PAGEPAGE11機(jī)械能守恒定律目標(biāo)體系構(gòu)建明確目標(biāo)·梳理脈絡(luò)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．通過機(jī)械能守恒定律的學(xué)習(xí)，初步建立能量觀念，體會(huì)守恒思想。2．會(huì)用能量觀念分析具體實(shí)例中動(dòng)能與勢(shì)能(包括彈性勢(shì)能)之間的相互轉(zhuǎn)化。3．理解機(jī)械能守恒定律的推導(dǎo)過程。4．會(huì)判斷機(jī)械能是否守恒，能用機(jī)械能守恒定律解決有關(guān)問題。【思維脈絡(luò)】課前預(yù)習(xí)反饋教材梳理·落實(shí)新知知識(shí)點(diǎn)1追尋守恒量、動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化1．追尋守恒量：伽利略的斜面實(shí)驗(yàn)中，如果空氣阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必將準(zhǔn)確地終止于它開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的__高度__，這說明某種“東西”在小球運(yùn)動(dòng)的過程中是__不變__的。2．重力勢(shì)能可以與__動(dòng)能__相互轉(zhuǎn)化。3．彈性勢(shì)能可以與__動(dòng)能__相互轉(zhuǎn)化。4．機(jī)械能：(1)重力勢(shì)能、__彈性__勢(shì)能與動(dòng)能都是機(jī)械運(yùn)動(dòng)中的能量形式，統(tǒng)稱為__機(jī)械能__。(2)機(jī)械能可以從一種形式__轉(zhuǎn)化__成另一種形式。知識(shí)點(diǎn)2機(jī)械能守恒定律1．推導(dǎo)：如圖所示，物體沿光滑曲面滑下。物體在某一時(shí)刻處在高度為h1的位置A，這時(shí)它的速度是v1。經(jīng)過一段時(shí)間后，物體下落到高度為h2的另一位置B，這時(shí)它的速度是v2。用W表示這一過程中重力做的功。由動(dòng)能定理可得：W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，又W＝__mgh1－mgh2__可得：mgh1－mgh2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，移項(xiàng)后得：eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)＋mgh2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋mgh1，即物體末狀態(tài)動(dòng)能與勢(shì)能之和__等于__物體初狀態(tài)動(dòng)能與勢(shì)能之和。2．內(nèi)容在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與勢(shì)能可以__互相轉(zhuǎn)化__，而總的機(jī)械能__保持不變__。3．守恒條件物體系統(tǒng)中只有__重力__或__彈力__做功。思考辨析『判一判』(1)通過重力做功，動(dòng)能和重力勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)化。(√)(2)物體自由下落時(shí)，重力做正功，物體的動(dòng)能和重力勢(shì)能都增加。(×)(3)機(jī)械能守恒時(shí)，物體一定只受重力和彈力作用。(×)(4)合力做功為零，物體的機(jī)械能一定保持不變。(×)(5)合力為零，物體的機(jī)械能一定守恒。(×)(6)只有重力做功時(shí)，物體的機(jī)械能一定守恒。(√)『選一選』(2021·浙江高一月考)“娃娃機(jī)”指將商品陳列在一個(gè)透明的箱內(nèi)，其上有一個(gè)可控制抓取玩具的機(jī)器手臂，使用者要憑自己的技術(shù)操控手臂，以取到自己想要的玩具。關(guān)于“娃娃機(jī)”。下列說法正確的是(B)A．機(jī)械爪抓到玩具勻速上升時(shí)，玩具機(jī)械能守恒B．機(jī)械爪抓到玩具加速水平移動(dòng)時(shí)，玩具的機(jī)械能增加C．玩具從機(jī)械爪掉下時(shí)，速度增加，玩具的機(jī)械能增加D．機(jī)械爪抓到玩具加速上升時(shí)，機(jī)械爪做的功等于玩具重力勢(shì)能變化量解析：機(jī)器手臂抓到玩具勻速上升時(shí)，動(dòng)能不變，重力勢(shì)能增大，所以玩具的機(jī)械能變大，故A錯(cuò)誤；機(jī)器手臂抓到玩具加速水平運(yùn)動(dòng)時(shí)，玩具的質(zhì)量不變，速度增大，則動(dòng)能增大，玩具的機(jī)械能增加，故B正確；玩具從機(jī)械爪掉下時(shí)，在沒有空氣阻力的情況下，玩具從機(jī)器手臂處自由落下時(shí)，重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，沒有能量的損失，即玩具的機(jī)械能守恒；若有空氣阻力的情況下，玩具的機(jī)械能減小，故C錯(cuò)誤；機(jī)器手臂抓玩具加速上升時(shí)，動(dòng)能和重力勢(shì)能均變大，所以手臂做的功等于玩具重力勢(shì)能與動(dòng)能的增大量之和，故D錯(cuò)誤。