2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)期末壓軸題型專練（解答題35題）試題滿分：150分考試時(shí)間：90分鐘試卷難度：0.47試題說明：精選各地名校期中期末真題中難度題目，對(duì)蘇科版八年級(jí)上冊(cè)1-6章知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容強(qiáng)化鞏固，優(yōu)選30道解答題，結(jié)合易錯(cuò)，常考類題型著重復(fù)習(xí)，進(jìn)一步提升學(xué)生的解題技巧，減少失誤，優(yōu)化方法。加強(qiáng)幾何與計(jì)算的綜合能力1．（4分）（2020秋?蘇州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．求AE的長(zhǎng)．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝＝6，連接BE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，設(shè)AE＝BE＝x，則CE＝8﹣x，在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，∴62+（8﹣x）2＝x2，解得x＝，∴AE＝．2．（6分）（2022秋?儀征市期末）某商店出售普通練習(xí)本和精裝練習(xí)本，150本普通練習(xí)本和100精裝練習(xí)本銷售總額為1450元；200本普通練習(xí)本和50精裝練習(xí)本銷售總額為1100元．（1）求普通練習(xí)本和精裝練習(xí)本的銷售單價(jià)分別是多少？（2）該商店計(jì)劃再次購進(jìn)500本練習(xí)本，普通練習(xí)本的數(shù)量不低于精裝練習(xí)本數(shù)量的3倍，已知普通練習(xí)本的進(jìn)價(jià)為2元/個(gè)，精裝練習(xí)本的進(jìn)價(jià)為7元/個(gè)，設(shè)購買普通練習(xí)本x個(gè)，獲得的利潤(rùn)為W元；①求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②該商店應(yīng)如何進(jìn)貨才能使銷售總利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．解：（1）設(shè)普通練習(xí)本的銷售單價(jià)為m元，精裝練習(xí)本的銷售單價(jià)為n元，由題意可得：，解得，答：普通練習(xí)本的銷售單價(jià)為3元，精裝練習(xí)本的銷售單價(jià)為10元；（2）①購買普通練習(xí)本x個(gè)，則購買精裝練習(xí)本（500﹣x）個(gè)，由題意可得：W＝（3﹣2）x+（10﹣7）（500﹣x）＝﹣2x+1500，∵普通練習(xí)本的數(shù)量不低于精裝練習(xí)本數(shù)量的3倍，∴x≥3（500﹣x），解得x≥375，即W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是；W＝﹣2x+1500（375≤x≤500）；②∵W＝﹣2x+1500，∴W隨x的增大而減小，∵375≤x≤500，∴當(dāng)x＝375時(shí)，W取得最大值，此時(shí)W＝750，500﹣x＝125，答：當(dāng)購買375個(gè)普通練習(xí)本，125個(gè)精裝練習(xí)，銷售總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)為750元．3．（4分）（2022秋?興化市校級(jí)期末）如圖，A、B兩點(diǎn)分別在射線OM，ON上，點(diǎn)C在∠MON的內(nèi)部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分別為D，E，且AD＝BE．（1）求證：OC平分∠MON；（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的長(zhǎng)．（1）證明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，在Rt△ADC和Rt△BEC中，，∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），∴CD＝CE，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴OC平分∠MON；（2）解：∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3，∴BE＝AD＝3，∵BO＝4，∴OE＝OB+BE＝4+3＝7，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，在Rt△DOC和Rt△EOC中，，∴Rt△DOC≌Rt△EOC（HL），∴OD＝OE＝7，∵AD＝3，∴OA＝OD+AD＝7+3＝10．4．（4分）（2022秋?秦淮區(qū)期末）已知一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)B（0，2），與x軸交于點(diǎn)A．（1）求b的值和點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）畫出此函數(shù)的圖象；觀察圖象，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是0＜x＜4；（3）若點(diǎn)C是y軸上一點(diǎn)，△ABC的面積為6，則點(diǎn)C點(diǎn)坐標(biāo)是多少？解：（1）∵一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)B（0，2），∴b＝2．∵當(dāng)y＝0時(shí)，，解得x＝4．∴A（4，0）；（2）畫出函數(shù)圖象如圖：觀察圖象，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是0＜x＜4．