2024屆新教材二輪復(fù)習(xí)一元線性回歸模型及參數(shù)的最小二乘估計(jì)學(xué)案素養(yǎng)導(dǎo)引1.了解一元線性回歸模型的含義,了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握最小二乘法,會(huì)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程,能根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測.(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.理解殘差的概念,會(huì)利用殘差進(jìn)行回歸分析.一、一元線性回歸模型一元線性回歸模型的完整表達(dá)式為Y=bx+a+eE(e)=0,D(e)=σ2,其中Y稱為因變量或響應(yīng)變量,x稱為自變量或解釋變量,a,【批注】回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別函數(shù)模型的特點(diǎn)是對(duì)于自變量在定義域內(nèi)的任何一個(gè)值,因變量都有唯一一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng).但在回歸模型中,響應(yīng)變量的取值不能完全由解釋變量確定,還要加上隨機(jī)誤差.二、經(jīng)驗(yàn)回歸方程(1)有關(guān)概念=x+稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式,其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法,求得的,叫做b,a的最小二乘估計(jì).(2)計(jì)算公式=∑i=1n(xi-x)(yi思考正相關(guān)、負(fù)相關(guān)與的符號(hào)有何關(guān)系?提示:Y與x正相關(guān)的充要條件是>0,Y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是<0.[診斷]1.辨析記憶(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程中,由x的值得出的y值是準(zhǔn)確值. (×)提示:由經(jīng)驗(yàn)回歸方程得出的數(shù)據(jù)是預(yù)測值.(2)經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程一定過點(diǎn)(x,y). (√)(3)經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程一定過樣本中的某一個(gè)點(diǎn). (×)提示:經(jīng)驗(yàn)回歸直線可能不過樣本中的任何一個(gè)點(diǎn).(4)選取一組數(shù)據(jù)中的部分點(diǎn)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是同一個(gè)方程. (×)提示:由不同數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程不一定相同.2.(多選題)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x,y之間的相關(guān)關(guān)系,并求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程,分別得到以下四個(gè)結(jié)論,其中一定不正確的結(jié)論是 ()A.y與x負(fù)相關(guān)且=2.347x-6.423B.y與x負(fù)相關(guān)且=-3.476x+5.648C.y與x正相關(guān)且=5.437x+8.493D.y與x正相關(guān)且=-4.326x-4.578.【解析】選AD.當(dāng)兩個(gè)變量正相關(guān)時(shí),經(jīng)驗(yàn)回歸方程的系數(shù)>0,反之<0.3.一位母親記錄了兒子3歲~9歲的身高,由此建立的身高Y(單位:cm)與年齡X(單位:歲)的回歸模型為=7.19x+73.93.用這個(gè)模型預(yù)測這個(gè)孩子10歲時(shí)的身高,則下列敘述正確的是 ()A.身高一定是145.83cm B.身高在145.83cm以上C.身高在145.83cm以下 D.身高在145.83cm左右【解析】選D.x=10時(shí),=7.19×10+73.93=145.83,但這是預(yù)測值,而不是精確值,所以只能選D.學(xué)習(xí)任務(wù)一經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法及其應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】某滑雪場在元旦假期開業(yè),如表統(tǒng)計(jì)了該滑雪場開業(yè)第x天的滑雪人數(shù)y(單位:百人)的數(shù)據(jù):天數(shù)代碼x12345滑雪人數(shù)y(百人)911142620(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(2)經(jīng)過測算,當(dāng)一天中滑雪人數(shù)超過3500人時(shí),當(dāng)天滑雪場可實(shí)現(xiàn)盈利,請(qǐng)根據(jù)y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,預(yù)測該滑雪場開業(yè)的第幾天開始盈利.【解析】(1)由題表中數(shù)據(jù)可得,x=1+2+3+4+55y=9+11+14+26+205所以∑i=15xiyi∑i=15所以=∑i=15xiy=y-x=16-3.7×3=4.9,故經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=3.7x+4.9.(2)因?yàn)橐惶熘挟?dāng)滑雪人數(shù)超過3500人時(shí),當(dāng)天滑雪場可實(shí)現(xiàn)盈利,即3.7x+4.9>35時(shí),可實(shí)現(xiàn)盈利,解得x>30137≈8.故根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測,該滑雪場開業(yè)的第9天開始盈利.【思維提升】1.經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法(1)求x,y;(2)根據(jù)的公式,先分步求出各個(gè)因式的值,再計(jì)算出;(3)求出后,寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程.2.經(jīng)驗(yàn)回歸方程的應(yīng)用(1)進(jìn)行預(yù)測:把經(jīng)驗(yàn)回歸方程看成一次函數(shù),求函數(shù)值.(2)判斷正、負(fù)相關(guān):決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是參數(shù).