九年級數(shù)學下冊第二十三章圖形的變換專題訓練

考試時間：90分鐘；命題人：數(shù)學教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘

2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計30分）

1、2022年2月4日―2月20日，北京冬奧會將隆重舉行，如圖是在北京冬奧會會徽征集過程中征集

到的一幅圖片.旋轉(zhuǎn)圖片中的“雪花圖案”，旋轉(zhuǎn)后要與原圖形重合，至少需要旋轉(zhuǎn)（）.

OQ9

A.180°B.120°C.90°D.60°

2、如圖，服△/回中，ZJ=90°,/6=30°,AC=\,將應比'延直線/由圖1的位置按順時針

方向向右作無滑動滾動，當4第一次滾動到圖2位置時，頂點力所經(jīng)過的路徑的長為（）

圖1圖2

.(4+G)乃D(8+45/3)^?(4+50)萬

A.----------------D.------------------L.------------------

636

3、下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.等邊三角形B.雙曲線C.拋物線D.平行四邊形

4、點A（2,m）向上平移2個單位后與點關于y軸對稱，則加，=（）.

A.1B.：C.D.1

5、下列圖案中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

6、以下四大通訊運營商的企業(yè)圖標中，是軸對稱圖形的是（）

中國移動中國電信中國網(wǎng)通中國聯(lián)通

7、如圖，直角三角形紙片4回中，ZACB=90°,N4=50°,將其沿邊四上的中線應折疊，使點4

落在點A處，則N4緲的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.20°D.40°

8、下列圖形中，是中心對稱圖形的是（)

9、下列所述圖形中，不是軸對稱圖形的是（）

A.矩形B.平行四邊形C.正五邊形D.正三角形

c

10、△力回中，ZACB=90,ZA=a,以C為中心將A力回旋轉(zhuǎn)9角到A45C（旋轉(zhuǎn)過程中保持△力阿

的形狀大小不變）5點恰落在18上,如圖，則旋轉(zhuǎn)角。與a的數(shù)量關系為（）

A.6=90-aB.0=90-2aC.O=aD.0=2a

第n卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計20分）

1、如圖，Rt/XABC,ZACB=90°,AC=BC=3,以。為頂點的正方形6W（C、D、E、尸四個頂點按

2

逆時針方向排列）可以繞點。自由轉(zhuǎn)動，且切=2,連接力EBD,在正方形CW旋轉(zhuǎn)過程中，BD^-

力，的最小值為.

CB

2、如圖所示，直線y=x+2與兩坐標軸分別交于A、B兩點，點C是OB的中點，D、E分別是直線

A3、丫軸上的動點，當ACOE周長最小時，點。的坐標為一.

3、如圖，在平面直角坐標系中，等邊△48C與等邊48%1是以原點為位似中心的位似圖形，且相似比

為g,點4、B、〃在x軸上，若等邊48班■的邊長為6,則點。的坐標為.

4、如圖，在矩形力閱9中，助=3,點后在48邊上，4￡=4,BE=2,點尸是熊上的一個動點.連接

EF,將線段跖繞點6逆時針旋轉(zhuǎn)90°并延長至其2倍，得到線段員7,當tanNGE4=1時，點G到口

的距離是

5、如圖，放AABC中，ZACB=90°,AC=3,&?=4,將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點

。處；再將邊BC沿C/翻折，使點B落在C/）的延長線上的點&處，兩條折痕與斜邊A3分別交于點

364

E、F,以下四個結(jié)論：①NEb=45。；②△CEF是等腰直角三角形；③以⑺尸二天；@B'F=-.其

中正確結(jié)論的序號有______.

三、解答題（5小題，每小題10分，共計50分）

1、在AABC中，ZB=90°,〃為6c延長線上一點，點￡為線段/G切的垂直平分線的交點，連接

EA,EC,ED.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當4AC=50。時，則/血＞=°；

(2)當N?4C=60。時，

①如圖2,連接49,判斷△血＞的形狀，并證明；

②如圖3,直線沖與切交于點凡滿足NCF￡＞=NC4E.。為直線仃'上一動點.當PE-PD的值最大

時，用等式表示陽外與46之間的數(shù)量關系為,并證明.

