5解析幾何時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(2015·鄭州市質(zhì)檢)“a＝1”是“直線ax＋y＋1＝0與直線(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件[答案]B[解析]兩直線垂直的充要條件為a(a＋2)－3＝0，解得a＝－3或a＝1，故選B．2．(文)已知圓O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，則過點(diǎn)M(3,0)的最短弦所在的直線方程是()A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0[答案]A[解析]圓O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，即(x－4)2＋(y－1)2＝7，圓心O(4,1)，設(shè)過點(diǎn)M(3,0)的最短弦所在的直線為l，∵kOM＝1，∴kl＝－1，∴l(xiāng)的方程為：y＝－1·(x－3)，即x＋y－3＝0.(理)已知動圓C經(jīng)過點(diǎn)F(0,1)并且與直線y＝－1相切，若直線3x－4y＋20＝0與圓C有公共點(diǎn)，則圓C的面積()A．有最大值為π B．有最小值為πC．有最大值為4π D．有最小值為4π[答案]D[解析]如圖所示，由圓C經(jīng)過點(diǎn)F(0,1)，并且與直線y＝－1相切，可得點(diǎn)C的軌跡為拋物線x2＝4y，顯然以拋物線x2＝4y上任一點(diǎn)為圓心可作出任意大的圓與直線3x－4y＋20＝0相交，且此圓可無限大，即圓C的面積不存在最大值，設(shè)圓C與3x－4y＋20＝0相切于點(diǎn)A，其圓心為(x0，y0)，則由AC＝PC可得d＝eq\f(3x0－4y0＋20,5)＝y(tǒng)0＋1(點(diǎn)C在直線3x－4y＋20＝0的右方)，即eq\f(3x0－x\o\al(2,0)＋20,5)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)＋1，解得x0＝－2或x0＝eq\f(10,3)(舍去)，當(dāng)x0＝－2時，圓心C坐標(biāo)為(－2,1)，此時圓C的半徑為2，即可得圓C的面積的最小值為4π，故應(yīng)選D．3．(文)(2015·江西上饒三模)已知點(diǎn)M(－6,5)在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，雙曲線C的焦距為12，則它的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(\r(5),2)x B．y＝±eq\f(2\r(5),5)xC．y＝±eq\f(2,3)x D．y＝±eq\f(3,2)x[答案]A[解析]由條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(36,a2)－\f(25,b2)＝1，,a2＋b2＝c2，,c＝6，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2\r(5)，,c＝6.))∴漸近線方程為y＝±eq\f(\r(5),2)x.(理)(2015·新課標(biāo)Ⅱ理，11)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為()A.eq\r(5) B．2C.eq\r(3) D．eq\r(2)[答案]D[解析]考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)．設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，如圖所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為N，在Rt△BMN中，|BN|＝a，|MN|＝eq\r(3)a，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(2a，eq\r(3)a)，代入雙曲線方程得a2＝b2＝c2－a2，即c2＝2a2，所以e＝eq\r(2)，故選D．4．拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線x－y＝0與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，若P(1,1)為線段AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為()A．y＝2x2 B．y2＝2xC．x2＝2y D．y2＝－2x[答案]B[解析]設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線方程為y2＝2px，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2px1,y\o\al(2,2)＝2px2))，兩式相減可得2p＝eq\f(y1－y2,x1－x2)×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，∴拋物線C的方程為y2＝2x，故應(yīng)選B．5．(文)(2015·新課標(biāo)Ⅰ文，5)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為eq\f(1,2)，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點(diǎn)，則|AB|＝()A．3 B．6C．9 D．12[答案]B[解析]拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)．因為E的右焦點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)重合，所以橢圓中c＝2，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4，則橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，因為拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－2，當(dāng)x＝－2時，y＝±3，則|AB|＝2×3＝6.故本題正確答案為B．(理)過原點(diǎn)O作直線l交橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)于點(diǎn)A、B，橢圓的右焦點(diǎn)為F2，離心率為e.若以AB為直徑的圓過點(diǎn)F2，且sin∠ABF2＝e，則e＝()A.eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),3) D．eq\f(\r(3),2)[答案]B[解析]記橢圓的左焦點(diǎn)為F1，依題意得|AB|＝2c，四邊形AF1BF2為矩形，sin∠ABF2＝eq\f(|AF2|,|AB|)＝eq\f(|AF2|,2c)＝e，|AF2|＝2ce，|AF1|2＝(2a－|AF2|)2＝(2a－2ce)2，|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，(2a－2ce)2＋(2ce)2＝(2c)2，由此解得e＝eq\f(\r(2),2)，選B．6．半徑不等的兩定圓O1、O2沒有公共點(diǎn)，且圓心不重合，動圓O與定圓O1和定圓O2都內(nèi)切，則圓心O的軌跡是()A．雙曲線的一支 B．橢圓C．雙曲線的一支或橢圓 D．雙曲線或橢圓[答案]C[解析]設(shè)⊙O1、⊙O2、⊙O的半徑分別為r1、r2、R，且r1>r2>0，當(dāng)⊙O1與⊙O2外離時，由條件知⊙O1與⊙O2都內(nèi)切于⊙O，∴|OO1|＝R－r1，|OO2|＝R－r2，∴|OO2|－|OO1|＝r1－r2,0<r1－r2<|O1O2|，∴點(diǎn)O的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的雙曲線靠近O1點(diǎn)的一支；當(dāng)⊙O2內(nèi)含于⊙O1時，應(yīng)有⊙O內(nèi)切于⊙O1，⊙O2內(nèi)切于⊙O，∴|OO1|＝r1－R，|OO2|＝R－r2，∴|OO1|＋|OO2|＝r1－r2，∵O1與O2不重合，且r1>r2，∴r1－r2>|O1O2|，∴點(diǎn)O的軌跡為以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓，故選C.7．(文)已知方程eq\f(x2,2－k)＋eq\f(y2,2k－1)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是()A．(eq\f(1,2)，2) B．(1，＋∞)C．(1,2) D．(eq\f(1,2)，1)[答案]C[解析]由題意可得，2k－1>2－k>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k－1>2－k，,2－k>0，))解得1<k<2，故選C.(理)(2014·廣東文，8)若實數(shù)k滿足0<k<5，則曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,5－k)＝1與曲線eq\f(x2,16－k)－eq\f(y2,5)＝1的()A．實半軸長相等 B．虛半軸長相等C．離心率相等 D．焦距相等[答案]D[解析]∵0<k<5，∴兩方程都表示雙曲線，由雙曲線中c2＝a2＋b2得其焦距相等，選D．8．(2014·大綱全國理，6)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長為4eq\r(3)，則C的方程為()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1[答案]A[解析]根據(jù)條件可知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，且4a＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，c＝1，b2＝2，橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.9．(文)已知P點(diǎn)是x2＋y2＝a2＋b2與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是C的左、右焦點(diǎn)，且滿足|PF1|＝3|PF2|，則雙曲線的離心率e為()A．2 B．eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(10),2) D．eq\f(\r(5),2)[答案]C[解析]設(shè)|PF2|＝x，則|PF1|＝3x，∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝10x2＝4c2，∴c＝eq\f(\r(10),2)x，由雙曲線的定義知，2a＝|PF1|－|PF2|＝2x，∴a＝x，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),2)，故選C.(理)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)A在雙曲線上，且AF2⊥x軸，若eq\f(|AF1|,|AF2|)＝eq\f(5,3)，則雙曲線的離心率等于()A．2 B．3C.eq\r(2) D．eq\r(3)[答案]A[解析]設(shè)|AF2|＝3x，則|AF1|＝5x，∴|F1F2|＝4x，∴c＝2x，由雙曲線的定義知，2a＝|AF1|－|AF2|＝2x，∴a＝x，∴e＝eq\f(c,a)＝2.10．(文)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為A，直線l與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B，點(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為C，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝36，則拋物線的方程為()A．y2＝6x B．y2＝3xC．y2＝12x D．y2＝2eq\r(3)x[答案]D[解析]∵F(eq\f(p,2)，0)，設(shè)A(x0，y0)，y0>0，則C(－eq\f(p,2)，y0)，B(p－x0，－y0)，由條件知p－x0＝－eq\f(p,2)，∴x0＝eq\f(3p,2)，∴yeq\o\al(2,0)＝2p·eq\f(3p,2)＝3p2，∴y0＝eq\r(3)p，∴B(－eq\f(p,2)，－eq\r(3)p)，A(eq\f(3p,2)，eq\r(3)p)，C(－eq\f(p,2)，eq\r(3)p)，∴eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2p,2eq\r(3)p)·(0,2eq\r(3)p)＝12p2＝36，∴p＝eq\r(3)，∴拋物線方程為y2＝2eq\r(3)x.(理)過雙曲線M：x2－eq\f(y2,b2)＝1的左頂點(diǎn)A作斜率為2的直線l，若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點(diǎn)B、C，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，則雙曲線M的離心率是()A.eq\r(5) B．eq\r(10)C.eq\r(17) D．eq\r(37)[答案]C[解析]由條件知A(－1,0)，∴l(xiāng)：y＝2(x＋1)，雙曲線漸近線方程為y＝±bx，∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴B在A，C之間，∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,y＝－bx，))得B(－eq\f(2,b＋2)，eq\f(2b,b＋2))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,y＝bx，))得C(eq\f(2,b－2)，eq\f(2b,b－2))，再由eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))得b＝4，∴e＝eq\r(17).11．若拋物線y2＝2px上恒有關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱的