專題11等差數(shù)列專題11等差數(shù)列-【好題匯編】備戰(zhàn)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末真題分類匯編（人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)）含解析求等差數(shù)列的基本量1．（2023上·河北石家莊·高二石家莊實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，，則（

）A．160 B．253 C．180 D．1902．（2023上·山東泰安·高二寧陽縣第四中學(xué)?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，若，，則等于（

）A．8 B．9 C．10 D．113．（2023上·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）在等差數(shù)列中，以表示的前項(xiàng)和，則使達(dá)到最大值的是（

）A．11 B．10 C．9 D．84．（2023上·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學(xué)校考期末）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A． B． C． D．5．（2023上·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）記公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則．6．（2023上·浙江臺(tái)州·高二期末）已知等差數(shù)列滿足，則．7．（2023上·山東煙臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則公差的值為.8．（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若與均為等差數(shù)列且公差不為0，則的值為.等差數(shù)列的判定與證明9．（2023上·河北唐山·高二開灤第一中學(xué)?？计谀┤舨蝗嗟鹊姆橇銓?shí)數(shù)成等差數(shù)列且公差為，那么（

）A．可能是等差數(shù)列 B．一定不是等差數(shù)列C．一定是等差數(shù)列，且公差為 D．一定是等差數(shù)列，且公差為10．（2023上·河南商丘·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C．12 D．2111．（2023上·陜西西安·高二長安一中?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（

）A． B． C． D．12．（2023上·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．13．（2023上·山東威海·高二統(tǒng)考期末）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．(1)求，；(2)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．14．（2023上·山東青島·高二校考期末）已知數(shù)列中，，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．15．（2023上·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若（且）．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求前n項(xiàng)和．16．（2023上·湖南益陽·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，且．(1)求證：數(shù)列等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．等差數(shù)列的常見性質(zhì)17．（2023上·山東青島·高二?？计谀┮阎獮榈炔顢?shù)列，，，則數(shù)列的公差（

）A． B． C． D．18．（2023上·江蘇南京·高二南京大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤舻炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值為（

）A． B． C． D．19．（2023上·天津南開·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，，則（

）．A．3 B．4 C．6 D．820．（2023上·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）已知為等差數(shù)列，，，則等于（

）A．250 B．410 C．50 D．6221．（2023上·山西運(yùn)城·高二康杰中學(xué)校考期末）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 B．C．的最大值為 D．22．（2023上·河南許昌·高二禹州市高級(jí)中學(xué)?？计谀┰O(shè)等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，若對(duì)任意的，都有，則．23．（2023上·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列中，，若，則．24．（2023上·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列，，=25．（2023上·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）如圖，這是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,…構(gòu)成數(shù)列，則（

）

A．20099 B．20100 C．21000 D．21100126．（2023上·陜西西安·高二長安一中校考期末）在公差大于的等差數(shù)列中，，且、、成等比數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．27．（2023上·浙江杭州·高二杭師大附中校考期末）“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．103 B．107 C．109 D．10528．（2023上·上海楊浦·高二復(fù)旦附中?？计谀┰O(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，首項(xiàng)，公差，若對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)k，使，則的最小值為（

）A．－74 B．－8 C．－53 D．－1329．（2023上·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）(多選題)我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何?”其意思是：今有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共步行了一千二百六十里，求的值.關(guān)于該問題，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．此人第三天行走了一百二十里C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里30．（2023上·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，若，且，則的取值范圍為．31．（2023上·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)校考期末）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.32．（2023上·海南·高二統(tǒng)考期末）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.33．（2023上·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列中，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并求的最小值34．（2023上·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．專題11等差數(shù)列求等差數(shù)列的基本量1．（2023上·河北石家莊·高二石家莊實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，，則（

