生物統(tǒng)計(jì)學(xué)

統(tǒng)計(jì)學(xué)，Statistics(統(tǒng)計(jì)學(xué)、統(tǒng)計(jì)工作、統(tǒng)計(jì)數(shù)字)，生物統(tǒng)計(jì)學(xué)(Biostatistics,Biometry)1緒論生物統(tǒng)計(jì)學(xué)的定義定義：用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理和方法整理和分析生物學(xué)研究工作中的數(shù)量資料的學(xué)科，稱(chēng)之為生物統(tǒng)計(jì)學(xué)。2緒論數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科。數(shù)理統(tǒng)計(jì)也常被稱(chēng)為概率統(tǒng)計(jì)，這是因?yàn)?，?shù)理統(tǒng)計(jì)的理論根底是概率論，即數(shù)理統(tǒng)計(jì)是由概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)兩局部?jī)?nèi)容組成的。3緒論生物統(tǒng)計(jì)學(xué)的特點(diǎn)特點(diǎn)：生物統(tǒng)計(jì)學(xué)的最大特點(diǎn)就是，它是以隨機(jī)現(xiàn)象為研究對(duì)象的數(shù)學(xué)學(xué)科，而我們以前所學(xué)的其它數(shù)學(xué)學(xué)科都是以確定性現(xiàn)象(必然現(xiàn)象)為研究對(duì)象的。4緒論隨機(jī)現(xiàn)象日常生活中存在一類(lèi)現(xiàn)象，就是許多事情的結(jié)果是事先不能確定的。如：取100粒種子做萌發(fā)實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)結(jié)果出來(lái)之前，我們無(wú)法確定萌發(fā)種子數(shù)；等等。這類(lèi)在一定條件下具有多種可能結(jié)果，而最終究竟出現(xiàn)哪一種結(jié)果事先不可預(yù)言的現(xiàn)象，我們稱(chēng)之為隨機(jī)現(xiàn)象，或不確定性現(xiàn)象。5緒論隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性長(zhǎng)期的實(shí)踐和研究說(shuō)明，隨機(jī)現(xiàn)象雖然就每次實(shí)驗(yàn)或觀察結(jié)果來(lái)說(shuō)具有不確定性，但在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)或觀察下，它的結(jié)果卻具有某種規(guī)律性。我們把隨機(jī)現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律稱(chēng)之為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。6緒論生命現(xiàn)象的復(fù)雜性和隨機(jī)性我們知道，生物體是復(fù)雜的有機(jī)體，它和環(huán)境有密切的關(guān)系，同一試驗(yàn)，往往因時(shí)間、地點(diǎn)、溫度、濕度、海拔、光照、試驗(yàn)者，材料的年齡、性別、生理狀態(tài)、個(gè)體差異等多種因素的不同而結(jié)果不同，所得數(shù)據(jù)往往整齊性較差，所以在下結(jié)論時(shí)存在很大的不確定性，其隱蔽在背后的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性一般較難發(fā)現(xiàn)。7緒論生物統(tǒng)計(jì)學(xué)開(kāi)展簡(jiǎn)史概率論十四世紀(jì)中葉，殖民主義向外擴(kuò)張，隨著船運(yùn)業(yè)的開(kāi)展，船運(yùn)保險(xiǎn)業(yè)也開(kāi)展了起來(lái)，這時(shí)經(jīng)驗(yàn)概率就已經(jīng)開(kāi)始得到應(yīng)用。十七世紀(jì)中葉，Pascal和Fermat首創(chuàng)概率論。8緒論生物統(tǒng)計(jì)學(xué)開(kāi)展簡(jiǎn)史Gauss1733年DeMoivre推導(dǎo)出了在數(shù)理統(tǒng)計(jì)開(kāi)展中具有重要意義的正態(tài)曲線方程，但當(dāng)時(shí)他不可能想到要把他的結(jié)果用在處理實(shí)驗(yàn)觀察數(shù)據(jù)上，他的論文淹沒(méi)無(wú)聞，直到1924年才被人發(fā)現(xiàn)。不過(guò)同樣的結(jié)果后來(lái)曾有兩個(gè)數(shù)學(xué)天文學(xué)家Laplace(1749-1827)和Gauss(1777-1855)各自獨(dú)立地推導(dǎo)出。9緒論生物統(tǒng)計(jì)學(xué)開(kāi)展簡(jiǎn)史孟德?tīng)柕搅耸攀兰o(jì)，概率論的方法已越來(lái)越多地得到應(yīng)用，并在這些應(yīng)用中已逐漸開(kāi)展出數(shù)理統(tǒng)計(jì)的雛形。例如：地質(zhì)學(xué)家Lyell和貝類(lèi)學(xué)家Deshayes在一起，通過(guò)分析各地層中化石種類(lèi)的多少，以及其中迄今在海洋中還活著的種的百分比來(lái)判斷地層的年齡，并加以命名。達(dá)爾文的工作從本質(zhì)上講是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的。孟德?tīng)栐?866年發(fā)表的關(guān)于碗豆雜交的研究方法，也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題。10緒論生物統(tǒng)計(jì)學(xué)開(kāi)展簡(jiǎn)史Galton十九世紀(jì)末葉，英國(guó)人哥爾頓〔Galton(1822-1911)〕應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法研究人種特異性與遺傳，首次對(duì)所使用的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行了描述，并于1889年在《自然界的遺傳》雜志上發(fā)表了生物統(tǒng)計(jì)的第一篇論文。此人對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的另一重要奉獻(xiàn)是在1895年與皮爾遜共同努力成立了倫敦大學(xué)生物統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)室，這就是統(tǒng)計(jì)學(xué)上著名的哥爾頓實(shí)驗(yàn)室。11緒論生物統(tǒng)計(jì)學(xué)開(kāi)展簡(jiǎn)史PearsonKarlPearson(1857-1936)于1906年繼哥爾頓之后主持哥爾頓實(shí)驗(yàn)室的工作。1901年，他創(chuàng)辦了Biometrika這個(gè)生物統(tǒng)計(jì)權(quán)威雜志。此外，他還創(chuàng)辦了一所數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)校，使數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究得以長(zhǎng)足開(kāi)展。12緒論生物統(tǒng)計(jì)學(xué)開(kāi)展簡(jiǎn)史GossetW.S.Gosset(1876-1937)在工作中發(fā)現(xiàn)，他的老師所建立的大樣本方法，在一些只能用小樣本的實(shí)驗(yàn)中使用時(shí)，被證實(shí)是不妥當(dāng)?shù)?。后?lái)他求助于從弄亂的卡片中抽樣、計(jì)算，并積累經(jīng)驗(yàn)的頻率分布。所得結(jié)果發(fā)表在1908年的Biometrika上，署名為“Student〞。今天，“Studentt〞已成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家及實(shí)驗(yàn)室工作人員的一種根本工具。13緒論生物統(tǒng)計(jì)學(xué)開(kāi)展簡(jiǎn)史FisherR.A.Fisher(1890-1962)，受到了Gosset和Pearson的影響，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)上做出了大量而重要的奉獻(xiàn)。他繼皮爾遜之后主持哥爾頓實(shí)驗(yàn)室的工作。他在1925年出版的《研究工作者用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法》的問(wèn)世，被公認(rèn)為是數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)學(xué)科的正式誕生。14緒論生物統(tǒng)計(jì)學(xué)開(kāi)展簡(jiǎn)史NeymanJ.Neyman以及E.S.Pesrson在1936年和1938年提出了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)的理論，這個(gè)理論推動(dòng)了很多研究工作，為生物統(tǒng)計(jì)的另一重要內(nèi)容——統(tǒng)計(jì)假設(shè)的檢驗(yàn)奠定了根底。這局部?jī)?nèi)容將是我們這門(mén)課程的重頭戲。15緒論學(xué)習(xí)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)的意義(1)數(shù)理統(tǒng)計(jì)雖然起源、開(kāi)展于生物學(xué)，然而今天，它已影響到近代人們生活的每一個(gè)方面。如今，它在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、一切自然學(xué)科、技術(shù)學(xué)科以及社會(huì)學(xué)科的各個(gè)領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。近年新興的許多應(yīng)用數(shù)學(xué)，如信息論，對(duì)策論，控制論，經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)，運(yùn)籌學(xué)，系統(tǒng)工程學(xué)，幾乎都離不開(kāi)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。它已是一切自然科學(xué)工作者、社會(huì)科學(xué)工作者、工程技術(shù)人員、企業(yè)管理人員及經(jīng)濟(jì)工作者的必備知識(shí)。作為末來(lái)的生命科學(xué)研究工作者，我們就更應(yīng)該學(xué)好數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)，為將來(lái)正確分析和處理科研數(shù)據(jù)打下堅(jiān)實(shí)的根底。16緒論學(xué)習(xí)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)的意義(2)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)已是各行各業(yè)人材所必須具備的根底知識(shí)，因此不管我們將來(lái)從事何種工作，它都是我們必不可少的。由于生物研究的對(duì)象生命體的復(fù)雜性和多變性，所得資料多為隨機(jī)資料，對(duì)這些資料的處理和分析只有用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的原理和方法才能揭示其內(nèi)在的規(guī)律。當(dāng)我們要發(fā)表文章時(shí)，只要有數(shù)據(jù)，就必須經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)處理，數(shù)據(jù)沒(méi)有經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)處理的文章，出版社是不會(huì)接受的。17緒論隨機(jī)試驗(yàn)

