【玩轉(zhuǎn)壓軸題】必考8：全等三角形綜合（解析版）

一、單選題

1.如圖，“U3C中，AB=BC,ZABC=\20°,AC=3,。。是的外接圓，點。

是優(yōu)弧上任意一點（不包括點A,C）,記四邊形A8CZ）的周長為V,8。的長為x,

則）'關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是（）

A.y=@x+2百B.丫=瓜+26C.》=后+2&D.y=?x?+2仆

44

【答案】B

【分析】

作輔助線，構(gòu)建全等三角形和等邊三角形，證明RSAGB絲RSCFB得：AG=CF,根

據(jù)30。角的性質(zhì)表示DF和DG的長，計算四邊形ABCD的周長，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：連接OB交AC于E,連接OC、OA,

過B作BG_LAD,BF1CD,交DA的延長線于G,交CD于F,

?*-AB=BC，

；./BDA=/BDC,

，BG=BF,

在RtAAGB和RtACFB中，

VBG=BF,AB=BC,

.,.RtAAGBRtACFB(HL),

；.AG=FC,

-AB=BC，

AOB±AC,EC=!AC=!x3=j

222

在^AOB和^COB中，

AO=OC

OB=OB,

AB=BC

.?.△AOB注△COB(SSS).

/ABO=/OBC=；/ABC=gx120。=60。.

VOB=OC,

??.△OBC是等邊三角形.

ZBOC=60°.

.?./BDC=NADB=30。.

Rt^BDF中，BD=x,

:.DF=8X.

2

同理得：DG=—x.

2

.?.AD+DC=AD+DF+FC=DG+DF=^X+3X=GX,

22

RSBEC中，ZBCA=30°,

.?.BE=BBC=5

2

.,.AB=BC=5

.?.AB+BC+AD+DC=&+75+6X=GX+26

y=>/3x+2>/3.

故選：B.

【點睛】

本題考查了三角形的外接圓、垂徑定理、圓周角定理等知識，熟練掌握圓周角定理和垂

徑定理是關(guān)鍵，利用直角三角形30。角的性質(zhì)解決問題.

2.如圖，在AABC中，Z4CB=90°,以AABC的各邊為邊分別作正方形ACDE,正方

形BCFG與正方形ABMN,AN與尸G相交于點"，連結(jié)N尸并延長交AE于點P,且

NF=2尸產(chǎn).記AABC的面積為A,AFNH的面積為邑，若S?=21,則BC的長為()

試卷第2頁，共46頁

N

A.6B.66C.8D.9

【答案】D

【分析】

過點N作NQ1EA,交EA的延長線于點Q,設(shè)正方形ACDE的邊長為a,正方形BCFG

的邊長為b,利用AAS證出ANAQ名Z\BAC,用a和b表示出各線段長，然后根據(jù)平

行線分線段成比例定理求出a和b的關(guān)系，然后根據(jù)面積關(guān)系列出方程即可求出b的值.

【詳解】

解：過點N作NQLEA,交EA的延長線于點Q,設(shè)正方形ACDE的邊長為a,正方形

BCFG的邊長為b

；.NQ〃FA,ZNAQ+ZANQ=90°,AF=CF-AC=b-a

二/FAN=/ANQ,QR=AF=b-a,FR=AQ,S,=^ab

'：ZACB=90°

/.ZBAC+ZFAN=90°

/?ZNAQ=ZBAC

VZQ=ZACB=90°,NA=BA

/.△NAQ^ABAC

；.AQ=AC=a,NQ=BC=b

；.FR=AQ=a,NR=NQ-QR=b-(b-a)=a

...△NRF為等腰直角三角形

ZNFR=45°

VFRZ/PQ

NRNF

而=而=2,/FPA=/NFR=45。

.4=2,△FAP為等腰直角三角形

b-a

21

.a=—b9AP=AF=b—a=-^

33

.SA?M=：AP-NQ=S］二ab=；b2

2o23

*FR〃PQ,NF=2FP

NF2

.△FNH^APNA,—=-

NP3

s2=/VFV_4

s~NP)~9

APAM

?S24sApm=#

?S(-S2=21

即，/—2^2=21

327

解得：b=9或-9（不符合實際，舍去）

即BC=9

故選D.

【點睛】

此題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)，掌

握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.如圖，在AA5C中，NAC5=90。，CD.CE分別是高和角平分線，已知△5EC的

面積是15,ACDE的面積為3,則4ABC的面積為（）

A.22.5或20B.22.5C.24或20D.20

【答案】A

【分析】

首先過點E作EM,8c于"，ENLAC于N,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得EM=EN,

Sx+3

然后設(shè)&ACD=X，根據(jù)三角形的面積求解方法，可得產(chǎn)==,又由△ACD^^CBD,

可得沁=（害））即可得方程：3=（誓心解此方程即可求得答案.

?&BCDio15

試卷第4頁，共46頁

【詳解】

解：過點E作EM_L8c于M,ENLAC于N,

是4ABe的角平分線，

：.EM=EN,

設(shè)SAACD=X,

--SMCE=^AC>EN=^AE.CD,S甌E=；BC?EM=LBE*CD

2

?S^CE_AC_AE_x+3

?,二一正R-廿

,/ZADC=ZCDB=90°f

：.ZA+ZACD=90°fNACD+NBCD=90°,

ZA=ZBCD,

：.AACD^ACBD,

?S.CD_A。2_(X+3y

,,一―武-IT，

?.S,3CD_X

?亞一立

?2=(5)2

"1815)，

解得：x=2或4.5,

/.SAABC=2+18=20或8ABC=18+4.5=22.5.

故選：A.

【點睛】

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及三角形

面積的求解方法.此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想

的應(yīng)用，注意輔助線的作法.

4.如圖，AA5C中，AB=AC,。為5c中點，在BA的延長線上取一點E,使得ED=EC,

ED與AC交于點尸，則箸的值為（）

E

BD

【答案】B

【分析】

過點。作。G〃4C,交仍于點G,連接AZ),則G為48的中點，ZEAC=ZDGE,得

出。G是AA8C的中位線，由三角形中位線定理得出AC=2OG,由等腰三角形和三角形

的外角性質(zhì)證出NACE=NE￡?G,由44S證明AACE絲△GEO,得出4E=OG,由等腰三

角形得性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出QG=gAB=AG=BG,得出AE=AG,三

角形中位線定理，得DG=2AF,因止匕AC=4AF,即可得出黑.

CF

【詳解】

過點。作。G〃4C,交所于點G,連接AO,

?；BD=DC,

：.BG=AG,

???OG是AABC的中位線，

：.AC=2DGf

*：DG〃AC,

:?NEAC=NDGE,

?：ED=EC,

：./EDC=/ECD,

9

\AB=ACf

：.ZABC=ZACB,

?:/EDC=/ABC+/DEG,ZECD=ZACB+ZECAf：.ZDEG=ZECAf

：./XACEqAGED,

:.AE=DG9

?；AB二AC,BD=CD,

：.ZADB=90°f

：.DG=^AB=AG=BG,

：.AE=AG,

試卷第6頁，共46頁

■:DG〃AF,

???AF是△EOG的中位線,

：.DG=2AF,

：.AC=4AFf

：.CF=3AFf

.AF1

?------——

aCF3

故選8.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形的全

等，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，添加平行線，構(gòu)造三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.

5.幾千年來，在勾股定理的多種證明方法中，等面積法是典型的一種證法，清代數(shù)學

家李銳運用這一方法借助三個正方形也證明了勾股定理.如圖，四邊形488,四邊形

DEFG,四邊形CG"/均為正方形，EF交BG于息L,DG交出于息K,點

B,L,C,G在同條直線上，若%?！?9,與湫=4,記四邊形OELC的面積為5，

四邊形CGKI的面積為邑，則［的值為（）

%

【答案】B

【分析】

由△AOEs/V/GK,T^AD=3X,則CG=2X,證明AAOE絲ACDG,由圖建立關(guān)于x的

方程解得X,作KN1CG,證明之△ELB，得出乙3=/K,此時只需

s

算出四邊形區(qū)CM、KNC7的面積即可計算寸的值.

【詳解】

解：?/ZADE+ZEDC=90°=ZEDC+ZIDK,

??.ZADE=NIDK,

又「DC//HG,

:.ZIDK=/HGK=ZADE,

又???/￡4￡>=NKWG=90。，

:2DEs4HGK,

..S^ADE「9

S&HGK4

AD3

/.——=-,

HG2

設(shè)4O=3x,則CG=2x,

由已知：AD=CD,DG=DE,ADAE=ZDCG=90°,

??.AADE^/\CDG(HL),

/.AE=CG=2x,

又...

