2023年湖南省一起考高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知全集（/=R,集合4={x[2*<1},8={刻萬(wàn)一2<0},則（CiM）UB=（）

A.{x|0<x<2}B,RC.{x|0<x<2}D.{x\x<2]

2.已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部均為整數(shù)，且z羊0,則滿足|z-l|W1的復(fù)數(shù)z的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

3.成對(duì)樣本數(shù)據(jù)丫和x的一元線性回歸模型是匕：/“：：：：’2,則下列四幅殘差圖滿足

（E（e）-0,Z）（e）—c"

一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差e的假定的是（）

4.正方形ABCD中，M,N分別是BC,CD的中點(diǎn)，若前=2宿+〃麗，則;I+"=（）

A.2B.|C.|D.|

5.已知aW（—兀,0）,且3cos2a+4cosa+1=0,則tcma等于（）

A.—B.2V-2C.-2V-2D.--

44

ii

6.記7；為數(shù)列{a"的前幾項(xiàng)積，已知己+*=1，則T”=（）

A.8B.9C.10D.11

7.已知a=log32,b-log53,c=log85,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

8.雨天將一個(gè)上端開(kāi)口的杯子固定在地面上放置24小時(shí)以測(cè)量日降雨量.杯子可以看作是容

積為500毫升、高為20厘米、上底面（開(kāi)口端）面積為30平方厘米的圓臺(tái)，已知放置一天后杯

內(nèi)水位線距離杯底的高度約為2厘米.日降雨量的定義是單日降水在地面上積累高度的毫米數(shù),

則該地區(qū)當(dāng)天日降雨量的估計(jì)值為(nun表示毫米)()

A.13.3mmB.16.8mmC.20.2mmD.23.6mm

二、多選題(本大題共4小題，共20?0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.已知Q,b表示兩條不同的直線，a,￡表示兩個(gè)不同的平面，那么下列判斷正確的是()

A.若ala,al/?,則a//0

B.若ala,a//bfbt則/?///?

C.若?！╞,b1a,則Q_La

D.若可/Q,bua,則。〃b

10.設(shè)正實(shí)數(shù)m、九滿足m+幾=2,則下列說(shuō)法正確的是()

A.工+2的最小值為學(xué)2B.號(hào)的最大值為:

mn222

C.I沆+Qi的最小值為2D.九2的最小值為2

11.實(shí)數(shù)QW0,函數(shù)/(%)=Ms譏％+2爐一1的零點(diǎn)恰為/(%)的極值點(diǎn)，則(a,Z?)構(gòu)成的曲

線()

A.包含離心率為殍的橢圓B.包含離心率為。的雙曲線

C.與直線y=%有四個(gè)交點(diǎn)D.與圓/+y2=1有六個(gè)交點(diǎn)

12.已知函數(shù)f(x)=e*-%,g(x)=x-Inx,則下列說(shuō)法正確的是()

A.g(e%)在(0,+8)上是增函數(shù)

B.Vx>1,不等式/(ax)Z/anx2)恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為應(yīng)

0

C.若/(%)=t有兩個(gè)零點(diǎn)%1，%2,則+%2>

D.若f(%i)=g(%2)=>2),且&>Xi>0,則的最大值為工

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.(|+；+C)5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.

14.已知函數(shù)/"(%)=ln(Vl+4x2-2x)+2.則/(句5)+/(1g1)=.

15.已知數(shù)列｛a"是等差數(shù)列，4(-1,0),8(2,1),過(guò)點(diǎn)4作直線2：an_xx+any+an+1=0的

垂線，垂足為點(diǎn)C,則BC的最大值為.

16.已知數(shù)列｛。九｝滿足a"1+磷+1=2(an+1an-an+1+Qn),對(duì)任意正實(shí)數(shù)3總存在的G

(3,4)和相鄰的兩項(xiàng)以，以+i，使得以+i+(2t+l)ak=0成立，貝以的取值范圍為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

己知等比數(shù)列｛an｝的公比q>1,滿足：$3=13,aj=3a6.

