2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試第第頁試題類型：A2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數學詳細解析注意事項： 1.本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷3至5頁. 2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置. 3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效. 4.考試結束后，將本試題和答題卡一并交回.第Ⅰ卷選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（1）設集合，，則（A）（B）（C）（D）【答案】D【詳細解答】，，【試題評析】考察集合運算和簡單不等式解法，屬于必考題型，難易程度：易.（2）設，其中x，y是實數，則（A）1（B）（C）（D）2【答案】B【詳細解答】由題意知：，【試題評析】考察復數相等條件和復數的模，屬于必考題型，難易程度：易.（3）已知等差數列前9項的和為27，，則（A）100（B）99（C）98（D）97【答案】C【詳細解答】解法1：，.解法2：，即，又，解得，【試題評析】考察等差數列的基本性質、前n項和公式和通項公式，屬于必考題型，難易程度：易.（4）某公司的班車在7:00，8:00，8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是（A）EQ\F(1,3)（B）EQ\F(1,2)（C）EQ\F(2,3)（D）EQ\F(3,4)【答案】B【詳細解答】小明可以到達車站時長為40分鐘，可以等到車的時長為20分鐘，則他等車時間不超過10分鐘的概率是，故B選項正確.【試題評析】考察幾何概型的概率計算，第一次考察，難易程度：易.EQ\F(3,4)（5）已知方程EQ\F(x2,m2+n)表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是（A）(–1,3)（B）(–1,EQ\R(3))（C）(0,3)（D）(0,EQ\R(3))【答案】A【詳細解答】由題意知：，解得，，解得，故A選項正確.【試題評析】考察雙曲線的簡單幾何性質，屬于了解層次，必考題，難易程度：易.（6）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是EQ\F(28π,3)，則它的表面積是（A）（B）（C）（D）【答案】A【詳細解答】該幾何體為球體，從球心挖掉整個球的（如右圖所示），故解得，，A選項正確.【試題評析】考察三視圖還原，球的體積表面積計算，經?？疾?，難易程度：中等.（7）函數在的圖像大致為（A）（B）（C）（D）【答案】D【詳細解答】解法1（排除法）：為偶函數，且，故選D..解法2：為偶函數，當時，，作與（如圖1），故存在實數，使得且時，，時，，在上遞減，在上遞增，故選D.【試題評析】本題結合導數利用函數奇偶性，綜合考察函數解析式與函數圖像之間的關系，常規(guī)題型，屬于必考題，難易程度：中等.這類題型的最佳解法應為結合函數的性質，選取特殊點進行排除.（8）若，則（A）（B）（C）（D）【答案】C【詳細解答】解法1（特殊值法），令，易知C正確.解法2：當時，冪函數在上遞增，故A選項錯誤；當時，越大對數函數的圖像越靠近軸，當時，，故D選項錯誤；可化為，由指數函數知，當時，在上遞增，故B選項錯誤；可化為，，故C選項正確.【試題評析】本題綜合考察冪函數、指數函數、對數函數的性質和不等式的性質，屬于?？碱}型，難易程度：中等.結合函數性質證明不等式是比較麻煩的，最好采用特殊值法驗證排除.（9）執(zhí)行右面的程序圖，如果輸入的，則輸出x，y的值滿足（A）（B）（C）（D）【答案】C【詳細解答】時，框圖運行如下：1、2、3、，故C選項正確.【試題評析】考察算法中的循環(huán)結構，必考題型，難易程度：易.(10)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的標準線于D、E兩點.已知|AB|=，|DE|=，則C的焦點到準線的距離為(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【詳細解答】排除法：當時，不妨令拋物線方程為，當時，，即A點坐標為（1，），所以圓的半徑為，此時D點坐標為（-2，），符合題意，故B選項正確.解法2：不妨令拋物線方程為，D點坐標為（，），則圓的半徑為，，即A點坐標為（，），所以，解得，故B選項正確.【試題評析】考察拋物線和圓的簡單性質，必考題型，難易程度：中等.(11)平面a過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABA1B1=n，則m、n所成角的正弦值為(A)(B)(C)(D)【答案】A【詳細解答】令平面a與平面CB1D1重合，則m=B1D1，n=CD1故直線m、n所成角為，正弦值為【試題評析】考察正方體中線面位置關系和兩條直線夾角的計算，必考題型，難易程度：中等.12.已知函數為的零點，為圖像的對稱軸，且在單調，則的最大值為（A）11

