幾類不同增長的函數(shù)模型1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)(1)指數(shù)函數(shù)①解析式：___________；②單調(diào)性：在(0，+∞)上的增減性：_______；③圖象的變化：隨x增大逐漸與___軸平行.y=ax(a＞1)增函數(shù)y(2)對數(shù)函數(shù)①解析式：______________；②單調(diào)性：在(0，+∞)上的增減性：________；③圖象的變化：隨x增大逐漸與___軸平行.y=logax(a＞1)增函數(shù)x(3)冪函數(shù)①解析式：___________；②單調(diào)性：在(0,+∞)上的增減性：_______；③圖象的變化：隨___值不同而不同.y=xn(n＞0)增函數(shù)n2.三種函數(shù)的增長速度的比較函數(shù)y=ax(a＞1)、y=logax(a＞1)、y=xn(n＞0)在區(qū)間(0,+∞)上：(1)單調(diào)性:____函數(shù)；(2)增長速度：y=ax(a＞1)：隨著x的增大，y增長速度__________，會遠遠大于y=xn(n＞0)的增長速度，y=logax(a＞1)的增長速度_________；(3)存在一個x0,當(dāng)x>x0時，有___________.增越來越快越來越慢ax>xn>logax1.函數(shù)y=x2與y=2x在(4，+∞)上哪一個增長得更快些？提示：由圖象可知.y=2x的增長速度遠遠快于y=x2的增長速度.Oyx248y=x2y=2x16128422.在區(qū)間(0,+∞)上，當(dāng)a＞1，n＞0時，是否總有l(wèi)ogax＜xn＜ax成立？提示：不是，但總存在x0，使得當(dāng)a＞1,n＞0，x>x0時，logax＜xn＜ax成立.3.在函數(shù)y=3x，y=log3x，y=3x，y=x3中增長速度最快的是_____________________.【解析】由各函數(shù)的增長差異可判斷出y=3x的增長速度最快.答案：y=3x1.三類函數(shù)模型的增長差異(1)對于冪函數(shù)y=xn，當(dāng)x＞0，n＞0時，y=xn才是增函數(shù)，當(dāng)n越大時，增長速度越快.(2)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的遞增前提是a＞1，又它們的圖象關(guān)于y=x對稱，從而可知，當(dāng)a越大，y=ax增長越快；當(dāng)a越小，y=logax增長越快，一般來說，ax＞logax(x＞0,a＞1).(3)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)，當(dāng)x＞0，n＞0，a＞1時，可能開始時有xn＞ax，但因指數(shù)函數(shù)是“爆炸型”函數(shù)，當(dāng)x大于某一個確定值x0后，就一定有ax＞xn.2.三種函數(shù)模型的表達形式及其增長特點(1)指數(shù)函數(shù)模型：能用指數(shù)型函數(shù)f(x)=abx+c(a，b，c為常數(shù)，a＞0，b＞1)表達的函數(shù)模型，其增長特點是隨著自變量x的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，常稱之為“指數(shù)爆炸”.(2)對數(shù)函數(shù)模型：能用對數(shù)型函數(shù)f(x)=mlogax+n(m，n，a為常數(shù)，m＞0，a＞1)表達的函數(shù)模型，其增長的特點是開始階段增長得較快，但隨著x的逐漸增大，其函數(shù)值變化的越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長”.(3)冪函數(shù)模型：能用冪型函數(shù)f(x)=axα+b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠1)表達的函數(shù)模型，其增長情況由a和α的取值確定，常見的有二次函數(shù)模型和反比例函數(shù)模型.

