學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.2.2HYPERLINK”file：///D:\\TDDOWNLOAD\\人教A數(shù)學(xué)選修1-1,1—2\\1、2—2-2。ppt”\t"_parent”雙曲線的簡單幾何性質(zhì)一、選擇題1．已知雙曲線與橢圓eq\f（x2，9）＋eq\f(y2,25)＝1共焦點(diǎn),它們的離心率之和為eq\f（14，5)，雙曲線的方程應(yīng)是（）A.eq\f(x2,12）－eq\f（y2，4）＝1 B。eq\f（x2，4)－eq\f(y2，12）＝1C．－eq\f(x2，12)＋eq\f(y2，4)＝1 D．－eq\f（x2,4）＋eq\f（y2,12)＝1［答案］C［解析］∵橢圓eq\f(x2，9)＋eq\f（y2,25)＝1的焦點(diǎn)為（0，±4），離心率e＝eq\f(4,5)，∴雙曲線的焦點(diǎn)為(0,±4)，離心率為eq\f(14，5）－eq\f(4,5）＝eq\f（10，5)＝2，∴雙曲線方程為：eq\f(y2,4）－eq\f(x2，12)＝1.2．焦點(diǎn)為(0,±6)且與雙曲線eq\f(x2,2）－y2＝1有相同漸近線的雙曲線方程是(）A.eq\f（x2,12）－eq\f（y2，24）＝1 B.eq\f（y2，12）－eq\f（x2,24）＝1C。eq\f(y2,24)－eq\f（x2,12)＝1 D.eq\f（x2，24）－eq\f（y2，12）＝1[答案]B[解析]與雙曲線eq\f（x2,2)－y2＝1有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2，2）－y2＝λ(λ≠0)，又因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上,∴方程可寫為eq\f（y2，－λ)－eq\f（x2，－2λ)＝1.又∵雙曲線方程的焦點(diǎn)為(0,±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12?！嚯p曲線方程為eq\f(y2，12)－eq\f(x2,24）＝1。3．若0<k〈a，則雙曲線eq\f(x2，a2－k2)－eq\f（y2，b2＋k2）＝1與eq\f（x2，a2)－eq\f（y2,b2）＝1有()A．相同的實(shí)軸 B．相同的虛軸C．相同的焦點(diǎn) D．相同的漸近線[答案］C［解析]∵0〈k〈a，∴a2－k2〉0.∴c2＝（a2－k2)＋（b2＋k2)＝a2＋b2。4．中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為eq\f（5,3)的雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,則它的漸近線方程為(）A．y＝±eq\f(5,4)x B．y＝±eq\f(4，5）xC．y＝±eq\f(4，3)x D．y＝±eq\f(3,4)x［答案］D[解析］∵eq\f（c,a）＝eq\f(5，3），∴eq\f（c2，a2)＝eq\f（a2＋b2,a2）＝eq\f（25,9），∴eq\f（b2，a2）＝eq\f（16,9），∴eq\f(b,a)＝eq\f（4,3），∴eq\f(a,b）＝eq\f(3,4）。又∵雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(a，b）x,∴所求雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f（3,4)x.5．(2009·四川文，8)已知雙曲線eq\f（x2,2)－eq\f(y2，b2）＝1（b〉0）的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其一條漸近線方程為y＝x，點(diǎn)P(eq\r（3)，y0）在該雙曲線上,則·＝(）A．－12 B．－2C．0 D．4［答案]C[解析］本小題主要考查雙曲線的方程及雙曲線的性質(zhì)．由題意得b2＝2，∴F1（－2,0),F2(2，0），又點(diǎn)P(eq\r（3），y0）在雙曲線上，∴yeq\o\al（2，0)＝1，∴·＝（－2－eq\r（3)，－y0)·（2－eq\r(3），－y0）＝－1＋yeq\o\al(2，0）＝0，故選C.6．已知雙曲線eq\f（x2，a2)－eq\f(y2，b2)＝1(a>0，b〉0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離是其頂點(diǎn)到漸近線距離的3倍,則雙曲線的漸近線方程為（）A．y＝±eq\r（2）x B．y＝±2eq\r（2）xC．y＝±eq\f（\r（2），4)x D．