專題1.3全等三角形的幾何綜合【典例1】（1）方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為DC、BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，連接EF．將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，易證△GAF?△EAF，從而得到結(jié)論：DE+BF=EF，根據(jù)這個(gè)結(jié)論，若正方形ABCD的邊長為1，則△CEF的周長為（2）方法遷移：如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，B、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF=1【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意得EF=ED+BF，然后根據(jù)三角形周長公式即可進(jìn)行解答；（2）延長FB到G，使BG=DE，連接AG，通過證明△AEF≌△AGF，得出對(duì)應(yīng)邊相等，轉(zhuǎn)化得出答案即可；（3）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．用和（1）相同的證法，可得DF=BG，GE=EF，則【解題過程】解：（1）∵△GAF?△EAF，∴EF=GB+BF=ED+BF，∴△CEF的周長=CF+CE+EF=CF+CE+ED+BF=CD+BC=2．（2）EF=DE+BF；如圖，延長FB到G，使BG=DE，連接AG，∵∠ABG+∠ABF=180°，∴∠ABG=∠ADE，在△ABG和△ADE中，∵AB=AD∴△ABG≌△ADE(SAS)∴∠BAG=∠DAE∵∠EAF=∴∠GAF=∠BAG+∠BAF=∠DAE+∠BAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF在△AEF和△AGF中，AE=AG∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGF(SAS)∴EF=FG∵FG=BG+BF=DE+BF∴EF=DE+BF（3）結(jié)論：EF=BE-FD，證明：如圖所示，在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵在△ABG和△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADF∴△ABG≌△ADFSAS∴AG=AF∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=1∴∠GAE=∠EAF，∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF∴EG=EF，∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．1．（2022秋·遼寧營口·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，CE的延長線交BD于點(diǎn)F．（1）求證：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC=∠DAE=50°，請(qǐng)直接寫出∠BFC的度數(shù)．（3）過點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，求證：EF+DH=HF．2．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，AE⊥CD分別交CD，BC于點(diǎn)F，E（1）如圖1，①若AB=AC，請(qǐng)直接寫出∠EAC-∠BCD=______；②連接DE，若AE=2DE，求證：∠DEB=∠AEC；（2）如圖2，連接FB，若FB=AC，試探究線段CF和DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．3．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°，點(diǎn)M為直線BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥AM交AB于點(diǎn)D，在BC（1）如圖，M、N在線段BC上，求證：∠AMC＝（2）若M、N分別在CB、BC的延長線上時(shí)，試畫出圖形，并說明（1）中的結(jié)論是否成立？4．（2022秋·吉林·八年級(jí)吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A﹣C﹣B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B﹣C﹣A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)．點(diǎn)P和Q分別以1cm/s和xcm/s的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F（1）如圖1，當(dāng)x＝2時(shí)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，①用含t的式子表示CP和CQ，則CP＝cm，CQ＝cm；②當(dāng)t＝2時(shí)，△PEC與△QFC全等嗎？并說明理由；（2）請(qǐng)問：當(dāng)x＝3時(shí)，△PEC與△QFC有沒有可能全等？若能，直接寫出符合條件的t值：若不能，請(qǐng)說明理由．5．（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀理解：在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法．如圖1，AD是△ABC的中線，AB=7，AC=5，求AD的取值范圍．我們可以延長AD到點(diǎn)M，使DM=AD，連接BM，易證△ADC≌△MDB，所以BM=AC．接下來，在△ABM中利用三角形的三邊關(guān)系可求得AM的取值范圍，從而得到中線AD的取值范圍是______；類比應(yīng)用：如圖2，在四邊形ABCD中，AB//DC，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．若AE是∠BAD的平分線，試判斷AB，AD，拓展創(chuàng)新：如圖3，在四邊形ABCD中，AB//CD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，6．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題:在△ABC中，AB=7，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．（1）小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）:①延長AD到Q使得DQ=AD；②再連接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<AQ<10，則AD的取值范圍是___________．感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．（2）請(qǐng)寫出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明；（3）思考：已知，如圖2，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°，試探究線段AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．7．（2022秋·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖1，△ABC中，若AB=4，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍；（2）如圖2，四邊形ADBC中，∠A=∠B=90°，∠C=60°，AD=BD，以D為頂點(diǎn)作∠MDN=60°，交邊AC，BC于點(diǎn)M，N．AM，MN，BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）如圖3，在（2）的條件下，若將M，N分別改在CA，BC的延長線上，其余條件不變，則AM，MN，BN之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）．8．（2022秋·青海西寧·八年級(jí)青海師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖1，OA⊥OB，OC⊥OD，OA=OB，OC=OD，連接AD、BC，交于點(diǎn)H．