故答案為：0＜x＜4；（3）∵A（4，0），∴OA＝4．∵S△ABC＝6，∴，解得BC＝3．∴C的坐標(biāo)為（0，5）或（0，﹣1）．5．（4分）（2021秋?句容市期末）某地出租車計(jì)費(fèi)方法如圖所示，x（km）表示行駛里程，y（元）表示車費(fèi)，請(qǐng)根據(jù)圖象回答下面的問題：（1）該地出租車的起步價(jià)是10元；（2）當(dāng)x＞3時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）若某乘客一次乘出租車的車費(fèi)為40元，求這位乘客乘車的里程．解：（1）出租車的起步價(jià)是10元（3km及以內(nèi)）；故答案為：10；（2）由圖象知，y與x的圖象為一次函數(shù)，并且經(jīng)過點(diǎn)（3，10），（5，14），所以設(shè)y與x的關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），則有：，解得，∴y＝2x+4（x＞3）；（3）由題意，該乘客乘車?yán)锍坛^了3km，則2x+4＝40，解得x＝18．故這位乘客乘車的里程為18km．6．（6分）（2022秋?常州期末）某企業(yè)接到一批服裝生產(chǎn)任務(wù)，要求15天完成，為按時(shí)完成任務(wù)，若干天后，該企業(yè)增加了一定數(shù)目的生產(chǎn)工人，該企業(yè)能x天累計(jì)生產(chǎn)服裝的數(shù)量為y件，y與x之間的關(guān)系如圖所示．（1）這批服裝一共有800件，寫出點(diǎn)A的實(shí)際意義該企業(yè)前5天累計(jì)生產(chǎn)服裝200件；（2）求增加工人后y與x的函數(shù)表達(dá)式；（3）已知這批服裝的出廠價(jià)為每件80元，由于特殊原因，原材料緊缺，服裝的成本前5天為每件50元，從第6天起每件的成本比原先增加了10元，問前幾天的總利潤(rùn)恰好為9600元（利潤(rùn)＝出廠價(jià)﹣成本）？解：（1）根據(jù)圖象可知，這批服裝一共有800件，點(diǎn)A表示該企業(yè)前5天累計(jì)生產(chǎn)服裝200件，故答案為：800，該企業(yè)前5天累計(jì)生產(chǎn)服裝200件；（2）設(shè)增加工人后y與x的函數(shù)表達(dá)式為y＝mx+n（m≠0），將A（5，200）、B（15，800）代入，得，解得，∴y＝60x﹣100；（3）設(shè)前x天的總利潤(rùn)恰好為9600元．當(dāng)x≤5時(shí)，（80﹣50）?40x≤6000＜9600，不符合題意；當(dāng)x＞5時(shí)，6000+（60x﹣100﹣200）（80﹣50﹣10）＝9600．解得x＝8．答：前8天的總利潤(rùn)恰好為9600元，7．（6分）（2019秋?姑蘇區(qū)期末）已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作等邊△ADE．（1）如圖①，點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)時(shí)，直接寫出∠BAD和∠CAE的大小關(guān)系；（2）如圖②③，點(diǎn)D在線段BC（或CB）的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，猜想∠DCE的大小是否發(fā)生變化．若不變請(qǐng)求出其大小；若變化，請(qǐng)說明理由．解：（1）∠BAD＝∠CAE；理由：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE；（2）∠DCE＝60°，不發(fā)生變化；理由如下：如圖②：∵△ABC，△ADE是等邊三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝60°，∴∠DCE＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝60°；如圖③：∵△ABC是等邊三角形，△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，AD＝AE．∴∠ABD＝120°，∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE∴∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝120°．∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACB＝120°﹣60°＝60°．8．（5分）（2021秋?江陰市期末）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步恰竿齊，五尺板高離地…”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千OA靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺（AC＝1尺），將它往前推進(jìn)兩步（EB＝10尺），此時(shí)踏板升高離地五尺（BD＝5尺），求秋千繩索（OA或OB）的長(zhǎng)度．解：設(shè)OA＝OB＝x尺，∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，根據(jù)勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，整理得：8x＝116，即2x＝29，解得：x＝14.5．則秋千繩索的長(zhǎng)度為14.5尺．9．（6分）（2014秋?丹陽市校級(jí)期末）某單位計(jì)劃10月份組織員工到外地旅游，估計(jì)人數(shù)在6～15人之間．甲、乙量旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且對(duì)外報(bào)價(jià)都是200元/人，該單位聯(lián)系時(shí)，甲旅行社表示可給予每位游客8折優(yōu)惠；乙旅行社表示，可先免去一位游客的旅游費(fèi)用，其余游客9折優(yōu)惠．