我們把在一定條件下對(duì)自然現(xiàn)象或社會(huì)現(xiàn)象進(jìn)行一次科學(xué)實(shí)驗(yàn)或觀察稱(chēng)為一次試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)是指具有以下特征的試驗(yàn)：試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的所有可能結(jié)果不止一個(gè)；每次試驗(yàn)的具體結(jié)果事先不能確定。通常，我們用E表示隨機(jī)試驗(yàn)。18第二章第一節(jié)概率的根本概念隨機(jī)事件在隨機(jī)試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的結(jié)果稱(chēng)為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件。如：19第二章第一節(jié)概率的根本概念根本領(lǐng)件和復(fù)合事件不能再分解的事件稱(chēng)為根本領(lǐng)件。根本領(lǐng)件的一個(gè)重要性質(zhì)是，在一次試驗(yàn)中只能發(fā)生一個(gè)根本領(lǐng)件。由假設(shè)干根本領(lǐng)件組合而成的事件稱(chēng)為復(fù)合事件。當(dāng)組成復(fù)合事件的根本領(lǐng)件有一個(gè)發(fā)生時(shí)復(fù)合事件的發(fā)生。20第二章第一節(jié)概率的根本概念必然事件和不可能事件在隨機(jī)試驗(yàn)中，必然發(fā)生的事情稱(chēng)為必然事件，用W表示；不可能發(fā)生的事情稱(chēng)為不可能事件，用V表示。W和V都不是隨機(jī)事件，為方便討論，把它們作為特殊的隨機(jī)事件。根本領(lǐng)件，復(fù)合事件，必然事件，不可能事件都是相對(duì)于一定的試驗(yàn)條件而言的，如果條件變了，事件的性質(zhì)也會(huì)改變。21第二章第一節(jié)概率的根本概念樣本空間將某一隨機(jī)試驗(yàn)的所有根本領(lǐng)件所組成的集合叫做這一隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間〔也叫做根本領(lǐng)件空間〕，記為W。W中的元素就是隨機(jī)試驗(yàn)的根本領(lǐng)件。對(duì)于一個(gè)試驗(yàn)，首先應(yīng)該弄清與它對(duì)應(yīng)的樣本空間是什么，也就是應(yīng)該弄清所有可能的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是什么？即所有根本領(lǐng)件是哪些？這是我們研究這一隨機(jī)試驗(yàn)的根底。22第二章第一節(jié)概率的根本概念必然事件與不可能事件樣本空間W作為一個(gè)事件，因?yàn)樵诿看卧囼?yàn)中必有W中的一個(gè)根本領(lǐng)件發(fā)生，所以W在每次試驗(yàn)中必發(fā)生，即W是必然事件。空集V作為一個(gè)事件，因?yàn)樗话魏胃绢I(lǐng)件，所以它在每次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生，所以V是不可能事件。23第二章第一節(jié)概率的根本概念樣本空間及隨機(jī)事件的表示W(wǎng)1={H,T}(H表示正面，T表示反面〕W2={1,2,3,4,5,6}W3={0,1,2,3}用大寫(xiě)字母表示隨機(jī)事件。用字母=“文字〞來(lái)說(shuō)明事件。如讓A=“有一粒種子發(fā)芽〞，B=“有兩粒以上種子發(fā)芽〞，那么A、B分別為A={1}，B={2,3}，可見(jiàn)，A是根本領(lǐng)件，B是復(fù)合事件。24第二章第一節(jié)概率的根本概念事件的Venn圖表示W(wǎng)BA25第二章第一節(jié)概率的根本概念包含假設(shè)事件A的發(fā)生必然導(dǎo)致事件B的發(fā)生，那么稱(chēng)事件B包含事件A，此時(shí)稱(chēng)事件A為事件B的子事件，記作BA或AB。例如：WBA26第二章第一節(jié)概率的根本概念相等WBA假設(shè)事件A與B有，AB且BA，那么稱(chēng)事件A和事件B是相等事件，記作A=B例如：A=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)能被3整除〞，B=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3或6〞，那么A=B。27第二章第一節(jié)概率的根本概念和或并〔1〕“事件A與B中至少有一個(gè)事件發(fā)生〞這一事件叫做A與B的和，記為A＋B例如，甲乙兩人向同一靶射擊，設(shè)A=“甲擊中〞，B=“乙擊中〞，C=“有人擊中〞，那么C=A＋BWBA28第二章第一節(jié)概率的根本概念和或并〔2〕和事件可以推廣到多個(gè)事件的情形，“n個(gè)事件中至少有一個(gè)發(fā)生〞這一事件稱(chēng)為這n個(gè)事件的和，記為：A1+A2++An簡(jiǎn)記為29第二章第一節(jié)概率的根本概念積或交〔1〕“事件A與B同時(shí)發(fā)生〞這一事件稱(chēng)為事件A與B的積，記作AB例如：A=“直徑合格〞，B=“長(zhǎng)度合格〞，C=“產(chǎn)品合格〞，那么C=AB。WBAAB30第二章第一節(jié)概率的根本概念積或交〔2〕事件的積可以推廣到多個(gè)事件的情形：“n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生〞，這一事件稱(chēng)為這n個(gè)的積事件。記作

簡(jiǎn)記為：

例如：E2中，A1=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于2〞，A2=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于6〞，A3=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于4〞，那么=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)等于3〞31第二章第一節(jié)概率的根本概念互斥假設(shè)事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=V，那么稱(chēng)事件A與事件B是互斥的，或互不相容的。根本領(lǐng)件都是互斥的。WBA32第二章第一節(jié)概率的根本概念互逆“A不發(fā)生〞也是一個(gè)事件，稱(chēng)作事件A的逆事件，或?qū)α⑹录涀?/p>

由定義可見(jiàn)A與是互斥的，即A=V且A＋=W例如：“質(zhì)量合格〞與“質(zhì)量不合格〞是互逆事件，對(duì)于一件產(chǎn)品，兩者必居其一。WAA互逆與互斥兩個(gè)不同概念的區(qū)別是，假設(shè)A與B互逆，那么A與B必互斥，反之，假設(shè)A與B互斥，那么A與B并不一定互逆。33第二章第一節(jié)概率的根本概念差“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生〞這一事件稱(chēng)為事件A與事件B的差，記為A－B如甲乙兩人向同一靶射擊一例中，A－B表示甲擊中而乙沒(méi)有擊中。顯然A－B=WBA34第二章第一節(jié)概率的根本概念事件的運(yùn)算規(guī)那么交換率：A＋B=B＋A AB=BA結(jié)合率(A＋B)＋C=A＋(B＋C) (AB)C=A(BC)分配率(A＋B)C=AC＋BC (第一分配率)AB＋C=(A＋C)(B＋C) (第二分配率)對(duì)偶率35第二章第一節(jié)概率的根本概念第二分配率的證明AB＋C=(A＋C)(B＋C) (第二分配率)36第二章第一節(jié)概率的根本概念事件的運(yùn)算規(guī)那么特例

A+W=W A+V=A AW=A AV=VAA=A A+A=A 假設(shè)BA那么A＋B=B AB=A37第二章第一節(jié)概率的根本概念例問(wèn)表示的是什么事件？解：

38第二章第一節(jié)概率的根本概念事件的符號(hào)表示要對(duì)試驗(yàn)和事件進(jìn)行概率分析，首先應(yīng)把具體事件用符號(hào)及運(yùn)算關(guān)系表示出來(lái)。下面舉例說(shuō)明如何將具體事件用符號(hào)及運(yùn)算關(guān)系表示出來(lái)。39第二章第一節(jié)概率的根本概念例某工人生產(chǎn)了3個(gè)零件，用Ai表示“第i個(gè)零件是正品〞(i=1,2,3)，試用Ai表示以下事件全是正品只有第一個(gè)零件是次品有一個(gè)零件是次品至少有一個(gè)零件是次品三個(gè)零件不都是正品有正品40第二章第一節(jié)概率的根本概念例解(1)全是正品只有第一個(gè)零件是次品有一個(gè)零件是次品41第二章第一節(jié)概率的根本概念例解(2)至少有一個(gè)零件是次品。三個(gè)零件不都是正品。有正品。42第二章第一節(jié)概率的根本概念頻率我們把刻劃事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)，稱(chēng)之為事件發(fā)生的概率。在一組固定試驗(yàn)條件下，事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了m次，稱(chēng)比值

