江蘇省無錫市錫山區(qū)天一中學2021-2022學年高一上學期期中數學試卷（強化班）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設集合U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，則圖中陰影部分表示的集合為（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1≤x＜2}2．下列各式中，表示y是x的函數的有（）①y＝x﹣（x﹣3）；②；③；④．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個3．十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若a，b，c∈R，則下列命題不正確的是（）A．若a＞b＞0，則 B．若a，b∈R，則 C．若a＞b＞0且c＞0，則 D．若a＜b，則ac2＜bc24．命題“?x∈{x|1≤x≤2}，”為真命題的一個充分不必要條件是（）A．a≥5 B．a≥4 C．a≤5 D．a≥65．函數f（x）＝﹣2x+的圖象大致是（）A． B． C． D．6．函數的遞減區(qū)間是（）A．（﹣1，0） B．（﹣∞，﹣1）和（0，1） C．（0，1） D．（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）7．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x2﹣3ax+4＜0}，若a＞0，且A∩B中恰好有兩個整數解，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知函數f（x）、g（x）是定義在R上的函數，其中f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，且f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，若對于任意1＜x1＜x2＜2，都有，則實數a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞） B．（0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[﹣1，0）二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分：在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．下列敘述中正確的是（）A．a，b，c∈R，若二次方程ax2+bx+c＝0無實根，則ac＞0 B．“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“關于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要條件 C．“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一個正根和一個負根”的必要不充分條件 D．“a＞1”是“”的充分不必要條件10．若一個集合是另一個集合的子集，則稱這兩個集合構成“鯨吞”；若兩個集合有公共元素，且互不為對方子集，則稱兩個集合構成“蠶食”，對于集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若這兩個集合構成“鯨吞”或“蠶食”，則a可能的取值為（）A．0 B．1 C． D．﹣111．已知a，b＞0，a+b2＝1，則下列選項一定正確的是（）A． B．的最大值為 C．a+2b的最大值為2 D．12．已知定義在[1，+∞）上的函數，下列結論正確的為（）A．函數f（x）的值域為[0，+∞） B．當x∈[4，8]時，函數f（x）所有輸出值中的最大值為4 C．函數f（x）在x∈[10，16]上單調遞減 D．f（2021）＝54三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第14題第一空2分，第二空3分13．已知函數f（x）為奇函數，且當x＞0時，，則當x＜0時，f（x）＝．14．已知命題p：?x0∈[]，2x02﹣λx0+1＜0，則命題p的否定為；若命題p為真命題，則λ的取值范圍為．15．已知函數y＝f（x+1）是定義域為R的偶函數，f（x）在[1，+∞）上單調遞減，且f（5）＝0，則不等式的解集為．16．已知非負實數a，b滿足a+b＝2，則的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．設全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣5）＜0}，非空集合B＝{x|1﹣2a2≤x≤1+2a}，其中a∈R．（1）當a＝1時，求（?RA）∩?RB）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的_____條件，求a的取值范圍，（請在“①充分；②必要”兩個條件中選一個條件填入橫線后作答）18．