ADx

2x=—,

x

解得工=百，檢驗是方程的解，

AD=3y/3,HG=2也,

作RWLDC,KNLCG,四邊形ARM。、KNGH、ICNK、EBCM是矩形,

?'?S/\ADE=S&DME=9,S&HGK=S/XKNG=4,

?；HK=2SAHGK=巫，

HG3

.\1K=HI-HK=-,

3

?5=2^x2萬-4

,**3***ICNK_3一"

***$2=S]CNK+S/XKNG=4+4=8,

???4E8+NA￡D=90。，

??.ZLEB=ZADE=ZJDK，

又?；DI=DC-CI=EB=AB-AE=x=6/EBL=NDIK=90。,

:.4DIK%AEBL,

試卷第8頁，共46頁

:.IK=BL=-^,

3

:.LC=BC-BL=^-,

3

(LC+EM)xMC?

SELCM---------------------=8?

2

E-SELCM+S&DEM=8+9=17,

S28

故選B.

D

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形相似、全等的判定與性質(zhì)；能利用正方形的性質(zhì)證明

三角形全等、相似，能利用參數(shù)構(gòu)建方程是解決本題的關(guān)鍵.

6.如圖，兩個大小相同的正方形A8CO,EFGH如圖放置，點E,8分別在邊AO,FG

上，若要求出陰影部分的周長，只要知道下列哪條線段的長度即可（）.

.AEC.DED.DE-AE

【答案】C

【分析】

過8作8ML垂足為M連接BE,BK,KP,分別證明4ABEmAFEB,△BAE忠ABNE,

△BNK^/\BCK,△KHP^/\PCK,再將△KHQ的周長進行轉(zhuǎn)化，得到

ED=KC+KH=C^KQH,可得結(jié)果.

【詳解】

解：過8作BNLE”，垂足為M連接BE,BK,KP,

?.?兩個大小相同的正方形，

：.AB=EF,XVZA=ZF,BE=EB,

：.RmABE郃mFEB(HL),

；.NAEB=NFBE=NNEB,AE=BF,

同理可得：Rt&BAE^RtABNE,Rt4BNK^RtLBCK,

：.NEBK=45°,

：.AE+KC=EK,

'：AE=BF,

:.DE=BG,

VZ/7=ZC=90°,NPQC=NKQH,

NBPG=NCPQ=NQKH=NEKD,

：.4BGP@叢EDK,

:.PG=KD，

：.PH=KC,

同理可證：2KHPZAPCK,

：./\KQH的周長為KC+KH,

又：AE+ED=EK+KH,AE+KC=EK,

：.AE+ED=AE+KC+KH,

：.ED=KC+KH=^KQH的周長，

二要求出陰影部分的周長，只要知道線段EQ的長度，

故選C.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等量代換，解題的關(guān)鍵是利用全

等的性質(zhì)得到線段的等量關(guān)系.

試卷第10頁，共46頁

7.如圖，在K。48C中，NA4c=90',以其三邊為邊分別向外作正方形，延長EC,

08分別交GRAH于點N,K,連結(jié)KN交AG于點M,若&-$2=2,AC=4,則A8

的長為（）

7

A.2B.夜C.2&D.-

【答案】A

【分析】

先證AABC也△/（“,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得A8=FM再證ABCKS/VICB,根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得KC=1BC2；設(shè)五邊形ACFNM的面積為S,可得SI+52=S”

4

2

^ACFG=AC=\61S?+S=S曾州CFNK===2（CK+NF）,設(shè)BC=yf可得方程組

x2+16=y2

‘l6-2(-J-y24-xU2,解方程組即可求解.

【詳解】

?.?/4C8+NCAN=90。，ZFCN+ZCAN=90°f

：./ACB=/FCN,

在FCN中,

ABAC=ZNFC=90°

<AC=CF

ZBCA=ZNCF

???△ABC絲△FCN,

：.AB=FN；

?：NBAC=/KBC=90°,

:?△BCKs^ACB,

.ACBC

9*~BC~~KC9

1、

：.KC=-BC\

4

設(shè)五邊形ACFNM的面積為S,

VSI-S2=2,

???(S|+S)-(S2+S)=2,

設(shè)AB=X9BC=y,

由勾股定理可得，x2+16=y2,

,?*Si+S2=S正方形ACFG=AG=16,S汁S=S梯形CFNK=

；(CK+M)?CF=；(CK+N/9x4=2(CK+N尸)，SI-S2=2,

???(Si+5)-(S2+S)=16-2(?+斷)=16-2(；/+工)=2,

x2+16=y2

一]6-2((y2+x)=2，

x=2x=2jx=-6x=—6

解得，b=2>/5,fy=-2行'=]"-2舊，

?.”、y都為正數(shù)，

.卜=2

?1=25

BPAB=2,BC=2出.

