二、分類討論思想第一部分內(nèi)容索引0102思想方法?聚焦詮釋高頻考點(diǎn)?探究突破03預(yù)測演練?鞏固提升思想方法?聚焦詮釋【高考命題聚焦】

從近五年的高考試題來看,分類討論思想在高考試題中頻繁出現(xiàn),已成為高考數(shù)學(xué)試題的一個(gè)熱點(diǎn),也是高考的難點(diǎn).高考中經(jīng)常會(huì)有幾道題,解題思路直接依賴于分類討論,特別在解答題中(尤其是導(dǎo)數(shù)與函數(shù))常有一道分類求解的壓軸題,選擇題、填空題也會(huì)出現(xiàn)不同情形的分類討論題.【思想方法詮釋】

1.分類討論思想的含義分類討論思想就是當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí),需要把研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類,然后對(duì)每一類分別研究,得出每一類的結(jié)論,最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的答案.對(duì)問題實(shí)行分類,分類標(biāo)準(zhǔn)等于是增加的一個(gè)已知條件,實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè),將大問題分解為小問題,優(yōu)化了解題思路,降低了問題難度.2.分類討論思想在解題中的應(yīng)用(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論.(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論.(3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論.(4)由圖形的不確定性引起的分類討論.(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論.(6)由實(shí)際意義引起的分類討論,特別是在解決排列、組合中的計(jì)數(shù)問題時(shí)常用.高頻考點(diǎn)?探究突破命題熱點(diǎn)一根據(jù)數(shù)學(xué)概念的分類討論【思考】

在中學(xué)數(shù)學(xué)中,哪些概念會(huì)引起分類討論?例1(2022江蘇南京三模)已知f(x)=若對(duì)任意x≥1,f(x+2m)+mf(x)>0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:

當(dāng)m≥0時(shí),對(duì)任意x≥1,f(x+2m)+mf(x)=(x+2m)2+mx2>0,符合題意;當(dāng)m<0時(shí),對(duì)任意x≥1,f(x+2m)+mf(x)>0,題后反思有許多核心的數(shù)學(xué)概念是分類的,由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論,如絕對(duì)值的定義、二次函數(shù)的定義、分段函數(shù)的定義、異面直線所成角的定義、直線的斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等.解:

(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=4.an=4n(n≥2),又a1=4也滿足上式,所以an=4n(n∈N*).命題熱點(diǎn)二根據(jù)運(yùn)算、定理、公式進(jìn)行的分類討論【思考】

哪些運(yùn)算的要求或性質(zhì)、定理、公式的條件會(huì)引起分類討論?例2設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點(diǎn)M,且M為線段AB的中點(diǎn),若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是(

)A.(1,3) B.(1,4)C.(2,3) D.(2,4)D解析:

如圖,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),兩式相減,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).題后反思1.在中學(xué)數(shù)學(xué)中,一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,基本不等式,等比數(shù)列的求和公式在不同的條件下有不同的結(jié)論,或者在一定的限制條件下才成立,應(yīng)根據(jù)題目條件確定是否需要進(jìn)行分類討論.2.有些分類討論的問題是由運(yùn)算的需要引發(fā)的.比如除法運(yùn)算中除數(shù)能否為零的討論;解方程及不等式時(shí),兩邊同乘一個(gè)數(shù)是否為零,是正數(shù),還是負(fù)數(shù)的討論;二次方程運(yùn)算中對(duì)兩根大小的討論;求函數(shù)的單調(diào)性時(shí),導(dǎo)數(shù)正負(fù)的討論;排序問題;差值比較中的差的正負(fù)的討論;有關(guān)去絕對(duì)值或根號(hào)問題中等價(jià)變形引發(fā)的討論等.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2022廣西柳州模擬)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(-1)n(2n-1)·cos+1(n∈N*),其前n項(xiàng)和為Sn,則S120=(