2、拋物線yuaf+Ox—2(a￥0)與x軸交于點4(-1,0),B(3,0),與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,拋物線的對稱軸與x軸相交于點〃，連接力C,BC.△/回繞點6順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后

落在第一象限，當點，的對應點G落在拋物線的對稱軸上時，求此時點A的對應點4的坐標；

(3)如圖2,過點。作CE〃x軸交拋物線于點笈已知點，在拋物線上且橫坐標為:，在y軸左側(cè)

的拋物線上有一點P,滿足NPDC=NEDC,求點。的坐標.

3、在平面直角坐標系x0y中，點。為一定點，點P和圖形"的''旋轉(zhuǎn)中點”定義如下：點。是圖形

/『上任意一點，將點。繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到點Q',點M為線段P。'的中點，則稱點M為點一

關于圖形1的“旋轉(zhuǎn)中點”.

（1）如圖1,已知點A（0,4）,B（-2,0）,C（0,2）,

①在點，（0,3）,N（2,2）中，點是點力關于線段a'的“旋轉(zhuǎn)中點”；

②求點4關于線段式1的“旋轉(zhuǎn)中點”的橫坐標〃的取值范圍；

（2）已知E（2,0）,尸（0,2）,G（4,0）,點。&0）,且?！ǖ陌霃綖?.若AOER的內(nèi)部（不包括邊

界）存在點G關于?！ǖ摹靶D(zhuǎn)中點”，求出t的取值范圍.

4、如圖在平面坐標系中，的三個頂點的坐標分別是A（3,l）,B（l,2）,C（4,3）.

（1）將AABC向右平移三個單位長度得到，在平面直角坐標系中做出

（2）以原點0為位似中心，在第一象限內(nèi)將AABC放大為原來的2倍得到，做出△A&Cz.

5、如圖所示，在平面直角坐標系中，A45C的頂點坐標分別是A(a,-4),8(-1,2)和。(-4,4).

p6-

41

Jq

工

1

5-5-4-3-2-10I：6

1

T

J

A

￡

-6-

(1)已知點A(a,-4)關于x軸的對稱點p的坐標為(-5力)，求。，的值；

(2)畫出AABC,且AMC的面積為；

(3)畫出與AABC關于丫軸成對稱的圖形586,并寫出各個頂點的坐標.

-參考答案-

一、單選題

1、D

【分析】

“雪花圖案”可以看成正六邊形，根據(jù)正六邊形的中心角為60°,即可解決問題.

【詳解】

解：“雪花圖案”可以看成正六邊形,

?.?正六邊形的中心角為60°,

這個圖案至少旋轉(zhuǎn)60°能與原雪花圖案重合.

故選：D.

【點睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形，生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象等知識，解題的關鍵是理解題意，掌握正六邊形的性質(zhì).

2、C

【分析】

根據(jù)題意，畫出示意圖，確定出點A的運動路徑，再根據(jù)弧長公式即可求解.

【詳解】

解：根據(jù)題意可得，/△/a'的運動示意圖，如下：

ZACB=60%BC=2,AB=>JBC2-AC2=73>

由圖形可得，點A的運動路線為，先以C為中心，順時針旋轉(zhuǎn)12()。，到達點4,經(jīng)過的路徑長為

三黑="，再以用為中心，順時針旋轉(zhuǎn)15()。，到達點&,經(jīng)過的路徑長為150萬xG=也,

18031806

頂點A所經(jīng)過的路徑的長為=二+也=(4+5逝)》,

366

故選：C

【點睛】

此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓弧弧長的求解，解題的關鍵是根據(jù)題意確定點A的運動路線.