故選A.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與

性質(zhì)，熟練運用相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵.

8.E,廠分別是正方形45。邊A8,8c上的點，BE=BF=2.HDE,。尸為邊作YDEGF,

連結(jié)GE并延長交4。于點“，連結(jié)"尸.若HFLED,則AE的長為()

試卷第12頁，共46頁

A.1B.72C.2g-2D.25/2-2

【答案】B

【分析】

先證明△4E004C。，得四i2形。EGF是菱形，再證明△GFH是等腰直角三角形，

作出輔助線CQ=AE得/尸。。=45,再證明△￡?尸絲△QDF,得至ljEF=FQ=2AE,利用勾

股定理即可求解.

【詳解】

解：如圖，延長BC至Q,使得CQ=AE,連接EF,

?.?四邊形ABC。是正方形,

/.ZA=ZB=ZADC=ZBCD=90°,AB=CD=BC=AD,AD//BC,

;BE=BF,

：.AB-BE=BC-BF,即AE=CF,

在△人￡7)和4CFD中，

AD=CD

■ZA=NBCD,

AE=CF

：.AAED^ACTO(SAS),

：.DE=DF,Z1=Z4,

??,四邊形DEGF是平行四邊形，

???四邊形DEGF是菱形，

：.DE//GF,DF=FG,

u：HF-LED,

：.ZHFG=90°,

??.Zl+Z2=90°,Z4+ZADF=90°,

：.ZHDF=Z2f

:,HF=DF,

:?HF=GF,

???△GF”是等腰直角三角形，

：.ZG=ZEDF=45°,Z1=Z4=22.5°,

在△人團與^CO。中，

AD=DC

<ZA=ZDCQf

AE=CQ

：./^AED^ACDQ(SAS),

：.DE=DQ,Z1=Z3=22.5°,

???NFDQ=45。,

在^EDF與A。。尸中，

DF=DF

<ZEDF=4FDQ,

DE=DQ

：./\EDF^^QDF(SAS),

：.EF=FQ=2AE1

?;BE=BF=2,

/.EF=V22+22=2>/2，

???心0,

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定

理，作出輔助線。。二AE、連接石尸是本題的關(guān)鍵.

9.如圖，等腰用△A5C中，NB4c=90。，點。是“IBC外一點，分別以BO,8為斜

試卷第14頁，共46頁

邊作兩個等腰直角ABDE和ACOF,并使點尸落在8c上，點E落在AABC的內(nèi)部，連

結(jié)EF.若tanNFQB.,則zMBE與AOEF的面積之比為（）

B

7

ALD.3

43仁I

【答案】B

【分析】

如圖，取8。中點。，以。為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，連接OE,OF,作直線EF分

別交AB、CZ）與“、N.證明四邊形AMNC為矩形，4BEM9叢EDN,得至U

c6

ME=DN,設(shè)。尸=2x,得到BF=5x,進而求出剛/二2——x,DN=A/2X?

2

ME=FN=DN=y/ix，EN=BM=些~1,EF=EN-FN=^~x,從而求出

22

37

S△四=5/，%小二萬/，問題得解,

【詳解】

解：如圖，取8D中點。，以。為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，連接OE,OF,作直線E尸

分別交AB、8與M、N.

：ABE應(yīng)和ACDF都是等腰直角三角形，

；.NBED=NBFD=9。。,BE=DE,NDCF=NCDF=NDBE=NBDE=45°,

?.?O為BO中點，

/.OB=OD=OE=OF=yBD,

.?.點E、F都在圓。上，

/.ZEFB=ZEDB=45°f

???△A5C為等腰三角形，ZBAC=90°,

???ZACB=45°f

1?NACB=/EFB,NACO=NAC8+N8CQ=9()。,

：.MN//AC,

：./BME=/DNE=900=NAME=90°,

???NMBE+NMEB=90。,四邊形AMNC為矩形,

VZBED=90°,

???/DEN+NMEB=9U。,

:./MBE=/DEN,

?:BE=DE,

，叢BEM迫叢EDN,

:?BM=EN,ME=DN,

設(shè)DF=2x,

?.?RS8。/中，tanZFDB=-

2f

：.BF=5xf

：,在RSBMF中，BM=BF.cosNFBM=5X業(yè)=述不，

22

在RSDFN中，DN=DF.cosNFDN=2x^~=6x,

2

c/n"

:?ME=FN=DN=叵x，EN=BM='x，

2

3B

JEF=EN-FN='x,

2

?c_1crnv_13夜/一32

??5ADEF=~EF*DN=~x~^XXyJ^x=~xf

???△CDF是等腰直角三角形，ZF/VD=90°,

?*-DN=CN=岳，

???四邊形AMNC為矩形，

,AM=CN=Ox，

，AB=AM+BM=^^x,

2

J54次=gA&ME=；x孚xx缶=尹，

73

zMB￡與&DEF的面積之比::AV=7:3.

