2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題第Ⅰ卷（共60分）一、單選題（共8小題，每小題5分，每小題只有一個選項符合題意）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．將化為對數(shù)式正確的是（

）A． B． C． D．3．函數(shù)（，且）的圖象可能是（）A．

B．

C．

D．

4．已知函數(shù)，則在區(qū)間上（

）A．恒成立 B．有最小值C．單調(diào)遞增 D．單調(diào)遞減5．已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當時，，則當時，的解析式為（

）A． B． C． D．以上都不對6．已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．在上定義新運算，若存在實數(shù)，使得成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，設(shè)，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．二、多選題（共4小題，每小題有多個選項符合題意，全部選對得5分，部分選對得2分，有錯誤選項得0分）9．已知，則的取值可以為（

）A．1 B． C．3 D．410．下列說法正確的是（

）A．“”是“”的充分不必要條件B．命題“，”的否定是“，”C．若，則D．若關(guān)于點中心對稱，則11．德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其命名的函數(shù)，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于，下列說法正確的是（

）A． B．的定義城為C．， D．為偶函數(shù)12．已知函數(shù)的定義域為D，若存在區(qū)間[m，n]?D使得：（1）在上是單調(diào)函數(shù)；（2）在上的值域是，則稱區(qū)間為函數(shù)的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有（）A． B．C． D．第Ⅱ卷（共90分）三、填空題（共4小題，每小題5分）13．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為.14．已知函數(shù)，且該函數(shù)的值域為，則的值為.15．設(shè)函數(shù)，則．16．哈爾濱某商場舉辦優(yōu)惠酬賓贈券活動，購買百元以上單件商品可以使用優(yōu)惠券一張，并且每天購物只能用一張優(yōu)惠券.一名顧客得到三張優(yōu)惠券，三張優(yōu)惠券的具體優(yōu)惠方式如下：優(yōu)惠券1：若標價超過100元，則付款時減免標價的10%；優(yōu)惠券2：若標價超過100元，則付款時減免20元；優(yōu)惠券3：若標價超過100元，則超過100元的部分減免18%.如果顧客購買商品后，使用優(yōu)惠券1比使用優(yōu)惠券2、優(yōu)惠券3減免的都多，那么你建議他購買的商品的標價可以是元.四、解答題（共6小題，總計70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．已知集合，集合；(1)若，求與；(2)若是的充分不必要條件，求的取值范圍.18．已知函數(shù)且，.(1)求的解析式；(2)證明在上單調(diào)遞增.19．已知定義在上的函數(shù)滿足、，；，.(1)求的值；(2)證明是上的增函數(shù)；(3)若，求的取值范圍.20．設(shè)函數(shù)，.(1)解關(guān)于x的不等式；(2)已知時，恒成立，求a的取值范圍.21．為減少空氣污染，某市鼓勵居民用電（減少粉塵），并采用分段計費的方法計算電費．當每個家庭月用電量不超過100千瓦時時，按每千瓦時0.57元計算；當月用電量超過100千瓦時時，其中的100千瓦時仍按原標準收費，超過的部分按每千瓦時0.5元計算．（1）設(shè)月用電x千瓦時時，應(yīng)交電費y元，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若某家庭一月份用電120千瓦時，則應(yīng)交電費多少元？（3）若某家庭第一季度繳納電費的情況如下表：月份1月2月3月合計交費金額（元）766345.6184.6則這個家庭第一季度共用電多少千瓦時？22．已知指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為6；(1)求的值；(2)求在上的最大值，井將結(jié)果表示成一個關(guān)于的分段函數(shù)；(3)設(shè)，求的值.1．C【分析】利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為集合，，則.故選：C.2．B【分析】根據(jù)對數(shù)的定義判斷．【詳解】化為對數(shù)式為，故選：B．3．D【分析】分別討論或時，圖象與y軸的交點的縱坐標，即可得出答案.【詳解】A，B選項中，，于是，所以圖象與y軸的交點的縱坐標應(yīng)在之間，顯然A，B的圖象均不正確；C，D選項中，，于是，圖象與y軸的交點的縱坐標應(yīng)在小于，所以D項符合.故選：D4．D【分析】在區(qū)間上，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分析即得解.【詳解】在區(qū)間上，，故在區(qū)間上，，沒有最小值，單調(diào)遞減．故選：D．5．A【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)求時的函數(shù)解析式即可.【詳解】設(shè)，則，又.故選：A6．C【分析】求出冪函數(shù)f(x)的解析式，再通過導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)的單調(diào)性，從而求得最值.【詳解】設(shè)，∵冪函數(shù)的圖象過點，∴∴，∴，∴，當且僅當“”時取等號，∴函數(shù)·在區(qū)間上的最小值為5．故選：C．7．A【分析】由已知可得存在實數(shù)，使得，則，求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，即可得出實數(shù)的取值范圍，即可得解.【詳解】由已知，存在實數(shù)，使得，則，因為二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，所以，，故實數(shù)的最大值為.故選：A.8．A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性判斷.