3、B

【分析】

根據(jù)“如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱

圖形”及“把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這

個圖形就叫做中心對稱圖形”，結(jié)合二次函數(shù)的圖象及反比例函數(shù)的圖象，進而問題可求解.

【詳解】

解：A、等邊三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；

B、雙曲線是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故符合題意；

C、拋物線是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；

D、平行四邊形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，故不符合題意；

故選B

【點睛】

本題主要考查軸對稱圖形、中心對稱圖形及二次函數(shù)的圖象、反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握軸對稱圖

形、中心對稱圖形及二次函數(shù)的圖象、反比例函數(shù)的圖象是解題的關鍵.

4、D

【分析】

利用平移及關于y軸對稱點的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

解：把A（2,〃?）向上平移2個單位后得到點（2,加+2）,

?.?點（2,加+2）與點8（”,T）關于y軸對稱，

??〃=~2,/?7+2=—1,

m=-3

”=（-3尸=:,

故選：D.

【點晴】

本題考查坐標與圖形變化平移、軸對稱的性質(zhì)及負整數(shù)指數(shù)累，解題關鍵是掌握平移、軸對稱的性質(zhì)

及負整數(shù)指數(shù)幕.

5、B

【分析】

根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念逐項分析

【詳解】

解：A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故該選項不正確，不符合題意；

B.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故該選項正確，符合題意；

C.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故該選項不正確，不符合題意；

D.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故該選項不正確，不符合題意；

故選B

【點睛】

本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后

可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖

形的概念是解題的關鍵.

6、D

【分析】

根據(jù)軸對稱圖形的定義（在平面內(nèi)沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形）進行判斷

即可得.

【詳解】

解：根據(jù)軸對稱圖形的定義判斷可得：只有D選項符合題意，

故選：D.

【點睛】

題目主要考查軸對稱圖形的判斷，理解軸對稱圖形的定義是解題關鍵.

7、C

【分析】

由折疊的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，則他=CE=BE=A，E,然后結(jié)合三角形的內(nèi)

角和，等腰三角形的性質(zhì)，即可求出答案.

【詳解】

解：???△4先是直角三角形，四是中線，

AE=CE=BE,

有折疊的性質(zhì)，則

AE=A'E,ZAEC=ZA'EC,

：.AE=CE=BE=A'E,

VZJ=50°,

：.ZAC^50°,

，ZAEC=ZA'EC=180°-50°-50°=80°,

ZBEC=500+50°=100°,

ZA'￡B=100°-80°=20°；

故選：C.

【點睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解題的關鍵

是掌握所學的知識，正確的求出角的度數(shù).

8、A

【詳解】

解：A、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

【點睛】

本題主要考查了中心對稱圖形的定義，熟練掌握在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180。，如果

旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形是解題的關鍵.

9、B

【分析】

由軸對稱圖形的定義對選項判斷即可.

【詳解】

矩形為軸對稱圖形，不符合題意，故錯誤；

平行四邊形不是軸對稱圖形，符合題意，故正確；

正五邊形為軸對稱圖形，不符合題意，故錯誤；

正三角形為軸對稱圖形，不符合題意，故錯誤；

故選：B.

【點睛】

本題考查了軸對稱圖形的概念，如果一個平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重

合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形.識別軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重

合.

10、D

【分析】

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及等腰三角形性質(zhì)計算即可.

【詳解】

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知N/=/4=a,BOBC

咫=90°,NACB\+NRCB=90°,

:./RCB=NA\CA=0,

又?..//3/月=90°,0/4=90°

/45e/4笈年90—a

等腰三角形第8中，NCB住NCBB、=9O-a,

?.?CBBM/CBB/CBB、+/&CB=180°

：.2（90-a）+6>=180°

0=2a

故選：D.