（B）9

（C）7

（D）5【答案】B【詳細解答】解法1（特殊值驗證法）令，則周期，區(qū)間剛為，且在上遞減，恰好符合題意，故選B.解法2：由題意知，所以，故選B.【試題評析】綜合考察三角函數圖像的單調性、對稱性、零點、周期等性質，屬于必考題型，難易程度：偏難.第=2\*ROMANII卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題~第(21)題為必考題，每個試題考生都必須作答.第(22)題~第(24)題為選考題，考生根據要求作答.二、填空題：本大題共3小題，每小題5分(13)設向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，則m=.【答案】【詳細解答】解法1（幾何法）由向量加法的幾何意義知，故，所以；解法2（代數法），解得【試題評析】考察向量運算，必考題型，難易程度：易.(14)的展開式中，x3的系數是.（用數字填寫答案）【答案】10【詳細解答】，令，解得，.【試題評析】考察二項式定理展開式中指定項問題，必考題型，難易程度：中等.（15）設等比數列QUOTE滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則的最大值為【答案】64【詳細解答】由a1+a3=10，a2+a4=5解得，，，所以當或4時，有最大值64【試題評析】考察等比數列的通項公式、等差數列求和及二次函數最值問題，必考題型，難易程度：中等.（16）某高科技企業(yè)生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料。生產一件產品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產一件產品A的利潤為2100元，生產一件產品B的利潤為900元.該企業(yè)現有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為元?！敬鸢浮俊驹敿毥獯稹繉㈩}中數據分類整理如下表：產品甲（kg）乙（kg）工時利潤（元）A（件）1.5152100B（件）0.50.33900限制條件15090600設生產A類產品件，B類產品件，兩類產品利潤和為元，則，的限制條件如下：，目標函數為，可行域的頂點坐標分別為，代入目標函數可得【試題評析】考察線性規(guī)劃的應用題，數據較為繁雜，加上平時本類題型訓練不夠充分，容易出錯，由于數據較大本題的可行域較為難作，故采用方程聯立求點代入法，注意點不適合第二個不等式，應舍去，很少考的題型，難易程度：偏難.三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（17）（本題滿分為12分）的內角A，B，C的對邊分別別為a，b，c，已知（=1\*ROMANI）求C；（=2\*ROMANII）若的面積為，求的周長．【詳細解答】（=1\*ROMANI）由得，即，又，；（=2\*ROMANII），，，，所以的周長為.【試題評析】解三角形主要考察三大定理：正弦定理、余弦定理、內角和定理，采用的策略是化統(tǒng)一：統(tǒng)一成純邊或純角問題即可，可概括為一句話：“三大定理化一統(tǒng)”，與數列輪流放在第17題考察，難易程度：中等偏易.（18）（本題滿分為12分）如圖，在已A，B，C，D，E，F為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是．（=1\*ROMANI）證明平面ABEFEFDC；（=2\*ROMANII）求二面角E-BC-A的余弦值．【詳細解答】（=1\*ROMANI），，又,所以平面ABEFEFDC；（=2\*ROMANII）方法1（向量法）以E為坐標原點，EF，EB分別為x軸和y軸建立空間直角坐標系（如圖），設，則，因為二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是，即，易得,,，,設平面與平面的法向量分別為和，則令，則，由，令，則，，所以二面角E-BC-A的余弦值為.解法2（幾何法）將此五面體補成一個直三棱柱BCM-ANF（如右圖所示），過點作于點，則，過點作于點，則為二面角E-BC-M的平面角.設，則，因為二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是，即，，，，，，所以二面角E-BC-A的余弦值為.【試題評析】本題的幾何體為不規(guī)則幾何體，補形構造成規(guī)則幾何體運用傳統(tǒng)幾何法，做輔助線，按照經典的求二面角或距離的步驟：一找二證三求完成或建系運用坐標法解決，整體運算不小，屬于必考題，難度中等.