圓周角【知識與技能】理解圓周角的概念.探索圓周角與同弧所對的圓心角之間的關(guān)系，并會用圓周角定理及推論進行有關(guān)計算和證明.【過程與方法】經(jīng)歷探索圓周角定理的過程，初步體會分類討論的數(shù)學(xué)思想，滲透解決不確定的探索型問題的思想和方法，提高學(xué)生的發(fā)散思維能力.【情感態(tài)度】通過積極引導(dǎo)，幫助學(xué)生有意識地積累活動經(jīng)驗，獲得成功的體驗.【教學(xué)重點】圓周角定理及其推論的探究與應(yīng)用.【教學(xué)難點】圓周角定理的證明中由一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法以及圓周角定理及推論的應(yīng)用.一、情境導(dǎo)入，初步認識如圖是一個圓柱形的海洋館的橫截面示意圖，人們可以通過其中的圓弧形玻璃窗AB觀看窗內(nèi)的海洋動物，同學(xué)甲站在圓心O的位置.同學(xué)乙站在正對著玻璃窗的靠墻的位置C，他們的視角〔∠AOB和∠ACB〕有什么關(guān)系？如果同學(xué)丙、丁分別站在其他靠墻的位置D和E，他們的視角〔∠ADB和∠AEB〕和同學(xué)乙的視角相同嗎？［相同，2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB］【教學(xué)說明】教師出示海洋館圖片，引導(dǎo)學(xué)生思考，引出課題，學(xué)生觀察圖形、分析，初步感知角的特征.二、思考探究，獲取新知探究1觀察以下各圖，圖〔1〕中∠APB的頂點P在圓心O的位置，此時∠APB叫做圓心角，這是我們上節(jié)所學(xué)的內(nèi)容.圖〔2〕中∠APB的頂點P在⊙O上，角的兩邊都與⊙O相交，這樣的角叫圓周角.請同學(xué)們分析〔3〕、〔4〕、〔5〕、〔6〕是圓心角還是圓周角.【教學(xué)說明】設(shè)計這樣的一個判斷角的問題，是再次強調(diào)圓周角的定義，讓學(xué)生深刻體會定義中的兩個條件缺一不可.【歸納結(jié)論】圓周角必須具備兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都與圓相交.二者缺一不可.探究2如圖，〔1〕指出⊙O中所有的圓心角與圓周角，并指出這些角所對的是哪一條??？〔2〕量一量∠D、∠C、∠AOB的度數(shù)，看看它們之間有什么樣的關(guān)系？〔3〕改變動點C在圓周上的位置，看看圓周角的度數(shù)有沒有變化？你發(fā)現(xiàn)其中有規(guī)律嗎？假設(shè)有規(guī)律，請用語言表達.解：〔1〕圓心角有：∠AOB圓周角有：∠C、∠D，它們所對的都是〔2〕∠C=∠D=1/2∠AOB.〔3〕改變動點C在圓周上的位置，這些圓周角的度數(shù)沒有變化，并且圓周角的度數(shù)恰好等于同弧所對圓心角度數(shù)的一半.【教學(xué)說明】教師利用幾何畫板測量角的大小，移動點C，讓學(xué)生觀察當C點位置發(fā)生改變過程中，圖中有哪些不變，從而交流總結(jié)，找出規(guī)律，同時引導(dǎo)學(xué)生觀察圓心與圓周角的位置關(guān)系，為定理分情況證明作鋪墊.為了進一步研究上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，如圖，在⊙O上任取一個圓周角∠ACB，將圓對折，使折痕經(jīng)過圓心O和∠ACB的頂點C.由于點C的位置的取法可能不同，這時折痕可能會：〔1〕在圓周角的一條邊上；〔2〕在圓周角的內(nèi)部；〔3〕在圓周角的外部.：在⊙O中，所對的圓周角是∠ACB，圓心角是∠AOB，求證：∠ACB=1/2∠AOB.［提示分析：我們可按上面三種圖形、三種情況進行證明.］如圖〔1〕，圓心O在∠ACB的邊上，∵OB=OC，∴∠B=∠C，而∠BOA=∠B+∠C，∴∠B=∠C=1/2∠AOB.圖〔2〕〔3〕的證明方法與圖〔1〕不同，但可以轉(zhuǎn)化成〔1〕的根本圖形進行證明，證明過程請學(xué)生們討論完成.得出圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對圓心角的一半.注意：①定理應(yīng)用的條件是“同圓或等圓中〞，而且必須是“同弧或等弧〞，如以以下圖〔1〕.②假設(shè)將定理中的“同弧或等弧〞改為“同弦或等弦〞結(jié)論就不成立了.因為一條弦所對的圓周角有兩種情況，它們一般不相等〔而是互補〕.如以以下圖〔2〕.【教學(xué)說明】在定理的證明過程中，要使學(xué)生明確，要不要分情況來證明.假設(shè)要分情況證明，必須要明白按什么標準來分情況，然后針對各種不同的情況逐個進行證明.在證明過程中，第〔1〕種情況是特殊情況，是比擬容易證明的，經(jīng)過添加直徑這條輔助線將〔2〕、〔3〕種情況轉(zhuǎn)化為第〔1〕種情況，表達由一般到特殊的思想方法。對于后面要學(xué)生注意的兩個問題，是為了加強學(xué)生對圓周角定理的理解，使學(xué)生能準確的掌握好圓周角定理。議一議〔1〕特殊的弧——半圓，它所對的圓周角是多少度呢？〔2〕如果一條弧所對的圓周角是90°，那么這條弧所對的圓心角是多少呢？結(jié)論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.〔圓周角定理的推論〕【教學(xué)說明】這個推論是圓中很重要的性質(zhì)，為在圓中確定直角，構(gòu)成垂直關(guān)系創(chuàng)造了條件.同時這一結(jié)論為在圓中證明直徑提供了重要依據(jù).定義：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形.⊙O是四邊形ABCD的外接圓.連接OB、OD，由圓周角定理可知：∠A=1/2∠1，∠C=1/2∠2而∠1+∠2=360°，∴∠A+∠C=∴∠A與∠C互補，同理可得∠ADC+∠ABC=180°.由此可知在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，對角∠A與∠C，∠ADC與∠ABC互補.