(1)求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)%=為奇，求數(shù)列｛%｝的前2n項(xiàng)和S2n.

+n,n為偶數(shù)

18.(本小題12.0分)

在AABC中，AB=2AC,4。是4的角平分線.且4。=

(1)求k的取值范圍；

(2)若S“BC=1，問(wèn)k為何值時(shí)，BC最短？

19.(本小題12.0分)

如圖，在四面體4BCC中，NB4C=乙BDC=AACD=34DBC=攝AB=AC.

(1)若8到平面4CD的距離為3,求三棱錐4-BCO的高；

(2)求AB與平面ACD所成角的大小.

,4

Z.............〉B

I)

20.(本小題12.0分)

統(tǒng)計(jì)與概率主要研究現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機(jī)現(xiàn)象，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的收集、整理、

分析、描述及對(duì)事件發(fā)生的可能性刻畫(huà)，來(lái)幫助人們作出合理的決策.

(1)現(xiàn)有池塘甲，已知池塘甲里有50條魚(yú)，其中4種魚(yú)7條，若從池塘甲中捉了2條魚(yú).用f表示

其中A種魚(yú)的條數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出f的分布列，并求f的數(shù)學(xué)期望Ef；

(2)另有池塘乙，為估計(jì)池塘乙中的魚(yú)數(shù)，某同學(xué)先從中捉了50條魚(yú)，做好記號(hào)后放回池塘,

再?gòu)闹凶搅?0條魚(yú)，發(fā)現(xiàn)有記號(hào)的有5條.

(i)請(qǐng)從分層抽樣的角度估計(jì)池塘乙電的魚(yú)數(shù).

(ii)統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一種重要而普遍的求估計(jì)量的方法一最大似然估計(jì)，其原理是使用概率模型尋

找能夠以較高概率產(chǎn)生觀察數(shù)據(jù)的系統(tǒng)發(fā)生樹(shù)，即在什么情況下最有可能發(fā)生已知的事件.請(qǐng)

從條件概率的角度，采用最大似然估計(jì)法估計(jì)池塘乙中的魚(yú)數(shù).

21.(本小題12.0分)

已知雙曲線C：最一，=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(2,0),漸近線方程為y=±，多.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)己知點(diǎn)P是雙曲線C的右支上異于頂點(diǎn)8的任意點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線x=且。Q〃PB,M為PB

的中點(diǎn)，求證：直線。M與直線QF的交點(diǎn)在某定曲線上.

22.(本小題12.0分)

設(shè)/(%)=exsinx.

(1)求f。)在[一區(qū)網(wǎng)上的極值；

(2)若對(duì)Vxi，x26[0,7r],X1^x2,都有%二詈)+a>0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由集合4={x\2x<1}={x\x<0],B={x\x-2<0}={x\x<2],

則(C04)UB={x\x>0}U{x\x<2}=/?.

故選:B.

先分別求兩個(gè)集合，再求集合的混合運(yùn)算.

本題主要考查了集合的補(bǔ)集及并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：設(shè)2=a+bi(a,b6Z),

則|z—1|=J(a-1)2+62,所以(a-I)2+b2<l.

因?yàn)?a—1產(chǎn)20,所以/si,即一IWbWL

當(dāng)b=±1時(shí)，a-1=0,即a=l,有兩組滿足條件{：或

當(dāng)b=0時(shí)，a一1=°或a一1=±1，所嘴：粼:粼：；，

但a=0,b=0時(shí)，z=0,不符合題意，

綜上：滿足要求的z的個(gè)數(shù)為4個(gè).

故選：C.

先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為滿足(a-iy+b2<1的整數(shù)解，從而利用分論討論求得滿足的(a,b)的個(gè)數(shù).

本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：根據(jù)一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差e的假定，殘差應(yīng)是均值為0,方差為M的隨機(jī)

變量的觀測(cè)值.