y＝±3x[答案］B［解析］如圖，分別過雙曲線的右頂點(diǎn)A，右焦點(diǎn)F作它的漸近線的垂線，B、C分別為垂足，則△OBA∽△OCF，∴eq\f(OA，OF）＝eq\f（AB,FC)＝eq\f(1,3），∴eq\f（a，c）＝eq\f（1，3），∴eq\f(b,a）＝2eq\r(2），故漸近線方程為：y＝±2eq\r（2）x.7．雙曲線eq\f（x2，b2）－eq\f（y2，a2)＝1的兩條漸近線互相垂直,那么該雙曲線的離心率為(）A．2 B.eq\r（3)C.eq\r（2) D。eq\f（3，2)[答案］C［解析]雙曲線的兩條漸近線互相垂直,則漸近線方程為：y＝±x,∴eq\f(b,a)＝1，∴eq\f(b2,a2）＝eq\f（c2－a2,a2)＝1，∴c2＝2a2，e＝eq\f(c,a）＝eq\r（2).8．雙曲線eq\f（x2，9)－eq\f(y2,16)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于(）A.eq\r(3） B．3C．4 D．2［答案］C[解析]∵焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±5,0),漸近線方程為y＝±eq\f（4，3）x，∴一個(gè)焦點(diǎn)（5，0）到漸近線y＝eq\f（4，3)x的距離為4.9．過雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a〉0，b〉0)上任意一點(diǎn)P引與實(shí)軸平行的直線，交兩漸近線于M、N兩點(diǎn),則·的值為()A．a(chǎn)2 B．b2C．2ab D．a(chǎn)2＋b2[答案]A[解析]特值法：當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，·＝a2.10．(2010·浙江理,8)設(shè)F1,F2分別為雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f（y2，b2）＝1(a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)．若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足｜PF2｜＝|F1F2｜，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線的漸近方程為(）A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0［答案]C［解析]如圖：由條件|F2A｜＝2a，｜F1F2又知|PF2｜＝|F1F2|，知A為PF1中點(diǎn),由a2＋b2＝c2，有|PF1｜＝4b由雙曲線定義：|PF1｜－|PF2|＝2a，則4b－2c＝2a∴2b＝c＋a，又有c2＝a2＋b2,(2b－a）2＝a2＋b2，∴4b2－4ab＋a2＝a2＋b23b2＝4ab，∴eq\f(b，a）＝eq\f（4,3)，∴漸近線方程：y＝±eq\f(4,3)x。故選C.二、填空題11．雙曲線eq\f（x2，4)＋eq\f(y2,b)＝1的離心率e∈（1,2），則b的取值范圍是________．［答案］－12〈b〈0[解析］∵b〈0，∴離心率e＝eq\f(\r（4－b),2）∈(1,2),∴－12<b〈0.12．橢圓eq\f（x2,4）＋eq\f(y2，a2）＝1與雙曲線eq\f（x2，a2）－y2＝1焦點(diǎn)相同,則a＝________.[答案］eq\f（\r（6），2）[解析］由題意得4－a2＝a2＋1，∴2a2＝3，a＝eq\f（\r(6)，2)。13．雙曲線以橢圓eq\f(x2，9)＋eq\f(y2，25）＝1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，它的離心率是橢圓離心率的2倍，求該雙曲線的方程為________．［答案］eq\f（y2,\f(25，4))－eq\f(x2,\f（39，4))＝1[解析]橢圓eq\f(x2，9)＋eq\f(y2,25)＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，焦點(diǎn)為(0，±4）,離心率e＝eq\f（c，a)＝eq\f(4,5)，∴雙曲線的離心率e1＝2e＝eq\f（8,5）,∴eq\f（c1，a1）＝eq\f（4,a1)＝eq\f(8，5），∴a1＝eq\f(5,2）,∴beq\o\al（2,1）＝ceq\o\al（2,1)－aeq\o\al（2，1)＝16－eq\f（25,4）＝eq\f(39，4），∴雙曲線的方程為eq\f(y2，\f（25，4))－eq\f（x2，\f（39,4））＝1。