拓展04全等三角形提高證明題含輔助線（六種類型）【類型一】利用角平分線構(gòu)造全等1．如圖，在△ABC中，AD是角平分線，E，F(xiàn)分別為AC，AB上的點(diǎn)，且∠AED＋∠AFD＝180°．（1）求證：∠AFD＝∠CED；（2）求證：DE＝DF．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)同角的補(bǔ)角相等即可得解；（2）過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DM=DN，由（1）知∠MFD=∠DEN，證出△FMD≌△END即可．【詳解】（1）證明：∵∠AED+∠AFD＝180°，∠AED+∠CED＝180°，∴∠AFD＝∠CED；（2）證明：過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，∠FMD＝∠END＝90°，∵∠AED+∠AFD＝180°，∠AED+∠DEN＝180°，∴∠MFD＝∠DEN，在△FMD和△END中，∠MFD=∠DEN∠FMD=∠END∴△FMD≌△END（AAS），∴DE＝DF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用AAS推出△FMD≌△END．2．如圖，在ΔABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線交BC于D，過D作DE⊥BA于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，且BD=DF．（1）求證：AC=AE；（2）求證：∠BAC+∠FDB=180°；（3）若AB=9.5，AF=1.5，求線段BE的長，【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）BE的長為4．【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用AAS證明△ACD≌△AED即可；（2）設(shè)∠1=∠2=α，在AB上截取AM=AF，連接MD，證明△FAD≌△MAD，進(jìn)而證明RtΔMDE≌RtΔBDE，再證明ΔCFD≌ΔEBD，根據(jù)∠FDB+∠BAC即可求證；（3）由（2）可得EB=EM,AF=AM,根據(jù)BE=AB-AM-ME即可求得BE的長．【詳解】證明：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵DE⊥BA，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵∠C=90°，∴∠C=∠DEA=90°，在ΔACD和ΔAED中，{∠DCA=∠DEA∴ΔACD≌ΔAED(AAS)，∴AC=AE，（2）設(shè)∠1=∠2=α，∵∠C=∠DEA=90°，在ΔADC中，∠ADC=90°-α，在ΔADE中，∠ADE=90°-α，∵∠FDB=∠FCD+∠CFD=90°+∠CFD，在AB上截取AM=AF，連接MD，在ΔFAD和ΔMAD中，{∴ΔFAD≌ΔMAD(SAS)，∴FD=MD，∠5=∠6，∵BD=DF，∴BD=MD，在RtΔMDE和RtΔBDE中，{∴RtΔMDE≌RtΔBDE(HL)，∴∠3=∠4，設(shè)∠5=∠6=β，∵∠1=∠2=α，∴∠1+∠5=∠2+∠6=α+β，在ΔFAD中，∠1+∠5=∠DFC在ΔAMD中，∠2+∠6=∠3，∴∠DFC=∠3，∴∠DFC=∠4，在ΔCFD和ΔEBD中，{∠DCF=∠DEB∴ΔCFD≌ΔEBD(AAS)，∴∠CFD=∠4，∵∠C=90°，在ΔABC中，∠4=90°-2α，∴∠CFD=90°-2α，∴∠FDB=90°+90°-2α=180°-2α，∵∠BAC=∠1+∠2=2α，∴∠FDB+∠BAC=180°-2α+2α=180°，（3）∵AF=AM，且AF=1.5，∴AM=1.5，∵AB=9.5，∴MB=AB-AM=9.5-1.5=8，∵M(jìn)B=BE，且ME+BE=BM，∴BE=【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，AD是△ABC的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求證：∠B與∠AHD互補(bǔ)；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，請(qǐng)?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）見解析；（2）AG＝AH+HD，證明見解析【分析】（1）在AB上取一點(diǎn)M，使得AM=AH，連接DM，則利用SAS可得出ΔAHD≌ΔAMD，從而得出HD=MD=DB，即有∠DMB＝∠B，通過這樣的轉(zhuǎn)化可證明∠B與（2）由（1）的結(jié)論中得出的∠AHD＝∠AMD，結(jié)合三角形的外角可得∠DGM＝∠GDM，可將HD轉(zhuǎn)化為【詳解】證明：（1）在AB上取一點(diǎn)M，使得AM=AH，連接DM∵AH=AM∠CAD=∠BAD∴ΔAHD≌ΔAMD∴HD＝MD∵HD∴DB∴∠DMB∵∠AMD+∠DMB∴∠AHD+∠B＝即∠B與∠AHD互補(bǔ)．（2）由（1）∠AHD∵∠B+2∠DGA＝∴∠AMD＝又∵∠AMD＝∴2∠DGM＝∠DGM+∠GDM即∴MD∴HD∵AG∴AG＝AH+HD【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，應(yīng)用角平分線構(gòu)造全等是常用的構(gòu)造全等的方法，遇到角平分線常有“翻折構(gòu)造全等”“作角邊的垂線段”兩種輔助線方法．4．已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．求證：（1）AD=AE=EC．（2）BA+BC=2BF．【答案】證明詳見解析【詳解】分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到∠ABD=∠CBD，然后根據(jù)SAS證得△ABD≌△EBC，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的外角得到等腰△ACE，由此可證；（2）過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，根據(jù)三角形全等的判定“HL”證得Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AFE，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，等量代換求解.詳解：證明：（1）∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，BD=BC∠ABD=∠CBD∴△ABD≌△EBC(SAS)，∴∠BCE=∠BDA，∵∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE為等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=EC=AE．（2）過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，∵E是BD上的點(diǎn)，EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF=EG，∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，BE=BEEF=EG∴Rt△BEG≌Rt△BEF(HL)，∴BG=BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，EF=EGAE=CERt△CEG≌Rt△AFE，∴AF=CG，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG，=BF+BG=∠BF，∴BA+BC=2BF．點(diǎn)睛：此題考查了角平分線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【類型二】倍長中線5．如圖，AB=CD，E為BC的中點(diǎn)，∠BAC=∠BCA，求證：AD=2AE．【答案】見解析.【分析】延長AE至點(diǎn)F，使得EF=AE，連接BF，易證△AEC≌△FEB（SAS），得到BF=AC，∠FBE=∠ACE=∠BAC，可得∠ABF=∠DCA，然后通過SAS證明△ABF≌△△DCA即可.【詳解】證明：延長AE至點(diǎn)F，使得EF=AE，連接BF，∵∠BEF=∠CEA，BE=CE，∴△AEC≌△FEB（SAS），∴BF=AC，∠FBE=∠ACE=∠BAC，∴∠ABF=∠FBE+∠ABE=∠BAC+∠ABC=∠DCA，在△ABF和△DCA中，AB=CD∠ABF=∠DCA∴△ABF≌△△DCA（SAS)，∴AD=FA=2AE.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵，一般的中線輔助線都是用的倍長中線.6．如圖，已知ΔABC中，點(diǎn)M是BC邊長的中點(diǎn)，過M作∠BAC的角平分線AD的平行線交AB于E，交CA的延長線于F，求證：（1）AE=AF.（2）BE=CF.【答案】見詳解.【分析】（1）要證AE=AF，利用等角對(duì)等邊只需證出∠AFE=∠AEF，利用平行不難發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)角和角平分線分成的兩角是內(nèi)錯(cuò)角和同位角；（2）利用倍長中線法構(gòu)造出全等三角形即可.【詳解】證明：（1）∵M(jìn)F∥DA∴∠AFE=∠CAD，∠AEF=∠DAE又∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠DAE∴∠AFE=∠AEF∴AE=AF（2）將FM延長至N使FM=MN，連接BN.∵M(jìn)為CB中點(diǎn)∴CM=MB在△FMC和△NMB中CM=MB∴△FMC≌△NMB（SAS）∴CF=BN，∠F=∠N又∵∠AFE=∠AEF，∠AEF=∠BEN∴∠N=∠BEN∴BE=BN∴BE=CF【點(diǎn)睛】此題考查的（1）平行線的性質(zhì)和等角對(duì)等邊；（2）倍長中線法構(gòu)造全等三角形.7．在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥MB，垂足為M，點(diǎn)C是BM延長線上一點(diǎn)，連接AC．（1）如圖1，點(diǎn)D在線段AM上，且DM＝CM．求證：△BDM≌△ACM；（2）如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)E是△ABC外一點(diǎn)，且滿足EC＝AC，連接ED并延長交BC于點(diǎn)F，且F為線段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF＝∠CEF．

【答案】（１）見解析；（２）見解析．【分析】(1)根據(jù)已知條件，利用（SAS）即可證明三角形全等；(2)延長EF至點(diǎn)G，使FG=EF，由上題中△BDM≌△ACM，得出AC=BD，再證△BFG≌△CFE，可得BG=CE，∠G=∠CEF，從而得BD=CE=BG，即可得∠BDF=∠G=∠CEF．【詳解】解：（1）如圖，

∵∠ABC＝45°，AM⊥MB∴BM=AM在△BMD和△AMC中∵{∴△BDM≌△ACM（SAS）．(2)如圖，延長EF至點(diǎn)G，使FG=EF，連接BG