已知f（x）是二次函數，且滿足f（0）＝2，f（x+2）﹣f（x）＝2x+4．（1）求f（x）的解析式；（2）當x∈[m，m+1]，其中m∈R，求f（x）的最小值．19．已知定義域為R的函數f（x）＝x3+x+a是奇函數．（1）求a的值；（2）證明：函數f（x）在R上是增函數；（3）若對任意的t∈R，不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．20．某住宅小區(qū)為了使居民有一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，計劃建一個正八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖（如圖）是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的面積為200m2的十字形區(qū)域．現計劃在正方形MNPQ上建一花壇，造價為4200元/m2，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪花崗巖，造價為210元/m2，再在四個空角上鋪草坪，造價為80元/m2．（1）設總造價為S元，AD的長為xm，試建立S關于x的函數關系式．（2）計劃至少投入多少元，才能建造這個休閑小區(qū)？21．已知函數，其中a∈R．（1）當a＝1時，求f（x）的值域；（2）函數y＝f（x）能否成為定義域上的單調函數，如果能，則求出實數a的范圍；如果不能，則給出理由；（3）f（x）≥﹣2在其定義域上恒成立，求實數a的取值范圍．22．對于函數f（x）＝ax2+（1+b）x+b﹣1（a≠0），存在實數x0，使f（x0）＝mx0，成立，則稱x0為f（x）關于參數m的不動點．（1）當a＝1，b＝﹣2時，求f（x）關于參數1的不動點；（2）當a＝1，b＝2時，函數f（x）在x∈（0，2]上存在兩個關于參數m的相異的不動點，試求參數m的取值范圍；（3）對于任意的，總存在b∈[2，5]，使得函數f（x）有關于參數m的兩個相異的不動點，試求m的取值范圍．

江蘇省無錫市錫山區(qū)天一中學2021-2022學年高一上學期期中數學試卷（強化班）【參考答案】一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設集合U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，則圖中陰影部分表示的集合為（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1≤x＜2}【分析】利用不等式的解法化簡集合A，求出?RB，可得圖中陰影部分表示的集合為（?RB）∩A【解答】解：A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，?RB＝{x|x≥1}則圖中陰影部分表示的集合為（?RB）∩A＝{x|1≤x＜2}．故選：D．【點評】本題考查了集合與集合之間的關系、不等式的解法、數形結合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題2．下列各式中，表示y是x的函數的有（）①y＝x﹣（x﹣3）；②；③；④．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】根據函數的定義即可判斷．【解答】解：根據函數的定義，當自變量x在它的允許取值范圍內任意取一個值，y都有唯一確定的值與之對應，故①④表示y是x的函數，在②中由，知x∈?，因為函數定義域不能是空集，所以②不表示y是x的函數，在③中，當x＝0時，y對應的兩個值，故不表示y是x的函數，，故選：C．【點評】本題主要考查函數的定義及其構成要素，準確理解函數的概念，是解題的關鍵．3．十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若a，b，c∈R，則下列命題不正確的是（）A．若a＞b＞0，則 B．若a，b∈R，則 C．若a＞b＞0且c＞0，則 D．若a＜b，則ac2＜bc2【分析】直接利用不等式的性質判斷A、B、C、D的結論．【解答】解：對于A：由于a＞b＞0，所以，故A正確；對于B：根據基本不等式，，故B正確；對于C：若a＞b＞0且c＞0，則，故C正確；對于D：當c＝0時，不等式不成立．故選：D．【點評】本題考查的知識要點：不等式的性質，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于基礎題．4．命題“?x∈{x|1≤x≤2}，”為真命題的一個充分不必要條件是（）A．a≥5 B．a≥4 C．a≤5 D．a≥6【分析】首先求得實數a的取值范圍，然后結合選項確定滿足題意的條件即可．【解答】解：由于函數在區(qū)間[1，2]上單調遞減，故函數在區(qū)間上的最大值為，從而，據此可得命題為真的一個充分不必要有條件為a≥6．故選：D．【點評】本題主要考查函數的單調性及其應用，恒成立問題的處理方法，充分不必要條件的判定等知識，屬于基礎題．5．函數f（x）＝﹣2x+的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】由函數解析式易知x＜0時，f（x）＞0，且f（2）＜0，由此利用排除法得解．