（1）分別寫出兩旅行社所報(bào)旅游費(fèi)用y與人數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式．（2）人數(shù)為多少時(shí)選擇兩家旅行社價(jià)格都一樣？（3）當(dāng)人數(shù)在什么范圍內(nèi)應(yīng)選擇乙旅行社？解：（1）由題意，得y甲＝200×0.8x＝160x，y乙＝200×0.9（x﹣1）＝180x﹣180；答：兩旅行社所報(bào)旅游費(fèi)用y與人數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式為：y甲＝160x，y乙＝180x﹣180；（2）由題意，得160x＝180x﹣180，解得：x＝9．答：人數(shù)為9人時(shí)選擇兩家旅行社價(jià)格都一樣；（3）由題意，得160x＞180x﹣180，解得：x＜9答：人數(shù)在9人以下時(shí)應(yīng)選擇乙旅行社．10．（5分）（2022秋?常州期末）數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端A的繩子沿旗桿垂到地面時(shí)，測(cè)得多出部分BC的長(zhǎng)為2m（如圖1），再將繩子拉直（如圖2），測(cè)得繩子末端的位置D到旗桿底部B的距離為6m，求旗桿AB的長(zhǎng)．解：設(shè)旗桿AB的長(zhǎng)為xm．根據(jù)題意，得∠ABD＝90°，BD＝6m，AD＝（x+2）m．在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∴AB2+BD2＝AD2．∴x2+62＝（x+2）2．解方程，得x＝8．答：旗桿AB的長(zhǎng)為8m．11．（6分）（2017秋?連云區(qū)期末）小聰和小明沿同一條筆直的馬路同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到某圖書館查閱資料，學(xué)校與圖書館的路程是4千米，小聰騎自行車，小明步行，當(dāng)小聰從原路回到學(xué)校時(shí)，小明剛好到達(dá)圖書館，圖中折線O﹣A﹣B﹣C和線段OD分別表示兩人離學(xué)校的路程s（千米）與所經(jīng)過的時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問題：（1）小聰在圖書館查閱資料的時(shí)間為20分鐘，小聰返回學(xué)校的速度為0.2千米/分鐘；（2）請(qǐng)你求出小明離開學(xué)校的路程s（千米）與所經(jīng)過的時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)表達(dá)式；（3）若設(shè)兩人在路上相距不超過0.4千米時(shí)稱為可以“互相望見”，則小聰和小明可以“互相望見”的時(shí)間共有多少分鐘？解：（1）由題意，得小聰在圖書館查閱資料的時(shí)間為20分鐘．小聰返回學(xué)校的速度為4÷20＝0.2千米/分鐘．故答案為：20，0.2；（2）設(shè)小明離開學(xué)校的路程s（千米）與所經(jīng)過的時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)表達(dá)式為s＝kt，由題意，得4＝60k，解得：k＝．∴所求函數(shù)表達(dá)式為s＝t（0≤t≤60）．（3）小聰、小明同時(shí)出發(fā)后，在小聰?shù)竭_(dá)圖書館之前，兩人相距0.4千米時(shí)，0.4÷（0.2﹣）＝3；當(dāng)小聰從圖書館返回時(shí)：設(shè)直線BC的解析式為s＝k1t+b，由題意，得，解得：∴直線BC的函數(shù)式為：（40≤t≤60）．當(dāng)小聰、小明在相遇之前，剛好可以“互相望見”時(shí)，即兩人相距0.4千米時(shí)，﹣t＝0.4，解得t＝；當(dāng)小聰、小明在相遇之后，剛好可以“互相望見”時(shí)，即兩人相距0.4千米時(shí)，t﹣＝0.4，解得t＝．∴所以兩人可以“互相望見”的時(shí)間為：﹣＝3（分鐘）綜上可知，兩人可以“互相望見”的總時(shí)間為3+3＝6（分鐘）．12．（5分）（2021秋?蘇州期末）如圖，AD是△ABC的中線，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF是△ABD的中線，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求證：∠ADC＝90°；（2）求DF的長(zhǎng)．證明：（1）∵DE⊥AC于點(diǎn)E，∴∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴AD2＝AE2+DE2＝82+42＝80，同理：CD2＝20，∴AD2+CD2＝100，∵AC＝AE+CE＝8+2＝10，∴AC2＝100，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC＝90°；（2）∵AD是△ABC的中線，∠ADC＝90°，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC＝10，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∵點(diǎn)F是邊AB的中點(diǎn)，∴DF＝．13．（5分）（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止在AD的位置時(shí)，踏板離地的垂直高度為0.6m，將秋千AD往前推送3m，到達(dá)AB的位置，此時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度為1.6m，秋千的繩索始終保持拉直的狀態(tài)．