14．（2009·全國Ⅱ文，8改編）雙曲線eq\f（x2,6)－eq\f（y2,3）＝1的漸近線與圓（x－3）2＋y2＝r2（r〉0)相切，則r＝________.［答案］eq\r（3)［解析］本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式．雙曲線eq\f(x2，6）－eq\f（y2,3）＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),\r（6）)x＝±eq\f(\r（2),2）x，∴eq\r（2）x±2y＝0,由題意，得r＝eq\f(3\r(2）,\r(6）)＝eq\r(3).三、解答題15．已知?jiǎng)訄A與⊙C1：（x＋3）2＋y2＝9外切，且與⊙C2：(x－3）2＋y2＝1內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．［解析]設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x，y），半徑為r，則｜MC1|＝r＋3，｜MC2｜＝r－1，∴|MC1｜－|MC2|＝r＋3－r＋1＝4〈｜C1C2|＝6，由雙曲線的定義知,點(diǎn)M的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且2a＝4，a＝2，雙曲線的方程為：eq\f（x2,4)－eq\f（y2,5）＝1(x≥2)．16．已知雙曲線eq\f(x2，a2)－eq\f（y2，b2）＝1(a>0，b>0)過點(diǎn)A（eq\r（14），eq\r（5）)，且點(diǎn)A到雙曲線的兩條漸近線的距離的積為eq\f(4，3）.求此雙曲線方程．［解析]雙曲線eq\f(x2，a2）－eq\f(y2，b2）＝1的兩漸近線的方程為bx±ay＝0.點(diǎn)A到兩漸近線的距離分別為d1＝eq\f(|\r（14)b＋\r（5）a|，\r（a2＋b2）)，d2＝eq\f(|\r（14）b－\r(5)a｜,\r(a2＋b2)）已知d1d2＝eq\f(4,3）,故eq\f（｜14b2－5a2｜,a2＋b2)＝eq\f（4,3)(ⅰ)又A在雙曲線上，則14b2－5a2＝a2b2(ⅱ）（ⅱ)代入（ⅰ),得3a2b2＝4a2＋4b2（ⅲ）聯(lián)立（ⅱ）、(ⅲ）解得b2＝2，a2＝4.故所求雙曲線方程為eq\f(x2,4）－eq\f（y2，2)＝1。17．如下圖,已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2，a2）－eq\f（y2，b2)＝1（a〉0，b>0）的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，求雙曲線的離心率．[解析］設(shè)MF1的中點(diǎn)為P，在Rt△PMF2中,|PF2|＝|MF2｜·sin60°＝2c·eq\f（\r（3),2）＝eq\r（3）c。又由雙曲線的定義得|PF2｜－|PF1|＝2a，所以a＝eq\f(\r(3）－1，2）c,e＝eq\f（c，a)＝eq\f（2,\r（3）－1）＝eq\r(3）＋1。18．是否存在同時(shí)滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程；若不存在，說明理由．（1）漸近線方程為x＋2y＝0及x－2y＝0;（2)點(diǎn)A（5,0)到雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P的距離的最小值為eq\r(6）。[解析］假設(shè)存在同時(shí)滿足題中的兩條件的雙曲線．(1）若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，因?yàn)闈u近線方程為y＝±eq\f（1，2)x，所以由條件（1)，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2，4b2)－eq\f（y2,b2）＝1，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y），則|AP｜＝eq\r（(x－5)2＋y2）＝eq\r（\f(5,4）(x－4）2＋5－b2),由條件(2），若2b≤4，即b≤2,則當(dāng)x＝4時(shí)，｜AP｜最?。絜q\r(5－b2)＝eq\r(6），b2＝－1，這不可能,無解;若2b〉4，則當(dāng)x＝2b時(shí)，|AP｜最?。絴2b－5｜＝eq\r（6），解得b＝eq\f(5＋\r(6），2）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（5－