PAGE1第7頁《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》練習(xí)題一．填空題1.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，且，則級(jí)數(shù)2u-u1．2．設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，且，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為．3.設(shè)，則．4.微分方程=的通解為．5．交換累次積分的順序．6.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，且，則級(jí)數(shù)．7．設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，且，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為．8.設(shè)，則．9.微分方程=的通解為．10．交換累次積分的順序．二．選擇填空題1．函數(shù)在該點(diǎn)處存在偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的(D)．（A）．充分條件；（B）．必要條件；（C）．充分必要條件；（D）．既不是必要，也不是充分條件．2．所表示的曲面是（D）．(A)．錐面；(B)．柱面；（C）．球面；(D)．旋轉(zhuǎn)拋物面．3．下列級(jí)數(shù)中，屬于條件收斂的是(D)．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．．4．與在點(diǎn)處連續(xù)是的(B)．（A）．充分條件；（B）．必要條件；（C）．充分必要條件；（D）．既非充分條件，又非必要條件．5．下列方程中，（C）是一階線性微分方程．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．D、．6.設(shè)，則當(dāng)時(shí)，的（B）A)等價(jià)無窮小B)同階但非等價(jià)無窮小C)高階無窮小D)低階無窮小7.若曲線在點(diǎn)處相切，其中為常數(shù)，則（D）A)（B)C)D)8.（C）A)B)C)D)9.二元函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限（C）A)為0B)不為0C)不存在D)無法判斷10.當(dāng)（A）A)有且僅有水平漸進(jìn)線B)有且僅有鉛垂?jié)u進(jìn)線C)水平漸進(jìn)線與鉛垂?jié)u進(jìn)線都有D)不存在水平和鉛垂?jié)u進(jìn)線11．函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處存在偏導(dǎo)數(shù)的(D)．（A）．充分條件；（B）．必要條件；（C）．充分必要條件；（D）．既不是必要，也不是充分條件．12．所表示的曲面是（D）．(A)．錐面；(B)．柱面；（C）．球面；(D)．旋轉(zhuǎn)拋物面．13．下列級(jí)數(shù)中，屬于條件收斂的是(D)．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．．14．與在點(diǎn)處連續(xù)是的(B)．（A）．必要條件；（B）．充分條件；（C）．充分必要條件；（D）．既非充分條件，又非必要條件．15．下列方程中，（C）是一階線性微分方程．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．D、．三．求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。解：由冪級(jí)數(shù)的系數(shù)得出（故收斂半徑為四．計(jì)算二重積分的值．解：作極坐標(biāo)變換：，則有（3分）．五．設(shè)解：六．某工廠生產(chǎn)兩種型號(hào)的機(jī)床，其產(chǎn)量分別為臺(tái)和臺(tái)，成本函數(shù)為（萬元），若市場(chǎng)調(diào)查分析，共需兩種機(jī)床8臺(tái)，求如何安排生產(chǎn)，總成本最少？最小成本為多少？解：即求成本函數(shù)在條件下的最小值構(gòu)造輔助函數(shù)解方程組解得這唯一的一組解即為所求，當(dāng)這兩種型號(hào)的機(jī)床分別生產(chǎn)臺(tái)和臺(tái)時(shí)，總成本最小，最小成本為：（萬）七．（本題滿分8分）求微分方程的通解．解：該方程為一階線性微分方程因此，，．代入一階線性微分方程的求解公式，有所以，原方程的通解為八．設(shè)數(shù)列單調(diào)減小，且，又級(jí)數(shù)發(fā)散，證明：級(jí)數(shù)收斂．證明：因?yàn)閱握{(diào)減小，且，即單調(diào)減小有下界，故收斂，設(shè)其極限為，即，又因?yàn)榘l(fā)散，所以（否則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂）。于是對(duì)于任意的有，而等比級(jí)數(shù)收斂，故由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂九．當(dāng)輪船的前進(jìn)速度為時(shí)，推進(jìn)器停止工作，已知受水的阻力與船速的平方成正比（比例系數(shù)為，其中為常數(shù)，而為船的質(zhì)量）．問經(jīng)過多少時(shí)間，船的速度減為原速度的一半？解：由題意，得方程，，解方程，得，由初始條件，得，因此，有．當(dāng)時(shí)，，即經(jīng)過時(shí)間，船的速度減為原速度的一半．十．設(shè)函數(shù)所確定，求解：令，等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)：等式兩邊對(duì)y求導(dǎo)：十一.求解下列常微分方程1.2.解：(1)令代入齊次方程：，齊次方程解：令代入非齊次方程：方程解：(2)令，故14．設(shè)z=ey(x2解：dz=?z?xdx+?z?y15．設(shè)D為矩形，則二重積分Dy解：D十二、求曲線和直線所圍成圖形的面積．解曲線和直線的交點(diǎn)滿足方程組解得交點(diǎn)為．