∵△BDM≌△ACM∴BD=AC又∵CE=AC∴BD=CE在△BFG和△CFE中∵{∴△BFG≌△CFE（SAS）∴BG=CE，∠G=∠CEF∴BD=CE=BG∴∠BDF=∠G=∠CEF．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形．如圖，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，回答下列問題：(1)求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)取BD的中點(diǎn)P，連接OP，請(qǐng)證明AC=2OP．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)OA=OB，OC=OD，∠AOC+∠BOD=180°即可證明；（2）延長OP至E，使PE=OP，先證△BPE≌△DPO，推出BE=OD，∠E=∠DOP，進(jìn)而推出BE∥OD，再證△EBO≌△COA，即可推出OE=AC，由此可證AC=2OP．【詳解】（1）證明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形．（2）證明：延長OP至E，使PE=OP，∵P為BD的中點(diǎn)，∴BP=PD，∵在△BPE和△DPO中，PE=PO∠BPE=∠DPO∴△BPE≌△DPOSAS∴BE=OD，∠E=∠DOP，∴BE∥OD，∴∠EBO+∠BOD=180°，又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，在△EBO和△COA中，OB=AO∴△EBO≌△COASAS∴OE=AC，又∵OE=2OP，∴AC=2OP．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．【類型三】截長補(bǔ)短9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，試說明：BC＝AB＋CD．【答案】見解析【分析】在線段BC上截取BE=BA，連接DE．則只需證明CD=CE即可．結(jié)合角度證明∠CDE=∠CED．【詳解】解：證明：在線段BC上截取BE=BA，連接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD=12∠ABC在△ABD和△EBD中，BE=BA∠ABD=∠EBD∴△ABD≌△EBD．（SAS）∴∠BED=∠A=108°，∠ADB=∠EDB．又∵AB=AC，∠A=108°，∠ACB=∠ABC=12×（180°-108°）=36°∴∠ABD=∠EBD=18°．∴∠ADB=∠EDB=180°-18°-108°=54°．∴∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=180°-54°-54°=72°．∴∠DEC=180°-∠DEB=180°-108°=72°．∴∠CDE=∠DEC．∴CD=CE．∴BC=BE+EC=AB+CD．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)及等腰三角形的判定，綜合性較強(qiáng)．10．如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD、CE相交于點(diǎn)O，求證：AE+CD=AC．

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，得到∠AOC=120°，∠AOE=∠COD=60°，在AC上截取AF=AE，連接OF，分別證明△AOE≌△AOFSAS，△COD≌△COFASA，得到【詳解】證明：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°-∠B=120°，∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠OAC=∠OAB=12∠BAC∴∠OAC+∠OCA=1∴∠AOC=120°，∴∠AOE=∠COD=180°-∠AOC=60°，如圖，在AC上截取AF=AE，連接OF，

在△AOE和△AOF中，AE=AF∠OAE=∠OAF∴△AOE≌△AOFSAS∴∠AOE=∠AOF=60°，∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°，∵∠COD=60°，∴∠COD=∠COF，在△COD和△COF中，∠OCD=∠OCFCO=CO∴△COD≌△COFASA∴CD=CF，∵AF=AE，∴AF+CF=AE+CD=AC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，做輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．11．在△ABC中，∠ABC=60°，點(diǎn)D、E分別在AC、BC上，連接BD、DE和AE；并且有AB=BE，∠AED=∠C．（1）求∠CDE的度數(shù)；（2）求證：AD+DE=BD．【答案】（1）60°；（2）見解析【分析】（1）由AB=BE，∠ABC=60°，可得△ABE為等邊三角形，由∠AEB=∠EAC+∠C，∠CDE=∠EAC+∠AED，∠AED=∠C，可證∠CDE=∠AEB=60°（2）延長DA至F，使AF=DE，連接FB，由∠BED=60°+∠AED，∠BAF=60°+∠C，且∠C=∠AED，可證△FBA≌△DBE(SAS)由DB=FB，可證△FBD為等邊三角形，可得BD=FD，可推出結(jié)論，【詳解】解：（1）∵AB=BE，∠ABC=60°，∴△ABE為等邊三角形，∴∠BAE=∠AEB=60°，∵∠AEB=∠EAC+∠C，∠CDE=∠EAC+∠AED，∵∠AED=∠C，∴∠CDE=∠AEB=60°（2）如圖，延長DA至F，使AF=DE，連接FB，由（1）得△ABE為等邊三角形，∴∠AEB=∠ABE=60°，∵∠BED=∠AEB+∠AED=60°+∠AED，又∵∠BAF=∠ABE+∠C=60°+∠C，且∠C=∠AED，∴∠BED=∠BAF，在△FBA與△DBE中，AB=BE∴△FBA≌△DBE(SAS)∴DB=FB，∠DBE=∠FBA∴∠DBE+∠ABD=∠FBA+∠ABD，∴∠ABE=∠FBD=60°又∵DB=FB，∴△FBD為等邊三角形∴BD=FD，又∵FD=AF+AD，且AF=DE，∴FD=DE+AD=BD，【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，線段和差，三角形外角性質(zhì)，關(guān)鍵是引輔助線構(gòu)造三角形全等證明等邊三角形．