2023年河南省if河市普通高校對口單招高

等數(shù)學一自考真題(含答案)

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題（20題）

1lim（l-x）；等于（

B.e-1

C.-e-l

D.-e

微分方程y'u2+tan之的通解為人sin—

2.工工A.工

sin—=J-C

B.工

sin—=CJ

C.工

sin———k.jc

D.丁

若/(工)為連續(xù)的奇函數(shù)，則「/(x)dx=

3.J

A.OB.2C.2f(-l)D.2f(l)

4.

下列廣義積分收斂的是

r+8i

A.義出

J]77

c.『異D.J4XAX

設區(qū)域。={(x,y)10WxW1,0WyW2},則Jjdxdy=

5.0

A.A.4B.3C.2D.l

6.單位長度扭轉角0與下列哪項無關()。

A?桿的長度B.扭矩C.材料性質D.截面幾何性質

7設小)為可導函數(shù).則【「(x)*'為()

A.f(x)

B.f(x)+C

C.f(x)

D.f7(x)+C

8.函數(shù)y=sinx在區(qū)間［0,同上滿足羅爾定理的看等于().

A.A.OB.7i/4C.K/2D.TI

9.若用x)dx=F(x)+C,則Jf(2x)dx等于().

A.A.2F(2x)+CB.F(2x)+CC.F(x)+CD.F(2x)/2+C

設y=lnx。則y=

10.)

C—?

D.4

11.

當時，.則在區(qū)間(q,b)內曲線段y=/(x)的圖形

A.沿x軸正向下降且向上凹B.沿x軸正向下降且向下凹

C.沿x軸正向上升且向上凹D.沿x軸正向上升且向下凹

12.設函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)可導f(x)>0,f(a)f(b)<0,則f(x)在(a,b)

內零點的個數(shù)為

A.3B.2C.lD.0

13.

若j/(x)di=F(.r)+C,則］/'(2*)心等于().

A.2F(2x)+CB.F(2.v)+C

C.F(x)+CD,；F(2x)+C

“m----=

14.'()

A.A.1/2B.lC.2D.e

J

函數(shù)y-1)jy：-ln(.r+1)-ln(J-D為同?函數(shù)的范圉為.

A.(—8.7)U(1，+8)

R(g,-1)

<.(),--)

15I).(—1,十c)

16.

設區(qū)域。是由直線y=x,x=2,y=1圍成的封閉平面圖形，則二重積分y)dxdy=

22

A.J(dxj/(x,y)dyB.J：dxJ：/(x,y)dy

C.rdyj；/(x,y)dxD.(切：/區(qū)加

設函數(shù)八八在「“?〃二I：連續(xù)/L/'⑷?fSXS.則必定存在一點托?上⑹便得

A./(^?0

R/(eXO

C./(f)=O

D./(e)=O

18.設y=lnx,則y〃等于().

A.l/x

B.l/x2

C.-l/x

D.-l/x2

設有直線-=^=—1則該直線必定()

04-3

A.過原點且垂直于x軸

B.過原點且平行于x軸

C.不過原點，但垂直于x軸

19.D.不過原點，且不平行于x軸

20.“目標的可接受性”可以用（）來解釋。

A.公平理論B.雙因素理論C.期望理論D.強化理論

二、填空題（20題）

一斤）的單調遞減區(qū)間是

函數(shù)F（J）=（2d〃z>0）

21.

22.

設X<（），且/（工）在點，=0處連續(xù)，則a=______.

a,x>0

y=-----

24.設1+x,貝!|y，=

25.設-V，貝＜2J)

26.

設當zr0時,f(z)=%業(yè),F(z)在點X=0處連續(xù)，當工#0時，F(xiàn)(z)=

X

/(H),則F(0)=.

1

y=----------

”設函數(shù)〔+8$"則六.

//?

28.JE.二---------------

29.

,+8p

當P______________時，反常積分￡—dz收斂.

J1［十1

箝(dx￡dy=-------------

函數(shù)-e/是f(x)的一個原函數(shù)，則f(x)=

32.

若「/(，仙=2e”-2,K'J/(x)=_________.

33.兀

34.

設/(3=-D=e1,貝Ij/(x>=

35.

+=e.則A=

36.設區(qū)域D：x2+y2<a2,x>0,

37.曲線y=9+2*+3的拐點坐標是

38.