假設(shè)延長BC至E，使得四邊形ABCD有一個外角∠DCE，那么∠DCE+∠BCD=180°.∴∠A=∠DCE.即：外角∠DCE與內(nèi)對角∠A相等.由此可知圓內(nèi)接四邊形有如下性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于內(nèi)對角.【教學(xué)說明】從圓內(nèi)接四邊形的定義出發(fā)，可知圓內(nèi)接四邊形的四個內(nèi)角都是圓周角，再由圓周角定理，把圓周角與相應(yīng)的圓心角聯(lián)系起來，就很容易得出圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理.對于這個性質(zhì)，學(xué)生要能分清這個命題的題設(shè)和結(jié)論，并結(jié)合圖形寫出和求證.三、典例精析，獲取新知例1如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D.求BC、AD、BD的長.分析：由直徑AB可知△ACB和△ADB為直角三角形，進而可用勾股定理求BC，又由CD平分∠ACB可知∠1=∠2，從而得到AD、BD.再次用勾股定理求出AD、BD的長.解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴△ACB和△ADB為直角三角形.在Rt△ABC中，BC==8〔cm〕.∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2，∴AD=BD，∴ .又在Rt△ABD中，AD=BD=/2AB=5〔cm〕【教學(xué)說明】利用圓周角定理及其推論，將求線段長的問題轉(zhuǎn)化到解直角三角形的問題上來.例2⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠AOD=30°.求∠BCD的度數(shù).分析：這題有兩種解答思路，可用圓周角定理，∠C=〔180°+∠AOD〕×1/2，也可由圓內(nèi)接四邊形的對角互補知：∠C+∠A=180°.而∠A=∠D，是等腰△OAD的兩底角，從而可求出∠∠C=105°.【教學(xué)說明】教師提示，學(xué)生可自主選擇方法，并由學(xué)生板書解答過程，開展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號語言能力.四、運用新知，深化理解1.如圖〔1〕所示，⊙O的直徑AE=10cm.∠B=∠EAC，求AC的長.2.如圖〔2〕所示，AB是⊙O的直徑，以AO為直徑的⊙C與⊙D之間的關(guān)系是怎樣的？3.如圖〔3〕所示，兩圓相交于A、B兩點，小圓經(jīng)過大圓的圓心O，點C、D分別在兩圓上，假設(shè)∠ADB=100°，求∠ACB的度數(shù).【教學(xué)說明】讓學(xué)生通過習(xí)題穩(wěn)固本節(jié)知識點，同時體會這節(jié)常見題型及常見輔助線的作法.在解題過程中，教師要對沒有找到方法的學(xué)生進行點撥.【答案】1.5cm2.(1)OA=OB，AC=OC，AE=DE(2)OE=1/2BD且OE∥BD°五、師生互動，課堂小結(jié)師生共同回憶本節(jié)所學(xué)的知識點有哪些？常見的輔助線有哪些？【教學(xué)說明】學(xué)生自主交流小結(jié)，教師加以補充和點評，營造輕松愉悅的氣氛.1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題24.1〞中選取.2.完成創(chuàng)優(yōu)作業(yè)中本課時練習(xí)的“課時作業(yè)〞局部.1.這節(jié)課首先是類比圓心角得出圓周角的概念.在探索圓周角與圓心角關(guān)系過程中，要求學(xué)生學(xué)會分類討論，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決問題，同時也培養(yǎng)了學(xué)生勇于探索的精神.其次，本節(jié)課還學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形定義及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，通過例題和習(xí)題訓(xùn)練，可以使學(xué)生在解答問題時靈活運用前面的一些根底知識，從中獲取成功的經(jīng)驗，建立學(xué)習(xí)的自信心.三種情況探討，這里蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想——分類思想，教材中多處閃爍著分類思想的光環(huán):三角形分類、方程的分類等，故教學(xué)過程中要整理相互[教學(xué)反思]學(xué)生對展開圖通過各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結(jié)合；在遇到問題時，多數(shù)學(xué)生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學(xué)中，我會不斷的鉆研探索，使我的課堂真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的樂園。本節(jié)課的教學(xué)活動，主要是讓學(xué)生通過觀察、動手操作，熟悉長方體、正方體的展開圖以及圖形折疊后的形狀。教學(xué)時，我讓每個學(xué)生帶長方體或正方體的紙盒，每個學(xué)生都剪一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪的方法不同，展開圖的形狀也可能是不同的。學(xué)生在剪、拆盒子過程中，很容易把盒子拆散了，無法形成完整的展開圖，就要求適當進行指導(dǎo)。通過動手操作，動腦思考，集體交流，不僅提高了學(xué)生的空間思維能力，而且在情感上每位學(xué)生都獲得了成功的體驗，建立自信心。24.1圓(第3課時)教學(xué)內(nèi)容1．圓周角的概念．2．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弦所對的圓心角的一半．