在遠(yuǎn)處的電勢(shì)，并討論旋轉(zhuǎn)橢球(a=b)和球體(a=b=c)的情況。由其中雅可比行列式為

▲對(duì)于廣義球坐標(biāo)是從原點(diǎn)積分到橢球面上，應(yīng)決定于橢球面：即故得體積元為所以，對(duì)于r'積分區(qū)域：r':0→1.

即是說，這個(gè)變換是把半軸為a,b,c的橢球變成單位球，于是積分區(qū)間為可見

r'=1該電荷系統(tǒng)電偶極矩各分量為

故，這說明均勻帶電橢球相對(duì)于原點(diǎn)的偶極矩為零?！鴮?duì)于電四極矩，由于從而有其中故同理：另外：至此，根據(jù)電勢(shì)的表達(dá)式，即有當(dāng)a=b=c時(shí)，是均勻帶電球體，此時(shí)當(dāng)a=b時(shí)，是回轉(zhuǎn)橢球，此時(shí)，則故4、電荷體系在外電場中的能量設(shè)電荷系建立的電勢(shì)為，另一個(gè)電荷系建立的電勢(shì)為，分布于，分布于總電荷分布為故總電場能量為顯然，該式意義為：第一、二項(xiàng)分別是.單獨(dú)存在時(shí)的能量，常稱為自作用能Wm；第三項(xiàng)表示兩電荷系間相互作用Wi能，因此電荷體系在外電場中的能量為因?yàn)樗栽撌郊礊殡姾审w系在外場中的能量。假設(shè)電荷系分布的區(qū)域V是外場中一個(gè)小區(qū)域，在其中外場的勢(shì)變化不大，取其中一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則可對(duì)在原點(diǎn)附近作泰勒級(jí)數(shù)展開：交換積分次序，故得到則得表示把體系電荷集中于原點(diǎn)時(shí)，一個(gè)點(diǎn)電荷在外場中的能量，作為零級(jí)近似的結(jié)果。其中：展開式第一項(xiàng)表示把體系的電偶極矩集中到原點(diǎn)時(shí)，一個(gè)電矩在外場中的能量，作為一級(jí)近似的結(jié)果。

展開式第二項(xiàng)：表示把體系的電四極矩集中到原點(diǎn)時(shí)，一個(gè)電四極矩在外場中的能量，作為二級(jí)近似的結(jié)果。綜上所述，一個(gè)小區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布的電荷在外場中的能量等于一系列多極子在外場中的能量之和。5、電偶極子在外場中所受到的力和力矩一個(gè)電偶極子在外場中的能量為展開式的第三項(xiàng)：

若偶極矩平移，則從能量守恒得若電偶極子相對(duì)外場有一平移或轉(zhuǎn)動(dòng)，而偶極矩的大小和外場保持不變，則由平移或轉(zhuǎn)動(dòng)引起的系統(tǒng)能量的變化也就等于相互作用能的變化，即而為常矢，即得利用即同理，將偶極矩轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)，力矩作的功為

即得到這樣，且有因?yàn)榈拇笮〔蛔?，僅改變方向，故第三章

靜磁場Staticmagneticfield

穩(wěn)恒電流激發(fā)靜磁場，在穩(wěn)恒電流的條件下，導(dǎo)體內(nèi)及其周圍空間中，也存在靜電場，此時(shí)的電場與電流的關(guān)系為式中

為電導(dǎo)率。但是，靜電場和靜磁場之間并無直接的關(guān)系。

本章所要研究的與靜電問題類似，靜磁問題中最基本的問題是：在給定電流分布（或給定外場）和介質(zhì)分布的情況下，如何求解空間中的磁場分布。

本章主要內(nèi)容穩(wěn)恒電流分布的必要條件穩(wěn)恒電流體系的電場矢勢(shì)及其微分方程磁標(biāo)勢(shì)磁多極矩阿哈羅諾夫—玻姆效應(yīng)