設y=/+，+3，則/

9X

嘉級數(shù)k-1尸1J的收斂半徑為

39.*-12

liml1+—

40?"-812ni

三、計算題(20題)

4］計算jairsinxdx.

42.設拋物線Y=Lx2與x軸的交點為A、B,在拋物線與x軸所圍成的

平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所

示).設梯形上底CD長為2x,面積為

S(x).

⑴寫出S(x)的表達式;

⑵求S(x)的最大值.

圖2-1

43.證明：當1時.%>1+ln工

2

44.求函數(shù)人，）=/匚一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點.

45.研究級數(shù)工（T廠'5的收斂性（即何時絕對收斂，何時條件收斂，何

時發(fā)散，其中常數(shù)a>0.

46.設R（x，y）是由方程x'y—所確定的隱函虬求捻

47.計算］中也

48.求微分方程y”-4y，+4y=e"x的通解.

49.

zz

設區(qū)域D為:丁+;/44,1y20,計算J</r+ydxdy.

D

50.求微分方程'"+3Y+21。的通解.

51.求函數(shù)y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點（1,1）處的切線1的

方程.

52.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e°25P,當p=10時，若價格上漲

1%,需求量增(減)百分之幾?

53.當x—。時f(x)與sin2x是等價無窮小量，貝!j

求解級數(shù)￡2"x?"的收斂區(qū)間(不考慮端點).

54.

55.計算依x

56.將f(x)=e-2X展開為x的寨級數(shù).

57.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為15x2+y2W4,x>0,y>0,

其面密度

u(x,y)=2+y2,求該薄板的質量m.

58.求-階線性微分方程滿足初始條件>I…=0的特解?

59.求曲線、=++2在點(1,3)處的切線方程.

60.求函數(shù)f(x)=x3-3x+l的單調區(qū)間和極值.

四、解答題(10題)

61.求直線y=2x+l與直線x=0,x=l和y=0所圍平面圖形的面積，并求

該圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積。

求極限1淅上巨一.

62.ln(l+x)

63.將f(x)=sin3x展開為x的寨級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間。

64.

證明;jx/(siaz)dx=yj/(sinx)dx.

65.

求Jxlnxdx.

66.

薄板在my面上所占區(qū)域為已知薄板在任一點(工,八

處的面密度為p(z.y)=+y3求薄板的質量m.

67.

設Z是由尸+*—？=0瑞定的隱函數(shù)，求蔡，色和署.

68.已知f(x)在［a,b］上連續(xù)且f(a)=f(b),在(a,b)內f”(x)存在，連接

A(a,f(a)),B(b,f(b))兩點的直線交曲線y=f(x)于C(c,f(c))且aVcV

b,試證在(a,b)內至少有一點自使得打(q)=o.

69.

求函數(shù)工)=(x-5)"的極值.

70.求微分方程y+y-2y=0的通解.

五、高等數(shù)學(0題)

71.設

f(t)-limf/14L)

-I〃求df(t)

六、解答題(0題)

72.

已知廣一'：皿求'=作時空的值.

\y=ecost3ax

參考答案

1.B所給極限為重要極限公式形式.可知呵(lT#=e-.故選B.

設％=u.y=JCU,y'=M代入有x=tan”，

所以也幺=—Jn|sinw|=In|jr|+InC,sinu=Cr.

tanux

原方程的通解為sin*=Cr.

2.C工

3.C

本題考查了定積分的性質的知識點。

因為/(工)是連續(xù)的號函數(shù)，故J：/(z)<Lr=0.

4.C

5.C

設JJdxdy=/,其中4為區(qū)域。的面積.因為。為長方形，面積

D

4=2,因此JJdxdy=2,所以選C.

D

6.A

7.A由不定積分的性質“先積分后求導，作用抵消”可知應選A.

8.C

本題考查的知識點為羅爾定理的條件與結論.

由于y=sinx在［0,兀］上連續(xù)，在(0,九)內可導，且y|x=0=0=y|x=7t,可

知丫=片1?在［0,兀］上滿足羅爾定理，因此必定存在自￡(0,n),使

^=y

y1x=g=cosx|x=^=cosg=0,從而應有.

故知應選C.

9.D

本題考查的知識點為不定積分的第一換元積分法(湊微分法).

