1.2數(shù)列的函數(shù)特性第一章內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解數(shù)列的圖象.2.掌握數(shù)列的增減性,并能判斷所給數(shù)列的增減性.3.注重直觀想象和邏輯推理能力的培養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、數(shù)列的圖象【問(wèn)題思考】1.函數(shù)f1(x)=2x,x∈R與f2(x)=2x,x∈N+的圖象相同嗎?提示:不同.f1(x)=2x,x∈R的圖象是一條直線,而f2(x)=2x,x∈N+的圖象是直線y=2x上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的所有點(diǎn).2.可以把一個(gè)數(shù)列視作定義在正整數(shù)集(或其子集)上的函數(shù),因此可以用圖象(平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一串點(diǎn))來(lái)表示數(shù)列,圖象中每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(n,an),n=1,2,3,…這個(gè)圖象也稱為數(shù)列的圖象.解:分別取n=1,2,3,4,…,得到相應(yīng)各點(diǎn)(1,1),,….描點(diǎn)即得數(shù)列{an}的圖象(如圖1-1-1).3.試作出數(shù)列{an}的圖象,其中

(n∈N+).圖1-1-1二、數(shù)列的增減性【問(wèn)題思考】1.對(duì)于數(shù)列{an}和{bn},已知,試問(wèn){an},{bn}的項(xiàng)有什么變化規(guī)律?提示:隨著n的增大,{an}的項(xiàng)越來(lái)越大;{bn}的項(xiàng)越來(lái)越小.3.想一想:是否存在不是遞增數(shù)列,不是遞減數(shù)列,也不是常數(shù)列的數(shù)列?試舉例說(shuō)明.提示:存在.如數(shù)列an=(-1)n.2.遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列的概念(如表1-1-1)表1-1-1名稱定義表達(dá)式圖象特點(diǎn)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)an+1>an(n∈N+)上升遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)an+1<an(n∈N+)下降常數(shù)列各項(xiàng)都相等an+1=an(n∈N+)不升不降4.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),那么數(shù)列an=f(n)一定是遞增數(shù)列嗎?反之,是否一定成立?提示:一定是遞增數(shù)列,反之,不一定成立,例如an=n2-n(n∈N+)是遞增數(shù)列,但f(x)=x2-x在區(qū)間[1,+∞)上不單調(diào).【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)數(shù)列{an}圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)一定是正整數(shù).(√

)(2)若?n∈N+,>1,則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.(×

)(3)若?m,n∈N+,且m<n,使得am>an,則數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列.(√)(4)若數(shù)列{an},an=kn+b是遞增數(shù)列,則k>0.(√)合作探究釋疑解惑探究一數(shù)列增減性的判斷【例1】

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n2-n,判斷數(shù)列{an}的增減性.分析

法一:先寫(xiě)出an+1,通過(guò)比較an+1-an與0的大小判斷{an}的增減性,法二:通過(guò)比較

與1的大小及an的正負(fù)判斷{an}的增減性,法三:利用函數(shù)y=3x2-x的圖象判斷{an}的增減性.解法一:an=3n2-n,an+1=3(n+1)2-(n+1),則an+1-an=3(n+1)2-(n+1)-(3n2-n)=6n+2>0,即an+1>an(n∈N+),故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.解法二:an=3n2-n,an+1=3(n+1)2-(n+1),則又an>0,故an+1>an,即數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.本例中,數(shù)列{an}是否有最大項(xiàng)?最小項(xiàng)呢?解:無(wú)最大項(xiàng);有最小項(xiàng),為a1=3×12-1=2.判斷數(shù)列增減性的常用方法(1)根據(jù)定義判斷:若an+1>an,則{an}是遞增數(shù)列;若an+1<an,則{an}是遞減數(shù)列;若an+1=an,則{an}是常數(shù)列.(2)作差法:若an+1-an>0,則{an}是遞增數(shù)列;若an+1-an<0,則{an}是遞減數(shù)列;若an+1-an=0,則{an}是常數(shù)列.(4)由函數(shù)圖象判斷.【變式訓(xùn)練1】

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-2λn,且數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,則λ的取值范圍為

.