）A．160 B．253 C．180 D．190【答案】B【分析】根據(jù)條件，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?，所以，解得，所以，故選：B.2．（2023上·山東泰安·高二寧陽縣第四中學(xué)校考期末）在等差數(shù)列中，若，，則等于（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差，然后根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故而.故選：D3．（2023上·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）在等差數(shù)列中，以表示的前項(xiàng)和，則使達(dá)到最大值的是（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)求出數(shù)列公差d，再求出其通項(xiàng)公式，并探討數(shù)列的單調(diào)性即可得解.【詳解】在等差數(shù)列中，，，即，，從而得等差數(shù)列公差，，于是得的通項(xiàng)公式為，則是單調(diào)遞減等差數(shù)列，其前10項(xiàng)均為正，從第11項(xiàng)起的以后各項(xiàng)均為負(fù)，因此，數(shù)列的前10項(xiàng)和最大，所以，使達(dá)到最大值的n是10.故選：B.4．（2023上·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，，∴，解得：，∴.故選：A.5．（2023上·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）記公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則．【答案】6【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式化簡可得關(guān)于的方程，解之即可.【詳解】因?yàn)槭枪畈粸?的等差數(shù)列，設(shè)公差為，所以，，又，所以，即則，所以，又，所以，則．故答案為：66．（2023上·浙江臺(tái)州·高二期末）已知等差數(shù)列滿足，則．【答案】49【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義可得，利用裂項(xiàng)求和計(jì)算可得，再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，所以，可得；又，即，解得．故答案為：7．（2023上·山東煙臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則公差的值為.【答案】或/或【分析】由等差數(shù)列的求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值，由此可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的求和公式可得，則，可得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，或.故答案為：或.8．（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若與均為等差數(shù)列且公差不為0，則的值為.【答案】2【分析】設(shè)出數(shù)列的公差，利用給定條件列式，求出首項(xiàng)與公差的關(guān)系即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，則有，即，化簡整理得：，解得，顯然，與均為等差數(shù)列，，則，所以的值為2.故答案為：2等差數(shù)列的判定與證明9．（2023上·河北唐山·高二開灤第一中學(xué)?？计谀┤舨蝗嗟鹊姆橇銓?shí)數(shù)成等差數(shù)列且公差為，那么（

）A．可能是等差數(shù)列 B．一定不是等差數(shù)列C．一定是等差數(shù)列，且公差為 D．一定是等差數(shù)列，且公差為【答案】B【分析】利用等差中項(xiàng)的概念結(jié)合條件可得，進(jìn)而即得.【詳解】若是等差數(shù)列，則，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，則，則，整理得，與非零實(shí)數(shù)不全相等矛盾，所以一定不是等差數(shù)列.故選：B.10．（2023上·河南商丘·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C．12 D．21【答案】A【分析】由數(shù)列的遞推關(guān)系式推出是等差數(shù)列，然后求解即可．【詳解】正項(xiàng)數(shù)列滿足，，所以，可得，所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，所以，所以，故選：A．11．（2023上·陜西西安·高二長安一中?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由與關(guān)系可化簡已知等式證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】由得：，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，.故選：C.12．（2023上·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)校考期末）已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義和通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到，由此可得，利用裂項(xiàng)相消法可求得，由可構(gòu)造不等式求得的范圍，進(jìn)而得到最小值.【詳解】，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，則，，，由得：，解得：，又，.故選：B.13．（2023上·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．(1)求，；(2)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)；(2)證明見解析(3)【分析】（1）直接令中的，可得答案；（2）通過得到，兩式相除整理后可證明數(shù)列為等差數(shù)列；（3）當(dāng)時(shí)，通過可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意驗(yàn)證時(shí)是否符合.【詳解】（1）由，且，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得；（2）對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，②，①②得，即，，又，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；（3）由（2）得，，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，不符合，.14．（2023上·山東青島·高二?？计谀┮阎獢?shù)列中，，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，將原式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，即可得到證明；（2）由（1）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，即，所以，即?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，所以，所以.15．（2023上·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若（且）．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求前n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由，結(jié)合已知遞推關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及遞推關(guān)系可求；（2）由已知先求，根據(jù)錯(cuò)位相減即可求和．【詳解】（1）由題意得：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，所以，當(dāng)時(shí)，，由于不適合上式，故；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，，相減得，故，此時(shí)也適合，故．16．（2023上·湖南益陽·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，且．(1)求證：數(shù)列等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，并確定數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法可求得.【詳解】（1）證明：，所以，，即，又，則數(shù)列是等差數(shù)列，且該數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，所以，，解得．（2）解：，①∴，②①②，得，所以，．等差數(shù)列的常見性質(zhì)17．（2023上·山東青島·高二校考期末）已知為等差數(shù)列，，，則數(shù)列的公差（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)和通項(xiàng)公式直接求解即可.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：，，，，.故選：A.18．（2023上·江蘇南京·高二南京大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤舻炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)結(jié)合即可求解.【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，由等差數(shù)列的基本性質(zhì)，得，.故選：C.19．（2023上·天津南開·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，，則（

