長春市十一高中2021-2022學年度高二上學期第二學程考試數學試題第Ⅰ卷（共60分）一、單項選擇題：本題共小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.直線與圓的位置關系是A.相切 B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心 D.相離2.已知橢圓的短軸長為6，離心率為，，為橢圓的左右焦點，為橢圓上的動點，則面積的最大值為A.9 B.12 C.15 D.203.已知，，若，則與的值可以是A.， B.， C.， D.，A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.如圖是拋物線形拱橋，現拱頂離水面，水面寬.若水面下降，則水面寬是A.B.C.D.6.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點.若，，，則下列向量中與相等的向量是A.B.C.D.7.設，是橢圓：（）的左，右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為 A. B. C. D.8.光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經過橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出.如圖①，一個光學裝置由有公共焦點、的橢圓和雙曲線構成，現一光線從左焦點發(fā)出，依次經與反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點發(fā)出，經兩次反射后又回到了點，歷時秒.若，則與的離心率之比為 A. B. C. D.9.已知點、動點滿足，則點的軌跡為A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線10.拋物線（）的焦點為，已知點，為拋物線上的兩個動點，且滿足.過弦的中點作拋物線準線的垂線，垂足為，則的最大值為A. B.1 C. D.2二、多項選擇題：本題共小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，可以有多個選項是符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.11.某宇宙飛船的運行軌道是以地球中心F為焦點的橢圓（地球看作是球體），測得近地點A距離地面mkm，遠地點B距離地面nkm，地球半徑為Rkm，關于這個橢圓有下列說法，正確的有A.長軸長為B.焦距為C.短軸長為D.離心率12.已知F為拋物線C：（）的焦點，下列結論正確的是A.拋物線的焦點到其準線的距離為.B.已知拋物線C與直線l：在第一、四象限分別交于A，B兩點，若，則.C.過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，則四邊形面積的最小值為.D.若過焦點F的直線l與拋物線C相交于M，N兩點，過點M，N分別作拋物線C的切線，，切線與相交于點P，則點P在定直線上.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.點是圓上的動點，則的最大值是____________.14.如圖，等腰梯形中，，.一雙曲線經過三點，且以為焦點，則該雙曲線離心率是_________.15.若向量，，且與的夾角的余弦值為，則________.16.過雙曲線的左焦點作某一漸近線的垂線，分別與兩漸近線相交于兩點，若，則雙曲線的離心率為__________.三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知圓：.問在圓上是否存在兩點、關于直線對稱，且以為直徑的圓經過原點？若存在，寫出直線的方程；若不存在，說明理由.18.（12分）某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米.要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀（如圖）.（1）若最大拱高為6米，則隧道設計的拱寬是多少米？（2）若最大拱高不小于6米，則應如何設計拱高和拱寬，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：橢圓的面積公式為，本題結果拱高和拱寬精確到0.01米，土方量精確到1米3，，）19.（12分）過雙曲線的右焦點，傾斜角為30°的直線交雙曲線于，兩點，為坐標原點，為左焦點.（1）求；（2）求的面積.20.（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為棱中點. （1）求證：平面； （2）若為中點，，試確定的值，使二面角的余弦值為.21.（12分）已知點，直線：，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且.（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知圓過定點，圓心在軌跡上運動，且圓與軸交于、兩點，設，，求的最大值.22.（12分）橢圓的左右焦點分別為，且離心率為，