（1）根據(jù)題意，BF＝1.6m，BC＝3m，CD＝1m；（2）根據(jù)（1）中求得的數(shù)據(jù)，求秋千的長(zhǎng)度．（3）如果想要踏板離地的垂直高度為2.6m時(shí)，需要將秋千AD往前推送4m．解：（1）由題意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，∴四邊形BCEF是矩形，∴CE＝BF＝1.6m，∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m），故答案為：1.6，3，1；（2）∵BC⊥AC，∴∠ACB＝90°，設(shè)秋千的長(zhǎng)度為xm，則AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即（x﹣1）2+32＝x2，解得：x＝5（m），即秋千的長(zhǎng)度是5m；（3）當(dāng)BF＝2.6m時(shí)，CE＝2.6m，∵DE＝0.6m，∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m），由（2）可知，AD＝AB＝5m，∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（m），即需要將秋千AD往前推送4m，故答案為：4．14．（4分）（2017秋?泰興市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，求證：DE＝DF．證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∴DB＝DC，∴在△DBE和△DCF中，∴△DBE≌DCF（AAS），∴DE＝DF．解法二：連接AD，由等腰三角形三線合一可以知道AD是△ABC的角平分線，再由DE⊥AB，DF⊥AC，及角平分線的性質(zhì)可得結(jié)論．15．（5分）（2022秋?玄武區(qū)期末）甲、乙兩人沿同一條筆直的路同時(shí)從A地出發(fā)，甲從A地勻速步行，途經(jīng)B地，到達(dá)C地后立即原路原速返回；乙從A地勻速步行，到達(dá)B地后立即原路原速返回；兩人恰好同時(shí)返回到A地．設(shè)甲步行的時(shí)間為t（h），甲、乙兩人離B地的距離分別為y1（km）、y2（km），圖中的折線表示y1與t之間的函數(shù)關(guān)系．（1）A、C兩地之間的距離為18km，甲步行的速度為6km/h；（2）求圖中線段MN所表示的y1關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量t的取值范圍；（3）在同一個(gè)坐標(biāo)系中，畫出y2關(guān)于t的函數(shù)圖象．解：（1）由圖象可知，A、C兩地之間的距離為12+6＝18（km），甲步行的速度為＝6（km/h），故答案為：18，6；（2）∵M(jìn)點(diǎn)即甲到C地，∴M（3，6），甲從C地返回B地所用時(shí)間為：＝1（h），∴N（4，0），設(shè)MN所表示的y1關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為y1＝kt+b，∴，解得，∴MN所表示的y1關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)1＝﹣6t+24；（3）甲乙兩人同時(shí)出發(fā)同時(shí)返回，說明所用時(shí)間相同，∴乙從A地到B地時(shí)間為6÷2＝3（h），如圖所示：16．（4分）（2018秋?金湖縣期末）已知：如圖，△ABC與△BDE都是等邊三角形，且點(diǎn)D在邊AC上，并與端點(diǎn)A、C不重合．求證：△ABE≌△CBD．證明：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠ABE＝∠CBD．∴△ABE≌△CBD（SAS）．17．（5分）（2022秋?興化市期末）客運(yùn)公司規(guī)定旅客可免費(fèi)攜帶一定質(zhì)量的行李，當(dāng)行李質(zhì)量超過規(guī)定時(shí)，需付的行李費(fèi)y（元）是行李質(zhì)量x（kg）的一次函數(shù)，且部分對(duì)應(yīng)關(guān)系如表所示．x（kg）…304050…y（元）…468…（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）求旅客最多可免費(fèi)攜帶行李的質(zhì)量；（3）當(dāng)行李費(fèi)2≤y≤7（元）時(shí)，可攜帶行李的質(zhì)量x（kg）的取值范圍是20≤x≤45．解：（1）∵y是x的一次函數(shù)，∴設(shè)y＝kx+b（k≠0）將x＝30，y＝4；x＝40，y＝6分別代入y＝kx+b，得，解得：∴函數(shù)表達(dá)式為y＝0.2x﹣2，（2）將y＝0代入y＝0.2x﹣2，得0＝0.2x﹣2，∴x＝10，（3）把y＝2代入解析式，可得：x＝20，把y＝7代入解析式，可得：x＝45，所以可攜帶行李的質(zhì)量x（kg）的取值范圍是20≤x≤45，故答案為：20≤x≤45．18．（4分）（2015秋?無錫期末）如圖，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一點(diǎn)，AE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AE＝BD，求證：BD是∠ABC的角平分線．證明：延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)F．∵AE⊥BE，∴∠BEF＝90°，又∠ACF＝∠ACB＝90°，∴∠DBC+∠AFC＝∠FAC+∠AFC＝90°，∴∠DBC＝∠FAC，在△ACF和△BCD中，∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF＝BD．又AE＝BD，∴AE＝AF＝EF，即點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)．