專(zhuān)題03半角模型【基本模型】應(yīng)用：①利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形；②利用翻折構(gòu)造全等三角形。【例題精講】例1．（基本模型1）已知：正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．（1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖2），線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明．（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．【答案】（1），證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）BM+DN=MN成立，證得B、E、M三點(diǎn)共線即可得到△AEM≌△ANM，從而證得ME=MN．（2）DN-BM=MN．證明方法與（1）類(lèi)似．【詳解】（1）BM+DN=MN成立．證明：如圖，把△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE，則可證得E、B、M三點(diǎn)共線．∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，又∵∠NAM=45°，∴在△AEM與△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，∵M(jìn)E=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（2）DN-BM=MN．在線段DN上截取DQ=BM，如圖，在△ADQ與△ABM中，∵，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ=∠BAM，∴∠QAN=∠MAN．在△AMN和△AQN中，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN=QN，∴DN-BM=MN．例2．（基本模型2）（1）如圖①，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；（3）在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊所在直線上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析；（3）或或【分析】（1）如圖1，延長(zhǎng)到G，使，連接，即可證明，可得，再證明，可得，即可解題；（2）如圖2，同理可得：；（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建，同理證明和．可得新的結(jié)論：；如圖4，作輔助線，同理證明和，可得新結(jié)論；【詳解】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)到G，使，連接．在與中，，∴．∴，∴．∴．又∵，∴．∴．∵．∴；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：如圖2，延長(zhǎng)到G，使，連接．∵，∴，在與中，，∴．∴，∴．∴．又∵，∴．∴．∵．∴；（3）圖2中，成立，圖3中，，理由如下：在上截取，使，連接．∵，∴．在與中，，∴．∴．∴．∴．在和中，，∴．∴，∵，∴．圖4中，，理由如下：在上截取，使，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；綜上所述，線段之間的數(shù)量關(guān)系為：或或，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平角的定義等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．例3．（基本模型3）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF＝50°．探究圖中線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是（直接寫(xiě)結(jié)論，不需證明）；（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且2∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為7的正方形，∠EBF＝45°，直接寫(xiě)出△DEF的周長(zhǎng)．【答案】（1）EF＝BE+DF；（2）成立，理由詳見(jiàn)解析；（3）14．【分析】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，由“SAS”可證△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再由“SAS”可證△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解題；（2）延長(zhǎng)EB到G，使BG＝DF，連接AG，即可證明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再證明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解題；（3）延長(zhǎng)EA到H，使AH＝CF，連接BH，由“SAS”可證△ABH≌△CBF，可得BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，由“SAS”可證△EBH≌△EBF，可得EF＝EH，可得EF＝EH＝AE+CF，即可求解．【詳解】證明：（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°，∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°，∴∠EAF＝∠FAG＝50°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝BE+DF，故答案為：EF＝BE+DF；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)EB到G，使BG＝DF，連接AG，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵2∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD；（3）如圖，延長(zhǎng)EA到H，使AH＝CF，連接BH，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝7＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAH＝∠BCF＝90°，又∵AH＝CF，AB＝BC，∴△ABH≌△CBF（SAS），∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，∵∠EBF＝45°，∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF，∴∠EBH＝∠EBF，又∵BH＝BF，BE＝BE，∴△EBH≌△EBF（SAS），∴EF＝EH，∴EF＝EH＝AE+CF，∴△DEF的周長(zhǎng)＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝14．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．例4．（培優(yōu)綜合）問(wèn)題情境：已知，在等邊△ABC中，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別在直線AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系．方法感悟：小芳的思考過(guò)程是在CM上取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問(wèn)題；小麗的思考過(guò)程是在AB取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問(wèn)題；問(wèn)題解決：（1）如圖1，M、N分別在邊AC，AB上時(shí)，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，M在邊AC上，點(diǎn)N在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形，標(biāo)出相應(yīng)字母，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）CM＝AN+MN，詳見(jiàn)解析；（2）CM＝MN﹣AN，詳見(jiàn)解析【分析】（1）在AC上截取CD＝AN，連接OD，證明△CDO≌△ANO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD＝ON，∠COD＝∠AON，證明△DMO≌△NMO，得到DM＝MN，結(jié)合圖形證明結(jié)論；（2）在AC延長(zhǎng)線上截取CD＝AN，連接OD，仿照（1）的方法解答．