習(xí)題課——函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑規(guī)范解答隨

堂

練

習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.掌握函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系,能夠運(yùn)用這種關(guān)系解決相關(guān)問題.2.掌握抽象函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷方法.3.掌握函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用.4.感受數(shù)學(xué)抽象的過程,提高邏輯推理能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的關(guān)系【問題思考】1.觀察偶函數(shù)y=x2與奇函數(shù)

在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上的單調(diào)性,你有何猜想?提示:偶函數(shù)y=x2在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上的單調(diào)性相反;奇函數(shù)

在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上的單調(diào)性相同.猜想:奇函數(shù)又在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)又在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反.2.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反.3.已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則滿足f(x)<f(1)的x的取值范圍是(

)A.(-∞,1) B.(-∞,-1)C.(0,1) D.[-1,1)解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且是奇函數(shù),所以f(x)在R上為增函數(shù),所以滿足f(x)<f(1)的x的取值范圍為(-∞,1).答案:A二、抽象函數(shù)的奇偶性【問題思考】1.在函數(shù)f(x),g(x)的公共定義域上,f(x)+g(x),f(x)g(x),f(g(x)),g(f(x))的奇偶性如下表所示:2.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論(1)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,則f(0)=0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).(3)y=f(x+a)是奇函數(shù),則f(-x+a)=-f(x+a);y=f(x+a)是偶函數(shù),則f(-x+a)=f(x+a).3.設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),則下列結(jié)論恒成立的是(

)A.f(x)+|g(x)|是偶函數(shù)B.f(x)-|g(x)|是奇函數(shù)C.|f(x)|+g(x)是偶函數(shù)D.|f(x)|-g(x)是奇函數(shù)解析:由f(x)是偶函數(shù),可得f(-x)=f(x),由g(x)是奇函數(shù),可得g(-x)=-g(x),故|g(x)|為偶函數(shù),∴f(x)+|g(x)|為偶函數(shù).答案:A【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若函數(shù)f(x)在關(guān)于y軸對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反,則f(x)是偶函數(shù).(

×

)(2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(-2x)也是奇函數(shù).(

√

)(3)若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,且f(2m-1)>f(m+3),則必有2m-1<m+3.(

×

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究一

函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用【例1】

已知定義在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的奇函數(shù)f(x)為減函數(shù),且f(1-a)+f(1-2a)>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:由f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的奇函數(shù),且f(1-a)+f(1-2a)>0,得f(1-a)>-f(1-2a)=f(2a-1).因?yàn)閒(x)在定義域上為減函數(shù),奇偶性與單調(diào)性綜合的兩種題型及解法(1)比較大小問題,一般解法是利用奇偶性,把自變量不在同一單調(diào)區(qū)間上的取值轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的取值,然后利用單調(diào)性比較大小.(2)抽象不等式問題,其解題步驟如下①將所給的不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系.②利用單調(diào)性脫去符號(hào)“f”,轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題.需要注意的是:在轉(zhuǎn)化時(shí),自變量的取值必須在同一單調(diào)區(qū)間上;當(dāng)不等式一邊沒有符號(hào)“f”時(shí),需要轉(zhuǎn)化為含有符號(hào)“f”的形式,如0=f(1),f(x-1)<0,則f(x-1)<f(1);偶函數(shù)中f(x)=f(|x|)的靈活應(yīng)用.【變式訓(xùn)練1】

已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,則f(1)和f(-10)的大小關(guān)系為(

)A.f(1)>f(-10) B.f(1)<f(-10)C.f(1)=f(-10) D.f(1)和f(-10)關(guān)系不定解析:∵f(x)是偶函數(shù),∴f(-10)=f(10).又f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,且1<10,∴f(1)>f(10),即f(1)>f(-10).答案:A探究二

抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性【例2】

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),當(dāng)x<0時(shí),f(x)<0.求證:(1)f(x)為奇函數(shù);(2)f(x)為R上的增函數(shù).證明:(1)由題意知,f(x)的定義域?yàn)镽.令x=y=0,則f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.令y=-x,則f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x).故f(x)為奇函數(shù).(2)任取x1<x2,則x1-x2<0.又當(dāng)x<0時(shí),f(x)<0,∴f(x1-x2)<0.∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)為R上的增函數(shù).1.抽象函數(shù)奇偶性的證明主要是利用函數(shù)的性質(zhì)和已知條件尋求f(x)和f(-x)的關(guān)系,從而得到結(jié)論.2.抽象函數(shù)一般由方程(不等式)確定,這類函數(shù)的單調(diào)性問題一般用單調(diào)性的定義來處理,但要注意運(yùn)用所給條件,判斷出函數(shù)值之間的關(guān)系.常見思路:首先在所證區(qū)間上設(shè)出任意x1,x2(x1<x2),然后向已知區(qū)間上轉(zhuǎn)化,利用題設(shè)條件,最后運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義解決問題.【變式訓(xùn)練2】

若定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1.求證:(1)y=f(x)-1為奇函數(shù);(2)f(x)是R上的增函數(shù).證明:(1)因?yàn)槎x在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,所以令x1=x2=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)-1,即f(0)=1.令x1=x,x2=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,所以[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0.又由題意可知,y=f(x)-1的定義域?yàn)镽,故y=f(x)-1為奇函數(shù).(2)由(1)知y=f(x)-1為奇函數(shù),所以f(x)-1=-f(-x)+1.任取x1,x2∈R,且x1<x2,則x2-x1>0,所以f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)-[f(x1)-1]=f(x2)-f(x1)+1.因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),f(x)>1,所以f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+1>1,即f(x1)<f(x2),故f(x)是R上的增函數(shù).規(guī)范解答函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

(1)求f(x)的解析式;(2)用定義證明:f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)是增函數(shù);(3)解不等式:f(2t-1)+f(t)<0.

(3)解:由題意可知f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)是奇函數(shù),則f(2t-1)<-f(t)=f(-t).因?yàn)閒(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)是增函數(shù),?第2步:解方程組求出a,b的值并驗(yàn)證即得函數(shù)的解析式.?第3步:根據(jù)取值、作差變形、定號(hào)、下結(jié)論的步驟證明函數(shù)的單調(diào)性.?第4步:由f(x)為奇函數(shù)將已知不等式轉(zhuǎn)化.?第5步:由f(x)為增函數(shù)去掉“f”建立關(guān)于t的不等式組.?第6步:得到不等式的解集.造成失分的主要原因如下(1)計(jì)算出錯(cuò),導(dǎo)致解析式錯(cuò)誤;(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明單調(diào)性的過程不規(guī)范,沒有對(duì)作差后的式子進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?(3)忽視函數(shù)的定義域這一隱含條件,由f(2t-1)<f(-t)只得到2t-1<-t,從而得到錯(cuò)誤結(jié)果.【變式訓(xùn)練】

已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=-x2+ax.(1)若a=-2,求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù),①求實(shí)數(shù)a的取值范圍;②若對(duì)任意實(shí)數(shù)m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解:(1)由a=-2得當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=-x2-2x.設(shè)x<0,則-x>0,∴f(-x)=-x2+2x,又f(x)為奇函數(shù),∴-f(x)=f(-x)=-x2+2x,∴f(x)=x2-2x.(2)①當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)=-x2+ax圖象的對(duì)稱軸為直線∴f(x)=-x2+ax在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.∵奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同,∴f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減.又在區(qū)間(-∞,0)內(nèi),f(x)>0,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi),f(x)<0,f(0)=0,∴當(dāng)a≤0時(shí),f(x)為R上的減函數(shù).②∵f(m-1)+f(m2+t)<0,∴f(m-1)<-f(m2+t).又f(x)是奇函數(shù),∴f(m-1)<f(-t-m2).∵f(x)為R上的減函數(shù),∴m-1>-t-m2對(duì)m∈R恒成立,隨

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習(xí)1.已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上是增函數(shù),在區(qū)間[3,6]上的最大值為8,最小值為-1,則f(6)+f(-3)的值為(

).A.10 B.-10 C.9

D.15解析:由已知得,f(6)=8,f(3)=-1.∵f(x)是奇函數(shù),∴f(6)+f(-3)=f(6)-f(3)=8-(-1)=9.故選C.答案:C2.若函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞減,且f(2)=0,則使函數(shù)值y<0的x的取值范圍為(

)A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

D.(-2,2)解析:由于f(x)是偶函數(shù),且f(2)=0,故f(-2)=0,根據(jù)已知條件,可畫出函數(shù)y