對(duì)于4選項(xiàng)，殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨著觀測(cè)時(shí)間變大而變大，故A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，故B正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，殘差與觀測(cè)時(shí)間有線性關(guān)系，故C錯(cuò)；

對(duì)于。選項(xiàng)，殘差與觀測(cè)時(shí)間有非線性關(guān)系，故。錯(cuò)；

故選:B.

根據(jù)一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定進(jìn)行判斷.

本題考查線性回歸方程的運(yùn)用，屬于中檔題.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了平面向量的基本定理，坐標(biāo)運(yùn)算和幾何應(yīng)用，屬于中檔題.

建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，列方程組解出；I,

【解答】

解：以4B,4。為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：

則4(0,0),C(l,l),嗚1),

所以府=

麗=(一;,1),AC=(1,1).

vX?—AAM+i^BN,

.?.，2,解得《t

W+”=l^=5

,,8

A+n=-,

故選D.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查了二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化筒求值中的應(yīng)用，考查了方

程思想，屬于中檔題.

由已知利用二倍角公式可得3cos2a4-2cosa—1=0,解方程結(jié)合范圍aE(一凡0),可求cosa=g,

進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解.

【解答】

解：因?yàn)?cos2a+4cosa+1=0,可得3(2cos2a—1)+4cosa+1=0,可得3cos2a+2cosa—

1=0,

解得cosa=上或一1，

又a6(一兀,0),

所以cosa=可得sina="V1—cos2a=—學(xué)工，

所以tcma=亞”=-2\T~2.

cosa

故選C.

6.【答案】D

【解析】解：當(dāng)71=1時(shí)，k+丁=1,???71=。1，.??Q1=2；

當(dāng)n32時(shí)，吃+^=1,可得％=熱,

.Tn=Tn

"T?_1"Tn-r

Tn_i=Tn-1,

???Tn—Tn_i=1,(n>2),又7\=%=2,

.??｛7；｝是以首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，

AT10=24-(10-1)X1=11,

故選：D.

當(dāng)九=1時(shí)，有△=%,當(dāng)nN2時(shí)，有烏=即，從而化歸轉(zhuǎn)化可得：｛%｝是以首項(xiàng)為2,公差為

1n-1

1的等差數(shù)列，從而可得解.

本題考查等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

7.【答案】A

222

【解析】解：因?yàn)椋?032=log3狀<log3遮=log33^=-=log^S3=logsV25<log5V27=

10/3,

所以Q<b,

因?yàn)?，n3切8<(嗎竺y=(1?<14)2<(/n5)2,所以黑<提，

所以logs3<logg5,所以b<c,

所以a<b<c.

故選：A.

對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較a、b,再根據(jù)基本不等式及換底公式比較"與c的大小關(guān)系，由此可得出

結(jié)論.

本題主要考查了三個(gè)數(shù)比較大小，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：設(shè)水杯下底面面積為S,

則由圓臺(tái)體積公式有U=gx20x(S+30+y/~30S)=500,

從而S+V3U^=45，①

即30s=(45-S)2=S2-120S+2025=0,

解得：Si=60-ISCx20或S2=60+15<7?100,

52?100不符合①式舍去，

因?yàn)榉e水深度只有2厘米，遠(yuǎn)低于水杯的高度，

水杯上下底面半徑的差距又非常小，

故積水體積可以近似為圓柱體的體積即20x2=40毫升，

這些水是水杯敞口(地表30平方厘米區(qū)域)一天內(nèi)接到水的量，

根據(jù)日降雨量的定義，

有當(dāng)天日降雨量估計(jì)值為舞X10"13.3(rmn).

故選:A.

設(shè)水杯下底面面積為S,利用圓臺(tái)體積公式計(jì)算出S,然后根據(jù)題意求出當(dāng)天日降雨量估計(jì)值即可.

本題主要考查圓臺(tái)的體積，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

9【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，

屬于基礎(chǔ)題.

由直線與平面垂直的性質(zhì)判斷4由線線平行及線面垂直的判定判斷B與C；由線面平行的定義及

空間兩直線的位置關(guān)系判斷D.