22

故選：B

試卷第16頁，共46頁

【點睛】

本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，全等三角形等知識，綜合

性較強，根據(jù)題意添加輔助線，證明點E、尸都在圓。上，ABEM絲是解題關(guān)

鍵.

10.在菱形ABCD中,E,F分別為BC,CD上的點，且CE=CF,連接AE,EF,

AF.有以下結(jié)論:

①AABE^AADF；

CF1

②若AE_LBC,瓦一百，則NB=60。

③若連接BF和AC,則S&B￡F-SAECA;

④若BE：EC=a：1,則興正=2a+l

其中正確的結(jié)論為（）

A.①③B.??③C.①②④D.①②③④

【答案】C

【分析】

①根據(jù)菱形的性質(zhì)得48=AO=8C=CD,ZB=ND,再證明8E=O凡由全等三角形

的判定定理得解;

②由條件可求出NACE=60。，則/B=60。，可判斷結(jié)論正確;

③根據(jù)5ABF:F=SABCF-SACEF，SAACF=5ABCF可判斷結(jié)論;

CECP

④連接4C、8￡>,兩線相交于點0,4C與￡F相交于點尸，由△CEFs^CBD,得古=會

Co（JC

AP

可證得/=2a+1，則可判斷④正確?

【詳解】

解：①???四邊形A3CQ是菱形,

AZB=ZD,AB=BC=CD=DA,

*：CE=CF,

：.BC-EC=DC-FC,

:.BE=DF,

在AABE和△AD尸中,

AB=AD

/ABE=ZADF,

BE=DF

：./\ABE^/\ADF(SAS)；

故①正確;

②如圖1,

圖1

VAE15C,

???ZAEC=90°,

CFI

??r=KCF=CE,

AEV3

Ap

：.tanZACE=——=V3,

CE

???ZAC￡=60°,

???ZBCD=2ZACE=nO°f

：.N8=60。,

故②正確;

③如圖2,連接3尸和AC,

試卷第18頁，共46頁

上

圖2

,?*5ABEF=S&BCF-SACEF,SAACF=S^BCF，

SABEF=SAACF-SACEF,

,：S&ACF=S?ACEf

故③不正確；

④如圖3,連接AC、BD,AC與8。相交于點O,AC與E尸相交于點P,

圖3

:EC=FC,CB=CD,

.CECF

*CB-CD*

：/ECF=/BCD,

??△CEFs/\CBD,

.CE二CP=1

.OPa

*OC-a+T'

S&ECFCP

?S^AEF=2。+1

°A￡CF

故④正確.

綜上所述：①②④正確，③錯誤；

故選：C.

【點睛】

本題是菱形的綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角

形的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識.解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱

形的性質(zhì).

二、填空題

11.如圖，已知AA3C是邊長為3的等邊三角形，點。是邊8C上的一點，且

以AO為邊作等邊△AOE,過點E作E尸〃8C,交4c于點尸，連接8R則下列結(jié)論

①②四邊形BDEF是平行四邊形;③SAAEF=—;@SKWBDEF=—;

22

【分析】

連接EC,作CHLEF于H.首先證明4BAD^^CAE(5A5),根據(jù)SAS可證明

△ABD^^BCF,再證明△EFC是等邊三角形即可解決問題.

【詳解】

：.AB=AC,AD=AE,/8AC=N￡?AE=NABC=NACB=60。,

:.NBAD=NCAE,

：./\BAD^/^CAE(SAS),

:.BD=EC=1,NACE=N48/)=60°,

"JEF//BC,

：.ZEFC^ZACB=60°,

...△EFC是等邊三角形，CH=B,

2

試卷第20頁，共46頁

\EF=EC=BD,

'：EF//BD,

四邊形3DEF是平行四邊形，故②正確，

"：BD=CF=\,BA=BC,NABD=NBCF,

(SAS),故①正確，

VSAABD=U'i迫=在，

224

.,?SAAEF=-S^AEC=-?SAABD=--空=同,

33342

故③正確，

平行四邊形BDEF=BD?CH=B,

2

故④正確，

①②③④都正確，

故答案為：①②③④.

