(第1課時)5.2.2簡單的三角恒等變換1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式復(fù)習(xí)引入余余正正(哭哭喪喪）符號相反正余余正(喪哭哭喪）符號相同符號上同下不同2.二倍角公式分析：請大家想一想，本題中已知和所求的三角函數(shù)式中的角有什么特點？已知和所求角之間有2倍關(guān)系.解：有了和（差）角公式和二倍角公式，進而可以解決三個角的和與差的問題，多個角的和差問題，多倍角的問題等，既然倍角解決了，那么你能嘗試半角嗎？

學(xué)習(xí)了和（差）角公式、二倍角公式以后，我們就有了進行三角恒等變換的新工具，從而使三角恒等變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富.學(xué)習(xí)新知例1.試以表示.(1)已知角

與待求角

有什么關(guān)系？(2)怎樣運用倍角公式解決？解：例1.試以表示.【記憶方法】半角公式帶根號，是正是負看半角.綜合例1結(jié)論特點:（1）用單角的三角函數(shù)表示它們的一半即是半角的三角函數(shù)；（2）由左式的“二次式”轉(zhuǎn)化為右式的“一次式”（即用此式可達到“降次”的目的）.

代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換．對于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系，這是三角式恒等變換的重要特點．

經(jīng)歷了例1的解決過程之后，你能談一談三角恒等變換與代數(shù)恒等變換二者之間有何區(qū)別嗎？

所以得證．證法一：因為練習(xí)1：求證：注意到等式兩側(cè)所含角為二倍關(guān)系

練習(xí)1：求證：又

即所以得證．證法二：因為此題給出了不需要討論正負號的半角正切公式.(注意公式的選取.)例2.求證證明：(1)sin(

+

)＝sin

cos

+cos

sin

sin(

-

)＝sin

cos

-cos

sin

兩式相加，得sin(

+

)+sin(

-

)＝2sin

cos

積化和差和差化積(1)式子中所包含的各個角有怎樣的關(guān)系？你能得到什么樣的啟示？

根據(jù)(1)式子中存在兩角及它們的和與差(反之也是)，式子結(jié)構(gòu)從積到和差(反之也是)，式子結(jié)構(gòu)從二次到一次(反之也是)，要消除這種差異，你可以從哪個角度入手呢？

根據(jù)兩角和與差的正、余弦公式把下列等式補充完整：(1)sin(α＋β)＋sin(α－β)＝

；(2)sin(α＋β)－sin(α－β)＝

；(3)cos(α＋β)＋cos(α－β)＝

；(4)cos(α＋β)－cos(α－β)＝

.2sinαcosβ2cosαsinβ2cosαcosβ－2sinαsinβ由上述(1)～(4)這四個等式不難得出下列四個對應(yīng)的積化和差公式:積化和差公式例2.求證積化和差和差化積(2)中式子兩邊在結(jié)構(gòu)形式上與(1)有什么不同？

根據(jù)兩個式子的結(jié)構(gòu)特點，(1)是將正余弦之積化為兩正弦之和，(2)是將兩正弦之和化為正余弦之積，而且對比角的關(guān)系，且，因此考慮到它們之間的聯(lián)系，采取換元法進行證明.例2.求證證明：追問：不用(1)的結(jié)果，如何證明？積化和差和差化積根據(jù)兩角和與差的正、余弦公式把下列等式補充完整：(1)sin(α＋β)＋sin(α－β)＝

；(2)sin(α＋β)－sin(α－β)＝

；(3)cos(α＋β)＋cos(α－β)＝

；(4)cos(α＋β)－cos(α－β)＝

.2sinαcosβ2cosαsinβ2cosαcosβ－2sinαsinβ在上述⑴～⑷這四個等式中，由此可以得到四個相應(yīng)的和差化積公式：在上述⑴～⑷這四個等式中，由此可以得到四個相應(yīng)的和差化積公式：和差化積公式正加正，正在前余加余，余并肩余減余，負正弦正減正，余在前

例2的證明用到了換元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，從而把包含α，β的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為θ，φ的三角函數(shù)式，或者，把sinαcosβ看作x，cosαsinβ看作y，把等式看作x，y的方程，則原問題轉(zhuǎn)化為解方程（組）求x.它們都體現(xiàn)了化歸思想.感悟提升提示：注意尋找已知式中的角

與待求式中的