【解答】

解：若aJLa,a10,則由直線與平面垂直的性質(zhì)可得，a//p,故A正確；

若a_L氏a//b,則bl0,故b與0有交點(diǎn)，b〃/?錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤；

若b_La,則b垂直平面a內(nèi)的兩條相交直線?n與n,又a〃b,則a_LaIn,則a_La,故C正

確；

若a〃a,bua,則a〃b或a與b異面，故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.【答案】ABD

【解析】解：m,n>0,m+n=2,則'+；=g(6+")('+$=^(3+'+手)2g(3+

2I巴.當(dāng)=瞥2，當(dāng)且僅當(dāng)n=Cm=4-時(shí)成立.

\mn72

tn4-n=2>2，nrn,解得mn<1.

v

<I，(V=m+n+2y/~rrm<2+2,AVm4-y/~n<2.

2

加2+/N智_=2,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=l時(shí)取等號(hào).

綜上可得：AB。正確.

故選：ABD.

tn,n>0,77i+n=2,利用"乘1法”可得：\+；=2（爪+兀）（\+$=2?+'+，再利

用基本不等式的性質(zhì)可得其最小值.利用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)而判斷出BCD的正誤.

本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ACD

【解析】解：根據(jù)題意+2b12-l=0或一。2+2爐一1=0,

2

若為a?+2b-1=0,則點(diǎn)（a,b）在Oxy平面內(nèi)體現(xiàn)為/+2y2=i（x5t0）,即/+岑=1（%*0）,

2

則a=1,/,=浮，c=號(hào),表示離心率為殍的橢圓，

若為一小+2b2-1=0,則點(diǎn)(a,b)體現(xiàn)為2y2-%2=1(%0),

即1?--=I(XKO),則b=i,a=[，c=?，表示離心率為q的雙曲線，故A正確，B

錯(cuò)誤；

直線y=x的斜率為1,雙曲線2y2一/=1(%40)的漸近線為丫=±?工，斜率為±殍，

故直線y=x和雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，顯然它與橢圓/+2y2=i有兩個(gè)交點(diǎn)，故C正確；

而圓/+y2=1與橢圓交點(diǎn)為橢圓的左右頂點(diǎn)，

圓的半徑大于雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)度的一半，故圓和雙曲線有四個(gè)交點(diǎn)，故O正確.

故選:ACD.

依題意可得&2+2匕2-1=0或一02+2人2-1=0,從而得到曲線方程，再一一分析即可.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：令t=〃，x>0,顯然該函數(shù)為增函數(shù)，且t>l,而g'(x)=1-§>0在(1,+8)恒

成立，故g(t)=c-"t是(1,+8)上的增函數(shù)，

故g(e")在(0,+8)上是增函數(shù)，A正確；

對(duì)于尸(%)=e*-1>0(%>0)恒成立，故/"(%)在(0,+8)上是增函數(shù)，

由已知得Q%>0,Inx2>0,所以不等式/(ax)>f()恒成立，即@工>》/恒成立，即Q>

在(0,+8)上恒成立，

再令/i(x)=^九十%)=笆gN=0得％=e,易知％=e是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，故a3;即

為所求，故8正確；

對(duì)于C,f(x)=-1>0(x>0)恒成立，故f(%)在(0,+8)上是增函數(shù),且/(%)m沅=/(0)=1,

故t>1,

設(shè)與<0<%2，若%1+%2>0,即％2>—>0,即f(%i)=/(%2)>/(一％1)，

令F(x)=/(%)—/(—X),%<0,則F，(x)=ex+e~x—2>2Vex-e~x—2=0,故F(%)在(—8,0)

上是增函數(shù)，結(jié)合F(0)=0,

故X]<0時(shí),/(%!)<f(一％1)，故+x2>0不成立,。錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)?(%)在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，9(%)在(0,1)上遞減，在(1,+8)上

遞增,

則fQ)=g(x)有唯一解%o€(0,1)，而/⑴=e-1<2,所以%2>Xi>1,由=g(%2)，

X1X1

BPe-x1=x2-lnx29即有>(/)=f(ln%2)，所以％1="％2，BPe=x2?