『想一想』下圖是上?！懊髦榫€”某車站的設(shè)計(jì)方案。由于站臺(tái)建得稍高，電車進(jìn)站時(shí)要上坡，出站時(shí)要下坡。忽略斜坡的摩擦力，你能分析這種設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)嗎？答案：這樣設(shè)計(jì)的主要優(yōu)點(diǎn)在于節(jié)約電能。解析：電車進(jìn)站前雖關(guān)閉了電動(dòng)機(jī)，但仍具有動(dòng)能，可使電車爬上斜坡，這是將動(dòng)能轉(zhuǎn)化為勢(shì)能儲(chǔ)存。出站時(shí)，電車可利用斜坡再將勢(shì)能轉(zhuǎn)化成動(dòng)能?？梢姡@種設(shè)計(jì)方案可以節(jié)約電能。課內(nèi)互動(dòng)探究細(xì)研深究·破疑解難探究對(duì)機(jī)械能守恒定律的理解┃┃情境導(dǎo)入__■如圖所示，過山車由高處在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)的情況下飛奔而下。(1)過山車受哪些力作用？各做什么功？(2)過山車下滑時(shí)，動(dòng)能和勢(shì)能怎么變化？?jī)煞N能的和不變嗎？(3)若忽略過山車的摩擦力和空氣阻力，過山車下滑時(shí)機(jī)械能守恒嗎？提示：(1)過山車受重力，軌道支持力、摩擦力和空氣阻力；重力做正功，軌道支持力不做功，摩擦力和空氣阻力做負(fù)功。(2)過山車下滑時(shí)，勢(shì)能減少動(dòng)能增加，兩種能的和減少。(3)若忽略過山車的摩擦力和空氣阻力，過山車下滑時(shí)機(jī)械能守恒。┃┃要點(diǎn)提煉__■1．對(duì)機(jī)械能守恒條件的理解(1)只有重力做功，只發(fā)生動(dòng)能和重力勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化。(2)只有彈力做功，只發(fā)生動(dòng)能和彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化。(3)只有重力和彈力做功，發(fā)生動(dòng)能、彈性勢(shì)能、重力勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化。(4)除受重力或彈力外，其他力也做功，但其他力做功的代數(shù)和始終為零。2．判斷機(jī)械能是否守恒的方法(1)做功條件分析：只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，其他力不做功或做功的代數(shù)和始終為零。(2)能量轉(zhuǎn)化分析：系統(tǒng)內(nèi)只有動(dòng)能、重力勢(shì)能及彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，即系統(tǒng)內(nèi)只有物體間的機(jī)械能相互轉(zhuǎn)移，則機(jī)械能守恒。(3)定義判斷法：如物體沿豎直方向或沿斜面勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能不變，勢(shì)能變化，機(jī)械能不守恒。┃┃典例剖析__■典題1(多選)如圖所示，下列關(guān)于機(jī)械能是否守恒的判斷正確的是(CD)A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，A機(jī)械能守恒B．乙圖中，A置于光滑水平面，物體B沿光滑斜面下滑，物體B機(jī)械能守恒C．丙圖中，不計(jì)滑輪質(zhì)量和任何阻力時(shí)A加速下落，B加速上升過程中，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D．丁圖中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球的機(jī)械能守恒思路引導(dǎo)：解答本題時(shí)應(yīng)注意以下三個(gè)方面：(1)機(jī)械能守恒時(shí)力做功的特點(diǎn)；(2)機(jī)械能守恒的研究對(duì)象；(3)機(jī)械能守恒中能量轉(zhuǎn)化特點(diǎn)。解析：甲圖中重力和彈力做功，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但物體A機(jī)械能不守恒，A錯(cuò)。