§3.1穩(wěn)恒電流分布的必要條件Essentialconditionofsteadycurrentprofile

電荷在導(dǎo)體內(nèi)穩(wěn)恒流動(dòng)，導(dǎo)體內(nèi)部將會(huì)不斷地產(chǎn)生焦耳熱，即電磁能將不斷地?fù)p耗。根據(jù)能量守恒方程由于穩(wěn)恒條件要求且有當(dāng)存在外來電動(dòng)力場時(shí)，則故故有該式的物理意義是：外來電動(dòng)力場所作的功等于體系內(nèi)焦耳熱損耗和從體系的界面流出去的能量的總和。因此，體系要保持電荷穩(wěn)恒流動(dòng)的必要條件是必須要有外來的電動(dòng)力（即外來電動(dòng)勢(shì)）。

§3.2穩(wěn)恒電流體系的電場Electricfieldofsteadycurrentsystem

根據(jù)Maxwell'sequation,穩(wěn)恒電流及其電場所滿足的方程為：在導(dǎo)體內(nèi)流有電荷的情況下，我們并不知道其電荷分布的情況，所以無法從（1）式求場，只有從（2）式出發(fā)：即因?yàn)?，所以用?biāo)勢(shì)，即，于是有由此可見，假若給定，即可由（3）式求出電勢(shì)。在區(qū)域，（3）式變?yōu)橄鄳?yīng)的邊值關(guān)系為：用表示交界面上的關(guān)系，即（4）、（5）式就是分區(qū)均勻的穩(wěn)恒電流體系的電場所滿足的方程和邊值關(guān)系。若整個(gè)體系的邊界條件已知，即可求出電流的電場。從出發(fā)，可求得導(dǎo)體內(nèi)的電荷分布：其中，穩(wěn)恒電流條件要求：從可看出，均勻?qū)щ婓w系內(nèi)不會(huì)出現(xiàn)電荷堆積，只有當(dāng)導(dǎo)體在沿著電荷流動(dòng)方向不均勻時(shí)，才有可能有電荷存在。因此，對(duì)于分塊均勻的導(dǎo)電體，電荷只可能分布在交界面上，即利用，得到面電荷密度為所以，如果交界面兩側(cè)各自的介電常數(shù)與電導(dǎo)率之比值相等，則交界面上也不存在面電荷密度。

§3.3矢勢(shì)及其微分方程Vectorpotentialanddifferentialequation1、矢勢(shì)穩(wěn)恒電流磁場的基本方程是由此可看出，磁場的特點(diǎn)和電場不同。靜電場是無旋的，即引入標(biāo)勢(shì)來描述。而磁場是有旋的，一般不能引入一個(gè)標(biāo)勢(shì)來描述整個(gè)空間的磁場，但由于磁場是無源的，可以引入一個(gè)矢量來描述它。即若則稱為磁場的矢勢(shì)。根據(jù)，可得到由此可看到矢勢(shì)的物理意義是：

矢勢(shì)沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。必須注意：①只有的環(huán)量才有物理意義，而在每點(diǎn)上的值沒有直接的物理意義。②矢勢(shì)可確定磁場，但由并不能唯一地確定，這是因?yàn)閷?duì)任意函數(shù)。即和對(duì)應(yīng)于同一個(gè)，的這種任意性是由于的環(huán)量才有物理意義的決定的。2、矢勢(shì)微分方程由于，引入，在均勻線性介質(zhì)內(nèi)有，將這些代入到中，即若滿足庫侖規(guī)范條件，得矢勢(shì)的微分方程或者直角分量：這是大家熟知的Pisson'sequation.