12．（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）AE=13【分析】（1）由題意易得∠AOD=∠BOD，然后易證△AOD≌△BOD，進(jìn)而問題可求證；（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，由題意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，則有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，則根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，進(jìn)而問題可求證；（3）在AE上分別截取AF=AB，EG=ED，連接CF、CG，同理（2）可證△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，則有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，進(jìn)而可得△CFG是等邊三角形，最后問題可求解．【詳解】證明：（1）∵射線OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，如圖所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．（3）在AE上分別截取AF=AB=9，EG=ED=1，連接CF、CG，如圖所示：同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C為BD邊中點(diǎn)，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等邊三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線證明三角形全等．【類型四】直接連接13．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DM⊥DN，分別交BA，AC延長線于點(diǎn)M、N，求證：DM=DN【答案】見解析【分析】連接AD，可得∠ADM=∠CDN，可證△AMD≌△CND，可得DM=DN．【詳解】解：連接AD，∵D為BC中點(diǎn)，∴AD=BD，∠BAD=∠C，∵∠ADM+∠MDC=90°，∠MDC+∠CDN=90°，∴∠ADM=∠CDN，∵∠MAD=MAC+DAC=135°，∠NCD=180°-∠ACD=135°在ΔAMD和ΔCND中，∠ADM=∠CDNAD=CD∴ΔAMD?ΔCND(ASA)，∴DM=DN．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AMD≌△CND是解題的關(guān)鍵．14．△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，E、F分別在AC、AB上，且DE⊥DF，試判斷DE、DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】DE=DF，理由見解析【分析】連接AD，則有AD=CD，∠DAF=∠C=45°，且AD⊥CD，可得∠CDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°，所以∠CDE=∠ADF，可證△CDE≌△ADF，可得結(jié)論．【詳解】DE=DF，理由如下：連接AD，因?yàn)椤螦=90°，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∴CD=AD，∠C=∠DAF=45°，AD⊥CD，∴∠CDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°，∴∠CDE=∠ADF，在△CDE和△ADF中，∠C=∠DAFCD=AD∴△CDE≌△ADF(ASA)，∴DE=DF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．15．如圖所示，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，交∠BAC的平分線AE于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC交AC延長線于點(diǎn)G．求證：BF＝CG．【答案】見解析．【分析】連接EB、EC，利用已知條件證明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF=CG．【詳解】證明：連接BE、EC，∵ED⊥BC，D為BC中點(diǎn)，∴BE=EC，∵EF⊥AB，EG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE=EG，在Rt△BEF和Rt△CEG中，BE=CEEF=EG∴Rt△BEF≌Rt△CEG(HL)，∴BF=CG．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：解題的關(guān)鍵是全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．