乙圖中物體B除受重力外，還受彈力，彈力對(duì)B做負(fù)功，機(jī)械能不守恒，但從能量特點(diǎn)看A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，B錯(cuò)。丙圖中A、B組成的系統(tǒng)只有重力做功，動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，總的機(jī)械能守恒，C對(duì)。丁圖中動(dòng)能不變，勢(shì)能不變，機(jī)械能守恒，D對(duì)?？偨Y(jié)提升：物體的運(yùn)動(dòng)形式有多種，判斷其機(jī)械能是否守恒，關(guān)鍵看是否只有重力或彈力做功或分析有無(wú)其他形式的能與機(jī)械能發(fā)生轉(zhuǎn)化。┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■1．(2021·重慶市第三十七中學(xué)校高一月考)光滑水平面上有A、B兩木塊，A、B之間用一輕彈簧拴接，A靠在墻壁上，用力F向左推B使兩木塊之間的彈簧壓縮并處于靜止?fàn)顟B(tài)，若突然撤去力F，則下列說法中正確的是(C)A．木塊A離開墻壁前，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒B．木塊A離開墻壁后，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒C．木塊A離開墻壁前，A、B及彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D．木塊A離開墻壁后，A、B及彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒解析：木塊A離開墻壁前，彈簧的彈力對(duì)B做功，則A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，但是A、B彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，C正確；木塊A離開墻壁后，彈簧的彈力對(duì)AB都做功，則A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，但是A、B及彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，選項(xiàng)BD錯(cuò)誤。探究機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用┃┃情境導(dǎo)入__■如圖所示，是運(yùn)動(dòng)員投擲鉛球的動(dòng)作，如果忽略鉛球所受空氣的阻力。(1)鉛球在空中運(yùn)動(dòng)過程中，機(jī)械能是否守恒？(2)若鉛球被拋出時(shí)速度大小一定，鉛球落地時(shí)的速度大小與運(yùn)動(dòng)員將鉛球拋出的方向有關(guān)嗎？(3)在求解鉛球落地的速度大小時(shí)，可以考慮應(yīng)用什么規(guī)律？提示：(1)由于阻力可以忽略，鉛球在空中運(yùn)動(dòng)過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒。(2)根據(jù)機(jī)械能守恒定律，落地時(shí)速度的大小與運(yùn)動(dòng)員將鉛球拋出的方向無(wú)關(guān)。(3)可以應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，也可以應(yīng)用動(dòng)能定理。┃┃要點(diǎn)提煉__■1．機(jī)械能守恒的表達(dá)式及其意義：表達(dá)式物理意義從不同狀態(tài)看Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末初狀態(tài)的機(jī)械能等于末狀態(tài)的機(jī)械能從轉(zhuǎn)化角度看Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp過程中動(dòng)能的增加量等于勢(shì)能的減少量從轉(zhuǎn)移角度看EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB系統(tǒng)只有A、B兩物體時(shí)，A增加的機(jī)械能等于B減少的機(jī)械能2．應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題的步驟3．