解析:若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,則有an+1-an>0,即2n+1>2λ對(duì)任意的n∈N+都成立,于是有3>2λ,λ<.探究二數(shù)列的圖象【例2】

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-10n+10,這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值逐漸增大?從第幾項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值均為正值?數(shù)列中是否還存在數(shù)值與首項(xiàng)相同的項(xiàng)?分析

畫(huà)出數(shù)列{an}的圖象,借助圖象求解.解:數(shù)列{an}的各點(diǎn)都在函數(shù)y=x2-10x+10的圖象(如圖1-1-2)上.由圖1-1-2可得,這個(gè)數(shù)列從第5項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值逐漸增大,從第9項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值均為正值,第9項(xiàng)是與首項(xiàng)相同的項(xiàng).圖1-1-2數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間構(gòu)成特殊的函數(shù)關(guān)系.因此,涉及數(shù)列的單調(diào)性、最值等問(wèn)題均可借助求函數(shù)單調(diào)性、最值問(wèn)題的方法來(lái)研究,不過(guò)在用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決數(shù)列問(wèn)題時(shí),要注意“函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集”這一約束條件.【變式訓(xùn)練2】

已知數(shù)列{an},an=2n,試作出它的圖象,并由圖象判斷{an}的增減性.分析

作數(shù)列的圖象時(shí),橫軸為n軸,縱軸表示an,注意n∈N+.解:數(shù)列{an}的圖象如圖1-1-3.由圖象知,{an}是遞增數(shù)列.圖1-1-3【變式訓(xùn)練2】

試作出數(shù)列{bn},bn=1-n的圖象.解:數(shù)列{bn}的圖象如圖.探究三求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)【例3】

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(n+2)×

,試問(wèn)數(shù)列{an}中有沒(méi)有最大項(xiàng)?若有,求出最大項(xiàng)和相應(yīng)的項(xiàng)數(shù);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.分析

判斷數(shù)列的增減性,尋求數(shù)列最大項(xiàng)的位置,或假設(shè)an是數(shù)列的最大項(xiàng),解不等式組.1.判斷數(shù)列的增減性,作差比較an+1與an的大小,即比較an+1-an與0的大小,或作商比較an+1與an的大小,即比較

與1的大小,要注意項(xiàng)的符號(hào)一定時(shí),使用作商比較法較方便.2.利用當(dāng)n≥2時(shí),確定n的取值范圍,進(jìn)而確定{an}的最大項(xiàng),也是常用的解題方法.【變式訓(xùn)練3】

在數(shù)列{an}中,an=.判斷數(shù)列{an}的增減性,并求最小項(xiàng).【易錯(cuò)辨析】

忽視數(shù)列中n∈N+致誤

【典例】

設(shè)函數(shù)f(x)=數(shù)列{an}滿足an=f(n),n∈N+,且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

錯(cuò)解:因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列,且點(diǎn)(n,an)在函數(shù)f(x)的圖象上,所以分段函數(shù)f(x)是遞增函數(shù),故實(shí)數(shù)a滿足不等式組以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上述解法,把數(shù)列單調(diào)遞增完全等同于所在的函數(shù)單調(diào)遞增,忽視了二者的區(qū)別,事實(shí)上,數(shù)列單調(diào)遞增,所在函數(shù)不一定單調(diào).正解:由題意,點(diǎn)(n,an)分布在分段函數(shù)f(x)=的圖象上.因此當(dāng)3-a>0時(shí),a1<a2<a3<…<a7;當(dāng)a>1時(shí),a8<a9<a10<…;為使數(shù)列{an}遞增還需a7<a8.故實(shí)數(shù)a滿足條件

解得2<a<3,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3).在求解數(shù)列問(wèn)題時(shí),必須注意n∈N+,否則易出現(xiàn)錯(cuò)誤.【變式訓(xùn)練】

已知數(shù)列{an},an=-2n2+9n+3,求數(shù)列{an}中數(shù)值最大的項(xiàng).∴當(dāng)n=2時(shí),an取最大值13,即數(shù)列{an}中數(shù)值最大的項(xiàng)為a2=13.隨堂練習(xí)1.已知an+1-an-3=0,則數(shù)列{an}是(

).A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列 D.不能確定解析:由已知得an+1-an=3>0,故數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.答案:A2.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=

(a,b為正常數(shù)),那么an

an+1.(填“>”“<”或“=”)

答案:<3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=,則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是

,最小項(xiàng)是

.

當(dāng)n≤2時(shí),an+1-an<0,即an+1<an;當(dāng)n=3時(shí),an+1-an>0,即an+1>an;當(dāng)n≥4時(shí),an+1-an<0,即an+1<an.又當(dāng)n≤3時(shí),an<2;當(dāng)n≥4時(shí),a