所以券F=W=H又t>2,且(引聲=蛆、，

(rzr)m,n=p故。正確.

人2人1c

故選：ABD.

利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷4先分離參數(shù)構(gòu)造不等式，再研究函數(shù)的最值，求參數(shù)的范圍判斷B；

利用極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的解題思路，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)判斷CD.

本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題.

13.【答案】竽

1

【解析】解：6+：+，工廠的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：程區(qū))1-Ci(j)?(ST+C式今2,C2(l)2.

C+O

=20C+竽+4「

=噂

2

故答案為：亨.

利用二項(xiàng)式定理及組合數(shù)公式的應(yīng)用可求得答案.

本題考查二項(xiàng)式定理及組合數(shù)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.【答案】4

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=ln(J1+4x2-2x)+2,其定義域?yàn)镽,

/(—x)=ln(V1+4%2+2%)+2，

則f(X)+/(-%)=ln(V1+4%2—2%)+ln(V14-4x2+2%)+4=4,

則/(仞5)+/(lg|)=〃仞5)+f(—均5)=4；

故答案為：4.

根據(jù)題意，求出/(一%)的解析式，進(jìn)而可得/(%)+/(-%)=4,又由f(，g5)+/(lg》=/(加5)+

/(一句5),即可得答案.

本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分析f(x)+/?(-%)的值，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案］

【解析】解：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以直線，過(guò)定點(diǎn)。(1,-2).

點(diǎn)C在以力。為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，力。的中點(diǎn)為E(0,-1),

該圓的方程為+(y+1)2=2,

所以BC的最大值為|BE|+C=3yf2.

故答案為：3^r~i.

由等差數(shù)列性質(zhì)知直線，過(guò)定點(diǎn)。(1,-2),根據(jù)題意確定C在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，并寫(xiě)出圓的

方程，由點(diǎn)到圓心距離求BC的最大值.

本題主要考查數(shù)列與解析幾何的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

16.【答案】6+8)

【解析】解：由W+i+W+1=2(an+1an-an+i+an),

得a"1+?n=2an+1an-2an+1+2an-1,

即W+i+-2an+1an+2即+1-2an+1=0,

2

即Sn+i-?n)+2(an+1-an)+1=0,

即(％i+i-%i+l)2=0，

所以冊(cè)+1一+1=0，

BPan+1-an=-1,

所以｛an｝是首項(xiàng)為由,公差為-1的等差數(shù)列，

所以Q九=%+(H—1)X(—1)=%—?1+1.

由%+i+(2t+1)耿=0,得a1c-1+(2t+1)0上=0,

所以以=白p即的+(/c-1),(-1)=%-々+1=五9，

MC-I4LIL

又因?yàn)槲?G(0弓)，

所以6(3〃)使得(0、)包含于%-k+1的取值范圍.

當(dāng)k=1時(shí)，a1—k+1€(3,A),不滿足題意；

當(dāng)k=2時(shí)，k+lE(2,A—1),不滿足題意；

當(dāng)k=3時(shí)，k+lW(1,2—2),不滿足題意；

當(dāng)k=4時(shí)，-fc+16(0M-3),

所以a—3>即a>

當(dāng)心5時(shí)，a的取值均大于夕

所以42即4€g+8).

故答案為：E,+8).

化簡(jiǎn)遞推關(guān)系，證明數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求與，化簡(jiǎn)方程縱+i+(2t+

l)afe=0可得k-1<?1<k-|,列不等式求；I的取值范圍.

