頁第三節(jié)隨機(jī)事件的概率、古典概型核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.結(jié)合隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)，考查對(duì)概率意義及基本性質(zhì)的理解，凸顯數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合概率的意義及事件的概念，考查事件的關(guān)系及運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．3．理解古典概型及其概率計(jì)算公式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．4．結(jié)合古典概型的概率公式及基本事件的概念，考查古典概型的概率計(jì)算公式，凸顯數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．事件的分類確定事件必然事件在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件叫相對(duì)于條件S的必然事件不可能事件在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件叫相對(duì)于條件S的不可能事件隨機(jī)事件在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件2．頻率與概率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A發(fā)生的概率，簡(jiǎn)稱為A的概率．3．事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號(hào)表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?BA＝B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對(duì)立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件A∩B＝?，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝14．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率為eq\a\vs4\al(1).(3)不可能事件的概率為eq\a\vs4\al(0).(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，P(A∪B)＝eq\a\vs4\al(1)，P(A)＝1﹣P(B)．5．基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件都是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．6．古典概型(1)古典概型的特點(diǎn)①有限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(2)古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù)).[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶B．兩次都中靶C．只有一次中靶D．兩次都不中靶2．若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.73．?dāng)S兩顆均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于()A.eq\f(1,18)B．eq\f(1,9)C.eq\f(1,6)D．eq\f(1,12)二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1．袋中裝有3個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則①恰有1個(gè)白球和全是白球；②至少有1個(gè)白球和全是黑球；③至少有1個(gè)白球和至少有2個(gè)白球；④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球．在上述事件中，是互斥事件但不是對(duì)立事件的為()A．①B．②C．③D．④2．兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是()A.eq\f(1,6)B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)3．給出下列三個(gè)命題，其中正確命題有________個(gè)．①有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是eq\f(3,7)；③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率．考點(diǎn)一隨機(jī)事件的頻率和概率[典例]某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．[方法技巧]1．概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．2．隨機(jī)事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．[針對(duì)訓(xùn)練]電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率．(2)隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒有獲得好評(píng)的概率．(3)電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化．假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1，哪類電影的好評(píng)率減少0.1，使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？(只需寫出結(jié)論)考點(diǎn)二互斥事件、對(duì)立事件的概率[典例]一盒中裝有大小和質(zhì)地均相同的12只小球，其中5個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，1個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出的小球是紅球或黑球的概率；(2)取出的小球是紅球或黑球或白球的概率．[方法技巧]復(fù)雜的互斥事件的概率的兩種求法直接法第一步，根據(jù)題意將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和；第二步，運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算概率間接法第一步，求事件的對(duì)立事件的概率；第二步，運(yùn)用公式P(A)＝1﹣P(eq\x\to(A))求解．特別是含有“至多”“至少”的題目，用間接法就顯得比較簡(jiǎn)便[針對(duì)訓(xùn)練]經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率；(2)至少3人排隊(duì)等候的概率．考點(diǎn)三古典概型考法(一)簡(jiǎn)單的古典概型[例1](1)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是()A.eq\f(1,12)B．eq\f(1,14)C.eq\f(1,15)D．eq\f(1,18)(2)設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為()A.eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C.eq\f(1,2)D．eq\f(4,5)[方法技巧]求古典概型概率的3步驟考法(二)古典概型與其他知識(shí)的交匯[例2](1)已知向量a＝(x，y)，b＝(1，﹣2)，從6張大小相同分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取兩張，x，y分別表示第一次、第二次抽取的卡片上的號(hào)碼，則滿足a·b＞0的概率是()A.eq\f(1,12)B．eq\f(3,4)C.eq\f(1,5)D．eq\f(1,6)(2)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x﹣2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)的概率為________．[方法技巧]求解古典概型與其他知識(shí)交匯問題的思路解決古典概型與其他知識(shí)交匯問題，其關(guān)鍵是將平面向量、直線與圓、函數(shù)的單調(diào)性及方程的根情況轉(zhuǎn)化為概率模型，再按照求古典概型的步驟求解．[針對(duì)訓(xùn)練]1．在3張卡片上分別寫上3位同學(xué)的學(xué)號(hào)后，再把卡片隨機(jī)分給這3位同學(xué)，每人1張，則恰有1位學(xué)生分到寫有自己學(xué)號(hào)卡片的概率為()A.eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)2．