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知

識，熟悉相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在直角坐標系中，點A在反比例函數(shù)y=±(*>0,x>0)的圖象上，線段

X

繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段45,過點5向下作x軸的垂線，交該反比例

函數(shù)圖象于點C,連接4C,若AA8C的面積為1,則A的值為.

12

【答案】y.

【分析】

如圖，過點A作AOLx軸于點。，過點B作于點E,利用三角形的全等，反

比例函數(shù)的意義，k的幾何意義計算

【詳解】

如圖，過點4作軸于點。，過點8作BEJ_AO于點E,

???線段OA繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段AB

：.ZOAB=ZOAD=ZE=90°,OA=ABf

：.ZOAD+ZBAE=ZAOD+ZOAD=90°,

???ZAOD=ZBAEf

???△AODdBAE(M5),

OD=AEfAD=BE,

,??5C_Lx軸,AD_Lx軸，

：.BC//AD,

：.ZABC=NBAE,

：.ZABC=NA。。，

.\tanZAOD=tanZABC=-,

3

.AD1

?.--=—,

OD3

設(shè)AO=〃(a>0),則0￡>=3mBE=a,AE=3a,

：.DE=AD+AE=4af

AA(3a,a),B(2a,4a),

???點A在反比例函數(shù)y="(k>0,x>0)的圖象上,

x

?\k=3a9a=3a2,

；點C在反比例函數(shù)a>0,x>0)的圖象上,

X

3

AC(2〃，-a),

2

:△ABC的面積為1,

/.；BC，BE=1,即3xg〃xa=l,

試卷第22頁，共46頁

12

故答案為：~.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，三角形的全等，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)，反比例函數(shù)圖

像與點的關(guān)系，熟練運用反比例函數(shù)的性質(zhì)和Z的意義，利用三角形的面積，三角函數(shù)

的意義是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，“ABC中，ZACB=90°,AC=BC,點。在45的延長線上，且3。=回，

連接。。并延長，作AE1CO于E,若AE=Ji6,則△BQ）的面積為.

【答案】f25

4

【分析】

過點B作BFVCD于F,由“44歹可證△8FC絲△CE4,可得CF=AE^M,BF=CE,

由平行線分線段成比例可求上尸=DF，由三角形中位線定理可求3尸=。七=典，由三

2

角形面積公式可求解.

【詳解】

:?/BFC=NAEC=90。,

:?/BCF+NFBC=90°,

?/ZACB=90°,

AZBCF+ZACE=90°,

JNACE=/FBC,

在^BFC與ACEA中，

NBFC=NCEA=90°

<NFBC=NECA,

BC=AC

:?△BFgXCEA(AAS),

：.CF=AE=4iotBF=CE,

VBF±CD,AE.LCD,

：.BF//AEt

.ABEF,

??------=-------=1,

BDDF

:,EF=DF,

又；AB=BD,

：.BF=^-AE=^-,

22

:.CE=BF=M,

2

；.EF=4lQ+—=^^-=DF,

22

...△8(?。的面積=；*€7"8尸=；*(yio+^/12)X巫=”.

22224

25

故答案為：v-

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，

三角形中位線定理，添加恰當?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

AP

14.如圖，矩形ABCZ)中，43=6,點尸為對角線AC上一點，—=3,過點尸作直線

E廠分別交邊40,8c于點入點E.現(xiàn)過點尸作交矩形ABC。一邊于點Q,

若BQ=2,且點。恰好落在HP的角平分線上，則8c的長為一?

【答案】2".

【分析】

連接尸Q，F(xiàn)Q與AP相交于點。，由角平分線的性質(zhì)定理，得至IJ04=Q尸=4,然后利

用相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，求出

試卷第24頁，共46頁

AC=^/^R，AO=、J36+/,解方程即可求出答案.

O

【詳解】

解：連接尸Q，F(xiàn)Q與AP相交于點0，如圖

??,點。恰好落在ZAFP的角平分線上,

ZAFQ=NPFQ,

?：PQLEF,

：.ZQAF=ZQPF=90°,

：.QA=QP,

VAB=6,BQ=2,

：.QA=QP=4,

：.\AQF絲\PQF,

ZAQO=NPQO,

'：QA=QP,QO=QO,

：.\AQ0絲\PQO,

AAOQ=ZPOQ=90°,AO=PO,

設(shè)8C=x,則

AC=正+￡=J36+J,

..AP_.