推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑及其它們的應(yīng)用．教學(xué)目標1．了解圓周角的概念．2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．3．理解圓周角定理的推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．4．熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運用．設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運用數(shù)學(xué)分類思想給予邏輯證明定理，得出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動證明定理推論的正確性，最后運用定理及其推導(dǎo)解決一些實際問題．重難點、關(guān)鍵1．重點：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運用它們解題．2．難點：運用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理．3．關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入〔學(xué)生活動〕請同學(xué)們口答下面兩個問題．1．什么叫圓心角？2．圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？老師點評：〔1〕我們把頂點在圓心的角叫圓心角．〔2〕在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等．剛剛講的，頂點在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點不在圓心上，它在其它的位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決的問題．二、探索新知問題：如下圖的⊙O，我們在射門游戲中，設(shè)E、F是球門，設(shè)球員們只能在所在的⊙O其它位置射門，如下圖的A、B、C點．通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像∠EAF、∠EBF、∠ECF這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法答復(fù)下面的問題．1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有多少個？2．同弧所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？〔學(xué)生分組討論〕提問二、三位同學(xué)代表發(fā)言．老師點評：1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有無數(shù)多個．2．通過度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對的圓周角是沒有變化的．3．通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半．下面，我們通過邏輯證明來說明“同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半．〞〔1〕設(shè)圓周角∠ABC的一邊BC是⊙O的直徑，如下圖∵∠AOC是△ABO的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=∠AOC〔2〕如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的兩側(cè)，那么∠ABC=∠AOC嗎？請同學(xué)們獨立完成這道題的說明過程．老師點評：連結(jié)BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．〔3〕如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的同側(cè)，那么∠ABC=∠AOC嗎？請同學(xué)們獨立完成證明．老師點評：連結(jié)OA、OC，連結(jié)BO并延長交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC現(xiàn)在，我如果在畫一個任意的圓周角∠AB′C，同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓周角是相等的．從〔1〕、〔2〕、〔3〕，我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．進一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．下面，我們通過這個定理和推論來解一些題目．例1．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？分析：BD=CD，因為AB=AC，所以這個△ABC是等腰，要證明D是BC的中點，只要連結(jié)AD證明AD是高或是∠BAC的平分線即可．解：BD=CD理由是：如圖24-30，連接AD∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD三、穩(wěn)固練習(xí)1．教材P92思考題．2．教材P93練習(xí)．四、應(yīng)用拓展例2．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A、∠B、∠C的對邊分別設(shè)為a，b，c，⊙O半徑為R，求證：===2R．分析：要證明===2R，只要證明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sin