由此可見，矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)在靜場時(shí)滿足同一形式的方程，對(duì)此靜電勢(shì)的解?？傻玫绞噶康奶亟猓河纱思吹米髯儞Q，即得這就是畢奧——薩伐爾定律。當(dāng)全空間中電流給定時(shí)，即可計(jì)算磁場，對(duì)于電流和磁場互相制約的問題，則必須解微分方程的邊值問題。3、矢勢(shì)邊值關(guān)系在兩介質(zhì)分界面上，磁場的邊值關(guān)系為對(duì)應(yīng)矢勢(shì)的邊值關(guān)系為其實(shí)，邊值關(guān)系（3）式也可以用簡單的形式代替，即在分界面兩側(cè)取一狹長回路，計(jì)算對(duì)此狹長回路的積分。當(dāng)回路短邊長度趨于零時(shí)（如同時(shí)）。另一方面，由于回路面積趨于零，有因此使得由于只有另外，若取，仿照第一章關(guān)于法向分量邊值關(guān)系的推導(dǎo)，可得（5）、（6）兩式合算，得到即在兩介質(zhì)分界面上，矢勢(shì)是連續(xù)的。4、靜磁場的能量磁場的總能量為在靜磁場中，可以用矢勢(shì)和電流表示總能量，即即有：這里不能把看作為能量密度。因?yàn)槟芰糠植加诖艌鲋校粌H僅存在于電流分布區(qū)域內(nèi)。另外，能量式中的是由電流激發(fā)的。如果考慮兩個(gè)獨(dú)立電流系之間的相互作用能，則設(shè)電流系建立矢勢(shì)為，另一電流系建立矢勢(shì)為，分布于，分布于，若電流分布為磁場總能量為由此可見，上式右邊第一、二項(xiàng)是電流系各自的自能，其相互作用能為因?yàn)槠渲校核栽搩墒较嗟?，因此電流在外場中的相互作用能量?、舉例討論用計(jì)算[例1]無窮長直導(dǎo)線載電流I，求空間的矢勢(shì)和磁場。Solution:

取導(dǎo)線沿z軸，設(shè)p點(diǎn)到導(dǎo)線的垂直距離為R，電流元Idz到p點(diǎn)距離為ozdzRP↑I因此得到積分結(jié)果是無窮大（發(fā)散的）。計(jì)算兩點(diǎn)的矢勢(shì)差值可以免除發(fā)散，若取R0點(diǎn)的矢勢(shì)值為零，則每項(xiàng)相乘后，再二次項(xiàng)展開得亦即故0取的旋度，得到0結(jié)果與電磁學(xué)求解一致。[例2]半徑為a的導(dǎo)線園環(huán)載電流為I，求空間的矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度。Solution:

首先求解矢勢(shì)zyxP(

,o,z)Rraoθφ'(a,φ',o)由于問題具有軸對(duì)稱性，可以把觀察點(diǎn)選在xz平面上，這樣的好處是φ'=0，故只與r，θ有關(guān)。其中即得又∵園電流環(huán)在xy平面上，故，于是得到因此得到：作變換：令這樣于是有令，則有考慮一般情況，這里的y方向?qū)嶋H上就是方向，因此上式可改為：令這里Κ(k),Ε(k)分別為第一、第二類橢園積分。從而得到故磁感應(yīng)強(qiáng)度的嚴(yán)格表達(dá)式為討論：對(duì)于遠(yuǎn)場，由于R>>a，且有當(dāng)R>>a情況下，上式分母展開為：于是得到若R>>a，且于是磁感應(yīng)強(qiáng)度為可見，對(duì)于一個(gè)園電流環(huán)，在遠(yuǎn)處所激發(fā)的磁場，相當(dāng)于一個(gè)磁矩為的磁偶極子激發(fā)的場。

§3.4磁標(biāo)勢(shì)Magneticscalarpotential

本節(jié)所研究的問題是避開矢量求磁感應(yīng)強(qiáng)度的不便理由。類比于靜電場，引入磁標(biāo)勢(shì)。然后討論所滿足的微分方程，繼而討論靜磁問題的唯一性定理。1、磁標(biāo)勢(shì)引入的條件

（1）所考慮的空間區(qū)域沒有傳導(dǎo)電流根據(jù)靜磁場的Maxwell'sequation:若考慮傳導(dǎo)電流為零的空間，則一定有于是可以引入標(biāo)勢(shì)，從而有這與靜電學(xué)中完全類似，故稱為磁標(biāo)勢(shì)