CP

.AP3

??----=—,

AC4

??.AP=-AC=-y/36+x2,

44

Q______

AO=PO=-yj36+x2,

8

,/ZAOQ=ZABC=90°,ZOAQ=ABAC,

：.AAOQ^MBC,

.AQAO

"AC-AB"

[in4和36+.

j36+f6

解得x=2"（負值已舍去）；

的長為

故答案為：2幣.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線

的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學的知識，正確的作出輔助線，從而進行解題.

15.如圖，在平面直角坐標系中，正方形A3CQ的頂點A在x軸正半軸上，頂點8,C

在第一象限，頂點。的坐標弓,2）.反比例函數(shù)y=±（常數(shù)％>0,x>0）的圖象恰

2x

好經(jīng)過正方形A5C。的兩個頂點，則k的值是.

【答案】5或22.5

【分析】

先設(shè)一個未知數(shù)用來表示出8、C兩點的坐標，再利用反比例函數(shù)圖像恰好經(jīng)過8、C、

。的其中兩個點進行分類討論，建立方程求出未知數(shù)的值，符合題意時進一步求出k的

值即可.

【詳解】

解：如圖所示，分別過8、。兩點向x軸作垂線，垂足分別為八E點,并過C點向BF

作垂線，垂足為點G；

???正方形ABCD,

：.ZDAB=90°,AB=BC=CD=DA,

：.ZDAE+ZBAF=90°,

試卷第26頁，共46頁

又???NOAE+NAOE=90°,ZBAF+ZABF=9Q°f

:.NDAE=NABF,ZADE=ZBAF,

:.&ADE沿ABAF,

同理可證4ADE^/^BAF^^CBG；

：?DE=AF=BG,AE=BF=CG；

設(shè)AE=m,

???點D的坐標(1,2),

AOE=-,DE=AF=BG=2,

2

?/9、9

??B(—I-tn,〃？),C(一,m+2),

22

V-x2=5,

2

O2

當；(〃?+2)=5時，〃=?-g<0,不符題意，舍去；

當(2+〃，帆=5時，由解得加=巫上，符合題意；故該情況成立，此時&=5；

當仁+加卜=/〃?+2)時，由機20解得機=3,符合題意，故該情況成立，此時

a

)l=-x(3+2)=22.5;

故答案為:5或22.5.

【點睛】

本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)、

解一元二次方程等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與性質(zhì)，能根據(jù)題意建立相等關(guān)系

列出方程等，本題涉及到了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法等.

16.在RtAABC中，ZC=90°,AC=2,BC=4,點D、E分別是邊BC、AB的中點，

將4BDE繞著點B旋轉(zhuǎn)，點D、E旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點分別為點“、E，，當直線D，E，經(jīng)過

點A時，線段CD，的長為.

【答案】26或

【分析】

分兩種情況：①點A在ED的延長線上時；②點A在線段DE的延長線上時；然后分類

討論，求出線段BD的長各是多少即可.

【詳解】

解：如圖1,當點A在ED的延長線上時，

AB=y/AC2+BC2=V4+16=2#＞，

?.?點D、E分別是邊BC、AB的中點，

；.DE〃AC,DE=：AC=1,BD=；BC=2,

.,.ZEDB=ZACB=90°

?.?將ABDE繞著點B旋轉(zhuǎn),

/.ZBD,E,=ZBDE=90o,D,E'=DE=1,BD=BD=2,

?..在RSABC和RtABAD，中，

D'B=AC=2,AB=BA,

VRtAABC^RtABAD'(HL),

.?.AD，=BC,且AC=D，B,

.??四邊形ACBD，是平行四邊形，且NACB=90。,

四邊形ACBD，是矩形，

.,.CD=AB=2V5：

如圖2,當點A在線段DE，的延長線上時，

試卷第28頁，共46頁

；NAD'B=90°,

AD-yjAB2-D'B2=V20-4=4,

.\AE=AD,-DE,=3,

?將△BDE繞著點B旋轉(zhuǎn)，

ZABC=ZEBD,

..BE'\BD'

...△ABES/XBCD'

.AE'AB

‘,歷一麗’

.32石

??----=----，

CD'4

e66

5

故答案為：2石或竽.

【點睛】

本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，

矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找相似角形解決

問題，屬于中考?？碱}型.