為事件A的頻率。43第二章第一節(jié)概率的根本概念頻率的穩(wěn)定性經(jīng)驗(yàn)說(shuō)明，當(dāng)把試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行屢次時(shí)，隨機(jī)事件A的頻率具有一定的穩(wěn)定性，即常在一個(gè)確定的數(shù)值附近擺動(dòng)。做投擲一枚硬幣的試驗(yàn)，在一定條件下，事件A(“正面朝上〞)是否發(fā)生是不確定的。然而當(dāng)在此條件下大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，A發(fā)生的頻率卻表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)逐漸增多時(shí)，出現(xiàn)正面的頻率總是在0.5附近擺動(dòng)，而逐漸穩(wěn)定于0.5。44第二章第一節(jié)概率的根本概念頻率的穩(wěn)定性45第二章第一節(jié)概率的根本概念概率的統(tǒng)計(jì)定義在一定條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，如事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng)，且一般說(shuō)來(lái)，n越大擺動(dòng)的幅度越小，那么稱(chēng)常數(shù)p為事件A的概率，記作P(A)=p46第二章第一節(jié)概率的根本概念概率的統(tǒng)計(jì)定義用頻率來(lái)刻劃事件發(fā)生的可能性大小是直觀的，但是有缺點(diǎn)，因?yàn)樗且粋€(gè)試驗(yàn)值，具有波動(dòng)性。常數(shù)p是客觀存在的，這是我們定義事件概率的客觀根底，“頻率穩(wěn)定性〞的性質(zhì)不斷地為人類(lèi)實(shí)踐活動(dòng)所證實(shí)，它揭示了隱藏在隨機(jī)現(xiàn)象中的規(guī)律性。47第二章第一節(jié)概率的根本概念新生嬰兒的性別比依遺傳學(xué)原理，新生兒性別比應(yīng)為1:1，歷史上有人對(duì)此進(jìn)行過(guò)實(shí)際調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)生男孩的概率不是0.5，而是22/43。這是歷史上對(duì)倫敦、彼得堡、柏林及全法蘭西的資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后得出的共同結(jié)論。有人根據(jù)巴黎40年間〔1745-1784〕的資料作了研究，得出另一比值25/49，比22/43偏小，后來(lái)研究了棄嬰的情況，修正數(shù)字的結(jié)果仍然接近22/43這個(gè)比值。以后又有人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究，仍然得到22/43這個(gè)結(jié)論。實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明，男孩出生的頻率穩(wěn)定在0.51上，而不是0.5上。48第二章第一節(jié)概率的根本概念古典概型概率的古典定義是建立在古典概型的根底之上的。如果隨機(jī)試驗(yàn)具有：試驗(yàn)的樣本空間中的元素只有有限個(gè)；試驗(yàn)中每一個(gè)根本領(lǐng)件發(fā)生的概率都一樣，那么稱(chēng)這種隨機(jī)試驗(yàn)為古典試驗(yàn)，也叫古典概型或等可能概型。49第二章第一節(jié)概率的根本概念概率的古典定義古典概型中，任一事件A發(fā)生的概率等于這一事件所包含的根本領(lǐng)件數(shù)m與根本領(lǐng)件總數(shù)n的比值。記為：

50第二章第一節(jié)概率的根本概念概率的根本性質(zhì)由古典定義可見(jiàn)，概率具有以下性質(zhì)：對(duì)任一事件A有： 0≤P(A)≤1P(W)=1 P(V)=0假設(shè)AB=V,那么有 P(A+B)=P(A)+P(B)證推論： P(A)=1-P()證51第二章第一節(jié)概率的根本概念例做試驗(yàn)E:“將一枚硬幣拋三次〞觀察正面出現(xiàn)的情況。(1).寫(xiě)出E的樣本空間;(2).設(shè)A1=“恰有一次出現(xiàn)正面〞，求P(A1)?(3).設(shè)A2=“至少有一次出現(xiàn)正面〞，求P(A2)?52第二章第一節(jié)概率的根本概念例解解：E的樣本空間是:W={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H),(H,T,T),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T)}而A1={(H,T,T),(T,H,T),(T,T,H)}A2={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H),(H,T,T),(T,H,T),(T,T,H)}可見(jiàn) n=8, m1=3, m2=7由此 P(A1)=m1/n=3/8 P(A2)=7/853第二章第一節(jié)概率的根本概念例做試驗(yàn)E:“將一枚硬幣拋三十次〞觀察正面出現(xiàn)的情況。(1).寫(xiě)出E的樣本空間大小;(2).設(shè)A1=“恰有一次出現(xiàn)正面〞，求P(A1)?(3).設(shè)A2=“至少有一次出現(xiàn)正面〞，求P(A2)?54第二章第一節(jié)概率的根本概念例解此時(shí)E的樣本空間根本領(lǐng)件總數(shù)是:n=Nr=230A1=“恰有一次出現(xiàn)正面〞 m1=30C1×11×129A2=“至少有一次出現(xiàn)正面〞 m2=230-130P(A1)＝30C1×130／230≈2.794×10-8P(A2)＝(230-130)／230≈155第二章第一節(jié)概率的根本概念例50個(gè)小鼠中有白鼠30個(gè)，灰鼠20個(gè)。從中有放回地任意抽取5個(gè)，求以下事件的概率：A=“取到5個(gè)白鼠〞；B=“取到2個(gè)白鼠3個(gè)灰鼠〞；假設(shè)抽取是不放回的，上述事件的概率如何？56第二章第一節(jié)概率的根本概念例解有放回抽取根本領(lǐng)件總數(shù)n=5055個(gè)都是白鼠的所有可能取法為 mA=305取到2個(gè)白鼠3個(gè)灰鼠的根本領(lǐng)件數(shù) mB=C52×302×203于是P(A)=mA/n=305/505≈0.07776P(B)=mB/n=C52×302×203/505≈0.230457第二章第一節(jié)概率的根本概念例解不放回抽取排列法n=50×49×48×47×46=A505mA=

A305mB=

C52×A302×A203于是P(A)=mA/n≈0.06726P(B)=mB/n≈0.2340558第二章第一節(jié)概率的根本概念例解不放回抽取組合法n=50C5mA=30C5mB=30C2×20C3于是P(A)=mA/n≈0.06726P(B)=mB/n≈0.2340559第二章第一節(jié)概率的根本概念應(yīng)用古典概型的本卷須知判明是否屬于古典概型，即樣本是否空間有限，根本領(lǐng)件發(fā)生的概率是否相等。有放回抽樣和不放回抽樣是不同的。當(dāng)被抽取的對(duì)象數(shù)目較大時(shí)，可以用不放回抽樣代替放回抽樣。不放回抽樣的兩種計(jì)算方法中樣本空間的大小是不一樣的。這是因?yàn)橐粋€(gè)考慮了出現(xiàn)的順序，而另一個(gè)那么是把每一個(gè)可能的組合作為根本領(lǐng)件，計(jì)算時(shí)要注意配套使用。60第二章第一節(jié)概率的根本概念事件計(jì)數(shù)應(yīng)用古典概型解題，準(zhǔn)確計(jì)數(shù)根本領(lǐng)件是先決條件。下面介紹幾種根本的計(jì)數(shù)方法。61緒論根本計(jì)數(shù)方法一〔模型1〕根本情況盒中有N個(gè)數(shù)字籌碼，分別編號(hào)1-N，每次從中抽取一碼，共抽取r次，得到r次抽得的數(shù)碼記錄，稱(chēng)為一個(gè)抽樣結(jié)果。抽得的數(shù)碼讀后放回，不同的結(jié)果是指不同的排列。計(jì)算公式Nr62緒論根本計(jì)數(shù)方法二〔模型1〕根本情況將r個(gè)籌碼，依次投入到分別編號(hào)1-N的N個(gè)盒子中，依次記錄r次投入盒子的序號(hào)，得到一個(gè)占位結(jié)果。盒子容碼不限量，不同的結(jié)果是指占位排列不同。計(jì)算公式Nr63緒論模型1例題14種核苷酸〔A、G、C、T)共可以編碼多少個(gè)由3個(gè)核苷酸編碼的氨基酸？解：N=4 r=3Nr=43=6464緒論模型1例題2一星期中某地發(fā)生交通事故10起，問(wèn)共有多少種事故發(fā)生的分布情況？答案是：107，對(duì)不對(duì)？解：這里的問(wèn)題就是要正確區(qū)分N和r，此題中N=7 r=10所以可能的事故發(fā)生情況總共有 Nr=710=282475249種65緒論模型1例題34個(gè)人洗碗，打破了4個(gè)碗。假設(shè)每個(gè)人打破碗的概率是相同的。問(wèn)：第4個(gè)人恰好打破3個(gè)碗的概率是多少？解：N=4 r=4n=44令A(yù)=“第4個(gè)人恰好打破3個(gè)碗〞那么kA=13×3×C43=12 所求概率為：66緒論根本計(jì)數(shù)方法一〔模型2〕根本情況盒中有N個(gè)數(shù)字籌碼，分別編號(hào)1-N，每次從中抽取一碼，共抽取r次，得到r個(gè)取得數(shù)碼的記錄，稱(chēng)為一個(gè)抽樣結(jié)果。抽得的數(shù)碼讀后不放回，不同的結(jié)果是指不同的排列。計(jì)算公式NAr

67緒論根本計(jì)數(shù)方法二〔模型2〕根本情況將r個(gè)籌碼，依次投入到分別編號(hào)1-N的N個(gè)盒子中，依次記錄r次投入盒子的序號(hào)，得到一個(gè)占位結(jié)果。盒中只能容一碼，不同的結(jié)果指占位排列不同。計(jì)算公式NAr