【解答】解：當x＜0時，，故排除選項BD；又，故排除選項A．故選：C．【點評】本題考查函數圖象的運用，考查數形結合思想，屬于基礎題．6．函數的遞減區(qū)間是（）A．（﹣1，0） B．（﹣∞，﹣1）和（0，1） C．（0，1） D．（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）【分析】分x≥0和x＜0兩種情況，利用復合函數單調性的判斷法則求解即可．【解答】解：當x≥0時，f（x）＝，由﹣x2+1≥0，解得﹣1≤x≤1，又t＝﹣x2+1的單調遞減區(qū)間為（0，+∞），且y＝為單調遞增函數，所以f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，1）；當x＜0時，f（x）＝，因為t＝（x+1）2的單調遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣1），且y＝為單調遞增函數，所以f（x）的單調遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣1）．綜上所述，f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，1）和（﹣∞，﹣1）．故選：B．【點評】本題考查了復合函數單調性的判斷，含有絕對值函數的應用，二次函數以及冪函數單調性的應用，屬于中檔題．7．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x2﹣3ax+4＜0}，若a＞0，且A∩B中恰好有兩個整數解，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】依題意，可求得集合A＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），B＝（，），要使A∩B中恰好有兩個整數解，分析可知，只能是3和4，再列式求解即可．【解答】解：A＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），令f（x）＝x2﹣3ax+4，由題意，Δ＝9a2﹣16＞0，且a＞0，∴解得a＞，B＝（，），又0＜＝＜2，∴要使A∩B中恰好有兩個整數解，則只能是3和4，令f（x）＝x2﹣3ax+4，則，解得＜a≤，∴a的取值范圍是（，]．故選：C．【點評】本題考查集合關系中的參數取值問題，考查一元二次方程和一元二次不等式的解法，考查運算求解能力，屬于中檔題．8．已知函數f（x）、g（x）是定義在R上的函數，其中f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，且f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，若對于任意1＜x1＜x2＜2，都有，則實數a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞） B．（0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[﹣1，0）【分析】由已知結合函數的奇偶性可求g（x），由函數的單調性定義分析可得＞0，令h（x）＝g（x）+4x，則h（x）＝g（x）+4x在（1，2）上單調遞增，而h（x）＝g（x）+4x＝ax2+4x+2，結合二次函數的性質分析可得答案．【解答】解：根據題意，f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，則f（﹣x）+g（﹣x）＝ax2+x+2，兩式相加可得f（x）+f（﹣x）+g（x）+g（﹣x）＝2ax2+4，又由f（x）是定義在R上的奇函數，g（x）是定義在R上的偶函數，所以2g（x）＝2ax2+4，即g（x）＝ax2+2，若對于任意1＜x1＜x2＜2，都有，變形可得＞0，令h（x）＝g（x）+4x，則h（x）＝g（x）+4x在（1，2）上單調遞增，所以h（x）＝g（x）+4x＝ax2+4x+2，若a＝0，則h（x）＝4x+2在（1，2）上單調遞增，滿足題意；若a≠0，則h（x）＝ax2+4x+2是對稱軸為x＝﹣的二次函數，若h（x）在（1，2）上單調遞增，只需或，解得a＞0或﹣1≤a＜0，綜上，a≥﹣1．即a的取值范圍為[﹣1，+∞）．故選：C．【點評】本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，涉及函數解析式的計算，關鍵是求出g（x）的解析式．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分：在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．下列敘述中正確的是（）A．a，b，c∈R，若二次方程ax2+bx+c＝0無實根，則ac＞0 B．“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“關于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要條件 C．“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一個正根和一個負根”的必要不充分條件 D．“a＞1”是“”的充分不必要條件【分析】利用一元二次方程的根與判別式之間的關系可判斷A的正誤，利用充分條件、必要條件及充要條件的概念可判斷BCD的正誤．【解答】解：對于A，若二次方程ax2+bx+c＝0無實根，則Δ＝b2﹣4ac＜0?ac＞b2≥0，故A正確；對于B，若關于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R，則a＝b＝0，c≥0或a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0，故“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“關于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充分不必要條件，故B錯誤；對于C，若方程x2+x+a＝0有一個正根和一個負根，則a＜0，故“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一個正根和一個負根”的充分不必要條件，故C錯誤；對于D，若a＞1，則，反之，不可，則“a＞1”是“”的充分不必要條件，故D正確，故選：AD．【點評】本題考查充分條件、必要條件及充要條件的概念，考查一元二次不等式及其應用，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于基礎題．10．若一個集合是另一個集合的子集，則稱這兩個集合構成“鯨吞”；若兩個集合有公共元素，且互不為對方子集，則稱兩個集合構成“蠶食”，對于集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若這兩個集合構成“鯨吞”或“蠶食”，則a可能的取值為（）A．0 B．1 C． D．﹣1【分析】根據新定義對a的值分類討論，當a＝0或a＝﹣1時，集合B＝?，此時滿足B?A，則集合A，B構成“鯨吞”，當a＞0時，B＝{﹣}，此時集合A，B只能構成“蠶食”，然后討論集合A，B的公共元素，進而可以求解．【解答】解：當a＝0或a＝﹣1時，集合B＝?，此時滿足B?A，則集合A，B構成“鯨吞”，當a＞0時，B＝{﹣}，此時集合A，B只能構成“蠶食”，所以當A，B集合有公共元素﹣＝﹣1時，解得a＝2，當A，B集合的公共元素為時，解得a＝，故選：ACD．【點評】本題考查了新定義的應用以及集合元素的性質，涉及到集合的包含關系的應用，考查了學生的運算求解能力，屬于基礎題．11．已知a，b＞0，a+b2＝1，則下列選項一定正確的是（）A． B．的最大值為 C．a+2b的最大值為2 D．【分析】利用基本不等式可判斷A、B的正誤；將a＝1﹣b2＞0，代入a+2b，利用配方法可判斷C的正誤；利用乘“1”法可判斷D的正誤．【解答】解：對于A，∵a，b＞0，a+b2＝1，∴+b≤＝（當且僅當a＝b2＝，即a＝，b＝時取等號），故A錯誤；對于B，1＝a+b2≥2b?b≤（當且僅當a＝b2＝，即a＝，b＝時取等號），即的最大值為，故B正確；對于C，∵a，b＞0，a+b2＝1，∴a＝1﹣b2＞0，∴0＜b＜1，∴a+2b＝1﹣b2+2b＝﹣（b﹣1）2+2＜2，故C錯誤；對于D，＝（）（a+b2）＝1+4++≥5+2＝9（當且僅當＝，即2a＝b2，即a＝，b＝時取等號），故D正確；故選：BD．【點評】本題考查基本不等式及其應用，考查轉化與化歸思想及運算求解能力，屬于中檔題．12．已知定義在[1，+∞）上的函數，下列結論正確的為（）A．函數f（x）的值域為[0，+∞） B．當x∈[4，8]時，函數f（x）所有輸出值中的最大值為4 C．函數f（x）在x∈[10，16]上單調遞減 D．f（2021）＝54【分析】通過對函數f（x）的分析，可以得到函數f（x）的圖象，進而求出函數f（x）的值域，以及BCD三個選項的正確與否．【解答】解：當1≤x≤2時，﹣≤x﹣≤，所以0≤|x﹣|，0≤2|x﹣|≤1，當2＜x≤4時，1＜≤2，故f（）∈[0，1]，2f（）＝[0，2]，以此類推，我們作出函數f（x）的圖象，如圖，可以總結出f（x）在[2m，3×2m﹣1）上單調遞增，在（3x2m﹣1，2m﹣1]上單調遞減，且在[2m，2m+1]上，當x＝3×2m﹣1處取得最大值，f（3×2m﹣1）＝2m，函數f（x）的值域為[0，+∞），A正確；當x∈[4，8]時，函數f（x）所有輸出值中的最大值為4，B正確；函數f（x）在x∈[10，12]上單調遞增，在x∈（12，16]單調遞減，故C錯誤；因為2021∈（3×29，211]，所以l經過點（2048，0）與（1536，1024），設直線：y＝kx+b，從而得到，解得：y＝﹣2x+4096，所以當x＝2021時，y＝﹣2×2021+4096＝54，D正確．故選：ABD．【點評】本題考查分段函數的應用，考查學生的運算能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第14題第一空2分，第二空3分13．已知函數f（x）為奇函數，且當x＞0時，，則當x＜0時，f（x）＝x﹣．【分析】由奇函數的定義和已知區(qū)間上的解析式，轉化可得所求解析式．【解答】解：函數f（x）為奇函數，可得f（﹣x）＝﹣f（x），當x＞0時，，當x＜0時，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣x+＝﹣f（x），所以x＜0時，f（x）＝x﹣．故答案為：x﹣．【點評】本題考查函數的奇偶性的定義和運用，考查轉化思想和運算能力，屬于基礎題．14．已知命題p：?x0∈[]，2x02﹣λx0+1＜0，則命題p的否定為?x∈[，2]，2x2﹣λx+1≥0；若命題p為真命題，則λ的取值范圍為．【分析】命題的否定，存在改為任意．【解答】解：命題P的否定為?x∈[]，2x2﹣λx+1≥0．因為命題P為真，分離參量得λ＞2x0+，其中，故答案為：．【點評】本題考查了存在量詞和全稱量詞的轉換，也考查了存在性問題含參不等式的求解，考查基本功，難度不大．15．已知函數y＝f（x+1）是定義域為R的偶函數，f（x）在[1，+∞）上單調遞減，且f（5）＝0，則不等式的解集為（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．【分析】根據函數y＝f（x+1）是定義域為R的偶函數，f（x）在[1，+∞）上單調遞減，且f（5）＝0，可得函數值正負的分布情況，等價于或，從而可得出答案．【解答】解：因為函數y＝f（x+1）是定義域為R的偶函數，則函數y＝f（x+1）關于y軸對稱，又函數y＝f（x）是由函數y＝f（x+1）向右平移1個單位得到的，所以函數y＝f（x）關于x＝1對稱，因為函數f（x）在[1，+∞）上單調遞減，且f（5）＝0，則函數f（x）在（﹣∞，1）上單調遞增，且f（﹣3）＝0，所以當1≤x＜5時，f（x）＞0，當x＞5時，f（x）＜0，當﹣3＜x＜1時，f（x）＞0，當x＜﹣3時，f（x）＜0，由，得或，所以或，解得x＞5或﹣3＜x＜﹣2，即不等式的解集為（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．故答案為：（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．【點評】本題主要考查函數奇偶性與單調性的綜合，考查利用函數的性質解不等式，考查運算求解能力，屬于中檔題．16．已知非負實數a，b滿足a+b＝2，則的最小值為6．【分析】根據，利用基本不等式即可得出答案，注意同時取等號．【解答】解：因為a+b＝2，所以＝＝．當且僅當，即a＝0，b＝2時取等號，所以的最小值為6．故答案為：6．【點評】本題主要考查基本不等式求最值的方法，屬于基礎題．四、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．設全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣5）＜0}，非空集合B＝{x|1﹣2a2≤x≤1+2a}，其中a∈R．（1）當a＝1時，求（?RA）∩?RB）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的_____條件，求a的取值范圍，（請在“①充分；②必要”兩個條件中選一個條件填入橫線后作答）【分析】（1）a＝1時，求出集合B，由此能求出（?RA）∩?RB）；（2）選①可得，由此能求出實數a的取值范圍；選②可得，由此能求出實數a的取值范圍．【解答】解：（1）當a＝1時，B＝{x|﹣1≤x≤3}，A＝{x|x（x﹣5）＜0}＝{x|0＜x＜5}，∴?RA＝{x|x≤0或x≥5}，?RB＝{x|x＜﹣1或x＞3}，∴（?RA）∩?RB）＝{x|x＜﹣1或x≥5}；（2）若選①充分，∵“x∈A”是“x∈B”的充分條件，∴，解得a≥2，故a的取值范圍為{a|a≥2}；若選②必要，∵“x∈A”是“x∈B”的必要條件，∴，解得0≤a＜，故a的取值范圍為{a|0≤a＜}．【點評】本題考查交集、補集、實數的取值范圍的求法，考查交集、補集定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．18．已知f（x）是二次函數，且滿足f（0）＝2，f（x+2）﹣f（x）＝2x+4．（1）求f（x）的解析式；（2）當x∈[m，m+1]，其中m∈R，求f（x）的最小值．【分析】（1）設f（x）的解析式，得到關于a，b的方程，解出即可求出f（x）的解析式；（2）通過討論m的范圍，求出函數的單調區(qū)間，求出函數的最小值即可．【解答】解：（1）設f（x）＝ax2+bx+c，由f（0）＝2，則c＝2，又f（x+2）﹣f（x）＝2x+4，則a（x+2）2+b（x+2）+c﹣（ax2+bx+c）＝2x+4，則4ax+4a+2b＝2x+4，則，解得：，故f（x）＝x2+x+2；（2）由f（x）＝x2+x+2，對稱軸是x＝﹣1，①m+1≤﹣1即m≤﹣2時，f（x）在[m，m+1]遞減，f（x）min＝f（m+1）＝m2+2m+，②m＜﹣1＜m+1即﹣2＜m＜﹣1時，f（x）在[m，﹣1）遞減，在（﹣1，m+1]遞增，故f（x）min＝f（﹣1）＝；③m≥﹣1時，f（x）在[m，m+1]遞增，f（x）min＝f（m）＝m2+m+2；綜上：f（x）min＝．【點評】本題考查了函數的單調性，最值問題，考查二次函數的性質，是中檔題．