∵BE⊥AF∴DE是AF的垂直平分線∴AB＝BF，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知：BD是∠ABC的角平分線．19．（4分）（2022秋?高郵市期末）已知：如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求證：AB＝BC；（2）如圖2，已知BE⊥AD于點(diǎn)E，AE＝3，CD＝2.5，求BE的長(zhǎng)．（1）證明：連接AC，如圖，∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∵AD2+CD2＝2AB2，∴AB2+BC2＝2AB2，∴BC2＝AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC；（2）解：過C作CF⊥BE于F，如圖，∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四邊形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△BAE與△CBF中，，∴△BAE≌△CBF（AAS），∴AE＝BF，∵AE＝3，CD＝2.5，∴BE＝BF+EF＝AE+CD＝5.5．20．（6分）（2022秋?亭湖區(qū)期末）如圖，已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)（5，6），交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0），直線l2：y＝3x交直線l1于點(diǎn)B．（1）求直線l1的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求△AOB的面積；（3）在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（1）解：設(shè)直線l1的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0）．∵圖象經(jīng)過點(diǎn)（5，6），A（﹣3，0），∴，解得，∴直線l1的函數(shù)表達(dá)式為．聯(lián)立，解得：，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3）；（2）解：∵A（﹣3，0），B（1，3），∴；（3）解：∵點(diǎn)C在x軸上，∴∠BAC≠90°，∴當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，需分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°兩種情況．①當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，點(diǎn)C在圖中C1的位置：∵點(diǎn)A和點(diǎn)C1均在x軸上，∴BC1⊥x軸．∵B（1，3），∴C1（1，0）；②當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，點(diǎn)C在圖中C2的位置：設(shè)C2（m，0），（m＞0）∵A（﹣3，0），B（1，3），C1（1，0），∴AC1＝4，BC1＝3，C1C2＝m﹣1，AC2＝m+3，∴．在Rt△ABC2中，，在Rt△BC1C2中，，∴，即（m+3）2﹣52＝32+（m﹣1）2，解得，∴．綜上可知，在x軸上存在點(diǎn)C，使得△ABC是直角三角形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）或．21．（6分）（2022秋?常州期末）【操作思考】如圖1所示的網(wǎng)格中，建立平面直角坐標(biāo)系．先畫出正比例函數(shù)y＝x的圖象，再畫出△ABC關(guān)于正比例函數(shù)y＝x的圖象對(duì)稱的△DEF．【猜想驗(yàn)證】猜想：點(diǎn)P（a，b）關(guān)于正比例函數(shù)y＝x的圖象對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（b，a）；驗(yàn)證點(diǎn)P（a，b）在第一象限時(shí)的情況（請(qǐng)將下面的證明過程補(bǔ)充完整）．證明：如圖2，點(diǎn)P（a，b）、Q關(guān)于正比例函數(shù)y＝x的圖象對(duì)稱，PH⊥x軸，垂足為H．【應(yīng)用拓展】在△ABC中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，3），點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），點(diǎn)C在射線BO上，且AO平分∠BAC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．解：操作思考：猜想驗(yàn)證：猜想點(diǎn)P（a，b）關(guān)于正比例函數(shù)y＝x的圖象對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（b，a）．故答案為：（b，a）；證明：作QI⊥y軸，垂足為I，連接OQ．∵點(diǎn)P、Q關(guān)于函數(shù)y＝x的圖象對(duì)稱，∴OP＝OQ，PQ⊥ON，∴∠QON＝∠PON，∵∠ION＝∠HON＝45°，∴∠ION﹣∠QON＝∠HON﹣∠PON，即∠IOQ＝∠HOP．在△IOQ和△HOP中，，∴△IOQ≌△HOP（AAS），∴IQ＝PH＝b，OI＝OH＝a，∴Q（b，a）．應(yīng)用拓展：如圖3，過B作BB'⊥OA交AC延長(zhǎng)線于B'，交直線AO于K，∵A（3，3），∴直線OA為y＝x的圖象，∵AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠B'AO，∵∠BKA＝∠B'KA＝90°，AK＝AK，∴△BKA≌△B'KA（ASA），∴BK＝B'K，∵BB'⊥AO，∴B、B'關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，∵B（﹣2，﹣1），∴B'（﹣1，﹣2），設(shè)直線AB'為y＝kx+b，∴，∴，∴直線AB'為，又∵直線BO為，∴，∴x＝1，∴，∴．