68緒論模型2例題1從1至9中任意取出3個(gè)數(shù)字，問(wèn)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解：N=9 r=3A93=9×8×7=504個(gè)69緒論模型2例題2任意將10本書(shū)放在書(shū)架上，其中有三冊(cè)書(shū)成套。問(wèn)這三冊(cè)書(shū)放在一起的概率為多少？解：N=10 r=10 n=10! 令A(yù)=“三冊(cè)成套書(shū)放在一起〞那么kA=8!3!orkA=C817!3!所求概率為：70緒論根本計(jì)數(shù)方法一〔模型3〕根本情況盒中有N個(gè)數(shù)字籌碼，分別編號(hào)1-N，每次從中抽取一碼，共抽取r次，得到r個(gè)取得數(shù)碼的記錄，稱(chēng)為一個(gè)抽樣結(jié)果。抽得的數(shù)碼讀后不放回，不同的結(jié)果是指不同的組合。計(jì)算公式NCr71緒論根本計(jì)數(shù)方法二〔模型3〕根本情況將r個(gè)籌碼，依次投入到分別編號(hào)1-N的N個(gè)盒子中，依次記錄r次投入盒子的序號(hào)，得到一個(gè)占位結(jié)果。盒中只能容一碼，不同的結(jié)果指占位組合不同。計(jì)算公式NCr72緒論模型3例題1從一付52張的撲克牌中，任意抽取13張，問(wèn)有多少種這樣的牌？解：N=52 r=135分鐘一把，24小時(shí)不休息，604萬(wàn)年73緒論模型3例題2從10雙鞋中隨機(jī)抽取6只，問(wèn)抽到恰有一雙配對(duì)鞋的概率為多少？解：令A(yù)=“恰有一雙配對(duì)鞋“，依題意有：74緒論根本計(jì)數(shù)方法一〔模型4〕根本情況盒中有N個(gè)數(shù)字籌碼，分別編號(hào)1-N，每次從中抽取一碼，共抽取r次，得到r個(gè)取得數(shù)碼的記錄，稱(chēng)為一個(gè)抽樣結(jié)果。抽得的數(shù)碼讀后放回，不同的結(jié)果是指不同的組合。計(jì)算公式N-1+rCr75緒論根本計(jì)數(shù)方法二〔模型4〕根本情況將r個(gè)籌碼，依次投入到分別編號(hào)1-N的N個(gè)盒子中，依次記錄r次投入盒子的序號(hào)，得到一個(gè)占位結(jié)果。盒中容碼不限量，不同的結(jié)果指占位組合不同。計(jì)算公式N-1+rCr76緒論模型4例題1問(wèn)(a+b+c)6展開(kāi)式合并后共有多少項(xiàng)？解：N=3 r=677緒論根本計(jì)數(shù)方法特例J個(gè)有序盒子一字排開(kāi)，N個(gè)球依次投入其中，要求第一個(gè)盒落N(xiāo)1個(gè)，第J個(gè)盒落N(xiāo)J個(gè)，N1+N2+N3++NJ=N，盒論序，盒內(nèi)論組不管序。問(wèn)共有多少種落入法？計(jì)算公式為：78緒論特例例題1問(wèn)(a+b+c+d)20展開(kāi)式中a5b10c3d2項(xiàng)的系數(shù)為多少？解：所求為：79緒論特例例題236個(gè)籃球運(yùn)發(fā)動(dòng)分成12個(gè)人一隊(duì)，組成三個(gè)球隊(duì)，其中高大中鋒三人，假設(shè)將高大中鋒平均分配給三個(gè)隊(duì)，問(wèn)共有多少種分法？解：為達(dá)此目的先將三個(gè)高大中鋒分入三組，每組一人，共有3!種分法。其他33個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)分成三組，共有

種分法所以共有種分法80緒論例1.4〔1〕做試驗(yàn)E:“將一枚硬幣拋三十次〞觀察正面出現(xiàn)的情況。(1).寫(xiě)出E的樣本空間大小;(2).設(shè)A1=“恰有一次出現(xiàn)正面〞，求P(A1)?(3).設(shè)A2=“至少有一次出現(xiàn)正面〞，求P(A2)?81緒論例解此時(shí)E的樣本空間根本領(lǐng)件總數(shù)是:n=Nr=230A1=“恰有一次出現(xiàn)正面〞 m1=30C1×11×129A2=“至少有一次出現(xiàn)正面〞 m2=230-130P(A1)＝30C1×130／230≈2.794×10-8P(A2)＝(230-130)／230≈182第二章第一節(jié)概率的根本概念例50個(gè)小鼠中有白鼠30個(gè)，灰鼠20個(gè)。從中有放回地任意抽取5個(gè)，求以下事件的概率：A=“取到5個(gè)白鼠〞；B=“取到2個(gè)白鼠3個(gè)灰鼠〞；假設(shè)抽取是不放回的，上述事件的概率如何？83第二章第一節(jié)概率的根本概念例解有放回抽取根本領(lǐng)件總數(shù)n=5055個(gè)都是白鼠的所有可能取法為 mA=305取到2個(gè)白鼠3個(gè)灰鼠的根本領(lǐng)件數(shù) mB=C52×302×203于是P(A)=mA/n=305/505≈0.07776P(B)=mB/n=C52×302×203/505≈0.230484第二章第一節(jié)概率的根本概念例解不放回抽取排列法n=50×49×48×47×46=A505mA=

A305mB=

C52×A302×A203于是P(A)=mA/n≈0.06726P(B)=mB/n≈0.2340585第二章第一節(jié)概率的根本概念例解不放回抽取組合法n=50C5mA=30C5mB=30C2×20C3于是P(A)=mA/n≈0.06726P(B)=mB/n≈0.2340586第二章第一節(jié)概率的根本概念應(yīng)用古典概型的本卷須知判明是否屬于古典概型，即樣本是否空間有限，根本領(lǐng)件發(fā)生的概率是否相等。有放回抽樣和不放回抽樣是不同的。當(dāng)被抽取的對(duì)象數(shù)目較大時(shí)，可以用不放回抽樣代替放回抽樣。不放回抽樣的兩種計(jì)算方法中樣本空間的大小是不一樣的。這是因?yàn)橐粋€(gè)考慮了出現(xiàn)的順序，而另一個(gè)那么是把每一個(gè)可能的組合作為根本領(lǐng)件，計(jì)算時(shí)要注意配套使用。87第二章第一節(jié)概率的根本概念事件計(jì)數(shù)應(yīng)用古典概型解題，準(zhǔn)確計(jì)數(shù)根本領(lǐng)件是先決條件。下面介紹幾種根本的計(jì)數(shù)方法。88緒論根本計(jì)數(shù)方法一〔模型1〕根本情況盒中有N個(gè)數(shù)字籌碼，分別編號(hào)1-N，每次從中抽取一碼，共抽取r次，得到r次抽得的數(shù)碼記錄，稱(chēng)為一個(gè)抽樣結(jié)果。抽得的數(shù)碼讀后放回，不同的結(jié)果是指不同的排列。計(jì)算公式Nr89緒論根本計(jì)數(shù)方法二〔模型1〕根本情況將r個(gè)籌碼，依次投入到分別編號(hào)1-N的N個(gè)盒子中，依次記錄r次投入盒子的序號(hào)，得到一個(gè)占位結(jié)果。盒子容碼不限量，不同的結(jié)果是指占位排列不同。計(jì)算公式Nr90緒論模型1例題14種核苷酸〔A、G、C、T)共可以編碼多少個(gè)由3個(gè)核苷酸編碼的氨基酸？解：N=4 r=3Nr=43=6491緒論模型1例題2一星期中某地發(fā)生交通事故10起，問(wèn)共有多少種事故發(fā)生的分布情況？答案是：107，對(duì)不對(duì)？解：這里的問(wèn)題就是要正確區(qū)分N和r，此題中N=7 r=10所以可能的事故發(fā)生情況總共有 Nr=710=282475249種92緒論模型1例題34個(gè)人洗碗，打破了4個(gè)碗。假設(shè)每個(gè)人打破碗的概率是相同的。問(wèn)：第4個(gè)人恰好打破3個(gè)碗的概率是多少？解：N=4 r=4n=44令A(yù)=“第4個(gè)人恰好打破3個(gè)碗〞那么kA=13×31×C43=12 所求概率為：93緒論根本計(jì)數(shù)方法一〔模型2〕根本情況盒中有N個(gè)數(shù)字籌碼，分別編號(hào)1-N，每次從中抽取一碼，共抽取r次，得到r個(gè)取得數(shù)碼的記錄，稱(chēng)為一個(gè)抽樣結(jié)果。抽得的數(shù)碼讀后不放回，不同的結(jié)果是指不同的排列。計(jì)算公式NAr

94緒論根本計(jì)數(shù)方法二〔模型2〕根本情況將r個(gè)籌碼，依次投入到分別編號(hào)1-N的N個(gè)盒子中，依次記錄r次投入盒子的序號(hào)，得到一個(gè)占位結(jié)果。盒中只能容一碼，不同的結(jié)果指占位排列不同。計(jì)算公式NAr