17.如圖，在AABC中，48=4<7,8。平分48（7,￡在以延長線上，旦DE=BD,若

BC=8,AE=2,則C7）的長為.

【答案】x/57-3

【分析】

通過證△AEZ運△FBO(SAS),得到求出BF=2,ZDAE=ZDFB,AD=DF,進而求

「r'「八

出CF的長，進而得到NBAD=NDFC,從而證ACFDSACAB,得到==行，將證

CABC

得邊的關(guān)系CA=6+CD以及其他各值代入即可得到答案.

【詳解】

解：YBD平分NABC,DE=BD

AZABD=ZDBC,ZAED=ZABD

???ZDBC=ZAED

如圖，在BC上取點，使BF=AE

AE=FB

</AED=ZDBC

DE=BD

：.AAED心FBD(SAS)

AAE=BF=2,/DAE=/DFB,AD=DF

.\CF=BC-BF=8-2=6

VZBAD=180O-ZZME,ZDFC=180O-ZDFB

???NBAD二NDFC

又「zc=zc

AACFD^ACAB

.CFCD

^~CA~~BC

VAB=AC

AZABC=ZACB

ZBAD=ZDFC

???ZFDC=180°-ZDFC-ZC=180°-Zfi4D-ZABC

,/ZC=180°-ZMD-ZABC

試卷第30頁，共46頁

?.NFDC=NC

；.DF=FC=6,則AD=DF=6

，CA=6+CD

又：CF=6,BC=8

.6CD

"6+CD~~S~

解得8=同-3.

故答案為：府-3.

【點睛】

本題考查的全等三角形判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知

識點，是中考綜合性題目，而且還要會解一元二次方程，用方程法解幾何問題.解答此

題的關(guān)鍵是利用性質(zhì)找到邊與邊之間的關(guān)系.

18.如圖，將正方形紙片A8co折疊，使點8落在邊上一點E（不與點C,。重合）

CFAMCF

處壓平后得到折痕MN.若AB=2,當W1時，貝?。┥?_____；若W1（〃為

CD2BNCDn

整數(shù)）則黑=.（用含〃的式子表示）

【分析】

連接BM,EM,BE.由題設(shè)，得四邊形ABNM和四邊形FENM關(guān)于直線MN對稱.由

軸對稱的性質(zhì)知=BN=EN.又有NA=/￡>=NC=90。，設(shè)

CE

AB=BC=CD=DA=2.由而得，CE=DE=1；設(shè)3N=x,則NE=x,NC=2-x.在

Rt&CNE中,由勾股定理可解得x的值，從而得以8N的值，在心AABM和在RIADEM

中，由勾股定理知4M'AB'S，，DM2+DE2=EMit有

AM2+AB2=DM2+DE2.設(shè)A"=y,則可求得V的值，得到AM的值從而得到

AMCE1

—.連接班，—令CD=CB=n,則CE=1,設(shè)BN=x,則EN=x,由勾股

BNCDn

2?

定理得工=產(chǎn)；作MH，8c于H,可證得AEBCw&WH,由此得N"=l,從而可得

2n

AM/士

贏的值.

【詳解】

解：如圖1,連接8M,EM,BE.

BNC

圖1

由題設(shè)，得四邊形ABNM和四邊形關(guān)于直線MN對稱.

；.MN垂直平分BE,

:.BM=EM，BN=EN.

?.?四邊形ABC。是正方形，

.-.ZA=ZD=ZC=90°,

^.AB=BC=CD=DA=2.

CE1

,'CD~2,

:.CE=DE=1.

設(shè).BN=x,則NE=x,NC=2-x.

在RtACNE中,NE2=CN2+CE2.

x2=(2-x)2+12,

解得x=3，即BN=1.

44

在RAMBA/和在RfADEM中，AM2+AB2=BM2,DM?+DE)=EM、

：.AM2+AB2^DM2+DE2.

設(shè)AM=y,ljllJDM=2-y,

/+22=(2-y)2+l2,

解得y=!，即AM=J,

44

.AM1

一~BN~5r

試卷第32頁，共46頁

CF1

當四邊形A8CD為正方形時，連接8E,==上，

CDn

不妨令CD=CB=〃，則CE=1,設(shè)BN=x,則￡2V=x,

EN2=NC2+CE2,

x2=(n-x)2+12,

如圖2,作于“，則M”=8C,

又點8,七關(guān)于MN對稱，則MMJ.5E,NEBC+NBNM=90。；

?;/NMH+4BNM二