故答案為：．22．（5分）（2020秋?沭陽縣期末）學(xué)校與圖書館在同一條筆直道路上，甲從學(xué)校去圖書館，乙從圖書館回學(xué)校，甲、乙兩人都勻速步行且同時(shí)出發(fā)，乙先到達(dá)目的地兩人之間的距離y（米）與時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）根據(jù)圖象信息，當(dāng)t＝24分鐘時(shí)甲乙兩人相遇，甲的速度為40米/分鐘；（2）求出線段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式．（3）當(dāng)t為何值時(shí)，甲、乙兩人相距2000米？解：（1）甲乙兩人相遇即是兩人之間的距離y＝0，從圖中可知此時(shí)x＝24（分鐘），圖中可知甲用60分鐘走完2400米，速度為2400÷60＝40（米/分鐘），故答案為：24，40；（2）甲、乙速度和為2400÷24＝100（米/分鐘），而甲速度為40米/分鐘，∴乙速度是60米/分鐘，∴乙達(dá)到目的地所用時(shí)間是2400÷60＝40（分鐘），即A橫坐標(biāo)為40，此時(shí)兩人相距（40﹣24）×100＝1600（米），即A縱坐標(biāo)為1600，∴A（40，1600），設(shè)線段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式為y＝kt+b，將A（40，1600）、B（60，2400）代入得：，解得k＝40，b＝0，∴線段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式為y＝40t（40≤t≤60），（3）甲、乙兩人相距2000米分兩種情況：①二人相遇前，兩人路程和為2400﹣2000＝400（米），甲、乙兩人相距2000米，此時(shí)t＝400÷100＝4（分鐘），②二人相遇后，乙達(dá)到目的地時(shí)二人相距1600米，甲再走400米兩人就相距2000米，此時(shí)t＝40+400÷40＝50（分鐘），綜上所述，二人相距2000時(shí)，t＝4或t＝50．23．（6分）（2021秋?蘇州期末）學(xué)校科技小組進(jìn)行機(jī)器人行走性能試驗(yàn)，在試驗(yàn)場(chǎng)地一條筆直的賽道上有A，B，C三個(gè)站點(diǎn)，A，B兩站點(diǎn)之間的距離是90米（圖1）．甲、乙兩個(gè)機(jī)器人分別從A，B兩站點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，向終點(diǎn)C行走，乙機(jī)器人始終以同一速度勻速行走．圖2是兩機(jī)器人距離C站點(diǎn)的距離y（米）與出發(fā)時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)圖象，其中EF一FM一MN為折線段．請(qǐng)結(jié)合圖象回答下列問題：（1）乙機(jī)器人行走的速度是50米/分鐘，甲機(jī)器人前3分鐘行走的速度是80米/分鐘；（2）在4≤t≤6時(shí)，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，6分鐘后，甲機(jī)器人又恢復(fù)為原來出發(fā)時(shí)的速度．①圖2中m的值為120，n的值為7.5；②請(qǐng)寫出在6＜t≤9時(shí)，甲、乙兩機(jī)器人之間的距離S（米）與出發(fā)時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式．解：（1）乙機(jī)器人9分鐘行走了450米，∴乙機(jī)器人行走的速度是50米/分鐘，甲機(jī)器人前3分鐘行走的路程是90+50×3＝240（米），∴甲機(jī)器人前3分鐘行走的速度是80米/分鐘，故答案為：50，80；（2）①甲機(jī)器人出發(fā)點(diǎn)A與終點(diǎn)距離是90+450＝540（米），甲前4分鐘行走距離是80×4＝320（米），∵在4≤t≤6時(shí)，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，∴這兩分鐘甲行走距離是2×50＝100（米），∴m＝540﹣（320﹣100）＝120，n＝6+120÷80＝7.5，故答案為：120，7.5；②當(dāng)6＜t＜7.5時(shí)，S＝[150﹣50（t﹣6）]﹣[120﹣80（t﹣6）]＝30t﹣150，當(dāng)7.5≤t≤9時(shí)，S＝（450﹣50×7.5）﹣50（t﹣7.5）＝450﹣50t，∴S＝．24．（6分）（2022秋?秦淮區(qū)期末）假期，甲乙兩人沿同一條筆直的馬路同時(shí)從同一小區(qū)出發(fā)到南京博物院參觀，小區(qū)與南京博物院的路程是4千米，甲騎自行車，乙步行，當(dāng)甲從原路回到小區(qū)時(shí)，乙剛好到達(dá)南京博物院，圖中折線O﹣A﹣B﹣C和線段OD分別表示兩人離小區(qū)的路程s（千米）與所經(jīng)過的時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問題：（1）甲在南京博物院參觀的時(shí)間為20分鐘，甲返回小區(qū)的速度為0.2千米/分鐘；（2）求圖中點(diǎn)P的坐標(biāo)，并解釋該點(diǎn)坐標(biāo)所表示的實(shí)際意義；（3）若兩人之間的距離為y千米，請(qǐng)畫出y（千米）與所經(jīng)過的時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)圖象．解：（1）由題意，得甲在南京博物院參觀的時(shí)間為20分鐘，甲返回小區(qū)的速度為4÷（60﹣40）＝0.2（千米/分鐘），故答案為：20，0.2．（2）設(shè)直線OD的函數(shù)表達(dá)式為s＝kt．