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和等，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：（1）對應點到旋轉(zhuǎn)中心

的距離相等；（2）對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

二、填空題

1、典##

3

【分析】

422

在〃1上截取一點餌使得C滬利用相似三角形的性質(zhì)證明〃滬］4〃，推出觥§4企巾〃伙推出

2

當B,〃，物共線時，覦的值最小，即可解決問題；

【詳解】

4

解：如圖，在衣上截取一點亂使得C的鼠連接〃肌BM.

4

,:CF2,￡滬一，。二3,

3

???亦CM?CA,

.CDCM

^~CA~~CD"

V/DC拒/ACD,

:ZCMSMACD,

.DMCD2

?.==—，

ADAC3

：.D^-AD,

3

:.BD^AABDWM,

3

2

???當瓦〃材共線時，泌I力〃的值最小,

/.最小值=\ICB2+CM2=業(yè)+6=率.

故答案為：典.

3

【點睛】

本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點之間線段最短、勾股定理等知識，解題的關

鍵是學會由轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

2、(-；,；)

44

【分析】

作點。關于46的對稱點片關于4。的對稱點G,連接力EG,由軸對稱的性質(zhì)，可得DF=DC,EC=

EG,故當點6,D,E,G在同一直線上時，/\CDE的局長=CD+DE+CE=DF+DE+EG=FG,此時△龍C

周長最小，然后求出凡G的坐標從而求出直線月7的解析式，再求出直線A?和直線A7的交點坐標即

可得到答案.

【詳解】

解：如圖，作點C關于月6的對稱點凡關于］。的對稱點G,連接用分別交力從的于點〃、E,

由軸對稱的性質(zhì)可知，CD=DF,CE=GE,B用BC,AFBD-ZCBD,

:,叢CDE的周長二。＞儂止杪的房,

...要使三角形切F的周長最小，即FaDE+EG最八、,

.?.當尺D、E、G四點共線時，廄/班最小，

???直線y=x+2與兩坐標軸分別交于4、8兩點,

：.B(-2,0),

：.OA=OB,

：.ZABC=ZABD=45a,

：./FBC^G,

???點C是仍的中點，

"（-1,0）,

???G點坐標為（1,0）,BF=BC=1,

...尸點坐標為（-2,1）,

設直線"的解析式為丫=去+%，

,jk+b=0

"[-2k+b^l，

k=--

?3

,,,1'

b=—

3

直線G6的解析式為y=-gx+g,

11

聯(lián)立,33,

y=x+2

5

x=——

4

解得3,

53

???〃點坐標為（一丁，-）

44

53

故答案為：（-丁，~）?

44

【點睛】

本題主要考查了軸對稱-最短路線問題，一次函數(shù)與幾何綜合，解題的關鍵是利用對稱性在找到△儂

周長的最小時點〃、點￡位置，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，多數(shù)情況要

作點關于某直線的對稱點.

3>(2,73)

【分析】

作”46于E根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到比〃?！?根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出如、AB,根據(jù)等邊三

角形的性質(zhì)計算，得到答案.

【詳解】

解：作血46于F,

:等邊△/先與等邊應■是以原點為位似中心的位似圖形,

：.BC//DE,

:.△OBCs^ODE,

.BCOB

,,DE-OD)

?.?△46。與△應后的相似比為g,等邊△皿'邊長為6,

.BCOB\

■工一OB+6-3'

解得，B(=2,〃伊3,

.?.好1,

?：C歸CB,CFLAB,

：.AF=\,

由勾股定理得，CF7AdF。=瓜

：.0六OA+A戶2,

.?.點。的坐標為(2,6)

故答案為：(2,石).

【點睛】

本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、掌握位似變換的概念、相似三角形的性質(zhì)

是解題的關鍵.

,41Tl9

4、一或一

119

【分析】

分兩種情況如圖1和圖2所示，利用相似三角形的性質(zhì)與判定分類討論求解即可.