（1）寫出AD和BC的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，連接BD，若DO、BO分別平分∠ADB和∠CBD，求∠BOD的度數(shù)；（3）如圖3，連接AC、BD，設(shè)△AOC的面積為S1，△BOD的面積為S2，探究S19．（2022春·北京朝陽·八年級(jí)北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考期中）新知學(xué)習(xí)：若一條線段把一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分，我們把這條線段叫做該平面圖形的二分線．解決問題：（1）①三角形的中線、高線、角平分線中，一定是三角形的二分線的是__________；②如圖1，已知ΔABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，DC上，連接EF，與AD交于點(diǎn)G．若SΔAEG=SΔDGF，則EF__________（填“是”或“不是（2）如圖2，四邊形ABCD中，CD平行于AB，點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，射線CG交射線BA于點(diǎn)E，取EB的中點(diǎn)F，連接CF．求證：CF是四邊形ABCD的二分線．（3）如圖3，在ΔABC中，AB=CB=CE=7，∠A=∠C，∠CBE=∠CEB，D，E分別是線段BC，AC上的點(diǎn)，且∠BED=∠A，EF是四邊形ABDE的一條二分線，求DF的長．10．（2022秋·福建莆田·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AB⊥AD，且AB=AD，AC⊥AE，且AC=AE（1）如圖1，連接DC、BE，求證：DC=BE；（2）如圖2，求證：S（3）如圖3，GF經(jīng)過A點(diǎn)與DE交于G點(diǎn)，且GF⊥BC于F點(diǎn)．求證：G為DE的中點(diǎn)．11．（2022秋·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且OA=OD，OB=OC，E是CD的中點(diǎn).（1）如圖1，連接AC，BD，若AC=BD，求證：∠AOD=∠BOC；（2）如圖2，連接OE，若AB=2OE，求證：∠AOD+∠BOC=180°；（3）如圖3，若∠AOD=∠BOC=90°，OF⊥AB，垂足為F，求證：點(diǎn)E，O，F(xiàn)在同一條直線上.12．（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC（1）如圖1，若BC＝4，則S△EBC＝（2）如圖2，點(diǎn)M在BE上，且CM⊥BE于M，過點(diǎn)A作AF⊥BE于F，D為AC中點(diǎn)，連接FD并延長，交CM于點(diǎn)H．求證：MF＝（3）如圖3，連接BM，EM，過點(diǎn)B作BM'⊥BM于點(diǎn)B，且滿足BM'＝BM，連接AM'，MM'，過點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)13．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)泉州五中校考期中）已知，在△ABC中，∠ACB=2∠ABC=2∠BAC．（1）∠ACB=_________°；（2）如圖1，若點(diǎn)D是線段AB上一點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BE⊥AB，連接CE和DE，若AD+BE=DE，求證：∠ECD=45°；（3）如圖2，M為射線AC上一點(diǎn)，N為射線CA上一點(diǎn)，且始終滿足CM=AN，過點(diǎn)C作MB的垂線交AB的延長線于點(diǎn)P，連接NP，求證：NP=MB+CP．14．（2022秋·湖南岳陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知△ABC中，（1）如圖1，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連AE并延長到點(diǎn)F，使FE=EA，則BF與AC的數(shù)量關(guān)系是________．（2）如圖2，若AB=AC，點(diǎn)E為邊AC一點(diǎn)，過點(diǎn)C作BC的垂線交BE的延長線于點(diǎn)D，連接AD，若∠DAC=∠ABD，求證：AE=EC．（3）如圖3，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，且滿足AD=BC，∠BAD=∠DCB，點(diǎn)M在DC的延長線上，連AM交BD的延長線于點(diǎn)N，若點(diǎn)N為AM的中點(diǎn)，求證：DM=AB．15．（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在直線AC右側(cè)作AE⊥AD，且AE=AD．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，過點(diǎn)E作EH⊥AC于H，連接DE．求證：EH=BC；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，連接BE交CA的延長線于點(diǎn)M，求證：BM=EM；（3）當(dāng)點(diǎn)D在直線CB上時(shí)，連接BE交直線AC于M，若2AC=7CM，請(qǐng)求出S△ADB16．（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）【材料閱讀】小明在學(xué)習(xí)完全等三角形后，為了進(jìn)一步探究，他嘗試用三種不同方式擺放一副三角板（在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB；△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°），并提出了相應(yīng)的問題．

【發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，將兩個(gè)三角板互不重疊地?cái)[放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B擺放在線段DF上時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥DF，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥DF，垂足為點(diǎn)N，①請(qǐng)?jiān)趫D10-1找出一對(duì)全等三角形，在橫線上填出推理所得結(jié)論；∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∵AM⊥DF，CN⊥DF，∴∠AMB=90°，∠CNB=90°，∴∠ABM+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°∠BAM=∠CBN∴__________；②AM=2，CN=7，則MN=__________；【類比】（2）如圖2，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B在線段DE上且頂點(diǎn)A在線段EF上時(shí)，過點(diǎn)C作CP⊥DE，垂足為點(diǎn)P，猜想AE，PE，CP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展】（3）如圖3，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)A在線段DE上且頂點(diǎn)B在線段EF上時(shí)，若AE=5，BE=1，連接CE，則△ACE的面積為__________．17．（2023秋·湖北襄陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【初步探索】

（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請(qǐng)寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．18．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時(shí)，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．（2）如圖2，AC＞AB，點(diǎn)P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請(qǐng)求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）．19．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=