從集合A＝{﹣2，﹣1,2}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為a，從集合B＝{﹣1,1,3}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為b，則直線ax﹣y＋b＝0不經(jīng)過第四象限的概率為()A.eq\f(2,9)B．eq\f(1,3)C.eq\f(4,9)D．eq\f(1,4)3．在某次測(cè)驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分．用xn表示編號(hào)為n(n＝1,2，…，6)的同學(xué)所得成績，且前5位同學(xué)的成績?nèi)缦拢壕幪?hào)n12345成績xn7076727072(1)求第6位同學(xué)的成績x6，及這6位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差s.(2)從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間(68,75)中的概率．創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動(dòng)向1．食物鏈亦稱“營養(yǎng)鏈”，是指生態(tài)系統(tǒng)中各種生物為維持其本身的生命活動(dòng)，必須以其他生物為食物的這種由食物聯(lián)結(jié)起來的鏈鎖關(guān)系．這種攝食關(guān)系，實(shí)際上是太陽能從一種生物轉(zhuǎn)到另一種生物的關(guān)系，也即物質(zhì)能量通過食物鏈的方式流動(dòng)和轉(zhuǎn)換．如圖為某個(gè)生態(tài)環(huán)境中的食物鏈，若從鷹、麻雀、兔、田鼠以及蝗蟲中任意選取兩種，則這兩種生物恰好構(gòu)成攝食關(guān)系的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D．eq\f(2,3)2．(多選)同時(shí)拋擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的四面分別標(biāo)有1,2,3,4的正四面體一次，記事件A＝{第一個(gè)四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)}，事件B＝{第二個(gè)四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)}，事件C＝{兩個(gè)四面體向下的一面同時(shí)出現(xiàn)奇數(shù)，或者同時(shí)出現(xiàn)偶數(shù)}．則下列說法正確的是()A．P(A)＝P(B)＝P(C)B．P(AB)＝P(AC)＝P(BC)C．P(ABC)＝eq\f(1,8)D．P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,8)3．古代人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識(shí)技藝過人，這里的“六藝”包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”．為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校開展了“六藝”知識(shí)講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須安排在前兩節(jié)、“禮”和“樂”必須分開安排的概率為________．4.中國象棋是中華文化的瑰寶，中國象棋棋盤上的“米”字形方格叫作九宮．現(xiàn)有一張中國象棋棋盤的示意圖如圖所示．若在矩形ABCD內(nèi)(其中楚河漢界寬度等于每個(gè)小格的邊長)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在九宮內(nèi)的概率是________．eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．在下列六個(gè)事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為()①如果a，b都是實(shí)數(shù)，那么a＋b＝b＋a；②從分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，得?號(hào)簽；③沒有水分，種子發(fā)芽；④某電話總機(jī)在60秒內(nèi)接到至少10次呼叫；⑤在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的溫度達(dá)到50℃時(shí)沸騰；⑥同性電荷，相互排斥．A．2B．3C．4D．52．從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.3，該同學(xué)的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過175cm的概率為()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.83．某單位安排甲去參加周一至周五的公益活動(dòng)，需要從周一至周五選擇三天參加活動(dòng)，那么甲連續(xù)三天參加活動(dòng)的概率為()A.eq\f(3,10)B．eq\f(3,20)C.eq\f(2,5)D．eq\f(1,2)4．(多選)從1～20這20個(gè)整數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，設(shè)事件A表示選到的數(shù)能被2整除，事件B表示選到的數(shù)能被3整除，則對(duì)下列事件概率描述正確的是()A．P(A)＝eq\f(1,2)B．P(A∩B)＝eq\f(3,20)C．P(A∪B)＝eq\f(9,20)D．P(eq\x\to(A)∩eq\x\to(B))＝eq\f(7,20)5．公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率的值的范圍是3.1415926<π<3.1415927.為紀(jì)念祖沖之在圓周率上的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學(xué)的偉大成就．某小學(xué)教師為幫助同學(xué)們了解“祖率”，讓同學(xué)們從小數(shù)點(diǎn)后的7位數(shù)字1,4,1,5,9,2,6中隨機(jī)選取2位數(shù)字，整數(shù)部分3不變，那么得到的數(shù)大于3.14的概率為()A.eq\f(28,31)B．eq\f(19,21)C.eq\f(22,31)D．eq\f(17,21)二、綜合練——練思維敏銳度1．某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%2．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是()A.eq\f(5,16)B．eq\f(11,32)C.eq\f(21,32)D．eq\f(11,16)3．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，都是白子的概率為eq\f(12,35).則從中任意取出2粒恰好是同一顏色的概率為()A.eq\f(1,7)B．eq\f(12,35)C.eq\f(17,35)D．14．有3個(gè)不相識(shí)的人某天各自乘同一列火車外出，假設(shè)火車有10節(jié)車廂，那么至少有2人在同一節(jié)車廂的概率為()A.eq\f(29,200)B．eq\f(7,25)C.eq\f(29,144)D．eq\f(7,18)5．從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長的概率為()A.eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)6.如圖，《宋人撲棗圖軸》是作于宋朝的中國古畫，現(xiàn)收藏于中國臺(tái)北故宮博物院．該作品簡(jiǎn)介：院角的棗樹結(jié)實(shí)累累，小孩群來攀扯，枝丫不?；蝿?dòng)，粒粒棗子搖落滿地，有的牽起衣角，有的捧著盤子拾取，又玩又吃，一片興高采烈之情躍然于絹素之上．甲、乙、丙、丁四人想根據(jù)該圖編排一個(gè)舞蹈，舞蹈中他們要模仿該圖中小孩撲棗的爬、扶、撿、頂四個(gè)動(dòng)作，四人每人模仿一個(gè)動(dòng)作．若他們采用抽簽的方式來決定誰模仿哪個(gè)動(dòng)作，則甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是()A.eq\f(3,4)B．eq\f(7,12)C.eq\f(1,2)D．eq\f(5,12)7．著名的“3N＋1猜想”是指對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n，若n是偶數(shù)，則讓它變成eq\f(n,2)；若n是奇數(shù)，則讓它變成3n＋1.如此循環(huán)，最終都會(huì)變成1.若數(shù)字5,6,7,8,9按照以上猜想進(jìn)行變換，則變換次數(shù)為奇數(shù)的概率為()A.eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)8．(多選)已知m∈{1,2,3,4}，n∈{2,3,6,8}，設(shè)向量p＝(m，n)，且a＝(3,6)，b＝(2