16．如圖，在ΔABC中，∠ABC=90°，AB=BC，CD平分∠ACB交AB于D點(diǎn)，過A作AE⊥CD交CD延長線于E點(diǎn)，交CB延長線于F點(diǎn)，取FC中點(diǎn)G，連接DG，過C作CH⊥AC交DG延長線于（1）求證：AF=CD；（2）求證：AC=CH+2BD.【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)垂直推出∠ABF=∠ABC=90°與∠FAB=∠BCD，則可證明ΔABF≌ΔCBD，即可有（2）連接FD根據(jù)CE⊥AF，AB⊥CF，推出FD⊥AC，即可證明CH//FD，可有∠HCG=∠DFG，然后證明ΔFGD≌ΔCGH推出CH=FD，根據(jù)已知條件即可有AD=DF，由（1）知FB=BD，即可證明AC=CH+2BD.【詳解】證：（1）∵∠ABC=90°∴∠ABF=∠ABC=∴∠AFB+∠FAB=90°∴∠FAB=∠BCD在ΔABF與ΔCBD中∠ABF=∠CBD∴ΔABF≌ΔCBD∴AF=CD（2）連接FD∵CE⊥AF，AB⊥CF∴FD⊥AC∵CH⊥AC∴CH//FD∴∠HCG=∠DFG∵G是FC中點(diǎn)∴FG=CG在ΔFGD與ΔCGH中∠DFG=∠HCG∴ΔFGD≌ΔCGH∴CH=FD∵CE⊥AF，CE平分∠FCA∴AC=CF∴AD=DF由（1）可知ΔABF≌ΔCBD∴FB=BD∴CF=CB+BF=AB+BF=AD+DB+BF=CH+2DB即AC=CH+2BD【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，在（1）中找出條件證明ΔABF≌ΔCBD是關(guān)鍵，在（2）中作出輔助線是解題的關(guān)鍵.【類型五】延長交于一點(diǎn)17．如圖，△ABC中，CD平分∠ACB，過點(diǎn)A作AD⊥CD于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接DE，若AC=20，BC=14，求DE的長．

【答案】DE的長為3．【分析】先添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，利用性質(zhì)求出AD=DF，最后用中位線定理即可求解．【詳解】解：如圖，延長AD，CB交于點(diǎn)F，

∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD，∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC=90°，在△ACD和△FCD中，∠ACD=∠FCDCD=CD∴△ACD≌△FCDASA∴AD=DF，AC=CF=20，∴BF=CF-BC=20-14=6，∵點(diǎn)D為AF中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，∴DE為△ABF的中位線，∴DF=1答：DE的長為3．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是延長CB交AD延長線于F，證明DE是△ABF的中位線．18．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC的角平分線交AC于E，AD⊥BE于D，求證：AD=BE．【答案】見解析【詳解】試題分析：延長AD和BC交于F，求出∠CBE=∠CAF，AC=BC，證△EBC≌△FAC，△ABD≌△FBD，推出BE=AF，AD=DF，即可得出答案．解：如圖延長AD和BC交于F，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，∴∠ABC=45°=∠BAC，∴AC=BC，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠ACF=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBC，∵BD⊥AD，∴∠BCE=∠ADE=90°，∵∠BEC=∠AED，∴根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得：∠DAE=∠CBE，在△BCE和△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴BE=AF，在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（ASA），∴AD=DF，即AF=2AD，∴AD=AF，∴AD=BE．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．19．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的角平分線AD交BC于D，交∠ABC的角平分線于E，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交AC于點(diǎn)F，求證：AF+BD=AB【答案】見解析【分析】延長EF，BC相交于點(diǎn)M，分別證明△AEB≌△MEB和△AEF≌△MED即可得解．【詳解】證明：延長EF，BC相交于點(diǎn)M，∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠EAB+∠EBA=45°，∴∠AEB=180°-45°=135°，∴∠DEB=180°-135°=45°，∵AE⊥EF，∴∠MEB=∠MED+∠DEB=90°+45°=135°=∠AEB，在△AEB和△MEB中，∠AEB=∠MEBEB=EB∴△AEB≌△MEBASA∴∠EAB=∠M，AE=ME，AB=MB，∵AE平分∠BAC，∴∠FAE=∠EAB，∴∠FAE=∠M，在△AEF和△MED中，∠FAE=∠MAE=ME∴△AEF≌△MEDASA∴AF=MD，∴AF+BD=MD+BD=MB=AB．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義和全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握角平分線的定義，通過添加輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=45°，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，AE⊥BD交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F．求證：

