14.2乘法公式（重難點）【知識點一、平方差公式】平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2平方差公式：兩個式子的和與兩個式子的差的乘積，等于這兩個數(shù)的平方差．注：①字母a、b僅是一個表達式，即可以表示一個數(shù)字、一個字母，也可以表示單項式、多項式．②在套用平方差公式時，要依據公式的形式，將原式變形成符合公式的形式，在利用公式．特別需要注意“-”的處理．【知識點二、完全平方公式】完全平方和（差）公式：完全平方和（差）公式：等于兩式平方和加（減）2倍的積注：①a、b僅是一個符號，可以表示數(shù)、字母、單項式或多項式；②使用公式時，一定要先變形成符合公式的形式拓展：利用可推導除一些變式①a②2ab=注：變式無需記憶．在完全平方公式中，主要有(a+b)2、(a-b)2、a2+b2、考點1：判斷是否可以用平方差公式例1．下列不能用平方差公式直接計算的是（）A．-m+nm-n B．C．x+2x-2 D．【答案】A【分析】根據“兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差的積”能運用平方差公式直接計算，逐項分析即可得到答案．【詳解】解：A、-m+nm-n不滿足“兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差的積”B、-m-n-m+n滿足“兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差的積”C、x+2x-2滿足“兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差的積”D、-2x+y2x+y滿足“兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差的積”故選：A．【點睛】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式的結構特點是解此題的關鍵．【變式訓練1-1】．下列各式中不能用平方差公式進行計算的是（）A．m-nm+n B．C．2x+yy-2x D．【答案】B【分析】根據平方差公式逐項判斷即可得．【詳解】A、(m-n)(m+n)=mB、(-x-y)(x+y)=-(x+y)C、(2x+y)(y-2x)=yD、a+b-ca+b+c故選：B．【點睛】本題考查了平方差公式，熟記并靈活運用公式是解題關鍵．【變式訓練1-2】．在下列多項式乘法中，可以用平方差公式計算的是

（

）A．2a-3b-2a+3b B．C．a+1-a-1 D．【答案】B【分析】平方差公式的形式是a+ba-b【詳解】解：A、(2a-3b)(-2a+3b)=-(2a-3b)(2a-3b)，不可以用平方差公式計算．B、(-3a+4b)(-4b-3a)=(-3a+4b)(-3a-4b)，可以用平方差公式計算；C、(a+1)(-a-1)=-(a+1)(a+1)，不可以用平方差公式計算；D、a2故選：B．【點睛】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式的特點是解題的關鍵．【變式訓練1-3】下列各式能用平方差公式計算的是（

）A．3x+2y2x-3y B．C．3x+2y3x-2y D．【答案】C【分析】根據平方差公式的特點：兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)，對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】A．相同字母的系數(shù)不同，不能用平方差公式計算；B．含y的項系數(shù)符號相反，但絕對值不同，不能用平方差公式計算；C．含x的項符號相同，含y的項符號相反，能用平方差公式計算；D．相同字母的系數(shù)不同，不能用平方差公式計算．故選：C．【點睛】本題考查了平方差公式，注意兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)，并且相同的項和互為相反數(shù)的項必須同時具有，熟記公式結構是解答本題的關鍵．【變式訓練1-4】．在下列各式中，不能用平方差公式計算的是（）A．p+qp-q B．-m-nn-m C．-a-bb+a【答案】C【分析】兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差，得這兩個數(shù)的平方的差，能用平方差公式計算的整式的特點是：兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差，據此解答即可．【詳解】解：A、p+qp-qB、-m-nn-mC、-a-bb+aD、-x+yy+x故選：C．【點睛】此題考查整式乘法的平方差計算公式的特點，熟記平方差計算公式a+ba-b考點2：公式的幾何背景例2．如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形a>b，把余下的部分拼成一個長方形，通過計算兩個圖像陰影部分的面積，可驗證一個等式，這個等式是(

)

A．(a-b)2=aC．a2-b【答案】C【分析】這個圖形變化可以用證明平方差公式：已知在左圖中，大正方形面積減小正方形剩下的部分面積為a2-b2；因為拼成的長方形的長為a+b，寬為a-b，根據“長方形的面積=長×寬【詳解】解：由左圖知：陰影部分面積為：大正方形面積減小正方形面積，即a2由右圖知：拼成的長方形的長為a+b，寬為a-b，∴拼成的長方形的面積為：a+ba-b因為左右兩圖面積相等，所以得a2故選：C．【點睛】本題考查了平方差公式的幾何表示，利用面積公式求陰影部分面積是解題關鍵．【變式訓練2-1】．如圖的分割正方形，拼接成長方形方案中，可以驗證（

）A．a+b2=aC．a-b2=a+b【答案】D【分析】對圖形中陰影部分的面積進行計算即可得到相關的等式．【詳解】左邊陰影部分面積為：a+ba-b右邊陰影部分面積為：a2由陰影部分面積相等可得：a+ba-b故選D．【點睛】本題考查了平方差公式的幾何背景．分別表示出圖形陰影部分的面積是解題的關鍵．【變式訓練2-2】．如圖，從邊長為a+4cm的正方形紙片中剪去一個邊長為a+1cm的正方形a>0，剩余部分沿虛線剪下，拼成一個長方形（不重疊無縫隙），則此長方形的面積為（

A．6a+15cm2 BC．3a+15cm2 D【答案】A【分析】根據剩余部分面積等于長方形的面積即可求．【詳解】解：根據題意得剩余部分面積為：a+4==6a+15則長方形的面積為6a+15cm故選：A．【點睛】本題考查了圖形剪拼問題中的列代數(shù)式，整式乘法的混合運算，完全平方公式，關鍵明確剩余部分面積等于長方形面積．【變式訓練2-3】．如圖，將四個長為a，寬為b的小長方形紙片拼成一個大正方形，用兩種不同的方法表示這個大正方形的面積，則可以得出一個等式為（

）A．a+b2=aC．a-b2=a【答案】D【分析】根據題意表示出圖形的邊長進而得出其面積．【詳解】解：由圖形可得：大正方形的邊長為：a＋b，則其面積為：（a＋b）2，小正方形的邊長為：（a－b），則其面積為：（a－b）2，長方形面積為：ab，正方形的面積又可以表示為（a－b）

2＋4ab，故（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab．故選：D．【點睛】此題主要考查了完全平方公式的幾何背景，正確表示出各邊長是解題關鍵．【變式訓練2-4】．如圖，根據標注該圖所反映的乘法公式是（