機(jī)械能守恒定律和動(dòng)能定理的比較兩大規(guī)律比較內(nèi)容機(jī)械能守恒定律動(dòng)能定理應(yīng)用范圍只有重力和彈力做功時(shí)無(wú)條件限制物理意義其他力(重力、彈力以外)所做的功是機(jī)械能變化的量度合外力對(duì)物體做的功是動(dòng)能變化的量度關(guān)注角度守恒的條件和始末狀態(tài)機(jī)械能的形式及大小動(dòng)能的變化及改變動(dòng)能的方式(合外力做功情況)說明－ΔEp＝ΔEk等號(hào)右邊表示動(dòng)能增量時(shí)，左邊表示勢(shì)能的減少量，“mgh”表示重力勢(shì)能(或重力勢(shì)能的變化)W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)等號(hào)左邊是合外力的功，右邊是動(dòng)能的增量，“mgh”表示重力的功特別提醒(1)機(jī)械能守恒定律是一種“能—能轉(zhuǎn)化”關(guān)系，其守恒是有條件的，因此，應(yīng)用時(shí)首先要對(duì)研究對(duì)象在所研究的過程中機(jī)械能是否守恒做出判斷。(2)由于應(yīng)用動(dòng)能定理不需要滿足什么條件，所以涉及功能關(guān)系問題時(shí)還是優(yōu)先考慮動(dòng)能定理。┃┃典例剖析__■典題2如圖所示，豎直平面內(nèi)的eq\f(3,4)圓弧形光滑管道半徑略大于小球半徑，管道中心到圓心距離為R，A端與圓心O等高，AD為水平面，B點(diǎn)在O的正下方，小球自A點(diǎn)正上方由靜止釋放，自由下落至A點(diǎn)進(jìn)入管道，當(dāng)小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，管壁對(duì)小球的彈力大小為小球重力的9倍。求：(1)釋放點(diǎn)距A的豎直高度；(2)落點(diǎn)C與A的水平距離。思路引導(dǎo)：根據(jù)機(jī)械能守恒定律、豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，綜合分析求解。解析：(1)設(shè)小球到達(dá)B點(diǎn)的速度為v1，因?yàn)榈竭_(dá)B點(diǎn)時(shí)管壁對(duì)小球的彈力大小為小球重力大小的9倍，所以有9mg－mg＝meq\f(v\o\al(2,1),R)又由機(jī)械能守恒定律得mg(h＋R)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)所以h＝3R。(2)設(shè)小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度為v2，落點(diǎn)C與A的水平距離為x由機(jī)械能守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)＋mg2R由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得R＝eq\f(1,2)gt2R＋x＝v2t由此可解得s＝(2eq\r(2)－1)R。答案：(1)3R(2)(2eq\r(2)－1)R┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■2．(單個(gè)物體的機(jī)械能守恒)(2021·沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)高一月考)質(zhì)量為m的物體，以水平速度v0離開桌面，若以桌面為零勢(shì)能面，不計(jì)空氣阻力，則當(dāng)它經(jīng)過離地高度為h的A點(diǎn)時(shí)，所具有的機(jī)械能是(D)A．eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mgh B．eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－mghC．eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mg(H－h(huán)) D．eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解析：物體在運(yùn)動(dòng)的過程中，機(jī)械能守恒，則A點(diǎn)的機(jī)械能等于拋出點(diǎn)的機(jī)械能，拋出點(diǎn)的機(jī)械能E＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，則A點(diǎn)的機(jī)械能等于eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤。3．(多物體的機(jī)械能守恒)如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B用不可伸長(zhǎng)的細(xì)軟輕繩連接，跨過固定在地面上半徑為R的光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的兩倍。當(dāng)B位于地面時(shí)，A恰與圓柱軸心等高。將A由靜止釋放，B上升的最大高度是(C)A．2R B．eq\f(5R,3)C．eq\f(4R,3) D．