【詳解】∵函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，∴，，，，∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，，∴，即.故選：A.9．BC【分析】由不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為，兩式相加可得，所以，故選：BC．10．BCD【分析】利用充分條件、必要條件的定義結(jié)合特殊值法可判斷A選項；利用存在量詞命題的否定可判斷B選項；利用作差法可判斷C選項；利用函數(shù)對稱性的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若，如取，，則，但，即“”“”，若，如取，，則，但，即“”“”，所以，“”是“”的既不充分也不必要條件，A錯；對于B選項，命題“，”的否定是“，”，B對；對于C選項，若，則，，則，所以，，C對；對于D選項，若關(guān)于點中心對稱，則，D對.故選：BCD.11．BCD【分析】根據(jù)新函數(shù)定義，結(jié)合各項描述判斷正誤即可.【詳解】由，故，且的定義城為，A錯、B對；對于，或0，故，C對；由于正負有理數(shù)、無理數(shù)在原點兩側(cè)對稱分布，所以對應(yīng)關(guān)于y軸對稱，D對.故選：BCD12．ABD【分析】根據(jù)定義分別討論是否滿足“倍值區(qū)間”的兩個條件，即可得出結(jié)論.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”，則滿足f（x）在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，其次有或，依次分析選項：對于A，，在區(qū)間上，是增函數(shù)，其值域為，則區(qū)間是函數(shù)的“倍值區(qū)間”，對于B，f（x）＝，在區(qū)間上，是減函數(shù)，其值域為，則區(qū)間是函數(shù)的“倍值區(qū)間”，對于C，f（x）＝x+，當x＞0時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，若函數(shù)存在倍值區(qū)間，則有或，對于，有，解可得m＝n＝1，不符合題意，對于，，變形可得且，必有，不符合題意，故不存在倍值區(qū)間，C錯誤.對于D，f（x）＝，在區(qū)間上，有，則是增函數(shù)，且其值域為，則區(qū)間是函數(shù)的“倍值區(qū)間”，故選：ABD．13．【分析】利用給定的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解作答.【詳解】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，依題意得：，所以實數(shù)的取值范圍為.故14．3【分析】由題意可得，且在上遞減，上遞增，然后由可求得答案.【詳解】因為，當且僅當時取等號，所以若，的值域為，則，因為的圖象是開口向上的拋物線，所以在上遞減，上遞增，因為，所以，即，解得或（舍去），故315．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】，.故16．201.（答案不唯一，在開區(qū)間中任取一個實數(shù)作為答案即可）【分析】設(shè)購買的商品的標價為元，根據(jù)題意列出不等式即可得到答案．【詳解】設(shè)購買的商品的標價為元，，使用優(yōu)惠券1時減免元；使用優(yōu)惠券2時減免20元；使用優(yōu)惠券3時減免元，由題意，且，解得．故201.（答案不唯一，在開區(qū)間中任取一個實數(shù)作為答案即可）17．(1)，或(2)【分析】（1）解不等式得集合，再由交，并，補集的定義即可求解；（2）若是的充分不必要條件，則，列出不等式求解即可.【詳解】（1），當時，，所以；又因為或，或；（2）因為是的充分不必要條件，所以，所以，解得.18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由函數(shù)值列方程組求解；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明．【詳解】（1）因為，，所以，解得，所以（2），，*因為，所以，所以又因為，所以，即所以在上單調(diào)遞增.（*：也可寫成：，因為，，所以，即）19．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）在等式中，令，可求得的值；（2）、，，可得出，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義證證明即可；（3）由（2）中的結(jié)論可得出，解之即可.【詳解】（1）解：令，得到，解得.（2）解：、，，則，所以，，則，即，所以是上的增函數(shù).（3）解：因為是上的增函數(shù)，且，所以，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.20．(1)答案見解析(2)【分析】（1）由的解的大小分類討論可得；（2）由時，可得，為此利用軸動定區(qū)間法分類討論求最小值．【詳解】（1）令，解得，①當時，，開口朝上，；②當時，，開口朝上，不等式無解；③當時，，開口朝上，；綜上，當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為（2）在上恒成立，二次函數(shù)對稱軸是，1.，解得2.，解得

3.，無解綜上，21．（1）；（2）67元；（3）第一季度共用電330千瓦時.（1）根據(jù)“階梯電價”方法計算電價，可得分段函數(shù)；（2）由代入，可得結(jié)論；（3）分別計算3個月用電，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）由題意得，當時，；當時，．所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．（2）已知，結(jié)合（1）得，即應(yīng)交電費67元．（3）1月用電：因為，所以，由得；2月用電：因為，所以，由得；3月用電：因為，所以，由得．所以（千瓦時），即第一季度共用電330千瓦時本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查分段函數(shù)，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．22．(1)(2)(3)【分析】（1）分、兩種情況討論，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，結(jié)合已知條件可求出的值；（2）令，則，設(shè)，對實數(shù)的取值進行分類討論，分析二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可得出的表達式；（3