由題設知Jf(x)dx=F(x)+C,因此

,(2、)d"2”)d(2”)

=yF(2x)+C,

可知應選D.

10.D

11.A解析

由于在(。,協(xié)內，'(幻<0,可知f(x)單調減少.由于#x)>0,可

知曲線丫=共外在(a,母內上凹，因此選A.

12.C本題考查了零點存在定理的知識點。由零點存在定理可知,f(x)在

(a,b)上必有零點，且函數(shù)是單調函數(shù)，故其在(a,b)上只有一個零點。

13.D

本題考查的知識點為不定積分的第一換元積分法(漆儂方生

由題設知jf(x)dx=F(x)+C.因此

p-(2x)d.r=

=yF(2.v)+J

可知應選I).

14.C

［解析］lim絲包=lim上=2.因此選C.

**X*7x

15.C

16.D解

積分區(qū)域如圖中陰影部分所示.

?？梢员硎緸?/p>

1WXW2,IWyWx或lWyW2,yWxW2

對照所給選項，知應選D.

17.D

18.D由于Y=lnx,可得知y'=jy"=-R,因此選D.

19.A解析：

直統(tǒng)顯然過(0.0.0)點，方向向餐為？=；0,4,-3；.x軸的正向方向向量為v=0,0(.

/-^=1x0+4xO+(-3)xO=0=>/±1?.挽與x軸垂直.故應選兒

20.C解析：目標的可接受性可用期望理論來理解。

21.

由F(x)=J：(2-萬)d”工>0),則Fz(x)=2-

令F'(JT)=0,得/7=《，即1=J.故

0Vhv4?當OVhV】-時.F'Q)<0,F(x)單調遞減.

44

22.

【解題指導】本題考查的知識點為函數(shù)連續(xù)性的概念.

判定函數(shù)在一點處的連續(xù)性,通?？疾榈闹R點為連續(xù)性的定義.如果所給點為函數(shù)的分段

點，在分段點兩側函數(shù)表達式不同時，應利用左連續(xù)與右連續(xù)來判定，或利用左極限與右極限來

判定.

由于=lim(x2+%)=0,

8-00a-0"

limf(x)=lima=a,

/(O)=%可知當/(“)在欠:0處連續(xù)性，必有

lim/(x)=lim/(x)=/(0).

■T>-M-0+

從而。=0.

23.

sinx-xcosx

sinx

本題考查的知識點為導數(shù)的四則運算.

X

y=">

?>nx

,xf(sin.r)-x(sinx)?inx-xcosx

v-----------------------；----------=----------；--------.

(sinx)Jsinx

24.

(l+x尸

本題考查的知識點為二元函數(shù)的偏導數(shù).

dz

=—+2x.

y

X

Z--+x=1+4=5.

解法i由于y,可知dx

2

Z=x+x

解法2當y=l時，產?,因此

dz

=1+2x

dx

dz

=1+4=5.

25.55解析:dx

26.2

28.

-1,.,

—ln（4-；r"）+C

本題考查的知識點為不定積分的湊微分法.

d(4-x1,,

-In(4-?)+C.

4-x2

29.<0

本題考查了反常積分的斂散性（比較判別法）的知識點。

言:<Lr收斂，必有;><0,因如果立》0,則當x>1時?［占>旺"而［告］小發(fā)

散，故p<0時，

［解析］lim-lim—=lim-=0.

.TOxr-*0X2

u

［解析1px^dy=x|*>|*dx=l.

31.

32.

e-x

6eJ*

|解析I由題設兩端求導：/(x)=6eu.

33.

34.3eP"D+C3e?(H1)+C

1

35.

3232

~ira~ira

36.22解析：本題考查的知識點為二重積分的性質.

ITsdxdy=3ITdrvdy至°2,3d才dy=-^-ora

〃〃表示所給二重積分值等于積分區(qū)域D面積的3倍，區(qū)域D是半徑為a的半國，面積為工”'因此可

(0.3)4

［解析］由于y=尸+2*+3?/=3工2+2,/"=6x

令)產=0,得x=0.當x<0時，/<0；當x>0時，/>0.

又由函數(shù)表達式可知,

當x=0時，y=3.因此，點(0?3)為曲^的拐點.

38.