【即學(xué)即練】某工廠統(tǒng)計(jì)2023年銷售網(wǎng)點(diǎn)數(shù)(單位:個(gè))與售賣出的產(chǎn)品件數(shù)(單位:萬件)的數(shù)據(jù)如表:銷售網(wǎng)點(diǎn)數(shù)x1719202123售賣出的產(chǎn)品件數(shù)y2122252730假定該工廠銷售網(wǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)與售賣出的產(chǎn)品件數(shù)為線性相關(guān)關(guān)系.(1)求2023年售賣出的產(chǎn)品件數(shù)y(單位:萬件)關(guān)于銷售網(wǎng)點(diǎn)數(shù)x(單位:個(gè))的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(2)根據(jù)(1)中求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,估計(jì)2023年該工廠建立40個(gè)銷售網(wǎng)點(diǎn)時(shí)售賣出的產(chǎn)品件數(shù).【解析】(1)由題,可得x=17+19+20+21+235y=21+22+25+27+305∑i=15xi∑i=15xi2=172+192+202則=2532-5×20×252020-5×202=3220=1故經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=1.6x-7.(2)將x=40代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程,則=64-7=57.故2023年該工廠建立40個(gè)銷售網(wǎng)點(diǎn)時(shí)售賣出的產(chǎn)品件數(shù)約57萬件.學(xué)習(xí)任務(wù)二經(jīng)驗(yàn)回歸直線的性質(zhì)(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(1)某公司為了確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:萬元)對(duì)年銷售量y(單位:千件)的影響.現(xiàn)收集了近5年的年宣傳費(fèi)x(單位:萬元)和年銷售量y(單位:千件)的數(shù)據(jù),其數(shù)據(jù)如表所示,且y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=x-41,當(dāng)此公司該種產(chǎn)品的年宣傳費(fèi)為16萬元時(shí),預(yù)測該產(chǎn)品的年銷售量為 ()x4681012y525357090A.131千件 B.134千件C.136千件 D.138千件【解析】選A.由題意可得:x=4+6+8+10+125y=5+25+35+70+905則樣本中心點(diǎn)為(8,45),可得45=8-41,解得=434,故=434x-41,令x=16,則=434×16-41=131,故當(dāng)此公司該種產(chǎn)品的年宣傳費(fèi)為16萬元時(shí),預(yù)測該產(chǎn)品的年銷售量為131千件.(2)已知兩個(gè)變量x和y之間存在線性相關(guān)關(guān)系,某興趣小組收集了一組x,y的樣本數(shù)據(jù)如表所示:x12345y0.50.611.41.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)利用最小二乘法得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是 ()A.=0.21x+0.53 B.=0.25x+0.21C.=0.28x+0.16 D.=0.31x+0.11【解析】選C.因?yàn)閤=15y=15×(0.5+0.6+1+1.4+1.所以經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過點(diǎn)(3,1),而A,B,D項(xiàng)中的經(jīng)驗(yàn)回歸直線不過點(diǎn)(3,1),C項(xiàng)中的經(jīng)驗(yàn)回歸直線過點(diǎn)(3,1).【思維提升】關(guān)于經(jīng)驗(yàn)回歸直線的性質(zhì)經(jīng)驗(yàn)回歸直線過樣本中心點(diǎn)(x,y),利用這一性質(zhì),可以用來求經(jīng)驗(yàn)回歸方程,或者解決與參數(shù)相關(guān)的問題.【即學(xué)即練】已知x,y的對(duì)應(yīng)值如表所示:x02468y1m+12m+13m+311若y與x線性相關(guān),且求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=1.3x+0.6,則m= ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.x=0+2+4+6+85y=1+(m+1所以這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是(4,6m+17又點(diǎn)(x,y)在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上,所以6m+175=1.3×4+0.6,解得學(xué)習(xí)任務(wù)三利用殘差線性回歸分析(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例3】(1)現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù).用4種模型分別進(jìn)行擬合.由此得到相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程并進(jìn)行殘差分析,進(jìn)一步得到如圖4個(gè)殘差圖,根據(jù)殘差圖,擬合效果最好的模型是 ()A.模型一 B.模型二C.模型三 D.模型四【解析】選D.當(dāng)殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中時(shí),說明選用的模型比較合適,帶狀區(qū)域的寬度越窄,擬合的精確度越好,擬合效果越好,對(duì)比4個(gè)殘差圖,可知模型四的圖對(duì)應(yīng)的帶狀區(qū)域的寬度最窄.(2)某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y(單位:萬元)之間有如表關(guān)系:x24568y3040605070y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=6.5x+17.5,當(dāng)廣告費(fèi)支出5萬元時(shí)的殘差為 ()A.-10 B.-20 C.20 D.10【解析】選D.當(dāng)廣告費(fèi)支出5萬元時(shí),觀測值為60,預(yù)測值為=6.5×5+17.5=50,則殘差為60-50=10.【思維提升】通過圖形刻畫回歸效果若殘差分布在以橫軸為對(duì)稱軸、寬度較小的帶狀區(qū)域內(nèi),則說明經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫了因變量與自變量的關(guān)系.提醒:殘差=觀測值-預(yù)測值,觀測值是被減數(shù),預(yù)測值是減數(shù).【即學(xué)即練】某農(nóng)業(yè)科研所在5塊面積相同的長方形試驗(yàn)田中均種植了同一種農(nóng)作物,每一塊試驗(yàn)田的施肥量x(單位:kg)與產(chǎn)量y(單位:kg)之間有如下關(guān)系:施肥量2040506080產(chǎn)量600800120010001400已知y與x