∵D（60，4），∴60k＝4，解得．∴直線OD的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)甲從圖書館返回時(shí)：設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為s＝k1t+b．∵B（40，4），C（60，0），∴，解得，∴直線BC的解析式為．∴，解得t＝45．當(dāng)t＝45時(shí)，．∴P（45，3）．答：P的坐標(biāo)為（45，3），實(shí)際意義為當(dāng)經(jīng)過的時(shí)間為45分鐘時(shí)，甲乙兩人相遇，此時(shí)距離小區(qū)的路程為3千米．（3）如圖，即為y（千米）與所經(jīng)過的時(shí)間（分鐘）之間的函數(shù)圖象．25．（6分）（2022秋?秦淮區(qū)期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D在x軸上．將直線AB沿直線BD翻折，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在y軸上．已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6），BC＝10．（1）若點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，求直線BD的函數(shù)表達(dá)式；（2）已知在（1）的條件下，存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)E，使得△BOD與以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形全等，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）直線BD上是否存在點(diǎn)F（異于點(diǎn)D），使得S△ABD＝S△ABF？若存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）如圖1，∵B（0，6），BC＝10，∴C（0，﹣4），∴OB＝6，OC＝4．∵直線AB沿直線BD翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，∴BD垂直平分AC．∴AB＝BC＝10，CD＝AD．∵∠AOB＝90°，∴．設(shè)OD＝x，則CD＝AD＝8﹣x．∵∠COD＝90°，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3．∴OD＝3．∴D（3，0）．設(shè)直線BD的表達(dá)式為y＝kx+b，則，解得：．∴直線BD的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣2x+6；（2）情況1：如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O關(guān)于直線BD對(duì)稱時(shí)，△OBD≌△EBD．∴點(diǎn)E在直線AB上．∵OD＝3，∴DE＝3．由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得直線BA的函數(shù)表達(dá)式為．設(shè)，∴，解得：，∴，情況2：如圖3，當(dāng)BE⊥y軸，DE⊥x軸，△OBD≌△EDB．∴E（3，6），綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（，）或（3，6）；（3）存在，理由如下：如圖4，當(dāng)F點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，BF＝BD，∴S△ABD＝S△ABF，∵F點(diǎn)在直線BD上，設(shè)F（m，﹣2m+6），∵BD＝3，∴BF＝3＝，∴m＝±3，∴F（3，0）（舍）或F（﹣3，12）；如圖5，當(dāng)C點(diǎn)在y軸正半軸時(shí)，∵點(diǎn)B（0，6），BC＝10，∴C（0，16），∴OC＝16，∴OB＝6，由對(duì)稱性可知，AB＝BC＝10，∴OA＝8，∴A（8，0），設(shè)D（m，0），∵CD＝AD，∴m2+16＝（8﹣m）2，解得m＝12，∴D（﹣12，0），∵S△ABD＝S△ABF，∴D與F關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，∴F（12，12）；綜上所述：F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，12）或F（12，12）．26．（6分）（2022秋?常州期末）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象l1與x軸交于點(diǎn)A，一次函數(shù)y＝x+6的圖象l2與x軸交于點(diǎn)B，與l1交于點(diǎn)P．直線l3過點(diǎn)A且與x軸垂直，C是l3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）分別求出點(diǎn)A、P的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線PC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，且滿足函數(shù)值y隨x的增大而增大．若△PCA的面積為15，分別求出k、b的值；（3）是否存在點(diǎn)C，使得2∠PCA+∠PAB＝90°？若存在，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）令y＝0，得，解得x＝1，∴A（1，0），聯(lián)立，解得，∴P（﹣2，4）．（2）點(diǎn)A（1，0）可知l3為直線x＝1，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，t），∵函數(shù)值y隨x的增大而增大，P（﹣2，4），∴k＞0，t＞4，∴，∴t＝10，∴C（1，10），將P（﹣2，4）、C（1，10）代入y＝kx+b，得，解得，∴k＝2，b＝8．