本題考查的知識點為導數(shù)運算.

y=+C”+3,

>'=3工)+2孫

3?「+2?I=5.

40.

本題考查的知識點為重要極限公式.

n—?\ZM/[n—8\Z.TIJJ

41.

設u=arcsinx^v9=1，則

]-x

arcsinxdx=xarcsinx-

=zarcsinx+*^-J(1-x2)-7d(1"x2)

=xarcsinx+-/l-x2+C.

42.

由「"r?解得X=±l,則4、B兩點坐標分別為

|y=O

A(?I.O)和8(1.0)JB=2,

(1)S(x)=y(2+2x)(l-*2)=(l+x)(l-x2).

(2)5'(工)=-3/-2工+1,令5'(4=0,即(3*-1)("1)=0.得3=},七=-l(舍去).

S"(x)!.J(-6X-2)|「=-4<0,則S圖嶗為極大值.根據(jù)實際問題,S夸為最大值.

43.

設/(x)=*-l-lnx,則的定義域為(0,+8).

/*(*)=1--.

V

令y，=0得*=1.

當X>1時/'(M)=l-y>0.可知單調增加.

由于〃l)=o,可知當X>1時J(x)y(1)=O,從而x-l-lnx>o.即

I4-Inr.

44.

f(x)的定義域為(-8,0)U(0,+8).

/*(x)=2x+4/"(*)=2-4.

Tr

令/'(z)=0得x=-l;令廣(x)=0,得x=：E

列表:

X(-?.-1)-1(-1.0)0(0⑶(5.+8)

-.

y’0+

y"+-0

/（-D?3拐點

y\uZu沒定義ZnZu

為極小值曲,0）

函數(shù)/（X）的單調減少區(qū)間為（-8,-1）；*調增加區(qū)間為（-1.0）0（0,+8）；極小值為

/（-D=3.

曲線y=/（x）的凹區(qū)間為（-8.0）。（蘇.+8）：凸區(qū)間為（0.力）：拐點為（言.0）.

說明

由于，（工）在點M=0處沒有定義.因此/'（X）的單調增加區(qū)間為（-I.O）U（O.+8）,不

能寫為（0.+8）!

45.

【解析】記u.=（-i尸二.則“二,從而知yu.=y

??為P級數(shù)，且

nn太1n

當a>i時，ye收斂，因此￡（-1）3口絕對收斂.

■?|門H

當Ovawl時，V4發(fā)散.注意到此時f（-1）-'4為交錯您

卜數(shù)，

.,11

>T------=lu.,,1,

na（rt+1）

lim11=lim—=0,

?-*?????n

■.

由萊布尼茨定理可知當0<aWl時，V（-1）”?一收斂,故此時「2（-1）■"士條件收斂

?>?n

46.

利用隱函數(shù)求偏導數(shù)公式，記

F（x.v.s）=x1+y，-e*.

則

F：=2x,F：=-J

—dz二—―F-：二—2x.

47.

|l±Jl!_?dx=jldx+

=Inx+pnxdlnx=Inx+—(Inx)2+C.

或(I+Inx小=/(1+Inz)dlnx=((1+Inx)d(1+In幻

=1+Inx)2+C.

48.解：原方程對應的齊次方程為y”-4y，+4y=0,

特征方程及特征根為尸-4，+4=0,人2=2,

齊次方程的通解為y=（G+G）e".

在自由項/（x）=e""中,a=-2不是特征根，所以設/=人々）代入原方程,書

.1

/，=16，

故原方程通解為y=（G+G）e"+±e".

Io

49.

解利用極坐標，區(qū)域D可以表示為

04。&兀，0《廠&2,

+y2Axdy=|/jr^dr

D

=￡PI>

8乃_8

dd

3=可兀

解利用極坐標，區(qū)域D可以表示為

04夕&兀，0&7*&2,

=J：W=8

50.

【解析】特征方程為r'+3r+2=O.

特征根

方程的通解為

51.

y=x-lnX的定義域為（0,+8）,y'=

當x=l時.y'=0;當x>l時'>0,函數(shù)y=x-lnx單調增加.

當0<工<1時,y'<0,函數(shù)y=x-lnx單調減少.

曲線y=x-ln*在點（1,1）處的切線方程為y~l=0.

