專題06利用勾股定理解決實(shí)際生活問題（38題11種題型）一、求梯子滑落高度（共3小題）1．（2023春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）如圖，某火車站內(nèi)部墻面上有破損處（看作點(diǎn)A），現(xiàn)維修師傅需借助梯子完成維修工作．梯子的長度為，將其斜靠在這面墻上，測得梯子底部E離墻角N處，維修師傅爬到梯子頂部使用儀器測量，此時梯子頂部D距離墻面破損處．(1)該火車站墻面破損處A距離地面有多高？(2)如果維修師傅要使梯子頂部到地面的距離為4.8m．那么梯子底部需要向墻角方向移動多少米？2．（2023春·湖南郴州·八年級?？计谥校榱藴y量如圖風(fēng)箏的高度CE．測得如下數(shù)據(jù)：①BD的長度為8米（注：）；②放出的風(fēng)箏線BC的長為17米；②牽線放風(fēng)箏的同學(xué)身高為1.60米．(1)求風(fēng)箏的高度CE．(2)若該同學(xué)想風(fēng)箏沿CD方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線多少米？3．（2021春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期中）一梯子長2.5m，如圖那樣斜靠在一面墻上，梯子底端離墻0.7m．(1)這架梯子的頂端離地面有多高？(2)設(shè)梯子頂端到水平地面的距離為，底端到垂直墻面的距離為，若，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知：當(dāng)時，梯子最穩(wěn)定，使用時最安全．若梯子的頂端下滑了，請問這時使用是否安全．二、求旗桿高度（共3小題）4．（2021春·安徽淮南·八年級校聯(lián)考期中）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾．”(注：1步＝5尺)譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，問繩索有多長．”5．（2022春·新疆烏魯木齊·八年級烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谥校┨奈逡粡V場視野開闊，是一處設(shè)計(jì)別致，造型美麗的廣場園林，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場所，某校八年級（1）班的小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得圖中風(fēng)箏的高度，他們進(jìn)行了如下操作：①測得的長為15米（注：）；②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線的長為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.7米．(1)求風(fēng)箏的高度．(2)過點(diǎn)D作，垂足為H，求的長度．6．（2022秋·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期末）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面，請你求出旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）．三、求小鳥飛行高度（共3小題）7．（2022秋·陜西榆林·八年級校考期中）如圖，一只小鳥旋停在空中A點(diǎn)，A點(diǎn)到地面的高度米，A點(diǎn)到地面C點(diǎn)（B、C兩點(diǎn)處于同一水平面）的距離米．若小鳥豎直下降12米到達(dá)D點(diǎn)（D點(diǎn)在線段AB上），求此時小鳥到地面C點(diǎn)的距離．8．（2021秋·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）有一只喜鵲在一棵3m高的小樹上覓食，它的巢筑在距離該樹24m的一棵大樹上，大樹高14m，且巢離樹頂部1m．當(dāng)它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即趕過去，如果它飛行的速度為5m/s，那它至少需要多少時間才能趕回巢中？9．（2023秋·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期末）如圖，有兩棵樹，一棵高6m，另一棵高2m，兩樹相距5m．一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少米？（結(jié)果精確到0.1m）四、求旗桿折斷前的高度（共4小題）10．（2022秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度為16米的大樹被折斷，樹的頂部落在離樹根8米處，即，求這棵樹在離地面多高處被折斷（即求AC的長度）？11．（2019春·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）一陣大風(fēng)把一根高為9m的樹在離地4m處折斷，折斷處仍相連，此時在離樹3.9m處，一頭高1m的小馬正在吃草，小馬有危險嗎？為什么？12．（2021秋·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一次“臺風(fēng)”過后，一根旗桿被臺風(fēng)從離地面2.8米處吹斷，倒下的旗桿的頂端落在離旗桿底部9.6米處，那么這根旗桿被吹斷裂前有多高？五、解決水杯中筷子問題（共4小題）13．（2021春·遼寧朝陽·八年級統(tǒng)考期末）一種盛飲料的圓柱形杯，測得內(nèi)部底面半徑為2.5㎝，高為12㎝，吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，問吸管要做多長？14．（2022春·福建廈門·八年級福建省廈門第六中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知圓柱形茶杯，底面直徑為5厘米，將長為20厘米的筷子沿底面放入杯中，筷子露在茶杯口外的最短長度是7厘米，求茶杯的高度．15．（2021春·云南紅河·八年級?？计谥校⒁桓目曜?，置于底面直徑為，高的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為，求h的取值范圍16．（2018春·全國·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將一根15cm長的細(xì)木棒放入長、寬、高分別為4cm，3cm和12cm的長方體無蓋盒子中，則細(xì)木棒露在外面的最短長度是多少？六、航行問題（共5小題）17．（2021春·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，甲乙兩船從港口同時出發(fā)，甲船以16海里時速度沿北偏東方向航行，乙船沿南偏東方向航行，3小時后，甲船到達(dá)島，乙船到達(dá)島．若、兩島相距60海里，問：乙船的航速是多少？18．（2023春·湖北恩施·八年級校聯(lián)考期中）在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船、同時收到某事故漁船的求救訊息，已知此時救助船在的正北方向，事故漁船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故漁船與救助船相距60海里．(1)求收到求救訊息時事故漁船與救助船之間的距離（結(jié)果保留根號）；(2)求救助船、分別以20海里/小時，15海里/小時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往事故漁船處搜救，試通過計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá)．19．（2022春·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期末）某天，暴雨突然來襲，兩艘搜救艇接到消息，在海面上有遇險船只從A、B兩地發(fā)出求救信號．于是，第一艘搜救艇以20海里/時的速度離開港口O沿北偏東40°的方向向A地出發(fā)，同時，第二艘搜救艇也從港口O出發(fā)，以15海里/時的速度向B地出發(fā)，2小時后，他們同時到達(dá)各自的目標(biāo)位置．此時，他們相距50海里．(1)求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？（求的大小）(2)由于B地需要被援救的人數(shù)較多，故需要搭載人數(shù)較少的第一艘搜救艇改道去到B地支援，在從A地前往到B地的過程中，與港口O最近的距離是多少？20．（2023春·湖南張家界·八年級統(tǒng)考期中）如圖，海中有一小島P，它的周圍12海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在M處測得小島P在北偏東60°方向上，航行16海里到N處，這時測得小島P在北偏東30°方向上．(1)求M點(diǎn)與小島P的距離；(2)如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，是否有觸礁危險，并說明理由．21．（2023春·重慶巴南·八年級統(tǒng)考期末）在海平面上有A，B，C三個標(biāo)記點(diǎn)，其中A在C的北偏西方向上，與C的距離是800海里，B在C的南偏西方向上，與C的距離是600海里．

(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離；(2)若在點(diǎn)C處有一燈塔，燈塔的信號有效覆蓋半徑為500海里，每隔半小時會發(fā)射一次信號，此時在點(diǎn)B處有一艘輪船準(zhǔn)備沿直線向點(diǎn)A處航行，輪船航行的速度為每小時20海里．輪船在駛向A處的過程中，最多能收到多少次信號？（信號傳播的時間忽略不計(jì)）．七、求河寬（共3小題）22．（2021春·廣東江門·八年級江門市新會東方紅中學(xué)?？计谥校┤鐖D，池塘邊有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是與BA方向成直角的AC方向上一點(diǎn)，測得BC=100m，AC=60m，求A，B兩點(diǎn)間的距離23．（2023秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船，河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從點(diǎn)移動到點(diǎn)，同時小船從點(diǎn)移動到點(diǎn)，且繩長始終保持不變，回答下列問題：(1)根據(jù)題意，可知________（填“”“”“”）；(2)若米，米，米，求男孩需向右移動的距離（結(jié)果保留根號）．24．（2021春·湖南婁底·八年級統(tǒng)考期末）高鐵修建過程中需要經(jīng)過一座小山．如圖，施工方計(jì)劃沿AC方向開挖隧道，為了加快施工速度，要在小山的另一側(cè)D（共線）處同時施工．測得，求BD長．（結(jié)果精確到十分位）八、判斷汽車超速問題（共3小題）25．（2023春·遼寧營口·八年級校聯(lián)考期中）《中華人民共和國道路交通管理?xiàng)l例》規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀處的正前方的處，過了后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為，這輛小汽車超速了嗎？（參考數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：）26．（2023春·江西上饒·八年級統(tǒng)考期中）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速．如圖，觀測點(diǎn)設(shè)在到迎澤大街（直線AO）的距離（線段PO）為120米的點(diǎn)P處.這時，一輛小轎車由點(diǎn)A向點(diǎn)O勻速行駛，測得此車從點(diǎn)A處行駛到點(diǎn)B處所用的時間為5秒，且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）(1)求點(diǎn)A，B之間的距離；（精確到0.1米）(2)請判斷此車是否超過了迎澤大街每小時60千米的限制速度，并說明理由．27．（2023春·湖北咸寧·八年級期中）交通安全是社會關(guān)注的熱點(diǎn)問題，安全隱患主要是超速和超載．某中學(xué)八年級數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)進(jìn)行了測試汽車速度的實(shí)驗(yàn)．如圖，先在筆直的公路1旁選取一點(diǎn)P，在公路1上確定點(diǎn)O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．這時，一輛轎車在公路1上由B向A勻速駛來，測得此車從B處行駛到A處所用的時間為3秒，并測得∠APO＝60°．此路段限速每小時80千米，試判斷此車是否超速？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：＝1.41，＝1.73）．九、是否受臺風(fēng)影響（共3小題）28．（2022春·湖北武漢·八年級武漢外國語學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校）校考期中）如圖，A市氣象站測得臺風(fēng)中心在A市正東方向300千米的B處，以10千米/時的速度向北偏西60°的BF方向移動，距臺風(fēng)中心200千米范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域．(1)A市是否會受到臺風(fēng)的影響？寫出你的結(jié)論并給予說明；(2)如果A市受這次臺風(fēng)影響，那么受臺風(fēng)影響的時間有多長？29．（2023春·河南漯河·八年級?？计谀┡_風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向由行駛向，已知點(diǎn)為一海港，且點(diǎn)與直線上的兩點(diǎn)，的距離分別為，，又，以臺風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）求的度數(shù)．（2）海港受臺風(fēng)影響嗎？為什么？（3）若臺風(fēng)的速度為千米/小時，當(dāng)臺風(fēng)運(yùn)動到點(diǎn)處時，海港剛好受到影響，當(dāng)臺風(fēng)運(yùn)動到點(diǎn)時，海港剛好不受影響，即，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？30．（2023春·廣東云浮·八年級統(tǒng)考期中）如圖，A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向600km的B處，以每小時200km的速度向北偏東60°的方向移動，距臺風(fēng)中心500km的范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域．（1）A城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？（2）若A城受到這次臺風(fēng)的影響，那么A城遭受這次臺風(fēng)影響有多長時間？十、選址使兩地距離相等（共3小題）31．（2023春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在筆直的鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，，，于A，于B，現(xiàn)要在AB上建一個中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求E應(yīng)建在距A多遠(yuǎn)處？32．（2023春·湖南常德·八年級統(tǒng)考期中）“三農(nóng)”問題是關(guān)系國計(jì)民生的根本問題，實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是建設(shè)美麗中國的關(guān)鍵舉措．如圖，公路上兩點(diǎn)相距50km，為兩村莊，于，于，已知，，現(xiàn)在要在公路上建一個土特產(chǎn)品市場，使得兩村莊到市場的距離相等，則市場應(yīng)建在距多少千米處?并判斷此時的形狀，請說明理由．33．（2018秋·河北保定·八年級校聯(lián)考期中）鐵路上A,B兩站（視為直線上的兩點(diǎn)）相距50km，C,D為兩村莊（視為兩個點(diǎn)），DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B（如圖）.已知DA=20km,CB=10km,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)收購站E,使得C,D兩村莊到收購站E的直線距離相等，請你設(shè)計(jì)出收購站的位置，并計(jì)算出收購站E到A站的距離.十一、利用勾股定理逆定理解決實(shí)際生活問題（共5小題）34．（2022秋·安徽宿州·八年級?？计谥校┤鐖D，是一塊草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊草坪的面積．35．（2023春·全國·八年級期末）聊城市在創(chuàng)建“全國文明城市”期間，某小區(qū)在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，經(jīng)技術(shù)人員的測量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的綠化費(fèi)用為150元，試計(jì)算綠化這片空地共需花費(fèi)多少元？36．（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，有一艘貨船和一艘客船同時從港口A出發(fā)，客船每小時比貨船多走5海里，客船與貨船速度的比為，貨船沿南偏東80°方向航行，2小時后貨船到達(dá)B處，客船到達(dá)C處，若此時兩船相距50海里，求客船航行的方向．37．（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，為方便運(yùn)輸