【詳解】

解：如圖1所示，過點。作胡〃力〃分別交物，⑦延長線于H,N,過點F悴FM〃BC,交瓶于M

??,四邊形4比。是矩形,

???N比N的氏N切氏/月吐N4快90。,

???N乃N滬N4290°,

???四邊形胡〃，是矩形，tanZGEA=^-=^,即//E=5G//,

EH5

:?H2AD,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知/詼90°,

:./HEG^/NENC,

又??,劭弭N物眸90°,

???AHEG-AMFE,

:?△HEGS/\MFE,

,HEHGEGc

??-==2，

MFMEFE

：.EM=-GH,MF=-GH,

22

■:MF〃B3

.AMMF4+-GH-GH

2=2

,9'AB~~BC

AE+BEBC

.4+-GH-GH

2=2

63

：.GH=-f

:.GN=HN-GH=x即點G到口的距離為x；

99

如圖2所示，過點61作A必74?分別交直線胡，直線⑦于H,N,過點6作￡"〃8G交AB于M,

同理可求出=MF=—GH,ME=-GH

222

同理可證△外協(xié)“XABC,

5

G

.AMMF4--GH2-

2

AE+BE~BC

.4--GH-GH

2_2，

63

，GH=-

11f

4141

：.GN=HN+GH=—f即點G到切的距離為行；

4119

綜上所述，點G到切的距離為*或?.

119

【點睛】

本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)，點到直線的距離，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

解題的關鍵在于能夠正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形求解.

5、①②④

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)，C￡>=4C=3,ffC=BC=4,BF=BF,ZACE=ZDCE,NBCF=NB'CF,

CE1AB,然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，分別對每個選項進行判

斷，即可得到答案.

【詳解】

解：由折疊的性質(zhì)可知，CO=AC=3,B'C=BC=4,gF=BF,ZACE=/DCE,

NBCF=NB'CF,CE1AB,

：.ADCE+ZffCF=ZACE+/BCF,

ZACB=90°,

：.NECF=ZDCE+ZffCF=45°；故①正確；

*/NCEF=90°,

：.NCFE=NECF=45。,

是等腰直角三角形；故②正確；

由勾股定理，則.=5/32+42=5,

SMBC=^AC.BC=-AB.CE,

/.—x3x4=—x5xCE,

22

CE=y,

/.EF=y,

由勾股定理，則0八業(yè)-mg

1293

DF=EF-DE=------=-,

555

i1171R

??.5ACDf=-DF.CE=-x-x-=—,故③錯誤;

,/BF=AB-AE-EF^5----=-,

555

4

B'F=BF=--故④正確；

.?.正確的選項有①②④;

故答案為：①②④；

【點晴】

本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式等知識，解題的關

鍵是掌握折疊的性質(zhì)，正確得到邊相等、角相等.

三、解答題

1、(1)80；(2)AAED是等邊三角形；(3)PE-PD=2AB.

【分析】

(1)根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知AE=EC=E/),再結(jié)合等腰三角形性質(zhì)可得ZE4C=NEC4,

NEDC=NECD,利用平角定義和四邊形內(nèi)角和定理可得N4E￡)=2NACB,由此求解即可；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論求出ZA￡Z)=2NACB=60。即可證明八血＞是等邊三角形；

(3)根據(jù)利用對稱和三角形兩邊之差小于第三邊，找到當PE-9的值最大時的2點位置，再證明

對稱點次與力〃兩點構(gòu)成三角形為等邊三角形，利用旋轉(zhuǎn)全等模型即可證明AACDMEDD,從而可知

PE-PD=PE-PU=ED'=AC,再根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)可知AC=2AB即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)?.?點￡為線段/C,切的垂直平分線的交點，

/.AE=EC=ED,

：.AEAC=ZECA,NEDC=NECD,

：.ZEAC+AEDC=ZACE+AECD=ZACD,

ZEAC+ZEDC+ZACD+ZAED=360°,

2ZACD+ZAED=360°,

ZACD+ZACB=180°,

,ZAED=2ZACB,

?.,在AABC中，ZB=90°,Z&4c=50。，

ZACB=4O0,

ZAED=2ZACB=80°,

故答案為：80°.

（2）①結(jié)論：△回是等邊三角形.

證明：?.,在AABC中，ZB=90°,Zfl4C=60°,

?.NAC8=30°,

由（1）得：ZAED=2ZACB=60°,AE=EC=ED,

...?血）是等邊三角形.

②結(jié)論：PE-PD=2AB.

證明：如解圖1,取〃點關于直線4尸的對稱點亞，連接P。、PDf；

上

BCD

解答91

，PD'=PD,

'：\PE-PD'\<ED',等號僅只E、區(qū)三點在一條直線上成立，

如解圖2,P、E、D0三點在一條直線上,

E

解圖2

由（1）得：ZCAE+ZEDC=ZACD,

又,:NCFD=NCAE,

，Z.CFD+ZCDE=ZACD,

又：ZACD+ZACB=180°,ZCFD+ZCDE+ZPCD=180°,

二/PCD=ZACB=30。,

,/點〃、點次是關于直線力尸的對稱點，

CD=CD',2D'CD=2ZPCD=60°,

...△DCD是等邊三角形，

/.CD=DD',NCE>D=60。，

是等邊三角形，

/.AD=ED,ZADE=60。，

,ZADC+ZD'DA=ZD'DA+NEDD,

：.ZADC^ZEDD',

在△AC。和AEDZ）中，

AD=ED

-ZADC=NEDD',

CD=D'D

:.AACD祥EDD(SAS)

AC=ED',

,:PD'=PD,

PE-PD=PE-PD=Eiy=AC,

在AABC中，4=90。，NACB=30。，

AC=2AB,

PE-PD=2AB

【點睛】

本題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形性質(zhì)和判定等

知識點，解題關鍵是利用對稱將PE-PO轉(zhuǎn)化為三角形三邊關系找到0的位置，并證明對稱點W與

力〃兩點構(gòu)成三角形為等邊三角形.

2、(1)?=|f_*2；(2)(3,4)；(3)(-1,

【分析】

(1)把4(—1,0),B(3,0)代入拋物線解析式利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可；

(2)如圖，先求解C(0,-2),對稱軸為直線x=l,可得8〃=C0=2結(jié)合旋轉(zhuǎn)得8G=%，證明

RTABCgRTACBO〈心,再證明旋轉(zhuǎn)角N4陰=/Ga'=90°,從而可得答案：

73

(3)先求解〃(；，-),E(2,-2),如圖，過點〃作〃G,四交尊的延長線于點。證明

22

7

=5,可得N￡C〃=N3C=45°,如圖，在⑦的上方作NWN功C交y軸于點。，交拋物線于點

P,證明△0以星△反也可得0。=%=2,可得0(0,0),再求解直線〃。的解析式為y=聯(lián)立

3

y=yx

；4，再解方程組可得答案.

y=—x2——x-2

[33

【詳解】

解：(1)將4(-1,0),6(3,0)代入拋物線解析式得

\a-b-2=0

19a+3b-2=0

「

a=—2

解得I

b=——

3

7A

，拋物線的解析式為y=：x2_：x_2

24

(2)????也物線的解析式為y=§/一2,A(-1,0),B(3,0)

4

：.C(0,—2),對稱軸為直線x=——2_=1

T-

3

：.BH=CO=2

由旋轉(zhuǎn)得BG=BC

則RTXBC、監(jiān)RTXCBO(HD

：.ZGBH=ZBCO

：.ZCxBC=ZGB//+ZOBC=ZBCO+Z仍。=90°

???旋轉(zhuǎn)角N加%=NCSC=90°,即46J_才軸

???48=劭=4,B(3,0)

???4(3,4)

(3)拋物線的解析式為y=2c-g4x-2,〃的橫坐標為］7

7373

當x=彳時，y=-,則。(彳，-)

