湖南省瀏陽市2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，則A∩B=（）A. B.{–3，–2，2，3）C.{–2，0，2} D.{–2，2}【答案】D【解析】因為，或，所以.故選：D.2.若兩個復(fù)數(shù)的實部相等或虛部相等，則稱這兩個復(fù)數(shù)為同部復(fù)數(shù).已知，則下列數(shù)是z的同部復(fù)數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于，其實部和虛部均為，而與的虛部相等，其余選項均不符合題意，所以是的同部復(fù)數(shù).故選：B.3.下列命題中，真命題是（）A.“”是“”的必要條件B.任取實數(shù)，使得C.是的充分條件D.命題“”的否定為“”【答案】D【解析】A,“”是“”的充分條件，A錯誤；B，若，則，B錯誤；C，不能推出，充分性不滿足，C錯誤；D，命題“”的否定為“”，D正確.故選：D.4.2018年9月24日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主、英國著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)屆的震動.在1895年的時候，德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個問題，并得到小于數(shù)字x的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為的結(jié)論．若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計1000以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為（素數(shù)即為質(zhì)數(shù)，，計算結(jié)果取整數(shù)）（）A.768 B.668 C.445 D.145【答案】D【解析】由題意，小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為，則估計1000以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為，故選：D.5.已知定義在上的偶函數(shù)，若正實數(shù)a、b滿足，則的最小值為（）A. B.9 C. D.8【答案】A【解析】若函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，可得，整理得，故，解得，∴.若正實數(shù)a、b滿足，即，可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，∴的最小值為.故選：A.6.已知函數(shù)值域為R，則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)，∴當(dāng)時，，∵的值域為R，∴當(dāng)時，值域需包含，∴，解得，故選：C.7.泉城廣場上矗立著的“泉標(biāo)”，成為泉城濟南的標(biāo)志和象征.為了測量“泉標(biāo)”高度，某同學(xué)在“泉標(biāo)”的正西方向的點A處測得“泉標(biāo)”頂端的仰角為45°,沿點A向北偏東30°前進100m到達點B，在點B處測得“泉標(biāo)”頂端的仰角為30°，則“泉標(biāo)”的高度為（）A.50m B.100m C.120m D.150m【答案】A【解析】根據(jù)題意，作出圖形如圖所示：所以AB＝100，∠BAC＝60°，∠DBC＝30°，設(shè)DC＝x，所以AC＝x，BC，在△ABC中，利用余弦定理的應(yīng)用得，得，又，解得，故選:A.8.已知函數(shù)（）A.2017 B. C. D.【答案】C【解析】∵f（x），∴f（x）+f（）1，∵（1）＝1，∴2f（2）+2f（3）+……+2f（2018）+f（）+f（）+…+f（）f（2018）＝[f（2）+f（）+f（2）f（2）]+[f（3）+f（）+f（3）]+…+[f（2018）+f（）+f（2018）]＝2017×2＝4034．故選C．二、多選題9.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.向量與向量的夾角為 D.在的投影向量是【答案】AC【解析】對于A選項，，則，故，A對；對于B選項，，故，B錯；對于C選項，設(shè)向量、的夾角為，則，因為，故，C對；對于D選項，在方向上的投影向量為，D錯.故選：AC.10.折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧所在圓的半徑分別是3和9，且，則該圓臺的（）A.高為 B.體積為C.表面積為 D.上底面積?下底面積和側(cè)面積之比為【答案】AC【解析】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，則，解得．圓臺的母線長，圓臺的高為，則選項正確；圓臺的體積，則選項錯誤；圓臺的上底面積為，下底面積為，側(cè)面積為，則圓臺的表面積為，則正確；由前面可知上底面積?下底面積和側(cè)面積之比為，則選項D錯誤．故選：AC．11.若函數(shù)（，，）的部分圖象如圖，則（）A.是以為周期的周期函數(shù)B.的圖象向左平移個單位長度得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)C.在上單調(diào)遞減D.的圖象的對稱中心為，【答案】AC【解析】由題圖可知，因為當(dāng)時，，所以.因為，所以，所以.由題圖可知，所以，所以.由題圖可知，當(dāng)時，取得最大值，所以，，解得，.又，所以，所以.對于A，，則A正確.對于B，的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，此函數(shù)不是奇函數(shù)，故B錯誤.對選項C，，則，所以在上單調(diào)遞減，故C正確.對選項D，，，得，，所以的圖象的對稱中心為，，則D錯誤.故選：AC.12.已知函數(shù)，數(shù)列滿足函數(shù)的圖像在點處的切線與x軸交于點且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】，，∵，∴函數(shù)的圖像在點處的切線斜率，切線方程為，令，解得，∴，∴，故選項A正確；設(shè)，則，時，時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，即，則有，即，當(dāng)時，有，即，由，∴，下證數(shù)列單調(diào)遞減，即證，即證，即證，即證，即證，∵，當(dāng)時，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∵，∴，∴，∴數(shù)列單調(diào)遞減，∴，且，故選項B正確，選項C錯誤；∵，要證，可證，由，只需證，即證，即證，即證，令，∵，∴，則即證，令，則，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，有，故選項D正確．故選：ABD三、填空題13.定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)，則＝______．【答案】【解析】由可得，所以，故為周期函數(shù)，且周期為8，，故答案為：14.在的展開式中，項的系數(shù)為________．【答案】32【解析】因為，所以的展開式中含項的系數(shù)即展開式中項的系數(shù)，又，其中的展開式中不存在含的項，又的展開式中含的項為，所以在的展開式中，項的系數(shù)為.故答案為：.15.設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，則_________.【答案】960【解析】由，當(dāng)n為奇數(shù)時，有；當(dāng)n為偶數(shù)時，，∴數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，則，故答案為：960.16.如圖，已知球是棱長為1的正方體的內(nèi)切球，則平面截球的截面面積為__________．【答案】【解析】由題意可知：截面是的外接圓，而是邊長為的等邊三角形，所以外接圓，則，所以.四、解答題17.已知向量．（1）若，求x的值；（2）記，求函數(shù)y＝f（x）的最大值和最小值及對應(yīng)的x的值．解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴當(dāng)時，即x＝0時f（x）max＝3；當(dāng)，即時．18.為進一步加強學(xué)生的文明養(yǎng)成教育，推進校園文化建設(shè)，倡導(dǎo)真善美，用先進人物的先進事跡來感動師生，用身邊的榜樣去打動師生，用真情去發(fā)現(xiàn)美，分享美，弘揚美，某校以爭做最美青年為主題，進行“最美青年”評選活動，最終評出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生。學(xué)校準(zhǔn)備從這10位“最美青年”中每次隨機選出一人做事跡報告.（1）若每位“最美青年”最多做一次事跡報告，記第一次抽到女生為事件A，第二次抽到男生為事件B，求，；（2）根據(jù)不同需求，現(xiàn)需要從這10位“最美青年”中每次選1人，可以重復(fù)，連續(xù)4天分別為高一、高二、高三學(xué)生和全體教師做4場事跡報告，記這4場事跡報告中做報告的男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（1）解：由題意得，第二次抽到男生概率為，“在第一次抽到女生的條件下，第二次抽到男生”的概率就是事件發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，而，，所以.（2）解：被抽取的4次中男生人數(shù)X的取值為0，1，2，3，4且.可得；；；；，所以隨機變量的分布列為：X01234P所以隨機變量的期望為：.19.某校積極開展社團活動，在一次社團活動過程中，一個數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻薨”這個五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E、F、G分別是邊長為4的正方形的三邊的中點，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段EF折起，連接就得到了一個“芻甍”(如圖2)。（1）若O是四邊形對角線的交點，求證：平面；（2）若二面角大小為求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：取線段CF中點H，連接OH、GH，由圖1可知，四邊形EBCF是矩形，且，∴O是線段BF與CE的中點，∴且，在圖1中且，且．所以在圖2中，且，∴且，∴四邊形AOHG是平行四邊形，則，由于平面GCF，平面GCF，∴平面GCF．（2）解：由圖1，，，折起后在圖2中仍有，，∴即為二面角的平面角．∴，以E為坐標(biāo)原點，，分別為x軸和y軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，則、、，∴，，易知平面ABE的一個法向量，設(shè)平面OAB的一個法向量，由，得，取，則，，于是平面的一個法向量，∴，∴平面ABE與平面OAB夾角的余弦值為．20.已知數(shù)列的前項和為，滿足，．?dāng)?shù)列滿足，，且．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）對數(shù)列：當(dāng)時，；當(dāng)時：，則，兩式相減得：，即.所以是以，的等比數(shù)列，故：.對數(shù)列：因為，兩邊同除以得：且，所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以.（2）因為,故：∴兩式相減得：所以：.由，由（1）得：，所以問題轉(zhuǎn)化為：對恒成立.設(shè)因為所以為遞增數(shù)列，所以的最小值為.故.21.已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中，C為鈍角，且.（1）求角B的大?。唬?）若的面積為6，求的周長.解：（1）依題意，有，由正弦定理，得，則.，，C為鈍角，（舍去），，即，因為C為鈍角，所以B為銳角，所以（舍去），即.（2），，；，，.由正弦定理，得，，的面積，解得，，由正弦定理，得，，的周長為.22.已知.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明對于任意的成立.（1）解：，由，可得或，①當(dāng)時，，或時