【詳解】解：（1）CM＝AN+MN，理由如下：在AC上截取CD＝AN，連接OD，∵△ABC為等邊三角形，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴OA＝OC，在△CDO和△ANO中，，∴△CDO≌△ANO（SAS）∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，∵∠MON＝60°，∴∠COD+∠AOM＝60°，∵∠AOC＝120°，∴∠DOM＝60°，在△DMO和△NMO中，，∴△DMO≌△NMO，∴DM＝MN，∴CM＝CD+DM＝AN+MN；（2）補(bǔ)全圖形如圖2所示：CM＝MN﹣AN，理由如下：在AC延長(zhǎng)線上截取CD＝AN，連接OD，在△CDO和△ANO中，，∴△CDO≌△ANO（SAS）∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，∴∠DOM＝∠NOM，在△DMO和△NMO中，，∴△DMO≌△NMO（SAS）∴MN＝DM，∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理．【變式訓(xùn)練】1．（2019秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）如圖．在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF∠BAD，求證：EF＝BE﹣FD．【答案】詳見(jiàn)解析【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．根據(jù)SAS證明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根據(jù)∠EAF∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可證明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．【詳解】證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件作出輔助線求解．2．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且.（1）求證：；（2）連結(jié)AC，若，求的度數(shù).【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）20°【詳解】（1）旋轉(zhuǎn)△BCF使BC與CD重合，∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD為等腰梯形，∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°，由旋轉(zhuǎn)可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′為平角，∴A，D，F(xiàn)′共線，∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD，∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED；（2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．3．已知：邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類(lèi)比探究：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．【答案】(1)45(2)DF＝BE+EF，證明見(jiàn)解析(3)2【分析】（1）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則、、在一條直線上，，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，得，因此，同（2）得△，則，，得、、圍成的三角形面積，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，則F、D、在一條直線上，≌△ABE，∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴EF＝BE+DF．故答案為：45；（2）解：DF＝BE+EF

理由如下：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△，∴△≌△ABE，∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠＝∠EAF＝45°，在△AEF和△中，，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴DF＝BE+EF；（3）解：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，則△≌△ABD，∴CD'＝BD，∴，同（2）得：△ADE≌△（SAS），∴，，∴BD、DE、EC圍成的三角形面積為、、EC圍成的三角形面積．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及四邊形和三角形面積等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的啟發(fā)正確作出輔助線得出全等三角形，屬于中考?？碱}型．4．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：____；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫(xiě)出理由，如果成立請(qǐng)證明；（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)．（可利用（2）得到的結(jié)論）【答案】（1）AH=AB；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）6【分析】（1）先證明，可得，，再證明即可；【詳解】解：（1）如圖①，．理由如下：四邊形是正方形，，，在和中，，，，，是等腰三角形，又，，，，，，，在和中，，，；故答案為：；（2）數(shù)量關(guān)系成立．如圖②，延長(zhǎng)至，使．∵四邊形是正方形，，，在和中，，∴≌（SAS），，，，，，，在和中，，．，，、是和對(duì)應(yīng)邊上的高，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)；正確作出輔助線，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【課后訓(xùn)練】1．如圖所示，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，是頂角的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊交、于、，連結(jié)，求周長(zhǎng).【答案】△AMN的周長(zhǎng)為2．【分析】根據(jù)已知條件得△CDE≌△BDM，再利用DE=DM，證明△DMN≌△DEN，得到對(duì)應(yīng)邊相等即可解題.【詳解】如圖，延長(zhǎng)NC到E，使CE=BM，連接DE，

∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∵在△DMN和△DEN中，，∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，∴△AMN的周長(zhǎng)=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周長(zhǎng)為2．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與應(yīng)用,截長(zhǎng)補(bǔ)短的數(shù)學(xué)方法,中等難度,作輔助線證明全等是解題關(guān)鍵.2．如圖1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于點(diǎn)O．(1)求邊AB的長(zhǎng)；(2)求∠BAC的度數(shù)；(3)如圖2，將一個(gè)足夠大的直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說(shuō)明理由．【答案】（1）2；（2）；（3）見(jiàn)詳解【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出OA=1，OB=，根據(jù)勾股定理可得出答案；（2）得出△ABC是等邊三角形即可；（3）由△ABC和△ACD是等邊三角形，利用ASA可證得△ABE≌△ACF；可得AE=AF，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形推出即可．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴△AOB為直角三角形，且．∴；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，由（1）得：AB=AC=BC=2，∴△ABC為等邊三角形，∠BAC=60°；（3）△AEF是等邊三角形，∵由（1）知，菱形ABCD的邊長(zhǎng)是2，AC=2，∴△ABC和△ACD是等邊三角形，∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)以及圖形的旋轉(zhuǎn)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)．3．問(wèn)題背景：“半角模型”問(wèn)題．如圖1，在四邊形中，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且，連接，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是延長(zhǎng)到點(diǎn)G．使．連結(jié)，先證明，再證明，從而得出結(jié)論：_____________；(2)拓展延伸：如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊上的點(diǎn)，且，請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)嘗試應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，，，E、F分別是邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，請(qǐng)?zhí)骄烤€段具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)(2)成立，理由見(jiàn)解析(3)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)G．使．連接，利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；（2）延長(zhǎng)至M，使，連接．證明，由全等三角形的性質(zhì)得出．，由全等三角形的性質(zhì)得出，即，則可得出結(jié)論；（3）在上截取，使，連接．證明．由全等三角形的性質(zhì)得出．證明，由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】（1）解：．延長(zhǎng)到點(diǎn)G．使．連接，∵，∴．∴．∴．∴．又∵，∴．∴．∵．∴．故答案為：；（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立．證明：如圖②中，延長(zhǎng)至M，使，連接．∵，∴，在與中，，∴．∴．∵，∴．∴，即．在與中，，∴．∴，即，∴；（3）解：結(jié)論：．證明：如圖③中，在上截取，使，連接．∵，∴．在與中，，∴．∴．∴．∴．∵，∴，

∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．4．如圖，在四邊形中，，，分別是，上的點(diǎn)，連接，，．（1）如圖①，，，．求證：；

（2）如圖②，，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，求的度數(shù)；（3）如圖③，若四邊形為正方形，點(diǎn)、分別在邊、上，且，若，，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng)度．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）．【分析】（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)G,使，連接，首先證明，則有，，然后利用角度之間的關(guān)系得出，進(jìn)而可證明，則，則結(jié)論可證；（2）分別作點(diǎn)A關(guān)于和的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)有，，當(dāng)點(diǎn)、、、在同一條直線上時(shí)，即為周長(zhǎng)的最小值，然后利用求解即可；（3）旋轉(zhuǎn)至的位置，首先證明，則有，最后利用求解即可．【詳解】（1）證明：如解圖①，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，在和中，．，，，，．，在和中，．，；（2）解：如解圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于和的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，，此時(shí)的周長(zhǎng)為．當(dāng)點(diǎn)、、、在同一條直線上時(shí)，即為周長(zhǎng)的最小值．，．，，；（3）解：如解圖，旋轉(zhuǎn)至的位置，，，．在和中，．．．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連接DE，將DE繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到EG，過(guò)點(diǎn)G作GF⊥CB，垂足為F，GH⊥AB，垂足為H，連接DG，交AB于I．（1）求證：四邊形BFGH是正方形；（2）求證：ED平分∠CEI；（3）連接IE，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，則△BEI的周長(zhǎng)為．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）6【分析】（1）先證根據(jù)∠F＝∠GHB＝∠ABF＝90°證得四邊形BFGH為矩形，再證明△DCE≌△EFG進(jìn)而可證得BF＝FG，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形即可得證；（2）延長(zhǎng)EC到點(diǎn)M，使得CM＝AI，連接DM，先證△ADI≌△CDM可得DI＝DM，∠ADI＝∠CDM，進(jìn)而可證△EDM≌△EDI得∠DEI＝∠DEC，即可得證；（3）由（2）可知IE＝EM＝EC＋CM＝EC＋AI，則△BEI的周長(zhǎng)為BI＋BE＋I(xiàn)E＝BI＋BE＋EC＋AI＝AB＋BC，由此可求得答案．【詳解】（1）證明：∵將DE繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EG，∴DE＝EG，∠DEG＝90°，∴∠DEC＋∠GEF＝90°，∵在正方形ABCD中∴∠C＝∠ABC＝∠ABF＝90°，BC＝CD，∴∠DEC＋∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠GEF，∵GF⊥CB，GH⊥AB，∴∠F＝∠GHB＝90°，∴∠F＝∠GHB＝∠ABF＝90°，∴四邊形BFGH為矩形，在△DCE與△EFG中，∴△DCE≌△EFG（AAS）∴EF＝CD，F(xiàn)G＝CE，∴EF＝BC，∴EF－BE＝BC－BE，即BF＝CE，∴BF＝FG，∴矩形BFGH為正方形；（2）證明：如圖，延長(zhǎng)EC到點(diǎn)M，使得CM＝AI，連接DM，∵在正方形ABCD中∴∠ADC＝∠A＝∠DCE＝∠DCM＝90°，AD＝CD，在△ADI與△CDM中，∴△ADI≌△CDM（SAS）∴DI＝DM，∠ADI＝∠CDM，∵DE＝EG，∠DEG＝90°，∴∠EDG＝∠EGD＝45°，又∵∠ADC＝90°，∴∠ADI＋∠CDE＝45°，∴∠EDM＝∠CDM＋∠CDE＝4