（19）（本小題滿分12分）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發(fā)生的概率，記表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數.（I）求的分布列；（=2\*ROMANII）若要求，確定的最小值；（=3\*ROMANIII）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在與之中選其一，應選用哪個？【詳細解答】（=1\*ROMANI）這100臺機器更換的易損零件數為8,9,10,11時的頻率為分別為，，，，故1臺機器更換的易損零件數為8,9,10,11時發(fā)生的概率分別為，，，，每臺機器更換與否相互獨立，，故兩臺機器更換易損零件個數及對應概率如下表：8（）9（）10（）11（）8（）16（）17（）18（）19（）9（）17（）18（）19（）20（）10（）18（）19（）20（）21（）11（）19（）20（）21（）22（）所以求的分布列為：16171819202122（=2\*ROMANII），所以的最小值為19（=3\*ROMANIII）故至少購買19件，若買19件時費用期望為（元），若買20件時費用期望為（元）所以應選用.【試題評析】本題以實際問題為背景，以頻率作為概率，綜合考察柱狀圖（初中內容），列舉法求概率，離散型隨機變量的分布列，期望。審題較為費勁，特別是第三問帶有創(chuàng)新性與平時訓練題型不同，不冷靜分析難以找到突破口。屬于必考題，偏難.20.（本小題滿分12分）設圓的圓心為A，直線l過點B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；（=2\*ROMANII）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【詳細解答】（=1\*ROMANI）圓心為，圓的半徑為，，，又，，，.所以點E的軌跡是以點和點為焦點，以4為長軸長的橢圓，即，所以點E的軌跡方程為：.（=2\*ROMANII）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，，，此時四邊形MPNQ面積為；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，與橢圓聯立得：，設，則，，直線方程為，即所以圓心到直線的距離為，綜上可知四邊形MPNQ面積的取值范圍為【試題評析】本題以圓為背景，綜合考察橢圓定義，橢圓方程，直線與橢圓關系等知識點，題型常規(guī)，計算量偏大，最后求范圍時需考慮極限知識，屬于必考題型，偏難.（21）（本小題滿分12分）已知函數QUOTE有兩個零點.(I)求a的取值范圍；(II)設是QUOTE的兩個零點，證明：.【詳細解答】（=1\*ROMANI）=1\*GB3①當時，，此時函數只有一個零點，不符合題意舍去；=2\*GB3②當時，由，由，所以在上遞減，在上遞增，，又，所以函數在上只有一個零點，當時，，此時，，所以函數在上只有一個零點此時函數QUOTE有兩個零點.=3\*GB3③當時，，由，由所以在和上遞增，在上遞減，，此時函數至多一個零點，不符合題意，舍去；=4\*GB3④當時，恒成立，此時函數至多一個零點，不符合題意，舍去=5\*GB3⑤當時，，由，由所以在和上遞增，在上遞減，，因為在上遞減，所以此時函數至多一個零點，不符合題意，舍去.綜上可知.(II)由(I)若x1，x2是QUOTE的兩個零點，則，不妨令，則要證QUOTE，只要證，，，當時，在上遞減，且，所以，只要證，，又令，.，在上遞減，當時，，即成立，成立.【試題評析】本題以導數為背景，綜合考察函數的零點、單調性、極值最值等知識點和分類討論、數形結合等數學思想方法，是具有鮮明特色的全國卷壓軸題，重點知識重點考察，不回避熱點，第二問需要構造函數結合第一問結論加以解決，屬于必考題型，難度較大.請考生在22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分,做答時請寫清題號（22）（本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講如圖，OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以O為圓心，QUOTEOA為半徑作圓.（I）證明：直線AB與⊙O相切；（II）點C,D在⊙O上，且A,B,C,D四點共圓，證明：AB∥CD.（23）（本小題滿分10分）選修44：坐標系與參數方程在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為QUOTE（t為參數，a＞0）.在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ=4cosθ.（I）說明C1是哪種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；