函數(shù)模型的增長差異【技法點撥】函數(shù)模型增長差異問題的處理技巧(1)處理的關(guān)鍵是確定變量間的關(guān)系，不能僅僅根據(jù)自變量較大時對應(yīng)的函數(shù)值比較，還要看函數(shù)值的變化趨勢.(2)對數(shù)函數(shù)模型適合描述先快后慢，增長速度比較平緩的變化規(guī)律，指數(shù)函數(shù)模型適合描述先慢后快，增長速度急劇上升的變化規(guī)律，依據(jù)其規(guī)律可幫助快速的選擇函數(shù)模型.【典例訓(xùn)練】1.某商品的價格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價格與原來的價格相比，變化的情況是()(A)增長了7.84%(B)減少了7.84%(C)減少了9.5%(D)不增不減2.研究函數(shù)y=0.5ex-2,y=ln(x+1),y=x2-1在［0,+∞)上的增長情況.【解析】1.選B.設(shè)該商品原價為a，則四年后的價格為a(1+0.2)2(1-0.2)2=a×1.22×0.82=0.9216a，所以a-0.9216a=0.0784a=7.84%a，故變化的情況是減少了7.84%.2.分別在同一個坐標(biāo)系中畫出三個函數(shù)的圖象(如圖),從圖象上可以看出函數(shù)y=0.5ex-2的圖象首先超過了函數(shù)y=ln(x+1)的圖象,然后又超過了y=x2-1的圖象,即存在一個x0滿足-2=x02-1,當(dāng)x＞x0時,ln(x+1)<x2-1<0.5ex-2.y=-2Oyxy=x2-1y=ln(x+1)【思考】處理函數(shù)模型增長差異問題的關(guān)鍵是什么？提示：處理函數(shù)模型增長差異問題的關(guān)鍵是確定變量間的關(guān)系.

圖象信息遷移題【技法點撥】圖象信息題的解答策略(1)明確橫軸、縱軸的意義，分析題中的具體含義．(2)從圖象形狀上判定函數(shù)模型.(3)抓住特殊點的實際意義，特殊點一般包括最高點(最大值點)、最低點(最小值點)及折線的拐角點等.(4)通過方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型化實際問題為數(shù)學(xué)問題.【典例訓(xùn)練】1.如圖，△ABC為等腰直角三角形，直線l與AB相交且l⊥AB，直線l截這個三角形所得的位于直線右方的圖形面積為y，點A到直線l的距離為x，則y＝f(x)的圖象大致為四個選項中的()2.如圖所示，折線是某電信局規(guī)定打長途電話所需要付的電話費y(元)與通話時間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系圖象，根據(jù)圖象填空：(1)通話2分鐘，需付電話費_____元;(2)通話5分鐘，需付電話費_____元;(3)如果t≥3，則電話費y(元)與通話時間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式為_______.【解析】1.選C.設(shè)AB＝a，則y＝，其圖象為拋物線的一段，開口向下，頂點在y軸上方．故選C.2.(1)由圖象可知，當(dāng)t≤3時，電話費都是3.6元.(2)由圖象可知，當(dāng)t=5時，y=6，需付電話費6元.(3)當(dāng)t≥3時，y關(guān)于t的圖象是一條直線，且經(jīng)過(3,3.6)和(5,6)兩點，故設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=kt+b，則解得故電話費y(元)與通話時間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=1.2t(t≥3).答案：(1)3.6(2)6(3)y=1.2t(t≥3)【互動探究】題2中的已知條件不變，若通話費用為4.5元，則通話時間是多少？【解析】由題2的解析結(jié)合圖象可知，當(dāng)y=4.5元時，通話時間超過3分鐘，故電話費與時間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=1.2t(t≥3),∴4.5=1.2t,∴t=3.75(分鐘).故若通話費用為4.5元時，通話時間為3.75分鐘.【思考】解決本題1,2的關(guān)鍵是什么？提示：(1)解決本題1的關(guān)鍵是根據(jù)條件建立面積y關(guān)于x的關(guān)系式;(2)解決本題2的關(guān)鍵是讀懂題目所給函數(shù)圖象，借助圖象處理問題.