95緒論模型2例題1從1至9中任意取出3個(gè)數(shù)字，問(wèn)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解：N=9 r=3A93=9×8×7=504個(gè)96緒論模型2例題2任意將10本書(shū)放在書(shū)架上，其中有三冊(cè)書(shū)成套。問(wèn)這三冊(cè)書(shū)放在一起的概率為多少？解：N=10 r=10 n=10! 令A(yù)=“三冊(cè)成套書(shū)放在一起〞那么kA=8!3!orkA=C817!3!所求概率為：97緒論根本計(jì)數(shù)方法一〔模型3〕根本情況盒中有N個(gè)數(shù)字籌碼，分別編號(hào)1-N，每次從中抽取一碼，共抽取r次，得到r個(gè)取得數(shù)碼的記錄，稱(chēng)為一個(gè)抽樣結(jié)果。抽得的數(shù)碼讀后不放回，不同的結(jié)果是指不同的組合。計(jì)算公式NCr98緒論根本計(jì)數(shù)方法二〔模型3〕根本情況將r個(gè)籌碼，依次投入到分別編號(hào)1-N的N個(gè)盒子中，依次記錄r次投入盒子的序號(hào)，得到一個(gè)占位結(jié)果。盒中只能容一碼，不同的結(jié)果指占位組合不同。計(jì)算公式NCr99緒論模型3例題1從一付52張的撲克牌中，任意抽取13張，問(wèn)有多少種這樣的牌？解：N=52 r=135分鐘一把，24小時(shí)不休息，604萬(wàn)年100緒論模型3例題2從10雙鞋中隨機(jī)抽取6只，問(wèn)抽到恰有一雙配對(duì)鞋的概率為多少？解：令A(yù)=“恰有一雙配對(duì)鞋“，依題意有：101緒論根本計(jì)數(shù)方法一〔模型4〕根本情況盒中有N個(gè)數(shù)字籌碼，分別編號(hào)1-N，每次從中抽取一碼，共抽取r次，得到r個(gè)取得數(shù)碼的記錄，稱(chēng)為一個(gè)抽樣結(jié)果。抽得的數(shù)碼讀后放回，不同的結(jié)果是指不同的組合。計(jì)算公式N-1+rCr102緒論根本計(jì)數(shù)方法二〔模型4〕根本情況將r個(gè)籌碼，依次投入到分別編號(hào)1-N的N個(gè)盒子中，依次記錄r次投入盒子的序號(hào)，得到一個(gè)占位結(jié)果。盒中容碼不限量，不同的結(jié)果指占位組合不同。計(jì)算公式N-1+rCr103緒論模型4例題1問(wèn)(a+b+c)6展開(kāi)式合并后共有多少項(xiàng)？解：N=3 r=6104緒論根本計(jì)數(shù)方法特例J個(gè)有序盒子一字排開(kāi)，N個(gè)球依次投入其中，要求第一個(gè)盒落N(xiāo)1個(gè)，第J個(gè)盒落N(xiāo)J個(gè)，N1+N2+N3++NJ=N，盒論序，盒內(nèi)論組不管序。問(wèn)共有多少種落入法？計(jì)算公式為：105緒論特例例題1問(wèn)(a+b+c+d)20展開(kāi)式中a5b10c3d2項(xiàng)的系數(shù)為多少？解：所求為：106緒論特例例題236個(gè)籃球運(yùn)發(fā)動(dòng)分成12個(gè)人一隊(duì)，組成三個(gè)球隊(duì)，其中高大中鋒三人，假設(shè)將高大中鋒平均分配給三個(gè)隊(duì)，問(wèn)共有多少種分法？解：為達(dá)此目的先將三個(gè)高大中鋒分入三組，每組一人，共有3!種分法。其他33個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)分成三組，共有

種分法所以共有種分法107緒論概率的加法定理1關(guān)于求幾個(gè)事件之和的概率的定理稱(chēng)為概率的加法定理。兩個(gè)事件和的概率加法定理：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)證1這個(gè)公式也可描述為：“事件A與B的和的概率等于事件A的概率與事件B的概率的和與事件A與事件B的積的概率的差〞。108緒論概率的加法定理2由上式，用遞推法可以得到三事件和的概率加法公式：P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)109緒論概率的加法定理3以此為根底，用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：110緒論概率加法定理的推論1推論1：如果A1－An這n個(gè)事件中，任何兩個(gè)事件都不能同時(shí)發(fā)生，即它們兩兩互斥，那么：111緒論概率加法定理的推論2推論2：事件的概率與該事件之對(duì)立事件的概率之和等于1，即112緒論概率加法定理的推論3推論3：假設(shè)事件A1A2A3......An兩兩互斥，且在試驗(yàn)結(jié)果中必定出現(xiàn)其中之一，那么：證2我們把兩兩互斥且每次試驗(yàn)中必定出現(xiàn)其中之一的n個(gè)事件稱(chēng)為互斥事件完備群，或互斥事件完備組，或完備事件組。113緒論概率加法定理的應(yīng)用例從一個(gè)有紅黃白色球各一個(gè)的袋子中，有放回地抽取三次，求“取到的三個(gè)球中沒(méi)有紅球或沒(méi)有黃球〞的概率。解:設(shè)A=“沒(méi)有紅球〞，B=“沒(méi)有黃球〞那么所求為P(A+B)因?yàn)閚=33 mA=23 mB=23 mAB=13所求P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=8/27+8/27-1/27=5/9114緒論概率加法定理的應(yīng)用例豌豆紅花基因R對(duì)白花基因r顯性，隱性純合體rr為白花。問(wèn)從F1自交〔Rr×Rr〕后代種子中任取一粒種子，它是紅花種子的概率為多少？解：雜交Rr×Rr后代中有三種互斥的基因型，它們出現(xiàn)的概率分別為1/4，2/4，1/4。設(shè)A=“是紅花種子〞，那么：P(A)=P(RR+Rr)=P(RR)+P(Rr)=1/4+2/4=3/4即F1自交后代種子中任取一粒是紅花種子的概率為3/4。115緒論條件概率在許多概率計(jì)算問(wèn)題中，往往會(huì)遇到在事件B已發(fā)生的條件下，求事件A發(fā)生的概率。由于此時(shí)新增了事件B已經(jīng)發(fā)生這個(gè)條件，所以它與事件A的概率的意義不同，把這種概率叫做事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)116緒論條件概率例在有兩個(gè)小孩的家庭中，按年齡大小寫(xiě)出他(她)們的性別，那么這樣家庭的孩子共有幾種情況(設(shè)生男生女概率相同)？令A(yù)=“兩個(gè)都是男孩〞，求P(A)？令B=“有男孩〞，求P(B)？如果這樣的家庭有男孩，再求P(A)又如何？解：該題的樣本空間為W={(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)}生男育女概率相同，古典概型問(wèn)題。得：P(A)=1/4 P(B)=3/4117緒論條件概率例解當(dāng)我們事先知道這樣的家庭中有男孩，即事件B已發(fā)生，那么此時(shí)的根本領(lǐng)件總數(shù)為三個(gè)，記此時(shí)的樣本空間為WB，那么WB={(男,男)，(男,女)，(女,男)}稱(chēng)WB為縮減的樣本空間。由于這三個(gè)事件仍然是等可能的，所以此時(shí)事件A發(fā)生的條件概率為P(A|B)=1/3118緒論條件概率的計(jì)算公式由上可見(jiàn)：附加條件的增加對(duì)原事件A發(fā)生的可能性產(chǎn)生了影響，即事件A的條件概率與無(wú)條件概率是不相等的；條件概率可用縮減樣本空間的方法來(lái)計(jì)算。