eq\f(2R,3)解析：A、B的質(zhì)量分別記為2m、m，當(dāng)A落到地面上時(shí)，B恰好運(yùn)動(dòng)到與圓柱軸心等高處，以A、B整體為研究對(duì)象，則A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故有2mgR－mgR＝eq\f(1,2)(2m＋m)v2，A落到地面上以后，B以速度v豎直上拋，又上升的高度為h′＝eq\f(v2,2g)，解得h′＝eq\f(1,3)R，此時(shí)繩子未繃直，故B上升的最大高度為R＋h′＝eq\f(4,3)R，選項(xiàng)C正確。核心素養(yǎng)提升以題說法·啟智培優(yōu)非質(zhì)點(diǎn)類物體的機(jī)械能守恒問題1．在應(yīng)用機(jī)械能守恒定律處理實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運(yùn)動(dòng)過程中將發(fā)生形變，其重心位置相對(duì)物體也發(fā)生變化，因此這類物體不能再看成質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理。2．物體雖然不能看成質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理，但因只有重力做功，物體整體機(jī)械能守恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定質(zhì)量分布均勻的規(guī)則物體各部分的重心位置，根據(jù)初、末狀態(tài)物體重力勢(shì)能的變化列式求解。案例如圖所示，總長(zhǎng)為L(zhǎng)的光滑勻質(zhì)鐵鏈跨過一個(gè)光滑的輕質(zhì)小滑輪，不計(jì)滑輪大小，開始時(shí)下端A、B相平齊，當(dāng)略有擾動(dòng)時(shí)其A端下落，則當(dāng)鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，鐵鏈的速度為多大？(重力加速度為g)解析：方法一取整個(gè)鐵鏈為研究對(duì)象：設(shè)整個(gè)鐵鏈的質(zhì)量為m，初始位置的重心在A點(diǎn)上方eq\f(1,4)L處，末位置的重心在A點(diǎn)，則重力勢(shì)能的減少量為：ΔEp＝mg·eq\f(1,4)L，由機(jī)械能守恒得：eq\f(1,2)mv2＝mg·eq\f(1,4)L，則v＝eq\r(\f(gl,2))。方法二將鐵鏈看成兩段：鐵鏈由初始狀態(tài)到剛離開滑輪時(shí)，等效于左側(cè)鐵鏈BB′部分移到AA′位置。重力勢(shì)能減少量為ΔEp＝eq\f(1,2)mg·eq\f(L,2)，由機(jī)械能守恒得：eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mg·eq\f(L,2)，則v＝eq\r(\f(gL,2))。答案：eq\r(\f(gL,2))課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)沙場(chǎng)點(diǎn)兵·名校真題1．(2021·青海西寧市高一月考)如圖所示，下列四個(gè)選項(xiàng)的圖中，木塊均在固定的斜面上運(yùn)動(dòng)，其中圖A、B、C中的斜面是光滑的，圖D中的斜面是粗糙的，圖A、B中的F為木塊所受的外力，方向如圖中箭頭所示，圖A、B、D中的木塊向下運(yùn)動(dòng)，圖C中的木塊向上運(yùn)動(dòng)，在這四個(gè)圖所示的運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒的是(C)解析：由A圖可知，力F對(duì)物體做正功，機(jī)械能增加，不守恒，故A錯(cuò)誤；由B圖可知，力F做負(fù)功，機(jī)械能減小，故B錯(cuò)誤；C圖中物體斜面光滑，運(yùn)動(dòng)過程中只有重力做功，只有重力勢(shì)能和動(dòng)能的相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒，故C正確；D圖中斜面粗糙，物體下滑中，摩擦力做負(fù)功，機(jī)械能減小，不守恒，故D錯(cuò)誤。2．(2021·江蘇南通市高一月考)如圖所示，質(zhì)量為m的蘋果從距地面高度為H的樹上由靜止開始下落，樹下有一深度為h的坑。若以地面為零勢(shì)能參考平面，則蘋果剛要落到坑底時(shí)的機(jī)械能為(B)A．－mght B．mgHC．mg(H＋h) D．mg(H－h(huán))解析：以地面為重力勢(shì)能的參考平面，蘋果剛下落時(shí)的機(jī)械能為mgH，下落過程中蘋果只受重力，機(jī)械能守恒，則知當(dāng)蘋果將要落到坑底時(shí)，其機(jī)械能等于剛下落時(shí)的機(jī)械能mgH。故選B。3．(2021·安徽省桐城中學(xué)高一月考)如圖是為了檢驗(yàn)?zāi)撤N防護(hù)罩承受沖擊能力的裝置的一部分，M為半徑為R＝1.0m、固定于豎直平面內(nèi)的四分之一光滑圓弧軌道，軌道上端切線