雙原子鏈諧振器中的位勢(shì)與色散關(guān)系

原子鏈中的原子之間存在相互作用的勢(shì)能，并且可能存在與相鄰原子無關(guān)的勢(shì)能（狀態(tài)）。近年來，隨著生物神經(jīng)信號(hào)的傳輸、聚合物中的能量傳輸以及約塞夫森德矩陣等因素的研究，提出了研究1-二維雙原子鏈的概念，如矩陣、神經(jīng)、聚合物、約塞夫森德矩陣等。尤其是具有區(qū)位趨勢(shì)的一維單鏈u，和fpu雙原子鏈越來越受到重視。這些非線性雙原子鏈具有兩個(gè)（簡(jiǎn)單的和諧）和四個(gè)（非簡(jiǎn)的和諧）位勢(shì)。在頻域中，晶體振動(dòng)產(chǎn)生了空腔，即空間局域的時(shí)間軸振動(dòng)。在相對(duì)于好的相似性條件下，本文討論了在位勢(shì)的二維雙原子鏈中的晶體振動(dòng)的色散關(guān)系。另一方面，它補(bǔ)充了相關(guān)研究的一些基礎(chǔ)知識(shí)，另一方面，它為固體物理化學(xué)工具化提供了參考。13e3e-1e-2a+2-3eb相鄰原子之間平衡距離為a的一維雙原子鏈,原子質(zhì)量分別為m1與m2(m1>m2),以u(píng)2n表示第n個(gè)原胞內(nèi)質(zhì)量為m1的原子離開平衡位置x02n02n=2na的位移,以u(píng)2n+1表示第n個(gè)原胞內(nèi)質(zhì)量為m2的原子離開平衡位置x02n+102n+1=(2n+1)a的位移.在簡(jiǎn)諧近似下,具有在位勢(shì)的一維雙原子鏈晶格振動(dòng)哈密頓量為Η=∑n[12m1˙u22n+12m2˙u22n+1+12λ(u2n-u2n+1)2+12λ(u2n+1-u2n+2)2+12ηu22n+12ηu22n+1](1)H=∑n[12m1u˙22n+12m2u˙22n+1+12λ(u2n?u2n+1)2+12λ(u2n+1?u2n+2)2+12ηu22n+12ηu22n+1](1)其中λ是最近鄰原子之間相互作用的力常數(shù),η是在位勢(shì)能的力常數(shù).相應(yīng)的晶格振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為:m1¨u2n=-λ(2u2n-u2n+1-u2n-1)-ηu2nm1u¨2n=?λ(2u2n?u2n+1?u2n?1)?ηu2n(2a)m2¨u2n+1=-λ(2u2n+1-u2n+2-u2n)-ηu2n+1m2u¨2n+1=?λ(2u2n+1?u2n+2?u2n)?ηu2n+1(2b)線性齊次方程組(2)有行波解:u2n=Aei(ωt-q2na)(3a)u2n+1=Bei[ωt-q(2n+1)a](3b)代入運(yùn)動(dòng)方程(2),得到:(m1ω2-2λ-η)A+2λBcosqa=0(4a)2λAcosqa+(m2ω2-2λ-η)B=0(4b)這是關(guān)于A和B的線性齊次方程組.A與B有非零解的條件是方程組(4)的系數(shù)行列式為零,則晶格振動(dòng)的色散關(guān)系為ω2±=12{2λ+ηm2+2λ+ηm1±[(2λ+ηm2-2λ+ηm1ω2±=12{2λ+ηm2+2λ+ηm1±[(2λ+ηm2?2λ+ηm12+16λ2cos2qam1m21/2(5)下面分2種情況討論在位勢(shì)對(duì)色散關(guān)系的影響:1)原子之間的相互作用勢(shì)與在位勢(shì)彼此獨(dú)立,其大小互不影響;2)原子之間的相互作用勢(shì)與在位勢(shì)互相聯(lián)系在一起,此長(zhǎng)彼消;討論由只有在位勢(shì)的互相獨(dú)立的一列原子(不連續(xù)極限,記作AC極限)逐漸演變到原子之間相互作用勢(shì)替代在位勢(shì)的通常的原子鏈情況.2影響布局勢(shì)對(duì)離散關(guān)系的影響2.1位勢(shì)時(shí)的染色由于原子之間的相互作用勢(shì)能不受在位勢(shì)的影響,按照固體物理學(xué)中慣用的記號(hào),將原子之間相互作用的力常數(shù)改記作β,即λ=β,并記ω21=0?ω22=2βm1?ω23=2βm2ω24=2β(1m1+1m2)=2βmμ其中ω1,ω2,ω3和ω4分別是無在位勢(shì)時(shí)的聲頻支底、聲頻支頂、光頻支底和光頻支頂?shù)念l率;mμ是兩種原子的約化質(zhì)量,mμ=m1m2m1+m2.這時(shí),色散關(guān)系(5)可寫為ω2±=12{ω24+Ω2m2+Ω2m1±[(ω23-ω22+Ω2m2-Ω2m1)2+4ω23ω22cos2qa]1/2}(6)其中Ωm2=√ηm2和Ωm1=√ηm1分別是具有(簡(jiǎn)諧)在位勢(shì)能的孤立輕、重原子的振動(dòng)頻率.在布里淵區(qū)邊界qB=π2a處,有ω±(qB)2={ω23+Ω2m2ω22+Ω2m1(7)在位勢(shì)的存在,使聲頻支頂ω-(qB)和光頻支底ω+(qB)有不同程度的升高;由于Ωm2>Ωm1,所以在位勢(shì)使晶格振動(dòng)頻隙變寬.在布里淵區(qū)中心,q=0,有ω±(0)2=12{ω24+Ω2m2+Ω2m1±[(ω23-ω22+Ω2m2-Ω2m1)2+4ω23ω22]1/2}(8)顯然,ω-(0)≠0,在此出現(xiàn)了頻隙,這是有在位勢(shì)時(shí)色散關(guān)系的一個(gè)顯著特征.