100e2S,.(-0.25)

0.25/

52.需求規(guī)律為Q=100ep225P川。）2.5???當P=10時

價格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep225p,

100e"”?(一0.25)_ni

100el,t,*0-2"

10)，2.5???當P=10時，價格上漲1%需求量減少

2.5%

53.由等價無窮小量的定義可知！i嫁"

11

由2|X2|<I可解得

故所給級數(shù)收斂區(qū)間為

卜力9

55.

【解析】令I=，?則”=J,dx=2l市.當4=0時，1=0;當人;1時，，二1

J</*dx=J2te(dz

=2(fe[°-JeU)=2(e-e|')=2.

56.

【解析】由于￡彳(-8<*<+8),可得

Mn：

-

e口.=V>-I--》:—)=[V)-(---l-)-:-2--V-((--?<x<+?).

n!Mn!

57.由二重積分物理意義知

1

m=J^(x,y)d(r=J(x!+y)dxdy=JdG^r'dr=

58.由一階線性微分方程通解公式有

>=+C)

=戶(卜小〃+C)

=?'"b.e-u,dx+C)=x(jx?-1-dx+cj=x(x+C),

將rI…=0代人上式,可得C=-l,因此所求特解為y=--x.

59.曲線方程為'=3+2,點(1,3)在曲線上.

'=7".」-2’因此所求曲線方程為-3=-2(小),或寫為2x+y-5=0.

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)F(xO)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(xO,fxO))處存在切線，且切線的斜率為F(xO).切線方程為

y-f(x9)=f'(x9)(x-xt).

如果/'(%)射0,則曲線)=/(幻在點(&/(%))處的法線方程為

"(%)=之~y-

如果/?'(以)=0.則v="x.)為曲線T=/(X)在點(心.“心))處的水平切線.

60.函數(shù)的定義域為

(-?,+?),f'(x)=3X!-3.

令/''(*)=0,得駐點即=-1.工,=1.列塞得

X(-8,-|)-1(-I.D1(??+8)

/,(>)0-0

/(-1)=3

A*)Z

為極大值為極小值

函數(shù)/(x)的單調增區(qū)間為(-8).

函數(shù)/(X)的單調城區(qū)間為

"-1)=3為極大佰為極小侑.

注意

如果將(-8寫成(-8.-1),格”.+8)寫成(1.+8),將寫成(-1J)也對.

61.解：設所圍圖形面積為A,則

A=J：(2x+1)dr=(x2+=2.

設旋轉體體積為匕,則

匕t(2K+l?dx=x「(4/+4x+l)dx

*0J。

r9w十寸凈.

當XTO時，ln(l+x)~x?l-ex------?

..1-c-x

hm----------=lirm——=-lt?

62.i!n(1+x)ix

當XTO時，ln(l+x)~x?l-eM------?

I-c"一JC

lim-----------=lim——=-l.

*fln(1+x)“ax

63.

由于?sinx=Z(-D"-8VX<4<*>,

ir=O(2〃+D!’

可知sin3x=￡(-D"(3X產“_y(_J)(,Bi?"1

⑵+D「占~(2/1+1)!-?x><X<+?.

?*0

64.

解令工=n—則

/(sinjr)=/(sin(jt-i))=f(sin￡).

當z=0時,，==久時」=0.

Jx/(sinx)dx="-J(rr-，)f(sin￡)dz

=[(A—力/(sinr)dz

=it/(sin/)dz-z/(sin/)dr

J0J0

由于x/(sinx)dx=tf(sin￡)d，，

J0J0

可得Jx/(sinx)djr=y-Jf(sinx)dx.

解令H="-t,則

/(sinjr)=/(sin(jr—力)=f(sin￡).

當n=0時"=m=冗時，E=0.

Jx/(sinx)dx=-J(rr-2)f(sin￡)dz

=J(K-z)/(sim)dr

=KJ/(sin/)d/-Jz/(sinz)dr

由于Jx/(sinx)dx=J4(sin￡)d￡,

可得[x/(sinx)dx=--[f(sina)dx.

JO￡J0

Jxlnxdx=Jinjrd

解Jjrlnxdx=Jin

66.

解由題意可知，所求薄板的質量為

m=jjp(xf>)dxdj

=0("2+y"

D

=￡dx￡(，十寸)的=公

=』：“+"出=[*+*']1：

_26

—105,

67.

解