19.2菱形2.菱形的判定

菱形的判定方法：①有一組___________的平行四邊形是菱形；②四條邊都________的四邊形是菱形；③對角線_________的平行四邊形是菱形．鄰邊相等相等互相垂直菱形的判定1．(3分)如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，試添加一個條件：______________________，使得平行四邊形ABCD為菱形．AC⊥BD(答案不唯一)2．(3分)如圖，ABCD是對角線互相垂直的四邊形，且OB＝OD，請你添加一個適當?shù)臈l件_______________________，使ABCD成為菱形．OA＝OC(答案不唯一)3．如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC，CE∥BD.求證：四邊形OCED是菱形．解：證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形，又∵在矩形ABCD中，OC＝OD，∴四邊形OCED是菱形一、選擇題(每小題4分，共12分)1．(2014·崇左)下列說法正確的是(

)A．對角線相等的平行四邊形是菱形B．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形C．對角線互相垂直的四邊形是菱形D．有一個角是直角的平行四邊形是菱形B2．如圖，下列條件能使?ABCD為菱形的有(

)①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.A．①③B．②③C．③④D．①②③AA三、解答題(共40分)16．(8分)如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于點E.(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)若點E是AB的中點，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．解：證明：(1)∵AB∥CD，CE∥AD，∴四邊形AECD是平行四邊形．∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC，∴四邊形AECD是菱形(2)△ABC是直角三角形．理由：由(1)得AE＝EC，∴∠EAC＝∠ECA.又∵E是AB的中點，∴EB＝EA＝EC，∴∠B＝∠ECB，而∠EAC＋∠ECA＋∠B＋∠ECB＝180°，∴∠ECA＋∠ECB＝90°，即∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形

17．(10分)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，AF平分∠BAC，分別與BC，CD交于點E，F(xiàn)EH⊥AB于點H，連結(jié)FH.求證：四邊形CFHE是菱形．解：證明：∵∠BCA＝∠EHA＝90°，AE平分∠BAC，∴EC＝EH.又∵∠CAE＋∠AEC＝90°，∠EAD＋∠AFD＝90°，∠AFD＝∠CFE.∴∠CEF＝∠CFE.∴CF＝CE.∴CE＝CF＝EH.又∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴CD∥EH.∴四邊形CFHE是菱形18．(10分)如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點，P，Q分別是BM，DN的中點．(1)求證：△MBA≌△NDC；(2)四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？請說明理由．解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝DC，AD＝BC.∵M，N分別是AD，BC的中點，∴AM＝NC，∴△MBA≌△NDC

(2)四邊形MPNQ是菱形．理由：∵△MBA≌△NDC，∴MB＝DN，∠ABM＝∠CDN.∵P，Q分別是BM，DN的中點，∴PM＝NQ，∵∠ABM＋∠CBM＝90°，∠CDN＋∠CND＝90°，∴∠CBM＝∠CND，∴PM∥NQ，∴四邊形MPNQ是平行四邊形．連結(jié)MN，由題意可得四邊形AMNB是矩形，PN為直角△MNB斜邊上的中線，故PN＝MP，∴四邊形MPNQ是菱形【綜合運用】19．(12分)如圖，以△ABC的三邊在BC的同側(cè)分別作三個等邊三角形△ABD，△BCE，△ACF.(1)四邊形ADEF是什么四邊形？為什么？(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形？請證明你的猜想；(3)當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是菱形？為什么？(4)當△ABC滿足什么條件時，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形不存在？

解：(1)平行四邊形，理由：由SAS可證△DBE