由P(A|B)=1/3=(1/4)/(3/4)=P(AB)/P(B)得到119緒論條件概率例2.2(p28)施用兩種不同藥物殺滅螟蟲(chóng)，結(jié)果見(jiàn)下表：從200只中任取一只，計(jì)算以下事件的概率：是死蟲(chóng)的概率；是甲藥處理的概率；是甲藥處理且死亡的概率；死亡蟲(chóng)中是甲藥處理的概率；120緒論條件概率例解從200只中任取一只：是死蟲(chóng)的概率；P(A)=160/200是甲藥處理的概率；P(B)=120/200是甲藥處理并死亡的概率；P(BA)=96/200死亡蟲(chóng)中是甲藥處理的概率P(B|A)=96/160121緒論條件概率例解是死蟲(chóng)的概率；P(A)=160/200=0.8是甲藥處理的概率；P(B)=120/200=0.6是甲藥處理且死亡的概率；P(BA)=96/200=0.48死亡蟲(chóng)中是甲藥處理的概率； P(B|A)=96/160=0.6122緒論條件概率例甲乙兩城市都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)一百余年的氣象記錄，兩市一年中雨天占的比例分別為20％和18％，兩地同時(shí)下雨的比例為12％，求：乙市為雨天時(shí)甲市也為雨天的概率；甲市為雨天時(shí)乙市也為雨天的概率。解：設(shè)A=“甲市是雨天〞，B=“乙市是雨天〞，那么根據(jù)題意有P(A)=0.2，P(B)=0.18，P(AB)=0.12，由此得：P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.12/0.18=0.67P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.12/0.20=0.60123緒論概率的乘法定理由條件概率的計(jì)算公式，推出兩事件積的乘法公式如下：P(AB)=P(B)P(A|B) P(B)>0P(AB)=P(A)P(B|A) P(A)>0概率的乘法定理的意義是：兩事件積的概率等于其中某一事件的概率乘以另一事件在前一事件已發(fā)生條件下的條件概率。124緒論概率的乘法定理乘法定理可推廣到任意n個(gè)事件之積的情形設(shè)A1,A2,…,An(n>2)為n個(gè)事件且P(A1A2…An-1)>0，那么有P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)125緒論例一批小白鼠的合格率為80％，而合格鼠中的一級(jí)品率為50％，從中隨機(jī)抽取一只，求其是一級(jí)品的概率？解：設(shè)A=“是一級(jí)品〞B=“是合格品〞因?yàn)锽包含A，所以 AB=A由題意知：P(B)=0.8P(A|B)=0.5P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)=0.8×0.5=0.4126緒論事件的獨(dú)立性?xún)蓚€(gè)事件的獨(dú)立如果事件A的發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，即P(B)=P(B|A)，那么稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立。例127緒論獨(dú)立事件的乘法公式相互獨(dú)立的事件A與B，有：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)即：獨(dú)立事件的積的概率等于其各自概率的積。128緒論多個(gè)事件的獨(dú)立對(duì)于n個(gè)事件A1,A2,…,An(n>2)，假設(shè)對(duì)于所有可能的以下組合〔1≤i<j<k<…≤n〕滿足等式P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)……P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)那么稱(chēng)事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立。由此可見(jiàn)，不能由n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立而得出這n個(gè)事件相互獨(dú)立的結(jié)論。129緒論關(guān)于事件的獨(dú)立性實(shí)際問(wèn)題中，兩事件是否相互獨(dú)立常常根據(jù)實(shí)際情況判斷。生物實(shí)驗(yàn)結(jié)果一般多為相互獨(dú)立的。如從甲地抽取一樣本與乙地抽取的樣本進(jìn)行比較實(shí)驗(yàn)；對(duì)某樣品的某種物質(zhì)的含量分析等。抽樣類(lèi)實(shí)驗(yàn)，有放回抽樣，事件之間是相互獨(dú)立的；不放回抽樣，事件之間不獨(dú)立。獨(dú)立與互斥是兩個(gè)不同的概念，不可比，但有如下關(guān)系：互斥必不獨(dú)立，獨(dú)立必不互斥。130緒論例某地區(qū)的中學(xué)生中，患近視眼的占5％，女生占40％，從該地區(qū)的中學(xué)生中任意抽取一人，問(wèn)她既是女生又是近視眼患者的概率為多少？解：一般來(lái)說(shuō)，女生〔事件A〕與患近視眼〔事件B〕之間是相互獨(dú)立的。： P(A)=0.40 P(B)=0.05故所求為：P(AB)=P(A)P(B)=0.40×0.05=0.02131緒論例抓鬮問(wèn)題五人排隊(duì)抓鬮，決定誰(shuí)取得一物。問(wèn)第i人取到有物之鬮的概率是多少？〔i=1,2,3,4,5)解：設(shè)Ai=“第i人抓到有物之鬮〞，那么有P(A1)=1/5P(A2)=P(A2)=P()P(A2|)=4/5×1/4=1/5132緒論例抓鬮問(wèn)題同理可求得P(A4)=1/5 P(A5)=1/5133緒論全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式全概率公式是概率論中用來(lái)把一個(gè)復(fù)雜事件分解為假設(shè)干個(gè)互斥的簡(jiǎn)單事件，然后利用概率的加法公式和乘法定理得到最終結(jié)果的公式。而貝葉斯公式那么是全概率公式的逆運(yùn)算。134緒論全概率公式設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為W，B為E的事件，A1,A2,A3,…An為W的一個(gè)完備事件組，且P(Ai)>0(i=1,2,3,…n)，那么對(duì)于B有：證3135緒論全概率公式例1甲乙兩組同學(xué)做果蠅性別判斷實(shí)驗(yàn)，甲組可判斷全部果蠅的60％，乙組判斷40％，又知甲組在判斷時(shí)，是雄蠅仍被判定為雄蠅的概率為0.8，乙組的同樣概率為0.9。試求一雄蠅被鑒定為雄蠅的概率？解：設(shè)B=“是雄蠅被判定為雄蠅〞Ai=“第i組判定〞(i=甲、乙)。依題意A甲、A乙組成完備事件組，且P(B|A甲)=0.8P(B|A乙)=0.9于是依全概率公式所求概率為：P(B)=P(A甲)P(B|A甲)+P(A乙)P(B|A乙)=0.6×0.8+0.4×0.9=0.84136緒論全概率公式例2甲、乙、丙三人向同一飛機(jī)射擊，設(shè)甲、乙、丙射中的概率分別為0.4、0.5、0.7，又設(shè)，假設(shè)只有一人射中，飛機(jī)墜落的概率為0.2，假設(shè)兩人擊中，飛機(jī)墜落的概率為0.6，假設(shè)三人擊中飛機(jī)必墜落，求三人射擊一次飛機(jī)墜落的概率？解：設(shè)B=“飛機(jī)墜落〞Ai=“恰有i人擊中〞(i=0,1,2,3)Cj=“第j人擊中〞(j=1,2,3)顯然A0,A1,A2,A3組成一個(gè)完備事件組，按概率的加法公式和乘法公式有：137緒論全概率公式例2P(A0)=P()=0.6×0.5×0.3=0.09P(A1)=P()=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36P(A2)=P()=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41P(A3)=P()=0.4×0.5×0.7=0.14138緒論全概率公式例2由題意知：P(B|A0)=0 P(B|A1)=0.2P(B|A2)=0.6 P(B|A3)=1于是由全概率公式得：