19．已知定義域為R的函數f（x）＝x3+x+a是奇函數．（1）求a的值；（2）證明：函數f（x）在R上是增函數；（3）若對任意的t∈R，不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．【分析】（1）利用奇函數的定義可求a的值；（2）根據函數單調性的定義可證明函數f（x）在R上是增函數；（3）根據函數的奇偶性和單調性可得關于x的不等式，根據判斷式的符號可求實數的取值范圍．【解答】（1）解：因為f（x）為奇函數，故f（﹣x）＝﹣f（x）即f（x）+f（﹣x）＝0，所以x3+x+a+（﹣x）3+（﹣x）+a＝0，可得a＝0．（2）證明：任意x1、x2∈R，且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）＝x13+x1+a﹣（x23+x2+a）＝x13﹣x23+x1﹣x2＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22+1）＝（x1﹣x2）[（x1+x2）2+x22+1]，因為x1＜x2，故x1﹣x2＜0，而[（x1+x2）2+x22+1＞0，故f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），故函數f（x）在R上是增函數．（3）不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0等價于f（kt2+kt）＜﹣f（kt﹣1），因為f（x）為奇函數，故f（kt2+kt）＜f（﹣kt+1）對任意的t∈R恒成立，因為f（x）在R上是增函數，所以kt2+kt＜﹣kt+1對任意的t∈R恒成立，即kt2+2kt﹣1＜0對任意的t∈R恒成立，若k＝0，則不等式﹣1＜0對任意的t∈R恒成立，故符合；若k≠0，則，解得﹣1＜k＜0，綜上，﹣1＜k≤0，即實數k的取值范圍（﹣1，0]．【點評】本題主要考查函數奇偶性與單調性的綜合，考查函數恒成立問題，考查分類討論思想與轉化思想的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題．20．某住宅小區(qū)為了使居民有一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，計劃建一個正八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖（如圖）是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的面積為200m2的十字形區(qū)域．現計劃在正方形MNPQ上建一花壇，造價為4200元/m2，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪花崗巖，造價為210元/m2，再在四個空角上鋪草坪，造價為80元/m2．（1）設總造價為S元，AD的長為xm，試建立S關于x的函數關系式．（2）計劃至少投入多少元，才能建造這個休閑小區(qū)？【分析】（1）設DQ＝y(tǒng)，則x2+4xy＝200，所以y＝，代入S＝4200x2+210×4xy+80×4×y2，化簡即可得到結果．（2）利用基本不等式即可求出S的最小值．【解答】解：（1）設DQ＝y(tǒng)，則x2+4xy＝200，所以y＝，∴S＝4200x2+210×4xy+80×4×y2＝38000+4000x2+，即S＝38000+4000x2+（0＜x＜10）．（2）S＝38000+4000x2+≥38000+2＝118000，當且僅當4000x2＝，即x＝時，Smin＝118000（元）．故計劃至少要投入11.8萬元才能建造這個休閑小區(qū)．【點評】本題主要考查了函數的實際應用，考查了基本不等式的應用，是中檔題．21．已知函數，其中a∈R．（1）當a＝1時，求f（x）的值域；（2）函數y＝f（x）能否成為定義域上的單調函數，如果能，則求出實數a的范圍；如果不能，則給出理由；（3）f（x）≥﹣2在其定義域上恒成立，求實數a的取值范圍．【分析】（1）當a＝1時，求得函數解析式，分別求得各段函數的值域，從而求得函數值域；（2）對a分類討論，根據x∈（1，2]段函數單調性判斷原函數單調性，從而求得參數范圍；（3）由f（x）≥﹣2在其定義域上恒成立，分離參數化為恒成立，分別求得分段函數上的最大值，從而求得的范圍．【解答】解：（1）當a＝1時，f（x）＝，則x∈（0，1）時，f（x）∈[1，3]；當x∈（1，2]時，f（x）∈[，1），則f（x）的值域為[，3]，（2）若函數y＝f（x）在定義域上單調，當a＞0時，因在x∈（1，2]上函數單減，則y＝f（x）單調遞減，則滿足，解得a≥1，當a＝0時，函數無單調性，不符合題意，當a＜0時，因在x∈（1，2]上函數單增，則y＝f（x）單調遞增，則滿足，解得a≤﹣2，綜上所述，若使函數y＝f（x）為定義域上的單調函數，實數a的范圍為（﹣∞，2]∪[1，+∞），（3）由f（x）≥﹣2在其定義域上恒成立，即f（x）＝，化簡得恒成立，當x∈[0，1]時，由＝＝3﹣x+﹣6，令t＝3﹣x∈[2，3]，h（t）＝t+﹣6，由對勾函數單調性知，函數h（t）在t＝2時，取最大值h（2）＝﹣，則a，當x∈（1