第7章排隊(duì)系統(tǒng)分析7.1排隊(duì)現(xiàn)象及范例7.2排隊(duì)系統(tǒng)分類7.3Little定律7.4排隊(duì)系統(tǒng)的解析7.5排隊(duì)系統(tǒng)仿真7.6排隊(duì)系統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化

7.1排隊(duì)現(xiàn)象及范例

排隊(duì)系統(tǒng)可以看作是一個(gè)黑盒。顧客為了獲得某種服務(wù)而來(到達(dá)),由于顧客多而需要等待,在達(dá)成目的之后離開系統(tǒng)(見圖7-1)。圖7-1排隊(duì)系統(tǒng)舉例

在排隊(duì)系統(tǒng)中,來排隊(duì)請(qǐng)求服務(wù)的稱為顧客,提供服務(wù)的稱為服務(wù)臺(tái)。顧客的主體可以是人,也可以是物,還可以是信息以及抽象的待處理任務(wù)等,如表7-1所示。

7.2排隊(duì)系統(tǒng)分類

影響排隊(duì)系統(tǒng)的重要參數(shù)包括顧客源及其到達(dá)規(guī)律、服務(wù)時(shí)間規(guī)律、服務(wù)臺(tái)數(shù)量、排隊(duì)系統(tǒng)配置及容量、排隊(duì)規(guī)則等。Kendall在1953年提出了按照排隊(duì)系統(tǒng)的關(guān)鍵要素進(jìn)行分類的方法,得到普遍的采用,并使用六位的字符串來表示不同類型的排隊(duì)系統(tǒng):X/Y/Z/A/B/C。

X:表示顧客相繼到達(dá)間隔時(shí)間分布;

Y:表示服務(wù)時(shí)間分布;

Z:表示服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù);

A:表示系統(tǒng)的容量限制;

B:表示顧客源數(shù)目;

C:表示排隊(duì)規(guī)則。

其中有顧客到達(dá)時(shí)間間隔分布和服務(wù)時(shí)間分布,常用的有負(fù)指數(shù)分布用M標(biāo)識(shí),定長(zhǎng)輸入(確定型分布)用D標(biāo)識(shí),k階愛爾朗分布用Ek標(biāo)識(shí),一般相互獨(dú)立的隨機(jī)分布用G標(biāo)識(shí)。

例如,某排隊(duì)問題記為M/M/S/∞/∞/FCFS,表示此排隊(duì)系統(tǒng)滿足以下特征:顧客到達(dá)間隔時(shí)間為指數(shù)分布,服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布,有S個(gè)服務(wù)臺(tái),系統(tǒng)等待空間容量無限(等待制),顧客源無限,采用先到先服務(wù)規(guī)則。

排隊(duì)規(guī)則代表排隊(duì)系統(tǒng)對(duì)隊(duì)列中排隊(duì)顧客調(diào)度策略,經(jīng)常會(huì)碰到的排隊(duì)規(guī)則有以下幾種:

(1)先進(jìn)先出:這一原則也被稱為先到先得,即顧客一次只能得到一個(gè)服務(wù),先來的顧客也就是等待時(shí)間最長(zhǎng)的顧客先得到服務(wù)。

(2)后進(jìn)先出:這個(gè)原則也可以一次服務(wù)一個(gè)顧客,但是最后一個(gè)到達(dá)的,也就是等待時(shí)間最短的顧客會(huì)先得到服務(wù)。這在算法中會(huì)經(jīng)常用到,其利用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)常為堆棧。

(3)優(yōu)先級(jí):優(yōu)先考慮的顧客是第一位的。優(yōu)先級(jí)隊(duì)列可以分為兩種類型,非搶占(服務(wù)中的作業(yè)不能被中斷)和搶占(服務(wù)中的作業(yè)可以被高優(yōu)先級(jí)作業(yè)中斷)。

7.3Little定律

Little定律描述了排隊(duì)系統(tǒng)中的顧客平均數(shù)量L與顧客到達(dá)率λ、在系統(tǒng)中平均逗留時(shí)間W的關(guān)系

下面首先通過一個(gè)直觀的例子來理解Little定律的正確性。

首先在圖7-2(a)中,橫坐標(biāo)表示時(shí)間,縱坐標(biāo)表示系統(tǒng)中的顧客數(shù)量,則隨著時(shí)間的推進(jìn),系統(tǒng)中的顧客數(shù)量會(huì)隨著顧客的到達(dá)或者離開而變化。圖7-2(b)顯示了各個(gè)顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間。圖7-2(c)使用不同的顏色具體標(biāo)識(shí)了不同的顧客對(duì)于陰影部分面積的貢獻(xiàn)。

圖7-2Little定律的一個(gè)例子

可以很容易得出結(jié)論,這兩個(gè)圖的陰影部分的面積是相等的。在更一般化的例子中,這兩部分的面積相等也是成立的。在一般的問題中,在時(shí)間區(qū)間[0,T]內(nèi),設(shè)陰影部分的面積為S,系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)量為L(zhǎng),總共到達(dá)的顧客數(shù)量為N,系統(tǒng)中顧客逗留的平均時(shí)間為W,則有

即得

例7-1假設(shè)某高速收費(fèi)站車輛的平均到達(dá)數(shù)量為每小時(shí)200輛,車輛排隊(duì)的平均隊(duì)長(zhǎng)為5,請(qǐng)計(jì)算車輛在收費(fèi)站的平均逗留時(shí)間。

根據(jù)已知,L=5,λ=200,根據(jù)Little公式得

車輛的平均逗留時(shí)間為0.025小時(shí),即1.5分鐘,和車輛到達(dá)時(shí)間間隔分布沒有關(guān)系。

7.4排隊(duì)系統(tǒng)的解析

7.4.1指數(shù)分布在很多排隊(duì)情形中,可以認(rèn)為顧客的到達(dá)完全是隨機(jī)發(fā)生的。這意味著一個(gè)事件(顧客到達(dá)或者服務(wù)完成)的發(fā)生不受上一個(gè)事件發(fā)生后所間隔時(shí)間長(zhǎng)短的影響。這種性質(zhì)使排隊(duì)系統(tǒng)的顧客到達(dá)時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間可以使用指數(shù)分布來描述,而這又為問題的分析提供了便利。

所謂某個(gè)變量t(如顧客到達(dá)時(shí)間間隔或者服務(wù)時(shí)間)服從指數(shù)分布,指的是t的概率密度函數(shù)為

因此,我們可以計(jì)算其期望值及累積概率分布如下:

指數(shù)分布有一個(gè)非常著名的性質(zhì),被稱為遺忘性或者無記憶性。所謂無記憶性,是指顧客在未來一段時(shí)間內(nèi)到達(dá)的概率僅與這段時(shí)間間隔有關(guān)系,與顧客以前的到達(dá)事件沒有

關(guān)系。如果一個(gè)設(shè)備的可靠性服從指數(shù)分布,則它將來一年發(fā)生故障的概率與它已經(jīng)故障了幾次以及什么時(shí)間故障的沒有關(guān)系。

假設(shè)上一個(gè)顧客到達(dá)到現(xiàn)在已經(jīng)過了時(shí)間S>0,下一個(gè)顧客到達(dá)還需要經(jīng)過的時(shí)間T與S沒有關(guān)系。指數(shù)分布具有如下關(guān)系:

證明:

例7-2假設(shè)某部有兩部同型號(hào)雷達(dá)A和B,A雷達(dá)剛剛修理好,B雷達(dá)上次故障是在一年前,兩部雷達(dá)的故障間隔時(shí)間服從指數(shù)分布,平均值均為2000小時(shí),請(qǐng)問未來半年內(nèi)兩部雷達(dá)發(fā)生故障的概率分別是多少?未來一年內(nèi)發(fā)生故障的概率是多少呢?

因?yàn)楣收祥g隔時(shí)間服從指數(shù)分布,且平均值為2000,因此

假設(shè)一年為365天,也就是8760小時(shí),則根據(jù)指數(shù)分布的無記憶性可知,未來一段時(shí)間發(fā)生故障的概率和上一次故障發(fā)生的時(shí)間沒有關(guān)系。

對(duì)于A雷達(dá)和B雷達(dá),未來半年內(nèi)發(fā)生故障的概率均為

未來一年內(nèi)發(fā)生故障的概率均為

7.4.2生滅過程

1.生滅過程圖

令排隊(duì)系統(tǒng)中顧客的數(shù)量為系統(tǒng)的狀態(tài),在同一時(shí)刻最多只有一名顧客到達(dá)或者離開的假設(shè)下,系統(tǒng)的狀態(tài)只在相鄰的狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移,并且設(shè)λk為系統(tǒng)中有k個(gè)顧客的時(shí)候顧

客的到達(dá)率,也即單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)量的期望;μk為系統(tǒng)中有k個(gè)顧客的時(shí)候顧客的離開率,也即單位時(shí)間內(nèi)離開顧客數(shù)量的期望。則可以建立排隊(duì)系統(tǒng)的生滅過程圖如圖7-3所示。

圖7-3排隊(duì)系統(tǒng)生滅過程圖

2.平衡方程及狀態(tài)概率

對(duì)于顧客到達(dá)時(shí)間間隔及服務(wù)時(shí)間是隨機(jī)分布的排隊(duì)系統(tǒng)來講,系統(tǒng)的狀態(tài)將是動(dòng)態(tài)變化的,設(shè)p(k)為系統(tǒng)處于狀態(tài)k的概率,也就是系統(tǒng)中有k個(gè)顧客的概率。并且根據(jù)生滅過程圖,我們有如下平衡方程

也就是說每個(gè)狀態(tài)處,期望的流入速率等于期望的流出速率,否則概率p(k)將是變化的。

將上述等式左右分別相加,左右相等部分兩兩抵消如下:

可以得到

另外,還有

3.隊(duì)長(zhǎng)及顧客等待時(shí)間

7.4.3應(yīng)用案例:自助洗車機(jī)排隊(duì)系統(tǒng)解析

1.問題描述

某自助洗車點(diǎn)有2臺(tái)自助洗車設(shè)備,經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)營(yíng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),一輛車的自助清洗時(shí)間服從指數(shù)分布,平均值為30分鐘。路邊有5個(gè)臨時(shí)停車位可供排隊(duì),因?yàn)橛斜O(jiān)控的存在,不會(huì)有司機(jī)違章停車,也就是排隊(duì)的隊(duì)列長(zhǎng)度不會(huì)大于5。假定車輛按照泊松分布到達(dá),平均每小時(shí)6輛車。請(qǐng)根據(jù)你學(xué)習(xí)過的排隊(duì)模型的知識(shí),計(jì)算洗車點(diǎn)的車輛的期望數(shù),車輛在洗車點(diǎn)的期望逗留時(shí)間Ws以及在臨時(shí)停車位上的排隊(duì)等待時(shí)間期望Wq。

2.建立模型

車輛是排隊(duì)系統(tǒng)的顧客,兩個(gè)自主洗車機(jī)是排隊(duì)系統(tǒng)的兩個(gè)服務(wù)臺(tái)。顧客按照泊松分布到達(dá),平均每小時(shí)6輛,不受排隊(duì)系統(tǒng)中顧客數(shù)量的影響,因此到達(dá)率均為每小時(shí)6個(gè)。顧客的離開率根據(jù)系統(tǒng)中不同的顧客數(shù)量而有所不同,當(dāng)系統(tǒng)中有一個(gè)顧客的時(shí)候,一個(gè)服務(wù)臺(tái)為顧客提供服務(wù),顧客離開的速率為每小時(shí)2個(gè),當(dāng)系統(tǒng)中有2個(gè)顧客的時(shí)候,兩個(gè)服務(wù)臺(tái)為顧客提供服務(wù),顧客離開的速率為每小時(shí)4個(gè),當(dāng)系統(tǒng)中有3個(gè)及以上顧客的時(shí)候,仍然只有2個(gè)顧客接受服務(wù),其他顧客在排隊(duì)等待,因此離開率為4,排隊(duì)系統(tǒng)的生滅過程圖如圖7-4所示。

圖7-4自助洗車機(jī)排隊(duì)系統(tǒng)生滅過程

3.性能分析

根據(jù)圖7-4,可得到以下方程組

車輛到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)后,發(fā)現(xiàn)排隊(duì)系統(tǒng)已滿的概率為p(7),在此情況下,后來的車輛只能離開。因此,雖然顧客源產(chǎn)生顧客的平均速率為6,但是對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)來講,能夠?qū)嶋H進(jìn)入系統(tǒng)的顧客到達(dá)率要小于6。因此,洗車點(diǎn)的到達(dá)率實(shí)際為

4.討論

如果這是一個(gè)實(shí)際中的排隊(duì)系統(tǒng),增加洗車機(jī)的數(shù)量,洗車點(diǎn)上臨時(shí)等待隊(duì)列上的車輛期望數(shù)量未必會(huì)像解析方法得到的結(jié)果那樣減少;如果減少洗車機(jī)的數(shù)量,按照解析的分析方法,洗車點(diǎn)上臨時(shí)等待隊(duì)列上的車輛期望數(shù)量應(yīng)該會(huì)增加,但是在實(shí)際中也未必。因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)中會(huì)有規(guī)模效應(yīng),越是同類服務(wù)集中的地方,顧客往往越多。在排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)化分析研究中,應(yīng)該怎么計(jì)入規(guī)模效應(yīng)產(chǎn)生的影響?

7.5排隊(duì)系統(tǒng)仿真

7.5.1問題描述由于在高峰期某火車站的人流量比較大,因此專門設(shè)計(jì)了弓形的排隊(duì)通道,分別進(jìn)行驗(yàn)票和安檢,如圖7-5所示。

圖7-5火車站弓形排隊(duì)通道及驗(yàn)票安檢結(jié)構(gòu)圖

7.5.2仿真想定

仿真優(yōu)化范式以直觀、面向?qū)ο蟮臄?shù)據(jù)組織等特點(diǎn),大大方便了對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的建模、計(jì)算及分析。下面我們?cè)赟IMIO中建立驗(yàn)票安檢問題的仿真想定。

步驟1:在SIMIO中,我們創(chuàng)建一個(gè)新工程,在“StandardLibrary”面板上拖動(dòng)一個(gè)Source對(duì)象,兩個(gè)Server對(duì)象,一個(gè)Sink對(duì)象到工作區(qū)中,并使用Path連接從前至后連

接三者,在Source對(duì)象和第一個(gè)Server之間連接的時(shí)候,創(chuàng)建一種類似火車站進(jìn)站口在春運(yùn)高峰等時(shí)刻會(huì)見到的弓形排隊(duì)通道,可以看到Source對(duì)象自動(dòng)命名為Source1,兩個(gè)Server對(duì)象自動(dòng)命名為Server1和Server2,Sink對(duì)象自動(dòng)命名為Sink1,如圖7-6所示。

圖7-6利用SIMIO建立簡(jiǎn)單的火車站檢票及安檢排隊(duì)模型

步驟2:將四個(gè)對(duì)象的名稱分別修改為“CustomerArrive”“TicketCheck”“Security_x0002_Check”“Depart”,如圖7-7所示。

圖7-7-更改SIMIO仿真想定中對(duì)象的名字

步驟3:設(shè)定對(duì)象的屬性,如表7-2所示。

步驟4:在Run導(dǎo)航工具欄設(shè)置仿真運(yùn)行的參數(shù),關(guān)鍵的包括仿真開始時(shí)間“StartingType”,仿真結(jié)束時(shí)間“EndingType”,以及仿真運(yùn)行的速率“SpeedFactor”。

所謂仿真運(yùn)行的速率是指仿真系統(tǒng)中時(shí)間推進(jìn)速度與自然時(shí)間推進(jìn)速度的比率,可以通過設(shè)置這個(gè)參數(shù)加快或者減慢仿真系統(tǒng)推進(jìn)的速度,類似于視頻播放中的播放倍速。

至此,簡(jiǎn)要版驗(yàn)票安檢問題的仿真想定就已經(jīng)在SIMIO中配置完畢。

7.5.3仿真運(yùn)行

步驟1:在7.5.2節(jié)建立基本想定的基礎(chǔ)上,單擊Run工具條中的Run按鈕,讓仿真運(yùn)行,停止運(yùn)行后或者在中途單擊暫停按鈕后,我們可以在工作區(qū)的Results分頁中查看仿真的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),如圖7-8所示。

圖7-8SIMIO仿真實(shí)例運(yùn)行的一個(gè)結(jié)果

7.5.4仿真優(yōu)化

仿真實(shí)驗(yàn)可以定義為對(duì)仿真模型的輸入變量進(jìn)行有意義的變化,從而觀察和識(shí)別輸出變量變化原因的測(cè)試或一系列測(cè)試。當(dāng)輸入變量數(shù)量較大且仿真模型復(fù)雜時(shí),仿真實(shí)驗(yàn)可

能會(huì)變得很困難。除了計(jì)算成本高外,選擇次優(yōu)輸入變量值的代價(jià)更高。在不顯示評(píng)估每種可能性的情況下,從所有可能性中尋找最佳輸入變量值的過程就是仿真優(yōu)化。

因此,仿真優(yōu)化可以定義為在評(píng)估每種可能值的情況下,從所有可能值中尋找最佳輸入變量值的過程。仿真優(yōu)化的目標(biāo)是使仿真實(shí)驗(yàn)所獲得的信息最大化的同時(shí),使所消耗的資源最小化。

7.6排隊(duì)系統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化

排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)化的一般目的是使用最少的服務(wù)資源提供最好的服務(wù),然而這是兩個(gè)相互矛盾的目標(biāo),因此要建立多目標(biāo)優(yōu)化模型。

一方面,顧客希望在系統(tǒng)中逗留的時(shí)間越短越好,尤其是當(dāng)逗留時(shí)間不斷增加的時(shí)候,顧客有可能會(huì)因?yàn)椴荒蜔┒x開,或者顧客根本就不會(huì)來,影響了顧客源的到達(dá)率,這都會(huì)造成機(jī)會(huì)成本的增加,因此要降低系統(tǒng)中顧客期望的逗留時(shí)間,即

另一方面,排隊(duì)系統(tǒng)中服務(wù)臺(tái)以及排隊(duì)通道的構(gòu)造和運(yùn)營(yíng)是需要費(fèi)用的,總費(fèi)用越低越好,即

對(duì)于M/M/S/∞/∞/FCFS這種簡(jiǎn)單的排隊(duì)系統(tǒng),不同的服務(wù)臺(tái)數(shù)量下,兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)可以解析得到,但是對(duì)于復(fù)雜一些的,例如,火車站的驗(yàn)票安檢排隊(duì),要根據(jù)不同的服務(wù)臺(tái)數(shù)量及位置、排隊(duì)通道的構(gòu)造、排隊(duì)的規(guī)則計(jì)算目標(biāo)函數(shù),沒有辦法構(gòu)造明確的解析公式,只能通過仿真實(shí)驗(yàn)的方法,建立決策變量和目標(biāo)函數(shù)之間的映射關(guān)系。

對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問題,決策變量和目標(biāo)函數(shù)之間的映射關(guān)系建立之后,由于目標(biāo)之間的矛盾性,可能不存在絕對(duì)的最優(yōu)解,下面通過介紹幾個(gè)基本概念來說明排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)置的基本思路。

劣解:對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問題的一個(gè)解x來說,如果能找到另外一個(gè)解y,使在所有目標(biāo)函數(shù)度量下,x都比y差,那么這個(gè)解x稱為多目標(biāo)優(yōu)化問題的劣解。

非劣解(也稱帕累托解):對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問題的一個(gè)解x來說,如果不能找到另外一個(gè)解y,使在所有目標(biāo)函數(shù)度量下,x都比y差,那么這個(gè)解x稱為多目標(biāo)優(yōu)化問題的劣解。

可以肯定地說,劣解肯定不是我們需要考慮的對(duì)象。非劣解才是我們要進(jìn)一步考慮的對(duì)象,但是非劣解可能有很多個(gè),例如,在一般的排隊(duì)系統(tǒng)中,增加服務(wù)臺(tái)的數(shù)量都會(huì)降低系統(tǒng)顧客的逗留時(shí)間,這就產(chǎn)生了兩個(gè)非劣解,非劣解不會(huì)在所有方面都比另外一個(gè)解差。

如果要選擇一個(gè)解作為最終的方案,還需要對(duì)非劣解做進(jìn)一步的評(píng)估,方法包括加權(quán)求和、字典順序法等。第8章庫存優(yōu)化8.1庫存系統(tǒng)8.2經(jīng)典EOQ8.3分段價(jià)格EOQ8.4帶有儲(chǔ)存上限的多種貨物EOQ8.5動(dòng)態(tài)EOQ

8.1庫存系統(tǒng)

大多從事產(chǎn)品制造、貿(mào)易、銷售和修理的單位都不可避免地持有一系列實(shí)物資產(chǎn)的庫存,以協(xié)助將來的利用和銷售。一般而言,庫存系統(tǒng)模型如圖8-1所示。圖8-1庫存系統(tǒng)模型

庫存優(yōu)化就是尋找最優(yōu)的進(jìn)貨策略(進(jìn)貨時(shí)間、進(jìn)貨量),以使庫存系統(tǒng)的總費(fèi)用最低。庫存管理的總費(fèi)用包括進(jìn)貨成本、持有成本、短缺代價(jià)等。

(1)進(jìn)貨成本包括實(shí)物資產(chǎn)本身的購買成本(實(shí)物資產(chǎn)單價(jià)可能會(huì)隨著訂單大小的變化而變化)和固定費(fèi)用(如手續(xù)費(fèi)、派人外出采購、包裝和運(yùn)輸費(fèi)用等)。

(2)持有成本需要考慮的因素包括資金的占用、空間的占用、實(shí)物資產(chǎn)的防護(hù)保險(xiǎn)等產(chǎn)生的費(fèi)用、實(shí)物資產(chǎn)折舊等。

(3)出貨產(chǎn)生的費(fèi)用一般只考慮短缺代價(jià),也就是由于實(shí)物資產(chǎn)短缺不能滿足需求而導(dǎo)致喪失訂單或者停產(chǎn)等帶來的機(jī)會(huì)損失。

進(jìn)貨策略就是要決定什么時(shí)間進(jìn)多少貨物。常見的進(jìn)貨策略有以下三種:

(1)周期性補(bǔ)充策略,即每隔固定的時(shí)間進(jìn)貨一次,進(jìn)貨的數(shù)量固定。

(2)庫存閾值策略,即持續(xù)地檢查庫存數(shù)量,每當(dāng)庫存數(shù)量達(dá)到某個(gè)閾值的時(shí)候進(jìn)貨一次,進(jìn)貨的數(shù)量要使庫存達(dá)到某個(gè)固定值。

(3)混合策略,即周期性地檢查庫存數(shù)量,每當(dāng)庫存數(shù)量達(dá)到某個(gè)閾值的時(shí)候進(jìn)貨一次,進(jìn)貨的數(shù)量要使庫存達(dá)到某個(gè)固定值。

8.2經(jīng)典EOQ

定義8-1經(jīng)濟(jì)訂貨數(shù)量(EconomicOrderQuantity,EOQ)是庫存系統(tǒng)進(jìn)貨時(shí)應(yīng)該在每筆訂單中訂購貨物的數(shù)量,這個(gè)數(shù)量使周期性補(bǔ)充策略的庫存系統(tǒng)的總費(fèi)用最小。

經(jīng)典EOQ對(duì)庫存系統(tǒng)的假設(shè)如下:

(1)每次當(dāng)庫存水平達(dá)到特定的重新訂購點(diǎn)b時(shí),進(jìn)貨數(shù)量固定為Q,進(jìn)貨過程是沒

有時(shí)延的;

(2)出貨速率v是固定的,也就是庫存以固定的速度消耗;

(3)單位數(shù)量的貨物單位時(shí)間的持有成本為c1;

(4)單位數(shù)量的貨物的價(jià)格為c2;

(5)每次訂購都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)固定費(fèi)用c3。

根據(jù)假設(shè)可得進(jìn)貨周期為

則庫存貨物數(shù)量的變化如圖8-2所示。

圖8-2經(jīng)典EOQ模型的庫存數(shù)量變化曲線

例8-1假設(shè)某學(xué)校每年要使用3500升油漆,每升油漆的價(jià)格為50元,每次批量購買的固定費(fèi)用為15元,每升油漆每年的持有成本為3元。請(qǐng)為這樣的需求及價(jià)格狀況制訂最優(yōu)的訂貨策略。

8.3分段價(jià)格EOQ

“量大從優(yōu)”是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下很常見的現(xiàn)象。在經(jīng)典EOQ的基礎(chǔ)上,我們考慮針對(duì)不同訂貨量有不同單位商品價(jià)格的分段價(jià)格EOQ問題。分段價(jià)格EOQ與經(jīng)典EOQ唯一的不同在于單位商品的進(jìn)貨價(jià)格不再為常數(shù),而是一個(gè)訂貨量Q的函數(shù)c2(Q)。

分段價(jià)格EOQ問題的假設(shè)如下:

(1)每次當(dāng)庫存水平達(dá)到特定的重新訂購點(diǎn)b時(shí),進(jìn)貨數(shù)量固定為Q,進(jìn)貨過程是沒有時(shí)延的;

(2)出貨速率v是固定的,也就是庫存以固定的速度消耗;

(3)單位數(shù)量的貨物單位時(shí)間的持有成本為c1;

(4)單位數(shù)量的貨物的價(jià)格為c2(Q),是訂貨量Q的分段函數(shù);

(5)每次訂購都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)固定費(fèi)用c3。

例8-2設(shè)某學(xué)校每年要使用3500升油漆,每次訂貨300升以上每升價(jià)格為45元,否則為50元,每次批量購買的固定費(fèi)用為15元,每升油漆每年的持有成本為3元。請(qǐng)為這樣的需求及價(jià)格狀況制訂最優(yōu)的訂貨策略。

根據(jù)已知條件,分段價(jià)格為

8.4帶有儲(chǔ)存上限的多種貨物EOQ

當(dāng)經(jīng)典EOQ和分段價(jià)格EOQ用于求解多個(gè)貨物的最優(yōu)庫存策略時(shí),如果多個(gè)貨物相互之間沒有關(guān)聯(lián),則只需分別求解?，F(xiàn)在考慮一種有關(guān)聯(lián)的情況,也就是多個(gè)貨物存放到一個(gè)倉庫里,而倉庫的容積是有限的,這也是一種很常見的情形。

帶有儲(chǔ)存上限的多貨物EOQ問題的假設(shè)如下:

(1)每次當(dāng)貨物i庫存水平達(dá)到特定的重新訂購點(diǎn)bi時(shí),進(jìn)貨數(shù)量固定為Qi,進(jìn)貨過程是沒有時(shí)延的;

(2)貨物i的出貨速率vi是固定的,也就是庫存以固定的速度消耗;

(3)單位數(shù)量的貨物i單位時(shí)間的持有成本為ci1;

(4)單位數(shù)量的貨物i的價(jià)格為ci2;

(5)每次訂購貨物i都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)固定費(fèi)用ci3;

(6)單位貨物i占用倉庫容積為si,倉庫的總?cè)莘e為S。

例8-3假設(shè)要確定三種貨物的最優(yōu)庫存策略,倉庫的最大可用面積為150平方米,其他參數(shù)如表8-1所示。

代入相關(guān)參數(shù),得到數(shù)學(xué)模型:

這是一個(gè)帶約束的非線性規(guī)劃模型,可以使用Excel的規(guī)劃工具求解。圖8-3給出了所用的公式和Excel規(guī)劃求解的參數(shù)。注意決策變量必須要給出一個(gè)非零的初始值,因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)中決策變量出現(xiàn)在分母中。

圖8-3例8-3的Excel規(guī)劃求解

Excel求解得到的最優(yōu)解如圖8-4所示。因此,三種貨物的訂貨