139緒論貝葉斯公式〔逆概公式〕設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為W，B為E的事件，A1,A2,A3,…An為W的一個(gè)完備事件組，且P(Ai)>0(i=1,2,3,…n)，那么對(duì)于任一事件B〔P(B)>0〕有：

證4140緒論貝葉斯公式的用途貝葉斯公式主要用于事件B〔結(jié)果〕已發(fā)生情況下，推斷是由諸原因A1,A2,A3,…An中，哪一個(gè)原因引起的可能性最大？或者說(shuō)，求在B已發(fā)生的條件下，諸原因Ai分別發(fā)生的概率P(Ai|B)(i=1,2,3,…,n)是多大？這種“由果溯因〞的推斷問(wèn)題，可用貝葉斯公式來(lái)解決。先驗(yàn)概率，后驗(yàn)概率。141緒論貝葉斯公式應(yīng)用例2.3〔p25〕中年男性人群中，20％超重，50％正常，30％體重偏低，他們患動(dòng)脈硬化的概率分別為0.3，0.1，0.01，從中隨機(jī)抽取一人，恰為動(dòng)脈硬化患者，求他可能來(lái)自不同人群的概率？解：用A1,A2,A3，分別表示超重，正常，偏低B表示動(dòng)脈硬化。那么依題意有：P(A1)=0.20 P(A2)=0.50 P(A3)=0.30P(B|A1)=0.30 P(B|A2)=0.10 P(B|A3)=0.01142緒論貝葉斯公式應(yīng)用例2.3解將上述數(shù)據(jù)代入貝葉斯公式分別求得：P(A1|B)=0.06／0.113≈0.531P(A2|B)=0.05／0.113≈0.442P(A3|B)=0.003／0.113≈0.027可見(jiàn)該患者最有可能來(lái)自超重組。143緒論貝葉斯公式應(yīng)用例今有一臺(tái)儀器，當(dāng)其調(diào)整適當(dāng)時(shí)，測(cè)得的數(shù)據(jù)有96％是準(zhǔn)確的，當(dāng)調(diào)整不當(dāng)時(shí)，測(cè)得的數(shù)據(jù)只有50％是準(zhǔn)確的。使用記錄說(shuō)明，調(diào)整適當(dāng)?shù)母怕蕿?0％。如果在一次調(diào)整后，用標(biāo)準(zhǔn)樣測(cè)得的頭三個(gè)數(shù)據(jù)都是準(zhǔn)確的，問(wèn)該儀器被調(diào)整適當(dāng)?shù)母怕适嵌嗌伲?44緒論貝葉斯公式應(yīng)用例解解：設(shè)B=“測(cè)得的頭三個(gè)數(shù)據(jù)都是準(zhǔn)確值〞，A=“儀器調(diào)整適當(dāng)〞，=“儀器調(diào)整不適當(dāng)〞顯然A，組成完備事件組，由題意知P(A)=0.8 P()=0.2P(B|A)=0.963 P(B|)=0.503我們所求的概率是P(A|B)145緒論貝葉斯公式應(yīng)用例解由貝葉斯公式有：146緒論貝葉斯公式的應(yīng)用從這個(gè)例子中可以看出，在沒(méi)有調(diào)試之前，我們只知道儀器調(diào)整適當(dāng)?shù)南闰?yàn)概率為0.8，如果有了頭三個(gè)數(shù)據(jù)都是正確值這個(gè)事實(shí)，儀器被調(diào)整適當(dāng)?shù)母怕侍岣叩搅?.966。這個(gè)后驗(yàn)概率的得到，使我們對(duì)調(diào)整儀器的情況有了更進(jìn)一步的了解。147緒論貝葉斯公式應(yīng)用例根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的方法具有以下效果：假設(shè)A＝“試驗(yàn)反響為陽(yáng)性〞，C＝“被診斷者患有癌癥〞，那么有：P(A|C)＝0.95 現(xiàn)在對(duì)自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被普查的人患有癌癥的概率為0.005，即P(C)=0.005試求“試驗(yàn)反響為陽(yáng)性的情況下被普查者確實(shí)患有癌癥〞的概率？解：依題意，所求概率為P(C|A)148緒論貝葉斯公式應(yīng)用例解：P(C)=0.005 P()=0.995P(A|C)=0.95 P(A|)=0.05依逆概公式有：即：“試驗(yàn)反響為陽(yáng)性的情況下被普查者確實(shí)患有癌癥〞的概率為8.7%149緒論貝葉斯公式應(yīng)用例解同時(shí)也可求出“試驗(yàn)反響為陽(yáng)性的情況下被普查者沒(méi)患癌癥〞的概率P(|A)：即：“試驗(yàn)反響為陽(yáng)性的情況下被普查者沒(méi)患癌癥〞的概率為91.3%150緒論概率的加法定理及其推論完備事件組條件概率與概率的乘法公式事件的獨(dú)立性全概率公式及其應(yīng)用逆概公式及其應(yīng)用151緒論152緒論隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)字表示許多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與數(shù)值直接有關(guān)，如測(cè)量動(dòng)植物的高度和重量；又如，調(diào)查100名病人服用某種藥物后的痊愈情況等。有時(shí)，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身不是數(shù)量，但可以表示為數(shù)量，例如，觀察1只新生動(dòng)物的性別。數(shù)量的具體值是由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果所確定的。153緒論隨機(jī)變量由此可見(jiàn)，隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來(lái)表示，這個(gè)變量隨著實(shí)驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，由于在實(shí)驗(yàn)之前只能預(yù)測(cè)X的取值范圍而不能預(yù)測(cè)其具體取值，即實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有隨機(jī)性，所以這個(gè)變量的取值也具有隨機(jī)性，它是個(gè)隨機(jī)變量。把隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果用一個(gè)變量來(lái)表示，這個(gè)變量隨實(shí)驗(yàn)結(jié)果的不同取不同的值，稱(chēng)為隨機(jī)變量。154緒論隨機(jī)變量的定義設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間W={x}，如果對(duì)于每一個(gè)x∈W都有一個(gè)實(shí)數(shù)X(x)和它對(duì)應(yīng)，那么稱(chēng)定義在W上的實(shí)值單值函數(shù)X(x)為隨機(jī)變量。X(x)簡(jiǎn)寫(xiě)為X。155緒論隨機(jī)變量的特點(diǎn)由隨機(jī)變量的定義可以看出，隨機(jī)變量與普通變量有三點(diǎn)不同。隨機(jī)變量的取值具有隨機(jī)性；隨機(jī)變量取一定的值具有一定的概率；隨機(jī)變量的定義域?yàn)闃颖究臻g。156緒論隨機(jī)變量的表示通常我們用大寫(xiě)英文字母來(lái)表示隨機(jī)變量。在上面100人痊愈情況的例子中，如果我們用X表示痊愈的人數(shù)，那么X是個(gè)取值為0到100的隨機(jī)變量。我們用小寫(xiě)字母表示隨機(jī)變量在某次實(shí)驗(yàn)中所取得的具體值，稱(chēng)為隨機(jī)變量的觀察值。157緒論例1100粒種子中有5粒不能發(fā)芽，從中隨機(jī)抽取20粒進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，試通過(guò)隨機(jī)變量的不同取值來(lái)表示以下事件：“20粒種子都發(fā)芽〞；“恰有一粒種子不發(fā)芽〞；“至少有2粒種子不發(fā)芽〞；“不發(fā)芽粒種數(shù)不多于1〞；“不發(fā)芽粒種數(shù)在2-4之間〞。158緒論例1解解：設(shè)X為取出的20粒種子中不能發(fā)芽的種子數(shù)，那么X是一個(gè)取值為0，1，2，3，4，5的隨機(jī)變量。上述不同事件可以用X取以下值來(lái)表示：“20粒種子都發(fā)芽〞 {X=0}“恰有一粒種子不發(fā)芽〞 {X=1}“至少有2粒種子不發(fā)芽〞 {X≥2}“不發(fā)芽粒種數(shù)不多于1〞 {X≤1}“不發(fā)芽粒種數(shù)在2-4之間〞 {2≤X≤4}159緒論例2取一粒種子做發(fā)芽觀察，將試驗(yàn)的結(jié)果用隨機(jī)變量表示出來(lái)。解：用X表示這個(gè)觀察的結(jié)果，那么X有兩種取值。我們用{X=1}表示事件“種子發(fā)芽〞{X=0}表示事件“種子不發(fā)芽〞那么該試驗(yàn)的結(jié)果得以用隨機(jī)變量X表示出來(lái)。160緒論引入隨機(jī)變量的意義在前一章中，我們只是孤立地研究隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)或幾個(gè)事件，引入隨機(jī)變量后，我們就可通過(guò)隨機(jī)變量將各個(gè)事件聯(lián)系起來(lái)，而去研究隨機(jī)試驗(yàn)的全部結(jié)果。隨機(jī)變量的引入，使我們有可能利用數(shù)學(xué)分析的方法來(lái)研究隨機(jī)試驗(yàn)。161緒論離散型隨機(jī)變量根據(jù)隨機(jī)變量的取值情況把它們分成兩大類(lèi)：如果隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或是可數(shù)無(wú)限個(gè)，可以將它們按一定次序一一列舉出來(lái)，那么稱(chēng)這種隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。例如：某動(dòng)物一窩的產(chǎn)仔數(shù)，某樣方中的某種喬木數(shù)量，一立方米空氣中的細(xì)菌數(shù)，等等。162緒論連續(xù)型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量可取某一區(qū)間〔有限或無(wú)限〕內(nèi)的任何數(shù)值，那么稱(chēng)其為連續(xù)型隨機(jī)變量。如作物的畝產(chǎn)量，它可以是區(qū)間[a,b]中的任何值。又如，初生牛犢的體重也是連續(xù)型隨機(jī)變量。163緒論離散型隨機(jī)變量概率分布的概念將隨機(jī)變量X的一切可能取值x1,x2,x3……xn…,以及取得這些可能值的概率px1,px2,px3……pxn…,排列起來(lái)，就構(gòu)成了隨機(jī)變量的概率分布。164緒論離散型隨機(jī)變量的概率分布設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能的取值為xk(k=1,2,3,……)，事件{X=xk}的概率為pk那么X取所有可能值的概率可用下式表示：

P(X=xk)=pk k=1,2,3……我們稱(chēng)上式為離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)，或叫X的分布率，X的概率函數(shù)反映了X取所有可能值的概率分布。165緒論離散型隨機(jī)變量的概率分布表離散型隨機(jī)變量的概率分布也可用表格的形式表示：這個(gè)表稱(chēng)為隨機(jī)變量X的概率分布表，也稱(chēng)作X的分布列。166緒論離散型隨機(jī)變量的概率分布圖167緒論概率分布的根本性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的概率分布〔簡(jiǎn)稱(chēng)分布〕有兩個(gè)根本性質(zhì)：pk＞0(k=1,2,3,……)

168緒論例3(1)寫(xiě)出例1中隨機(jī)變量X的概率函數(shù)并分別用表格和圖形的方式把它表示出來(lái)。解：設(shè)X=20粒種子中的不發(fā)芽種子數(shù)，那么有：k=0,1,2,3,4,5此即所求X的概率函數(shù)。169緒論例3(2)X的概率分布表170緒論例3(3)X的概率分布圖171緒論例4擲一顆骰子，用X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。寫(xiě)出X的概率分布。解：X的可能取值有：1，2，3，4，5，6共6個(gè)值。由于每個(gè)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的時(shí)機(jī)是等同的，所以有：P(X=k)=1/6(k=1,2,3,4,5,6)或：xk 123456pk 1/61/61/61/61/61/6172緒論分布函數(shù)的定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量(離散型或連續(xù)型)，那么稱(chēng)函數(shù)為X的分布函數(shù)，或累積分布函數(shù)。如果將X看成是數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F(x)在x處的函數(shù)值就表示點(diǎn)X落在區(qū)間(-∞,x]上的概率。173§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的特點(diǎn)分布函數(shù)是一個(gè)普通函數(shù)對(duì)事件的概率計(jì)算有了統(tǒng)一、簡(jiǎn)化的方法對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1,x2(x1<x2)有：P(x1<X≤x2)=P(X≤x2)-P(X≤x1)=F(x2)-F(x1)證1即由此可見(jiàn)，只要知道了X的分布函數(shù)。那么X落在任一區(qū)間(x1,x2]上的概率就等于X的分布函數(shù)F(x)在該區(qū)間的增量。174§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的根本性質(zhì)分布函數(shù)有以下根本性質(zhì)：F(x)是一個(gè)不減函數(shù)：即對(duì)于任意x1<x2都有F(x2)≥F(x1)