2222

?；CE〃x軸，C(0,-2),對稱軸為直線x=l

：.E(2,-2)

如圖，過點。作DG1CE交應的延長線于點G,

\DG=—+2=—,

22

7

CG—DG—~9

2

:"ECD=/GDC=45°

如圖，在切的上方作/欲?=/皮，交y軸于點0,交拋物線于點—

?.?。/〃犬軸，二N仇茬=90°

：.AQCD=￡ECD=^a

,:CgCD,：./\QCD^/\ECD(ASA)

：.QC=EC=2,

,：C(0,-2),

：.Q(0,0)

設直線。。:），=〃氏

733

'解得：根=1，

3

直線〃。的解析式為y=1x

3

y=yx

則…J

y=—x"——x-2

「33

消去y得：14d-37-42=0,

\(2x-7)(7x+6)=0,

解得：%=三，*2=?與，

73

當％=/時，

當赴=-7時，％=-而，

"76

x=-x=——

所以方程組的解為：:或

1=5["-歷

???礴”曳.

獺749

【點睛】

本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求解

一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點坐標，作出適當?shù)妮o助線構(gòu)建全等三角形，再利用全等三角形的性質(zhì)證明

相等的線段，再得到點的坐標是解本題的關鍵.

3、（1）①點”（（）,3）為點力關于線段BC的“旋轉(zhuǎn)中點”②0W加W1；（2）-的取值范圍—2</<0或

-4<t<-2.

【分析】

（1）①分別假設點"，G,N為點4關于線段BC的“旋轉(zhuǎn)中點”，求出點。（旋轉(zhuǎn)之前的點），查看

點。是否在線段BC即可；

②設點4關于線段8c的“旋轉(zhuǎn)中點”的坐標為（，〃,〃），按照題意，逆向思維找到點Q,根據(jù)點。在線

段BC上，求解即可;

t-2<-2n<t+2

（2）設旋轉(zhuǎn)中點M的坐標為（，〃,〃），則應滿足--2<2m-4<2，找到點Q，，線段Q'F的中點

(-2n-/)2+(2/n-4)2=4

為M,再將點?！鏁r針旋轉(zhuǎn)90。，得到點。，點2應該在使得點在AOER的內(nèi)部（不包括邊

界），求解即可.

【詳解】

解：（1）①假設點”（0,3）為點/關于線段BC的“旋轉(zhuǎn)中點”，0（x,y）,

則點”（0,3）為線段AQ，的中點,

工0

2

即

*=3

2

工，即。（。⑵,

解得

將Q'繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到點。，可得點。的坐標為。（-2,0）,此時點。在線段上，符合題

意;

假設點G（l,l）為點力關于線段BC的“旋轉(zhuǎn)中點”，2（x,y）,

則點G（l,l）為線段40的中點,

x+0?

---=1

即《2

2

x=2，/、

解得尸_2'即°（2，一2），

將。'繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到點。，可得點。的坐標為Q（2,2）,此時點。不在線段BC上，不符合

題意;

假設點N（2,2）為點4關于線段BC的“旋轉(zhuǎn)中點”，。（蒼y）,

則點N（2,2）為線段A。的中點,

x+0.

---=2

ox=4，/、

即“，解得，即0(4,0),

*=2y-u

2

將Q'繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到點。，可得點。的坐標為Q（0,4）,此時點。不在線段BC上，不符合

題意;

綜上所得，點”（0,3）為點/關于線段BC的“旋轉(zhuǎn)中點”，

②設點/關于線段8c的“旋轉(zhuǎn)中點”M的坐標為（八〃），N（x,y）,

則點M（根,〃）為線段的中點,

x+0

-----=m

2

即

y+4

------=n

2

解得即。（2加,2〃一4）,

y=2n-4

將。'逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到點。，可得點Q的坐標為。（-2〃+4,2加）,

由題意可知點。在線段8C上,

-2<-2n+4<0

即