本恩替主要考查數(shù)列的遞推式，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由題意，可知S3=%+g+%=%(i+q+q?)=13,①

??,al=3a6，

???(aiQ3)2=3&q5,

整理，得由q=3,②

①可治於+q+l_13

②,可行一可

整理得3q2-10q+3=0,

解得q=3,或q=3,

nn

:.an=1-3t=3t,nEN

(2)由題意及(1),可知：

n-1

當(dāng)九為奇數(shù)時(shí)，bn=an=3,

n2

當(dāng)九為偶數(shù)時(shí)，bn=bn_14-n=an_1+n=3~+n,

口(3九t,九為奇數(shù)

13九T+n,n為偶數(shù)

：?S2n=瓦+⑦+以+b4d------Fb2n-l+b2n

=(瓦+(+。5+…+=?iT)+⑸+兒+…+b2n)

=(3°+32+34+…+32n-2)+(30+32+34+???+32n-2+2+4+6+…+2九)

=2(3°+32+34+…+32n-2)+(2+4+6+…+2九)

1—32n

=2X-9+n(n+1)

9n-i/

=^j—+n(n+1).

【解析】(1)根據(jù)題干已知條件及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可列出關(guān)于公比q的方程，解出

公比q的值，進(jìn)一步計(jì)算出首項(xiàng)的的值，即可計(jì)算出等比數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)先根據(jù)第(1)題的結(jié)果分n為奇數(shù)與偶數(shù)計(jì)算出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用分組求和法，等差

數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，即可計(jì)算出數(shù)列｛琥｝的前2n項(xiàng)和S2rt.

本題主要考查等比數(shù)列求通項(xiàng)公式，以及分組求和法求前律項(xiàng)和問(wèn)題.考查了方程思想，轉(zhuǎn)化與化

歸思想，整體思想，分組求和法，等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)

算能力，屬中檔題.

18.【答案】解：⑴設(shè)4c=1,則4B=2,由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可得,BD=：BC,CD=^BC.

由余弦定理可得BO?=^BC2=AB2+AD2-2AB-AD-cos?=4+k2-4kcos今

CD2=AC2+AD2-2AC-AD-cos^=^BC2=1+/c2-2kcos^,???cos4=九.

29224

由于0<AVg???0VCOS^<1,即0<累<1,

2224

.-.0<k<l，故求k的取值范圍是(0,g).

(2)若S-8C=1=Tb?2b?sinA,sinA=-^<1,b2=—>1.

???求BC最短時(shí)k的值，.?.只考慮4為銳角或直角時(shí)即可，...cosA=71-Sin2/i=

△4BC中，令t=b2,由余弦定理可得SC?=〃+(2b)2-4爐.cosA=5t-4A「笆=I，

可得f(t)=Be?=5t-4"=1，令人，)=5-7缶=0,求得t=|，

當(dāng)t>冢，［(t)>0,此時(shí)函數(shù)/(t)單調(diào)遞增；當(dāng)0<t<割寸，f(t)<0,此時(shí)函數(shù)f(t)單調(diào)遞

減.

???當(dāng)t=|時(shí)，函數(shù)/⑷取得最小值，即/?(1)=BC?=5x|—(|)2一1=3.

此時(shí)cosA=g=2cos2Z.ABD—1,解得COSNABO=。.

此時(shí)，k=^os乙480=空，BC的最小值等于q.

【解析】(1)由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可得，BD=|BC,CD=|BC；在△48。和△AC。中，分

別利用余弦定理可得cosj=累；由于0<4<白，故0<cosj<l,由此解得k的取值范圍.

(2)若S-BC=1可得sinA=3.求BC最短時(shí)％的值，只考慮A為銳角或直角時(shí)即可.可得cos4=

、1-sin2/l=五舁?,在△ABC中,由余弦定理可得：BC2=4a2+a2-4a2-cosA=5a2-

4<^1，令a?=t>0,/(t)=5t-4叱二I，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出.

本題考查了三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理、余弦定理、三角形的面積計(jì)算公式、同角三角函數(shù)基

本關(guān)系式，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難

題.

19.【答案】解：(1)：4BAC=乙BDC=UCD=3乙DBC=^,AB=

AC,

乙DBC=76.

由幾何關(guān)系得BO=CCO,BC=2CD,AC=^-BC=yflCD.

AC=\/~2CD=Cx擊BD=學(xué)8。，

記三棱錐4-BCD的高為/t,B到平面4co的距離為3,

則，B-4CD=^A-BCD,

即裝“。X3=-SABCDxh)

即3x24C-C。=^BD-CD-h,

即3xAC=BD-/i,

即3x?8D=BD?h，

得九=V-6.

(2)如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，而為x軸正方向，而為y軸正方向，垂直于而，血向上的方向?yàn)閦軸正

方向，

建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,

設(shè)CO=1,則。(1,0,0),S(l,<3,0)C(0,0,0),

因?yàn)镃D_LAC,故4在平面Cyz內(nèi)，設(shè)4(0,y,z),

因?yàn)?4cl=\AB\=y/~2,

V+Z2=2,二:常+/一解得y~~3~BH“n2<3%

則_<6，卬A(0，k，T)

1+(y—V-3)2+z2=2

Z~~

則加=(1,0,0)，方=(0,空爭(zhēng)，南=(1,?,一不，

設(shè)平面ACD的法向量元=(x,y,z),

則｛亨y+苧z=o,即50+°Cz=0,得'=°，令z=C，則y=-i，

即元=(0,—1,/1)，I下|=q，

記4B與平面4CD所成的角為仇

則sin。=|cos<n,>i”'明_I_匚，

1同|4B|OxC2

因?yàn)椤?lt;。<看故。=也

所以4B與平面4CD所成的角為

【解析】(1)利用體積法建立方程進(jìn)行求解即可.

(2)建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可.

本題主要考查三棱錐體積的計(jì)算，以及線面角的計(jì)算，利用體積法以及建立坐標(biāo)系，求出法向量,

利用向量法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意可知f的可能取值為0,1,2,

P(f=0)=普穩(wěn),P"l)=警手，「(1)=尋=希,

故f的分布列為：

012

129433

P

175175175

129,.43,-37

E(f)=°nX175+1X175+2X175=

25

(2)(i)設(shè)池塘乙中魚(yú)數(shù)為則算=裔，解得爪=200,故池塘乙中的魚(yú)數(shù)為200.

3)設(shè)池塘乙中魚(yú)數(shù)為n,令事件B="再捉20條魚(yú)，5條有記號(hào)”，事件C="池塘乙中魚(yú)數(shù)為n”，

則匕=「(8|。)=斑第1,由最大似然估計(jì)法，即求4最大時(shí)71的值，其中nN65,

0n

.Pn+1=(n-49)5—19)

??Pn~5-64)5+1)'

當(dāng)ri=65,....198時(shí)，架〉1,

當(dāng)M=199時(shí)鏟=1,

當(dāng)n=200,201,...時(shí)爭(zhēng)1<1,

所以池塘乙中的魚(yú)數(shù)為199或200.

【解析】(1)根據(jù)超幾何概率公式即可求解概率，進(jìn)而得分布列和期望；

(2)根據(jù)抽樣比即可求解總數(shù)，根據(jù)最大似然思想結(jié)合概率的單調(diào)性即可求解最大值.

本題考查離散型隨機(jī)變量的概率分布列及期望，是中檔題.

21.【答案】(1)解：由于雙曲線右焦點(diǎn)為F(2,0),漸近線為y=±Cx，

所以+爐=4,'=y/~3,

解得。2=1,b2=3,

所以雙曲線C的方程為：x2-^-=l.

(2)證明：設(shè)P(Xi，yi),直線。M與直線QF的交點(diǎn)為(Xo，yo),

設(shè)直線BP為y=/c(x-1),

由題可知：0(0,0),B(l,0),F(2,0),

'y=k(x—1)

聯(lián)立2y2,化簡(jiǎn)得(3-I)/+21%一攵2一3=(J,

(%-y=1

所以X/B=點(diǎn)，由4=1可得與=點(diǎn)，

那么為=kg-1)=-1)=

2

所以P(言，孝,

由于M是BP中點(diǎn)，所以M(言,言)，

因?yàn)镺Q〃PB,所以舄=上且和=機(jī)解得Q(另k),

因?yàn)橹本€0M與直線