)A.-60 B.-120C.180 D.240D命題熱點(diǎn)三根據(jù)圖形位置或形狀變動(dòng)分類討論【思考】

由圖形位置或形狀變動(dòng)引發(fā)的討論有哪些?例3若x,y滿足

當(dāng)3≤s≤5時(shí),則z=3x+2y的最大值的取值范圍是(

)A.[6,15] B.[7,15]C.[6,8] D.[7,8]D如圖,可得A(2,0),B(4-s,2s-4),C(0,s),C'(0,4).①當(dāng)3≤s<4時(shí),不等式組所表示的可行域是四邊形OABC及其內(nèi)部,此時(shí)z=3x+2y在點(diǎn)B處取得最大值,且zmax=3(4-s)+2(2s-4)=s+4,由3≤s<4,得7≤zmax<8.②當(dāng)4≤s≤5時(shí),不等式組所表示的可行域是△OAC'及其內(nèi)部,此時(shí)z=3x+2y在點(diǎn)C'處取得最大值,且zmax=8.綜上①②可知,z=3x+2y的最大值的變化范圍是[7,8].題后反思一般由圖形的位置或形狀變動(dòng)引發(fā)的討論包括:二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸位置的變動(dòng);函數(shù)問題中區(qū)間的變動(dòng);函數(shù)圖象形狀的變動(dòng);直線由斜率引起的位置變動(dòng);圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變動(dòng)或由離心率引起的形狀變動(dòng);立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變動(dòng)等.命題熱點(diǎn)四根據(jù)參數(shù)的取值情況分類討論【思考】

題目中含有參數(shù)的分類討論問題主要有哪些?求解的一般思路是什么?例4(2022廣西南寧三中一模)已知函數(shù)f(x)=ex-2ax.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)g(x)=f(x)-cosx

在區(qū)間

上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解:

(1)∵f(x)=ex-2ax,∴f'(x)=ex-2a.當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0恒成立,則f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,解得x=ln

2a,當(dāng)x∈(-∞,ln

2a)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(ln

2a,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,ln

2a)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(ln

2a,+∞)上單調(diào)遞增.題后反思含有參數(shù)的分類討論問題主要包括:(1)含有參數(shù)的不等式的求解;(2)含有參數(shù)的方程的求解;(3)函數(shù)解析式中含參數(shù)的最值與單調(diào)性問題;(4)二元二次方程表示曲線類型的判定等.求解這類問題的一般思路是:結(jié)合參數(shù)的意義及參數(shù)對(duì)結(jié)果的影響進(jìn)行分類討論.討論時(shí),應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況,參數(shù)有幾何意義時(shí)還要考慮適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值;(2)若過點(diǎn)P(1,t)存在三條直線與曲線y=f(x)相切,求t的取值范圍.設(shè)g(x)=4x3-6x2+t+3,則“過點(diǎn)P(1,t)存在三條直線與曲線y=f(x)相切”等價(jià)于“g(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)”,g'(x)=12x2-12x=12x(x-1),g(x)與g'(x)的變化情況如下:x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)g'(x)+0-0+g(x)↗t+3↘t+1↗所以,g(0)=t+3是g(x)的極大值,g(1)=t+1是g(x)的極小值,當(dāng)g(0)=t+3≤0,即t≤-3時(shí),g(x)在區(qū)間(-∞,1]和(1,+∞)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn),所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn),當(dāng)g(1)=t+1≥0,即t≥-1時(shí),g(x)在區(qū)間(-∞,0)和[0,+∞)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn),所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn).當(dāng)g(0)>0,且g(1)<0,即-3<t<-1時(shí),因?yàn)間(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分別在區(qū)間[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1個(gè)零點(diǎn),由于g(x)在區(qū)間(-∞,0)和(1,+∞)上單調(diào),所以g(x)分別在區(qū)間(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1個(gè)零點(diǎn).綜上可知,當(dāng)過點(diǎn)P(1,t)存在三條直線與曲線y=f(x)相切時(shí),t的取值范圍是(-3,-1).預(yù)測演練?鞏固提升CD所以g'(x)>0.所以g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,則g(x)>g(1)=1-2a.所以g'(x)>0.所以g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,則g(x)>g(1)=1-2a.當(dāng)1-2a≥0時(shí),g(x)>0,則f'(x)>0,所以f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,則f(x)>f(1)=0,所以f(x)在區(qū)間(1,+∞)上沒有零點(diǎn).當(dāng)1-2a<0,即a>時(shí),因?yàn)間(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,則存在唯一的x0∈(1,+∞),使得g(x0)=0,且當(dāng)x∈(1,x0)時(shí),g(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),g(x)>0,所以當(dāng)x∈(1,x0)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x=x0時(shí),f(x)取得最小值f(x0).因?yàn)閒(x0)<f(1)=0,當(dāng)x趨于+∞時(shí),f(x)趨于+∞.所以當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f(x)一定存在一個(gè)零點(diǎn).3.(2022廣西防城港模擬)已知一圓柱的側(cè)面展開圖是長12cm,寬8cm的矩形,則這個(gè)圓柱的體積為

.

4.(2022廣西百色高中檢測)已知函數(shù)f(x)=2sinωx在區(qū)間[-]上的最小值為-2,則ω的取值范圍是

.

5.(2022廣西玉林模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx-a(x-1).(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的極值;(2)當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)≤-lnx,求a的取值范圍.當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),