(1)∠CAE=∠ABD；(2)BD=AE+ED．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BAC=90°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠CAE+∠BAF=∠ABD+∠BAF=90°，即可求證；（2）過點(diǎn)C作CA的垂線交AE延長線于點(diǎn)M，先證明△ACM≌△BADASA，得出AD=CM，BD=AM，則CM=CD，再證明△MCE≌△DCESAS，得出【詳解】（1）證明：∵AB=AC，∠C=45°，∴∠CBA=45°，∴∠BAC=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°∴∠CAE+∠BAF=∠ABD+∠BAF=90°，∴∠CAE=∠ABD．（2）證明：過點(diǎn)C作CA的垂線交AE延長線于點(diǎn)M

∵CM⊥CA，∴∠MCA=90°即∠MCA=∠CAB，在△ACM和△BAD中，∠CAE=∠ABD∴△ACM≌△BADASA∴AD=CM，∵D為AC中點(diǎn)，∴AD=CD，∴CM=CD∵∠MCA=90°，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠MCB，在△MCE和△DCE中，CM=CD∠ACB=∠MCB∴△MCE≌△DCE∴EM=ED，∴AM=AE+EM=AE+ED，∴BD=AE+ED．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和為180°，直角三角形兩銳角互余，以及正確畫出輔助線，構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明．【類型六】半角模型21．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．（1）求證：AD為∠BDC的平分線；（2）若∠DAE=12∠BAC，且點(diǎn)E在BD上，直接寫出BE、DE、DC三條線段之間的等量關(guān)系_______【答案】（1）見解析；（2）DE=BE+DC.【分析】（1）過A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，先證明∠BAG=∠CAF，然后證明△BAG≌△CAF得到AG=AF，最后由角平分線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）過A作∠CAH=∠BAE，證明△EAD≌△HAD，得到AE=AH，再證明△EAB≌△HAC中，即可得出BE、DE、DC三條線段之間的等量關(guān)系.【詳解】證明:（1）如圖1，過A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，∵AG⊥BD，AF⊥DC，∴∠AGD=∠F=90°，∴∠GAF+∠BDC=180°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠GAF=∠BAC，∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC，∴∠BAG=∠CAF，在△BAG和△CAF中∠AGB=∠F=∴△BAG≌△CAF（AAS），∴AG=AF，∴∠BDA=∠CDA，（2）BE、DE、DC三條線段之間的等量關(guān)系是DE=BE+DC，理由如下：如圖2，過A作∠CAH=∠BAE交DC的延長線于H，∵∠DAE=12∠BAC∴∠DAE=∠BAE+∠CAD，∵∠CAH=∠BAE，∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH，在△EAD和△HAD中∠EAD=∠HADAD=AD∴△EAD≌△HAD（ASA），∴DE=DH，AE=AH，在△EAB和△HAC中AB=AC∠BAE=∠CAH∴△EAB≌△HAC（SAS），∴BE=CH，∴DE=DH=DC+CH=DC+BE，∴DE=DC+BE.故答案是：DE=DC+BE.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的判定定理，線段和差的證明，掌握截長法和補(bǔ)短法是解答此題的突破口．22．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，若∠EAF=12∠BAD，可求得EF、BE、FD（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，若∠EAF=12∠BAD，判斷EF、BE【答案】（1）BE+DF=EF；（2）EF+DF=BE．理由見解析．【分析】（1）線段EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系是BE+DF=EF．如圖，延長CB至M，使BM=DF，連接AM，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）結(jié)論：EF+DF=BE．