0≤F(x)≤1F(﹣∞)=0F(＋∞)=1175§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的定義對(duì)于隨機(jī)變量X，如果存在非負(fù)的可積函數(shù)f(x)(-∞<x<+∞)，使對(duì)任意a，b(a<b)都有：那么稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量；稱(chēng)f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度，或密度。概率密度的圖形y=f(x)叫做分布曲線。176緒論概率密度的性質(zhì)f(x)≥0由定義的非負(fù)性而來(lái)。幾何解釋是分布曲線y=f(x)位于x軸的上方。

由定義知：

幾何解釋是：介于分布曲線y=f(x)與x軸之間的平面圖的面積等于1。177緒論概率密度的性質(zhì)

因此，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X而言 P(a<X<b)=P(a≤X<b) =P(a<X≤b)=P(a≤X≤b)即在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量落在某一區(qū)間的概率時(shí)，可以不必區(qū)分該區(qū)間是開(kāi)區(qū)間，還是半開(kāi)區(qū)間。178緒論概率密度的性質(zhì)

求X落在某區(qū)間的概率可通過(guò)下公式簡(jiǎn)便求出,179緒論180§3.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)字特征描述隨機(jī)變量特征的數(shù)字，叫做隨機(jī)變量的數(shù)字特征。181§2.3總體特征數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望〔均值〕測(cè)定某種燈管的使用壽命，用X表示這種燈管的使用小時(shí)數(shù)，那么X為一隨機(jī)變量。取100個(gè)這種燈管作測(cè)試，測(cè)試結(jié)果如下：182§2.3總體特征數(shù)數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量均值計(jì)算由此可以算出這種燈管的平均使用壽命：上式也可寫(xiě)為如下形式：183§2.3總體特征數(shù)數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量均值計(jì)算可見(jiàn)，拿每一個(gè)可能的使用時(shí)數(shù)，乘以這個(gè)時(shí)數(shù)的燈管的頻率，積加起來(lái)就是這種燈管的平均使用壽命。X的準(zhǔn)確平均值可由下式求出：184§2.3總體特征數(shù)數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布是：P(X=xk)=pkk=1,2,3,……假設(shè)級(jí)數(shù)

絕對(duì)收斂，那么稱(chēng)該級(jí)數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望(或期望)，記為E(X)假設(shè)不絕對(duì)收斂，那么稱(chēng)X的數(shù)學(xué)期望不存在。185§2.3總體特征數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望不是加權(quán)平均數(shù)當(dāng)X的概率分布為時(shí)，E(X)可由上式算出。隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望形式上是X的可能值的加權(quán)平均，實(shí)質(zhì)上它表達(dá)了隨機(jī)變量X取值的真正平均，因此我們也稱(chēng)它為X的均值，或分布的均值，有時(shí)也叫理論平均數(shù)。186§2.3總體特征數(shù)數(shù)學(xué)期望例4設(shè)X是拋一粒六面體骰子時(shí)上面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求其數(shù)學(xué)期望。解：X的概率函數(shù)為P(X=k)=1/6(k=1,2,3,4,5,6)187§2.3總體特征數(shù)數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，假設(shè)它的概率密度為f(x)，注意到f(x)dx的作用與離散型隨機(jī)變量中的pk相類(lèi)似，于是我們自然有以下定義。設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，假設(shè)積分絕對(duì)收斂，那么稱(chēng)該積分為X的數(shù)學(xué)期望，記為188§2.3總體特征數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的簡(jiǎn)單性質(zhì)設(shè)c、b是常數(shù)，X、Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，可以證明，隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望可按以下公式求出。 E(c)=c E(cX)=cE(X) E(X+c)=E(X)+c E(cX+b)=cE(X)+b E(X±Y)=E(X)±E(Y)189§2.3總體特征數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的簡(jiǎn)單性質(zhì)證：E(c)=c×1=cE(cX)=cE(X)以連續(xù)型X為例190§2.3總體特征數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的簡(jiǎn)單性質(zhì)E(X+c)=E(X)+c仍以連續(xù)型X為例191§2.3總體特征數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的簡(jiǎn)單性質(zhì)同理可證E(cX+b)=cE(X)+bE(X±Y)=E(X)±E(Y)192§2.3總體特征數(shù)數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量取值的變化情況我們先來(lái)看一個(gè)例子:甲乙兩種棉花，其棉纖長(zhǎng)度尺寸測(cè)量值的概率分布如下：193§2.3總體特征數(shù)方差均值相同的隨機(jī)變量取值變化不同用X表示棉纖尺寸，容易算得：在均值相同的情況下，為了評(píng)定哪種棉花好，就要看哪種棉纖的長(zhǎng)度整齊，即需要考查棉纖長(zhǎng)度與均值的偏離程度，偏離程度越小，說(shuō)明越整齊。可見(jiàn)了解隨機(jī)變量取值的離散情況是十分必要的。194§2.3總體特征數(shù)方差隨機(jī)變量的離均差常識(shí)告訴我們，數(shù)據(jù)越整齊就越密集于平均數(shù)周?chē)?，否那么就越遠(yuǎn)離平均數(shù)。因此，我們自然想到了用每個(gè)數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的量來(lái)描述數(shù)據(jù)的分散情況，即用

來(lái)描述，統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱(chēng)之為隨機(jī)變量的離均差，也稱(chēng)作離差，或偏差。195§2.3總體特征數(shù)方差離差描述數(shù)據(jù)變化的缺乏離差是個(gè)隨機(jī)變量，而且它的數(shù)學(xué)期望等于零：雖然用離差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望來(lái)描述數(shù)據(jù)的離散是可行的，但該式需要對(duì)絕對(duì)值值號(hào)進(jìn)行處理，計(jì)算麻煩。為了克服這一缺點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)學(xué)上引入了方差的概念。196§2.3總體特征數(shù)方差隨機(jī)變量方差的定義設(shè)X是一隨機(jī)變量，假設(shè)E([X-E(X)]2)存在，那么稱(chēng)E([X-E(X)]2)為X的方差，記為D(X)，即：

可見(jiàn)方差的實(shí)質(zhì)是離差平方的平均值。197§2.3總體特征數(shù)方差隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差的定義統(tǒng)計(jì)學(xué)上把方差的算術(shù)平方根，稱(chēng)為X的標(biāo)準(zhǔn)差。記為

可見(jiàn)：隨機(jī)變量方差的量綱是隨機(jī)變量量綱的平方，而隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差那么與隨機(jī)變量有相同的量綱。198§2.3總體特征數(shù)方差離散型隨機(jī)變量方差的計(jì)算由方差的定義我們有：假設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，那么

其中pk=P(X=xk)，k=1,2,3,……199§2.3總體特征數(shù)方差連續(xù)型隨機(jī)變量方差的計(jì)算假設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，那么

其中f(x)是X的概率密度。200§2.3總體特征數(shù)方差隨機(jī)變量方差的計(jì)算公式關(guān)于隨機(jī)變量方差的計(jì)算有以下重要公式：

證2201§2.3總體特征數(shù)方差例拋擲一顆骰子，設(shè)X=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)〞，試求X的方差D(X)？解：E(X)=3.5=(1-3.5)2×1/6+(2-3.5)2×1/6 +(3-3.5)2×1/6+(4-3.5)2×1/6 +(5-3.5)2×1/6+(6-3.5)2×1/6 ≈2.9202§2.3總體特征數(shù)方差例解

用

計(jì)算如下：D(X)=E(X2)-E2(X)=-3.52 =(12+22+32+42+52+62)×1/6-3.52 ≈2.9203§2.3總體特征數(shù)方差方差的簡(jiǎn)單性質(zhì)設(shè)c、b是常數(shù)，X、Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，可以證明，隨機(jī)變量函數(shù)的方差可按以下公式求出。D(c)=0D(cX)=c2D(X)D(X+b)=D(X)D(cX+b)=c2D(X)D(X±Y)=D(X)+D(Y)204§2.3總體特征數(shù)方差方差的簡(jiǎn)單性質(zhì)D(c)=0 D(c)=E([c-E(c)]2)=E([c-c]2)=E(0)=0D(cX)=c2D(X) D(cX)=E([cX-E(cX)]2) =E([cX-cE(X)]2) =E([c(X-E(X))]2) =E(c2[X-E(X)]2) =c2E([X-E(X)]2) =c2D(X)205§2.3總體特征數(shù)方差方差的簡(jiǎn)單性質(zhì)D(X+b)=D(X)

D(X+b)=E([(X+b)-E(X+b)]2) =E([X+b-E(X)-b]2) =E([X-E(X)]2) =D(X)206§2.3總體特征數(shù)方差方差的簡(jiǎn)單性質(zhì)D(cX+b)=c2D(X) D(cX+b)=E([(cX+b)-E(cX+b)]2) =E([cX+b-E(cX)-b]2) =E([cX-E(cX)]2) =E([c(X-E(X))]2) =E(c2[X-E(X)]2) =c2E([X-E(X)]2) =c2D(X)207§2.3總體特征數(shù)方差方差的簡(jiǎn)單性質(zhì)D(X±Y)=D(X)+D(Y)208§2.3總體特征數(shù)方差隨機(jī)變量的數(shù)字特征描述隨機(jī)變量特征的數(shù)字，叫做隨機(jī)變量的數(shù)字特征。209§2.3總體特征數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望〔均值〕測(cè)定某種燈管的使用壽命