兩種方案的選擇【技法點撥】“四步走”解函數(shù)應(yīng)用題第一步:閱讀、理解題意,認(rèn)真審題.讀懂題中的文字?jǐn)⑹?理解敘述所反映的實際背景,領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實質(zhì).審題時要抓住題目中的關(guān)鍵量,善于聯(lián)想、化歸,實現(xiàn)應(yīng)用問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化.第二步:引進數(shù)學(xué)符號,建立數(shù)學(xué)模型.一般地，設(shè)自變量為x,函數(shù)為y,并用x表示各相關(guān)量,然后根據(jù)已知條件,運用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式,將實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題,實現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化,即所謂建立數(shù)學(xué)模型.第三步:利用數(shù)學(xué)方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問題(即數(shù)學(xué)模型)解答,求得結(jié)果.第四步:再轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答.【典例訓(xùn)練】1.某公司為了適應(yīng)市場需求，對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整．調(diào)整后初期利潤增長迅速，后來增長越來越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與產(chǎn)量x的關(guān)系，則可選用()(A)一次函數(shù)(B)二次函數(shù)(C)指數(shù)型函數(shù)(D)對數(shù)型函數(shù)2.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的出廠價為50元,其成本價為25元,因為在生產(chǎn)過程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米污水排出,為了凈化環(huán)境,工廠設(shè)計兩套方案對污水進行處理,并準(zhǔn)備實施.方案一:工廠的污水先凈化處理后再排出,每處理1立方米污水所用原料費2元,并且每月排污設(shè)備損耗費為30000元;方案二:工廠將污水排到污水處理廠統(tǒng)一處理,每處理1立方米污水需付14元的排污費.問:(1)工廠每月生產(chǎn)3000件產(chǎn)品時,你作為廠長,在不污染環(huán)境,又節(jié)約資金的前提下應(yīng)選擇哪種方案?通過計算加以說明；(2)若工廠每月生產(chǎn)6000件產(chǎn)品,你作為廠長,又該如何決策呢?【解析】1.選D.一次函數(shù)保持均勻的增長，不符合題意；二次函數(shù)在對稱軸的兩側(cè)有增也有降；而指數(shù)型函數(shù)是“爆炸式”增長，不符合“增長越來越慢”，因此，只有對數(shù)型函數(shù)最符合題意，先快速增長，后來越來越慢．2.解題流程.求值判斷下結(jié)論構(gòu)造函數(shù)設(shè)工廠每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品時，依方案一的利潤為y1，依方案二的利潤為y2，由題意知y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(1)當(dāng)x=3000時，y1=42000,y2=54000，∵y1＜y2(2)當(dāng)x=6000時，y1=114000,y2=108000，∵y1＞y2應(yīng)選擇方案二處理污水應(yīng)選擇方案一處理污水【想一想】(1)解決題1的關(guān)鍵點是什么？(2)解決題2時的方法是什么？提示：(1)解決題1的關(guān)鍵點是了解到此函數(shù)增長的情況初期增長迅速，后來越來越慢.(2)解決題2時的方法是先把每種方案都列出來，然后進行比較，最后作出選擇.【規(guī)范解答】巧用函數(shù)圖象比較大小【典例】(12分)已知函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3，在同一坐標(biāo)系下作出它們的圖象，結(jié)合圖象比較f(8)，g(8)，f(2012)，g(2012)的大小.【解題指導(dǎo)】【規(guī)范解答】列表x…

-10123…f(x)…1248…g(x)…-101827…………………2分描點、連線,得如圖所示圖象：

…………

4分則函數(shù)f(x)=2x對應(yīng)的圖象為C2，函數(shù)g(x)=x3對應(yīng)的圖象為C1①.…………

6分∵g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10)=1000,f(10)=1024,∴f(1)＞g(1),f(2)＜g(2),f(9)＜g(9),f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2,9＜x2＜10,∴x1＜8＜x2＜2012②.………………

8分從圖象上知，當(dāng)x1＜x＜x2時，f(x)＜g(x);當(dāng)x＞x2時，f(x)＞g(x),………………

10分且g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),∴f(2012)＞g(2012)＞g(8)＞f(8)③.

………………

12分【閱卷人點撥】通過閱卷后分析，對解答本題的失分警示及解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的①②③見規(guī)范解答過程)失分警示①在解答過程中若在①處把函數(shù)的對應(yīng)圖象找錯，直接影響后面的函數(shù)值大小的判斷，在考試中最多給2分,是考試中常出現(xiàn)的失分點.②在解答過程中，雖①處解答正確，但卻沒能由特殊值的函數(shù)值的大小，總結(jié)出兩函數(shù)圖象交點x1，x2的范圍，即②處的1＜x1＜2,9＜x2＜10,∴x1＜8＜x2