）．A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】應(yīng)用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)相同且下標(biāo)和相等的性質(zhì)即可確定答案.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)知：.故選：C.20．（2023上·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）已知為等差數(shù)列，，，則等于（

）A．250 B．410 C．50 D．62【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出．【詳解】為等差數(shù)列，，，，，，，公差，，．故選：C21．（2023上·山西運(yùn)城·高二康杰中學(xué)?？计谀┮阎堑炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 B．C．的最大值為 D．【答案】B【分析】由且，所以，所以公差，所以時(shí)，時(shí)，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】由且，所以，故B正確；所以公差，數(shù)列為遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤；由，，，所以，，時(shí)，，的最大值為，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：B22．（2023上·河南許昌·高二禹州市高級(jí)中學(xué)?？计谀┰O(shè)等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，若對(duì)任意的，都有，則．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】，由于，故答案為：23．（2023上·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列中，，若，則．【答案】【分析】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)求出、，即可求出公差，再根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，，所以，所以公差，所以，即，解?故答案為：24．（2023上·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列，，=【答案】e【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可知：，又，故.故答案為：e25．（2023上·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）如圖，這是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,…構(gòu)成數(shù)列，則（

）

A．20099 B．20100 C．21000 D．211001【答案】B【分析】先歸納出數(shù)列的遞推公式，然后利用累加法即可求解.【詳解】由題意，，，…，所以數(shù)列的遞推公式為，且，所以.所以，故.故答案為：B.26．（2023上·陜西西安·高二長安一中校考期末）在公差大于的等差數(shù)列中，，且、、成等比數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，根據(jù)題中條件可得出關(guān)于的方程，求出的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用并項(xiàng)求和法可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，，所以，，，因?yàn)?、、成等比?shù)列，則，即，即，因?yàn)?，則，所以，，對(duì)任意的，，所以，的前項(xiàng)和為.故選：A.27．（2023上·浙江杭州·高二杭師大附中?？计谀爸袊Ｓ喽ɡ怼敝v的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．103 B．107 C．109 D．105【答案】B【分析】根據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到數(shù)列通項(xiàng)公式，由題意解出不等式即可判斷項(xiàng)數(shù).【詳解】由題意，被3除余2且被7除余2的數(shù)即為被21除余2的數(shù)，故，則.故選：B28．（2023上·上海楊浦·高二復(fù)旦附中校考期末）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，首項(xiàng)，公差，若對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)k，使，則的最小值為（

）A．－74 B．－8 C．－53 D．－13【答案】D【分析】首先根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得到，令，化簡得到，又因?yàn)?，所以，得，再利用等差?shù)列前項(xiàng)和公式得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由題意得，則得，即，令得，即①，即得.因?yàn)槭醉?xiàng)，公差，則得，即.又因?yàn)?，所以，代入①?當(dāng)時(shí)，由得即，所以因此當(dāng)或時(shí)，的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，根據(jù)題意化簡得到，從而得到為解決本題的關(guān)鍵.29．（2023上·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）（多選題）我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何?”其意思是：今有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共步行了一千二百六十里，求的值.關(guān)于該問題，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．此人第三天行走了一百二十里C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里【答案】BCD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前9項(xiàng)和和首項(xiàng)求出公差判斷A，根據(jù)通項(xiàng)公式計(jì)算第3項(xiàng)判斷B，根據(jù)求和公式計(jì)算前7項(xiàng)和及前8項(xiàng)和即可判斷C、D.【詳解】由題意,設(shè)此人第一天走里，第天走里，則是等差數(shù)列，，由，可得，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；所以，故選項(xiàng)B正確；所以，所以，，故選項(xiàng)C、D正確.故選：BCD.30．（2023上·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，若，且，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)和前項(xiàng)和的函數(shù)性可證得數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合已知等式可求得，由可構(gòu)造