函數(shù)奇偶性試題1．已知函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函數(shù)，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（）A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既奇又偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)解析：f（x）＝ax2＋bx＋c為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，∴g（x）＝ax3＋bx2＋cx＝f（x）·滿足奇函數(shù)的條件．2．已知函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)椋踑－1，2a］，則（）A．，b＝0B．a(chǎn)＝－1，b＝0C．a(chǎn)＝1，b＝0D．a(chǎn)＝3，b＝0解析：由f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b為偶函數(shù)，得b＝0．又定義域?yàn)椋踑－1，2a］，∴a－1＝2a，∴．3．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）＝x2－2x，則f（x）在R上的表達(dá)式是（）A．y＝x（x－2）B．y＝x（｜x｜－1）C．y＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）解析：由x≥0時，f（x）＝x2－2x，f（x）為奇函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x）＝－x2－2x＝x（－x－2）．∴即f（x）＝x（|x|－2）4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（）A．－26B．－18C．－10D．10解析：f（x）＋8＝x5＋ax3＋bx為奇函數(shù)，f（－2）＋8＝18，∴f（2）＋8＝－18，∴f（2）＝－26．5．函數(shù)是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)解析：此題直接證明較煩，可用等價形式f（－x）＋f（x）＝0．6．若，g（x）都是奇函數(shù)，在（0，＋∞）上有最大值5，則f（x）在（－∞，0）上有（）最小值－5B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－3解析：、g（x）為奇函數(shù)，∴為奇函數(shù)．又f（x）在（0，＋∞）上有最大值5，∴f（x）－2有最大值3．∴f（x）－2在（－∞，0）上有最小值－3，∴f（x）在（－∞，0）上有最小值－1．7.設(shè)f(x)是(－∞,+∞)上的奇函數(shù)，f(x+2)=－f(x),當(dāng)0≤x≤1時，f(x)=x,則f(7.5)等于()A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.8.已知定義域?yàn)?－1，1)的奇函數(shù)y=f(x)又是減函數(shù)，且f(a－3)+f(9－a2)<0,則a的取值范圍是()A.(2，3) B.(3，)C.(2，4) D.(－2，3)解析：∵f(x)是定義在(－1，1）上的奇函數(shù)又是減函數(shù)，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴∴a∈(2,3).9．函數(shù)的奇偶性為________（填奇函數(shù)或偶函數(shù)）．10．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函數(shù)，則m＝_________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝（m－1）x2＋2mx＋3為偶函數(shù)，∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．已知f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，若，則f（x）的解析式為_______．解析：由f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，可得，聯(lián)立，∴．12．已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且其圖象與x軸有四個交點(diǎn)，則方程f（x）＝0的所有實(shí)根之和為________．13.若f(x)為奇函數(shù)，且在(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－3)=0,則xf(x)<0的解集為_________.解析：由題意可知：xf(x)＜0∴x∈(－3,0)∪(0,3)若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0<x1<x2),且在［x2,+∞上單調(diào)遞增，則b的取值范圍是_________.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞單調(diào)遞增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,∴b=－a(x1+x2)＜0.15．設(shè)定義在［－2，2］上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，2］上單調(diào)遞減，若f（1－m）＜f（m），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．16．已知函數(shù)f（x）滿足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0，試證f（x）是偶函數(shù)．16．證明：令x＝y(tǒng)＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可證f（0）＝1．令x＝0，∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）f（－y）＝f（y），故f（x）為偶函數(shù)．17.已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表達(dá)式．解析：本題主要是培養(yǎng)學(xué)生理解概念的能力．f（x）＝x3＋2x2－1．因f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）＝0．當(dāng)x＜0時，－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1，∴f（x）＝x3－2x2＋1．因此，18.f（x）是定義在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函數(shù)，且f（x）在［5，＋∞）上單調(diào)遞減，試判斷f（x）在（－∞，－5］上的單調(diào)性，并用定義給予證明．18．解析：任取x1＜x2≤－5，則－x1＞－x2≥－5．因f（x）在［5，＋∞］上單調(diào)遞減，所以f（－x1）＜f（－x2）f（x1）＜－f（x2）f（x1）＞f（x2），即單調(diào)減函數(shù)．點(diǎn)評：此題要注意靈活運(yùn)用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，并及時轉(zhuǎn)化．19.設(shè)函數(shù)y＝f（x）（xR且x≠0）對任意非零實(shí)數(shù)x1、x2滿足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），求證f（x）是偶函數(shù)．解析：由x1，x2R且不為0的任意性，令x1＝x2＝1代入可證，f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．又令x1＝x2＝－1，∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，∴（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）為偶函數(shù)．點(diǎn)評：抽象函數(shù)要注意變量的賦值，特別要注意一些特殊值，如，x1