（3）過點(diǎn)P作PE⊥l3于點(diǎn)E，∵P（﹣2，4），A（1，0），∴E（1，4），∵l3⊥x軸，∴∠AEP＝∠EAO＝90°，∴PE＝1﹣（﹣2）＝3，AE＝4，在Rt△AEP中，，∵2∠PCA+∠PAB＝90°，∠PAE+∠PAB＝90°，∴∠PAE＝2∠PCA，①當(dāng)點(diǎn)C1在x軸下方時(shí)，連接PC1，∵∠PAE＝∠PC1A+∠APC1＝2∠PC1A，∴AC1＝AP＝5，∴C1（1，﹣5），②當(dāng)點(diǎn)C2在x軸上方時(shí)，連接PC2，∵∠PC2A＝∠PC1A，∴PC1＝PC2，又∵PE⊥C1C2，∴EC1＝EC2，∵EC1＝AE+AC1＝4+5＝9，∴EC2＝9，∴AC2＝AE+EC2＝4+9＝13，∴C2（1，13），綜上，存在，C（1，﹣5）或C（1，13）．27．（6分）（2022秋?無錫期末）某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種型號(hào)的設(shè)備共500臺(tái)，銷往甲、乙兩個(gè)地區(qū)，在兩地銷售可獲得的利潤(rùn)情況如下表：A型設(shè)備（萬元/臺(tái)）B型設(shè)備（萬元/臺(tái)）甲地區(qū)銷售可獲得的利潤(rùn)1.81.3乙地區(qū)銷售可獲得的利潤(rùn)1.61.2該企業(yè)如果將生產(chǎn)的A、B兩種型號(hào)的設(shè)備全部在甲地區(qū)銷售，那么可獲得利潤(rùn)750萬元，．（1）求A、B兩種型號(hào)設(shè)備各生產(chǎn)了多少臺(tái)？（2）若銷往甲地區(qū)x臺(tái)A型設(shè)備，余下的所有設(shè)備銷往乙地區(qū)，寫出銷售這500臺(tái)設(shè)備可獲得的利潤(rùn)y（萬元）與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求利潤(rùn)的最大值．解：（1）由題意得：，解得，答：A種型號(hào)設(shè)備生產(chǎn)了200臺(tái)，B種型號(hào)設(shè)備生產(chǎn)了300臺(tái)；（2）由題意得：y＝1.8x+1.6（200﹣x）+300×1.2，即y＝0.2x+680（0＜x≤200），∵0.2＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝200時(shí)，利潤(rùn)的最大值為0.2×200+680＝7020（萬元）．答：利潤(rùn)y（萬元）與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝0.2x+680（0＜x≤200），利潤(rùn)的最大值為720萬元．28．（6分）（2009秋?建湖縣校級(jí)期末）某通訊移動(dòng)通訊公司手機(jī)費(fèi)用有A、B兩種計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，如下表：月租費(fèi)（元/部）通訊費(fèi)（元/分鐘）備注A種收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)500.4通話時(shí)間不足1分鐘按1分鐘計(jì)算B種收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)00.6設(shè)某用戶一個(gè)月內(nèi)手機(jī)通話時(shí)間為x分鐘，請(qǐng)根據(jù)上表解答下列問題：（1）分別寫出按A類、B類收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，該用戶應(yīng)繳納手機(jī)費(fèi)用的解析式；（2）如果該用戶每月通話時(shí)間為300分鐘，應(yīng)選擇哪種收費(fèi)方式？說說你的理由；（3）如果該用戶每月手機(jī)費(fèi)用不超過90元，應(yīng)選擇哪種收費(fèi)方式？解：（1）設(shè)按A類、B類收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，該用戶應(yīng)繳納手機(jī)費(fèi)用為WA、WB，由題意得：WA＝50+0.4x；WB＝0.6x．（2）該用戶每月通話時(shí)間為300分鐘時(shí)，按A類收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，該用戶應(yīng)繳納手機(jī)費(fèi)用為：WA＝50+0.4×300＝170（元）；按B類收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，該用戶應(yīng)繳納手機(jī)費(fèi)用為WB＝0.6×300＝180（元）；因?yàn)閃A＜WB，所以應(yīng)選擇A種計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，更合適更省錢．（3）由題意，A、50+0.4x≤90，解得x≤100．B、0.6x≤90，解得x≤150，150＞100，所以應(yīng)該選用B種計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)．29．（6分）（2015秋?鎮(zhèn)江期末）如圖：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知正比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝﹣x+7的圖象交于點(diǎn)A．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）在y軸上確定點(diǎn)M，使得△AOM是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的