圖1是取m1=2m2,對(duì)于ηβ分別為0(虛線),0.2(實(shí)線)和0.6(點(diǎn)劃線)時(shí)的色散關(guān)系.ηβ=0時(shí)的色散關(guān)系就是大家所熟知的關(guān)系式:ω2±=12{ω23+ω22±[(ω23-ω22)2+4ω23ω22cos2qa]1/2}(9)隨著在位勢(shì)的增大,色散關(guān)系ω(q)各處均有不同程度的升高;對(duì)于非零的在位勢(shì),聲頻支在布里淵區(qū)中心的ω-(0)不再為零,且隨在位勢(shì)的增大而增大.而對(duì)于β=0,即原子之間無相互作用的不連續(xù)(AC)極限下,式(6)化為ω±={Ωm2=√ηm2Ωm1=√ηm1(10)這是孤立原子在簡(jiǎn)諧在位勢(shì)作用下的振動(dòng)頻率.當(dāng)原子之間有相互作用時(shí),彼此獨(dú)立的一列原子就形成原子鏈,互相耦合在一起的原子振動(dòng)就形成格波.2.2布里淵區(qū)邊界qba+3-2下面討論原子之間相互作用勢(shì)的大小與在位勢(shì)的大小互相聯(lián)系在一起的情況.具體討論由只有在位勢(shì)的互相獨(dú)立的一列原子(不連續(xù)極限),在位勢(shì)逐漸減弱而原子間相互作用勢(shì)逐漸增強(qiáng),最后演變到原子之間相互作用勢(shì)替代在位勢(shì)的原子鏈的情況.這種對(duì)于原子鏈的分析方法,特別是在應(yīng)用牛頓方法分析非線性原子鏈時(shí),是常用的一種方法.描述在位勢(shì)逐漸減弱而原子間相互作用勢(shì)逐漸增強(qiáng)的情況,可取λ=κβ,η=(1-κ)β,隨著參數(shù)κ由0增大到1,一列原子的在位勢(shì)逐漸減弱到0,同時(shí),原子之間相互作用逐漸增強(qiáng)到力常數(shù)為β.這時(shí),色散關(guān)系(5)為ω2±=1+κ4{ω24±[(ω23-ω22)2+ω23ω2216κ2cos2qa(1+κ)2]1/2}(11)在布里淵區(qū)邊界qB=π2a處,有ω±(qB)2={1+κ2ω231+κ2ω22(12)色散關(guān)系的頻隙為ω+(qB)-ω-(qB)=√1+κ2(ω3-ω2)(13)聲頻支頂ω-(qB)和光頻支底ω+(qB)隨參數(shù)κ單調(diào)增大;頻隙也隨參數(shù)κ增大,隨著參數(shù)κ由0增大到1,頻隙由孤立原子簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率(式(10))之差逐漸增大到ω3-ω2.在布里淵區(qū)中心,q=0,有ω±(0)2=1+κ4{ω24±[(ω23-ω22)2+ω23ω2216κ2(1+κ)2]1/2}(14)隨著參數(shù)κ由0增大到1,ω-(0)由孤立重原子簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率Ωm1=√(1-κ)βm1逐漸減小到無在位勢(shì)原子鏈的ω-(0)=0.取m1=2m2,對(duì)于參數(shù)κ分別為0.4(點(diǎn)劃線),0.8(實(shí)線)和1(虛線)時(shí)的色散關(guān)系,如圖2所示.隨著在位勢(shì)的減弱和相互作用勢(shì)的增強(qiáng).色散關(guān)系ω(q)的光頻支各處均有不同程度的升高,聲頻支在布里淵區(qū)邊界附近升高,而在布里淵區(qū)中心附近下降.3在位勢(shì)條件下的散射波振幅圖像的產(chǎn)生對(duì)一維雙原子鏈色散關(guān)系的討論,一般不考慮在位勢(shì).原子鏈處于一定的介質(zhì)環(huán)境中,原子鏈除了原子之間的相互作用勢(shì)能之外,各原子還具有與鄰近原子無關(guān)的在位勢(shì)能.本文在簡(jiǎn)諧近似下,求解具有在位勢(shì)的一維雙原子鏈晶格振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程,得到并分析了具有在位勢(shì)的色散關(guān)系.在位勢(shì)對(duì)色散關(guān)系的影響很顯著.首先,在位勢(shì)使色散關(guān)系聲頻支在布里淵區(qū)中心的振動(dòng)頻率ω-(0)不再為零,這是考慮在位勢(shì)時(shí)色散關(guān)系的一個(gè)顯著特征.并且,ω-(0)隨在位勢(shì)的增大而增大.對(duì)于原子之間相互作用勢(shì)不隨在位勢(shì)大小變化的情況下,晶格振動(dòng)的色散關(guān)系的頻隙隨在位勢(shì)的增大而變寬.對(duì)于原子鏈由只有在位勢(shì)的不連續(xù)極限(AC極限),通過在位勢(shì)逐漸減弱而原子間相互作用勢(shì)逐漸增強(qiáng),最后演變到只有原子間相互作用勢(shì)的原子鏈的情況進(jìn)行了討論.隨著在位勢(shì)的減弱和相互作用勢(shì)的增強(qiáng),色散關(guān)系的頻隙由AC極限的孤立輕、重原子簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率之差逐漸變化到通常的無在位勢(shì)的色散關(guān)系頻隙.在布里淵區(qū)中心,隨著在位勢(shì)的減弱