）．A．a+ba-b=aC．a-b2=a【答案】C【分析】直接利用已知邊長表示出各部分面積即可．【詳解】解：由題意可得：陰影部分的面積為：a-b2，也可以表示為：a能驗證的乘法公式是：a-b2故選：C．考點3：運用公式計算例3．計算：2024×2022-20232【答案】-1【分析】先變形為2023+12023-1【詳解】解：2024×2022-===-1．故答案為：-1．【點睛】本題考查有理數(shù)混合運算，熟練掌握用平方差公式進行簡便計算是解題的關鍵．【變式訓練3-1】．1-12【答案】15【分析】根據平方差公式得，1-1221-1【詳解】解：1-====15故答案為：1528【點睛】本題考查了平方差公式的應用．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式訓練3-2】．2+122+1【答案】6【分析】將原式利用平方差公式將偶數(shù)項化簡為264，根據2n末尾是2，4，8，【詳解】解：2+1===…===∵21=2，22=4，23=8，24=16，2564÷4=16，∴264的個位數(shù)是6即2+122+1故答案為：6．【點睛】本題考平方差公式的應用，找規(guī)律；熟練掌握平方差公式，多個數(shù)相乘后數(shù)的個位循環(huán)特點是解題的關鍵．【變式訓練3-3】．計算：20212-2021×4040+【答案】1【分析】先根據完全平方公式a2【詳解】解：2021==(2021-2020==1.故答案為：1．【點睛】本題主要考查了利用完全平方公式進行因式分解的簡便計算，解答此類問題的關鍵是熟知公式和分析題目的形式，有效地進行整式變形．【變式訓練3-4】．計算20232-4045【答案】1【分析】把分子利用完全平方公式、分母利用平方差公式變形求解即可．【詳解】原式====1故答案為：1【點睛】本題考查了完全平方公式、平方差公式的運用，熟練掌握完全平方公式、平方差公式是解答本題的關鍵．考點4：由完全平方式求參數(shù)例4．若多項式4x2+mx+1是一個完全平方式，則m【答案】±4【分析】根據兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據完全平方公式的乘積二倍項即可確定m的值．【詳解】解：4∴mx=±2×2x×1，解得m=±4，故答案為：±4．【點睛】本題考查了完全平方式，解題的關鍵是熟記完全平方公式，并根據平方項確定出這兩個數(shù)．【變式訓練4-1】．已知x2+k-1x+9是完全平方式，則【答案】7或-5【分析】根據完全平方公式即可求出答案．【詳解】解：∵(x±3)2∴k-1=±6,∴k=7或-5,故答案為：7或-5．【點睛】本題考查完全平方公式，解題的關鍵是熟練運用完全平方公式，本題屬于基礎題型．【變式訓練4-2】．如果x2+2k-3x+16是一個完全平方式，那么k【答案】-1或7【分析】根據完全平方公式：兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)積的2倍，即為兩數(shù)和（差）的平方，列出k的方程，求出即可．【詳解】解：∵x±42∴2k-3解得：k=-1或k=7，故答案為：-1或7．【點睛】此題考查了完全平方公式的特征，熟練掌握完全平方公式含有三項：首平方，尾平方，首尾二倍在中央，首尾同號是解題的關鍵．【變式訓練4-3】．若關于x的二次三項式4x2+m-2x+【答案】52或【分析】先根據兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據完全平方公式的乘積二倍項即可確定m-2的值．【詳解】解：∵二次三項式4x2x±1∴m-2=±2×2×1∴m=52或故答案為：52或3【點睛】此題考查了完全平方式，掌握完全平方式的特點是解題的關鍵．【變式訓練4-4】．設n為正整數(shù)，n2+n+51是完全平方數(shù)，則所有n可能值之和等于【答案】55【分析】根據完全平方數(shù)的特點，可以設k2=n2+n+51，所以湊成n的完全平方數(shù)，4k2=(2n+1)2+【詳解】解：設k24k4k(2k+2n+1)(2k-2n-1)=203×1=29×7．故2k+2n+1=2032k-2n-1=1或2k+2n+1=29解得n=50或n=5．所以所有n的可能值之和為：50+5=55．故答案為：55．【點睛】本題主要考查了完全平方數(shù)，此題難度較大，解題時，注意完全平方數(shù)的特點和平方差公式的綜合運用．考點5：化簡求值例5．先化簡，再求值：x+yx-y-x-y2+2y【答案】x-y，1【分析】先利用完全平方公式和平方差公式進行計算，再合并同類項即可．【詳解】解：x+y=x==-4=x-y，當x=2，y=1時，原式=2-1=1．【點睛】此題考查整式的混合運算-化簡求值，掌握運算法則是解題關鍵．【變式訓練5-1】．先化簡，再求值：x+2yx-2y+x+2y2-2xy【答案】x+y，-3【分析】先利用完全平方公式，平方差公式與單項式乘多項式運算法則去掉括號，然后再合并同列項計算，最后代入x，y計算即可．【詳解】解：x+2yx-2y===x+y，當x=5，y=-8時，原式=5+-8【點睛】本題考查了整式的混合運算，解題的關鍵是熟練運用整式的運算法則．【變式訓練5-2】．先化簡，再求值：3a-12-【答案】-6a+7，1【分析】根據平方差公式以及完全平方公式進行運算，即可作答．【詳解】解：原式=3a把a=1代入-6a+7，得-6a+7=-6+7=1．【點睛】本題考查了平方差公式以及完全平方公式等知識內容，難度較小，平方差公式：a+ba-b=a【變式訓練5-3】．化簡求值：(2x+1)2-x+3【答案】2x2【分析】先利用平方差公式、完全平方公式、整式的加減法，進行化簡，再將x的值代入求值即可．【詳解】解：原式=4=4=2x將x=12代入得：原式【點睛】本題考查了利用乘法公式化簡整式與求值，熟記乘法公式是解題關鍵．【變式訓練5-4】．先化簡，再求值：2x+y2-x+yx-y-3【答案】2x+y，-2【分析】根據整式的四則混合運算進行化簡，然后代入x=12，【詳解】解：2x+y===2x+y，將x=12，y=【點睛】此題考查了整式的化簡求值，解題的關鍵是掌握整式的四則混合運算，正確的進行化簡．考點6：綜合運用公式例6．已知x+y=7，xy=12，(1)求x2(2)求x2【答案】(1)25(2)7或-7【分析】（1）根據完全平方公式即可解答；（2）運用平方差公式和完全平方公式，即可解答．【詳解】（1）解：∵x+y=7，xy=12，∴x===49-24=25（2）解：∵==25-2×12=1∴x-y=±1，∵∴當x-y=1時，原式=7×1=7，當x-y=-1原式=7×(-1)=-7．【點睛】本題考查的是完全平方公式和平方差公式，解題的關鍵是能靈活運用其公式．【變式訓練6-1】．已知a+b=2，ab=-3，求下列各式的值．(1)求a2(2)求a-b的