如圖中，在BE上截取BM=DF，連接AM，證明△ABM≌△ADFSAS，推出AM=AF，∠BAM=∠DAF，再證明△AEM≌△AEF【詳解】（1）解：線段EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系是BE+DF=EF．如圖，延長CB至M，使BM=DF，連接AM，∵∠ABC=∠D=90°，∠ABC+∠1=180°，即：∠ABC+∠D=180°，∴∠1=∠D，在△ABM和△ADF中，AB=AD∠1=∠D∴△ABM≌△ADFSAS∴AM=AF，∠3=∠2，∵∠EAF=12∠BAD∴∠2+∠4=∠EAF，∴∠EAM=∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF，在△MAE和△FAE中，AM=AF∠MAE=∠FAE∴△MAE≌△FAESAS∴EF=EM，∵EM=BM+BE=BE+DF，∴EF=BE+FD；故答案為：BE+DF=EF．（2）結(jié)論：EF+DF=BE．理由：在BE上截取BM=DF，連接AM，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADE=180°，∴∠B=∠ADF，在△ABM與△ADF中，BM=DF∠ABM=∠ADF∴△ABM≌△ADFSAS∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，則∠BAM+∠MAD=∠DAF+∠MAD，∴∠BAD=∠MAF∵∠EAF=12∠BAD∴∠EAF=∠EAM，在△AEM與△AEF中，AM=AF∠EAF=∠EAM∴△AEM≌△AEFSAS∴EM=EF，即BE-BM=EF，即BE-DF=EF，∴EF+DF=BE．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．23．問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC．CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．(1)小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（直接寫結(jié)論，不需證明）探索延伸：(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD，（1(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD，（1【答案】(1)EF=BE+FD(2)（1）中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立．證明見解析；(3)結(jié)論EF=BE+FD不成立，結(jié)論是：EF=BE-FD．證明見解析．【分析】（1）延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連接AG，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）延長CB至M，使BM=DF，連接AM．證明△ABM≌△ADF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AF=AM，∠2=∠3．△AME≌△AFE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出EF=ME，即EF=BE+BM，則可得出結(jié)論；（3）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．證明△ABG≌△ADF（SAS）．由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAG=∠DAF，AG=AF．證明△AEG≌△AEF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】（1）解：EF=BE+FD．延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連接AG，∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°．又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF（SAS）．∴FG=EF．∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案為：EF=BE+FD；（2）解：（1）中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立．證明：如圖②中，延長CB至M，使BM=DF，連接AM．∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D，在△ABM與△ADF中，AB=AD∠1=∠D∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF=AM，∠2=∠3．∵∠EAF=12∠BAD∴∠2+∠4=12∠BAD=∠EAF∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．在△AME與△AFE中，AM=AF∠MAE=∠EAF∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF=ME，即EF=BE+BM，∴EF=BE+DF；（3）解：結(jié)論EF=BE+FD不成立，結(jié)論：EF=BE-FD．證明：如圖③中，在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．在△ABG與△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADF∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF