7.3.3余弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一余弦（型）函數(shù)的圖象及其變換

1.用“五點(diǎn)法”作函數(shù)片2cos尸1在［0,2n］上的圖象吐應(yīng)取的“第三點(diǎn)”為（）

A.B.（n,-3）

C.（?,-1）D.（2況，1）

2.先把函數(shù)尸cos2x+l的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左

平移1個(gè)單位,最后向下平移1個(gè)單位,得到的圖象是（）

2-rr

4.函數(shù)f（x）=cosx+2|cosx\~m,［0,2n］恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則加的取值范圍為.

題組二余弦（型）函數(shù)的性質(zhì)

5.（多選）（2021山西運(yùn)城萬(wàn)榮第二中學(xué)期末）下列函數(shù)中，是以n為最小正周期的偶函數(shù)的是

（）、

A.尸cos（F）B.尸sin（2x——）

C.y=12-cosx|D.y=\sinx\

6.（2021四川資陽(yáng)期末）函數(shù)尸sir?『cosx的最大值為（）

A.-1B.-2C.1D.-S

444

7.（2020安徽馬鞍山期末）函數(shù)T=COS（2X+圖象的一條對(duì)稱軸方程是（）

.nJT

A.A=-B.尸―一

24

C.x=—D.A=n

8

8.（2022河南南陽(yáng)一中月考）設(shè)a=cosg,Z>=sin?工c=cos則（）

1264

A.a>c>bB.c>b>a

C.c>a>bD.b>c>a

9.若函數(shù)/'（x）=cos2CDX（3>0）在區(qū)間［o,3上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù)，則3=

（）''~

A.3B.2C.-D.-

23

10.（2022湖南株洲二中月考）已知函數(shù)f（x）=cos（3戶"（3>0,0<8<；）的圖象上相鄰兩

條對(duì)稱軸的距離為J,將M的圖象向左平移g個(gè)單位后得到g（x）的圖象,若g（x）為奇函數(shù)，

L6

則f（x）=（）

A.cos(x+T)B.cos(x+

C.cos(2X+T)D.cos(2%+總

11.（2021福建三明尤溪第五中學(xué)期末）函數(shù)產(chǎn)cos^-2%）的單調(diào)遞增區(qū)間是.

12.已知函數(shù)A^）=cosg+則/U）的最小正周期是,f（x）的圖象的對(duì)稱中心

是______________.

13.已知函數(shù)y=a-bcos（2x+十）（8>0,xdR）的最大值為最小值為弓.

⑴求a,b的值；

⑵求函數(shù)g（*）=-4asin（"-的最小值,并求出對(duì)應(yīng)的x的集合.

14.（2022河南鄭州一中期末）已知函數(shù)f（x）=cos（2田。）（|如<；）,從①&0）為/U）的圖

象的一個(gè)對(duì)稱中心;②當(dāng)下詈時(shí)，/'（x）取得最大值;③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已

知條件.

（1氤/V）的解析式；

（2）將尸/Xx）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移已個(gè)單

位,得到尸g（x）的圖象，求函數(shù)尸g（x）在（0,"）上的單調(diào)遞減區(qū)間.

題組三利用余弦（型）函數(shù)的圖象確定解析式

15.若函數(shù)f（x）=2cos（力廣現(xiàn)3>0,0<8<9的部分圖象如圖所示，則/3的解析式為

（）

A.f(x)=2cosgx+

B.f(x)=2COSQX4-g)

C.f(x)=2cos(^x+2)

D.f(x)=2cos弓x+§

16.已知函數(shù)7'（x）=4cos（。產(chǎn)0）+6的部分圖象如圖所示，若冷0,。>0,|0|仁則（）

A，B"1C.0遙D㈤

17.（2022北京大學(xué)附屬中學(xué)期中）已知函數(shù)f（x）=4cos（。戶。）（其中心0,。〉0）的部分圖象

,則/'(0)=

A「|B.-|C.|D.|

能力提升練

L點(diǎn)/償,1）在函數(shù)F（x）=cos（2廣㈤（|如<9的圖象上，為了得到函數(shù)尸sin（2%+$的圖象,

只需把曲線/'（x）上所有的點(diǎn)（）

A.向左平移g個(gè)單位B.向右平移g個(gè)單位

C.向右平移限個(gè)單位D.向左平移限個(gè)單位

2.（2022黑龍江大慶中學(xué)模擬）函數(shù)/'（才）=鐘空在［-口，的圖象大致為

cosx+xz)

3.（2022黑龍江鶴崗期末）已知函數(shù)F（x）=2sin（3%-9（3>0）的圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之

間的距離為今將函數(shù)F（x）的圖象向左平移。（0<8個(gè)單位得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)

稱,則函數(shù)g（x）=8cos（3矛+0）在卜小一品上的最大值為（）

A.V3B.0C.—D.-

22

4.（多選）已知函數(shù)f（x）=4cos（x+0）+1（/>0,|^|<］）,若函數(shù)片If（x）1的部分圖象如圖所示,

則下列說(shuō)法正確的是（）'

A.F（x）的圖象關(guān)于直線注對(duì)稱

6

B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一刻,1)對(duì)稱

C.將函數(shù)產(chǎn)2sinx+1的圖象向左平移?個(gè)單位可得到f(x)的圖象

6

D.函數(shù)f(x)在區(qū)間[一表0]上單調(diào)遞減

5.(2022遼寧沈陽(yáng)同澤高級(jí)中學(xué)期中)將函數(shù)f(x)=cosx的圖象先向右平移4個(gè)單位，再把所

得圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3。>0)倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(X)的圖象,若函數(shù)g(X)在

償號(hào))上沒(méi)有零點(diǎn),則3的取值范圍是.

6.已知函數(shù)f(x)=2cos(o比-9(3>0),且f(x)W/g)對(duì)任意的實(shí)數(shù)X都成立.

⑴求3的最小值；

⑵在(1)中3值的條件下,若函數(shù)g(x)=f(Ax)+l(公0)的最小正周期為“，當(dāng)xe[o圖時(shí)，方

程g(x)=R恰有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)力的取值范.

7.3.3余弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.B

2.A函數(shù)尸cos2產(chǎn)1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到產(chǎn)cos

x+1的圖象,再向左平移1個(gè)單位,得到尸cos(x+l)+l的圖象,再向下平移1個(gè)單位,得到

片cos(廣1)的圖象,故相應(yīng)的圖象為選項(xiàng)A中的圖象.

3.答案2

解析作函數(shù)片系和尸cosx的圖象，如圖所示.

由圖可知，函數(shù)尸V和產(chǎn)cosx的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程系=cosx的實(shí)根有2個(gè).

4.答案{0}U(l,3]

解析函數(shù)f(x)=cos戶21cosx|-勿,xC[0,2況]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)戶cosx+2\cosx

3cosx,xe[o用U[y,2u],

的圖象與直線廣卬的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

-cosx,xeCW)

作出尸cos戶21cosx|,xS[0,2n]的圖象，如圖,

3

.2

o

由圖可知，當(dāng)廳0或l〈wW3時(shí)，函數(shù)片cos廣21cosx],[0,2JT]的圖象與直線片勿有兩個(gè)

交點(diǎn)，故當(dāng)函數(shù)f(x)=cose21cosx|-/%xG[0,2n]恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，力的取值范圍為

{0}U(1,3].

5.BD尸cos(%+以的最小正周期芹2冗，所以A不符合題意；

片sin(2%—:)的最小正周期T^~~71,又y=sin(2x—:)二—sing—2%)二cos2x,顯然是偶函

數(shù)，所以B符合題意；

因?yàn)?2-cos(矛+n)|=12+cosx\,\2-cosx\|2+cosx|,所以片|2-cosx|不是以n為最小

正周期的函數(shù),所以C不符合題意；

易知產(chǎn)|sinx|是以Jt為最小正周期的函數(shù)，又|sin(-x)|=|sinx|,所以片|sinx|是偶函數(shù),

所以D符合題意.

6.D片sin,x-cosA=-COS?尸cosx+l.

2

令t=cosX,則y=-12-+1)+|,[-1,1],所以當(dāng)片-斷寸，函數(shù)取得最大值,為*故選D.

7.C令2戶區(qū)A況，AWZ,貝ijx=--+—,k￡Z.

482

當(dāng)k=0時(shí)，產(chǎn)-J.故選C.

8

8.A由已知得樂(lè)sin—=sinf6ji+—)=sin—=sin-=cos。=cos-cos

6\6766344

因?yàn)槿移琧os才在(0弓)上是減函數(shù),所以cos3cos：>cosp即a>c>b.故選A.

9.c由61得,當(dāng)中時(shí)，函數(shù)M取得最小值，14

：.^=兀+24兀，kGZ,：,3耳3%Aez.

32

又由條件得函數(shù)的最小正周期芹善2三,解得o<3W2,

2co22

10.D由題意得左空與X2,即3=2,

0)2

二?F(x)=cos(2x+0),.?.g(x)=cos卜％+g+W)，

：g(x)為奇函數(shù)，??，+<p=-+kn,AGZ,解得,k^l.V0<</><-,A0』.

32626

/.A^)=cos^2x+：),故選D.

11.答案MTkn+非Aez

解析7=COSQ—2%)=cos(2x—：).

令2A兀一兀W2尸A￡Z,

4

解得k五一如WxWAr+-,kRZ,

88

所以單調(diào)遞增區(qū)間是卜IT一金而+非kRZ.

12.答案4n;(2/cii+pO)UeZ)

解析/'(x)的最小正周期是要=4n.

2

令M~=k兀+-,keZ,得下2k兀+-,kGZ,

2323

故/'(X)的圖象的對(duì)稱中心是(2E+g,0),k《Z.

(b+a=1，(--

13.解析⑴由題意得|2i解得n

I+a=lb=1.

⑵由(1)知g(x)=-2sin(x—

Vsin(x-J)e[-l,1],Z.^)e[-2,2].

.,.g(x)的最小值為-2,此時(shí)sin卜-9=1.

故；r2=24n+三k^Z,.\A=2AJT+—,k^Z,

326

對(duì)應(yīng)的x的集合為｛小=2/CTT+^,/CGz).

14.解析(1)若選①，貝|2義5+0=三+431，4?2,解得Oq+AjAWZ,又|〈三，所以0千,所

62o26

以/(A)=1COS^2X+胃

若選②,貝I《等月c°s(2X等+8)=|,所以2X詈+0=24允，AWZ,解得<i>=~+2kn.AEZ,

又I《，所以0=g所以f(x)Wcos(2x+。

若選③,則《；)*os(2x：+0A所以cos管+0AM所以1+04+20,AEZ或]+0=-

名+2攵正，左￡2,解得0=?+2An,AWZ或0=-—+2An,AGZ,X|。|<二,所以。=三,所以

36626

F(x)3cos(2%+*

⑵由題意及⑴得g(x)gos[4(萬(wàn)-￡)+1*°S(4-5

令2An<4『衿n+2A五，AWZ,得今年WxW守竽AWZ,所以函數(shù)g(x)=：cos(4x—：)在

(0,口)上的單調(diào)遞減區(qū)間為底，到和

15.A由題圖可知，/(0)=2cos0=百,即cos4>=~.又0<<P<^,/.0=,;/(g)=2cos(*co+

斤-2,.?.根據(jù)“五點(diǎn)法”作圖可知，苧3+會(huì)”，.?.哈..,.f(x)=2cosGX+§.故選A.

16.C由題圖可得4三=2,比等=2,故A,D均錯(cuò)誤；函數(shù)f(x)的最小正周期7MX管-

升“，.?.=2,故B錯(cuò)誤；由上述分析可知f(x)=2cos(2矛+0)+2,將點(diǎn)&4)代入函數(shù)f(x)

的解析式，得2cos(2X￡+0)+2=4,...cose+租)=1,6=2kz,4WZ,即6=-

g+2An,AEZ,V-\二0=g故C正確.故選C.

17.C由題圖可知函數(shù)f(x)的最小正周期芹2X(詈一領(lǐng)號(hào)，故勿#=3.將(詈,0)代入解

析式，得4cos(3x詈+Q)=0,故手+0q+24況(AWZ),所以0=3+201)n(AWZ),

所以f(x)4cos(3x—

又H=-/cos：=-|,所以/=手.

所以f(x)=￥cos(3x—

所以f(0)=—cosf--)=—X故選C.

3V4/323

能力提升練

1.D點(diǎn)《也1)在函數(shù)F(x)的圖象上，則/Q)=cos(；+卬)=+即三+0=20,MZ,即。=-三

+2An,4GZ,又|°|所以0=三,所以f(x)=cosgx-；).因?yàn)槭瑂in(2x+g)=cos(2%+；-

^)=cos(2x-J)=cos[2(x+合)一外,所以只需將f(x)的圖象向左平移右個(gè)單位,即可得到

產(chǎn)sin(2x+的圖象.故選D.

解題模板

三角函數(shù)的圖象變換必須要保證是同名函數(shù),若變換前后的函數(shù)名稱不同，則要選擇合適的誘

導(dǎo)公式將其化為同名函數(shù),再分析自變量的變化關(guān)系，得到變換的結(jié)果.

2.D因?yàn)閙］,f(-x)=紀(jì)尸學(xué)f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以A

cos(-x)+(-x)zcosx+x^

不符合題意.又由當(dāng)尸九時(shí)，f(n)=WR=J_,可知0<An)<l,所以只有D中圖象符合.故

cosTt+nz

選D.

3.C由題意得W，；?④胃=2,

f(x)=2sin卜%—').

將函數(shù)f(x)的圖象向左平移<f>(0<(p<9個(gè)單位得到尸2sin(2x+2(p-］的圖象，,2

言+An(Aez),/.0苫+子(Aez),又0<叫，：.0g..,.g(x)=Hcos(2x

當(dāng)在卜冬一當(dāng)時(shí)，2嗎-",

/.cos(2x+：,g{x}e［-V3,y］,

.?.g(x)在［-等，-，上的最大值為學(xué)故選C.

4.BC由題圖知函數(shù)f(x)的最大值為3,最小值為T,所以4=2,所以f(x)=2cos(矛+0)+1.

因?yàn)楹瘮?shù)產(chǎn)"(x)I的圖象過(guò)點(diǎn)(0,2),所以2cos0+1=2,即cos又|。嗎，所以?？?所

以f(x)=2cos(%+^)+1.

令肝(Aez),得分q+An(%ez),所以函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為方-會(huì)“31(在7般

故A錯(cuò)誤.’

令x+gg+An(4GZ),得q+4n(4eZ),所以函數(shù)/'(x)圖象的對(duì)稱中心為(：+/nr,1)(4GZ),

故B正確.

函數(shù)產(chǎn)2sinx+1的圖象向左平移段個(gè)單位得到尸2sin(x+詈)+l=2cos(x+g+l的圖象，故C

正確.。'

令2An〈爐JT+2An,AWZ,得-g+2AnWxWg+2A：n,AWZ,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間

為［4+2/cn.y4-2對(duì),AWZ,當(dāng)k=0時(shí)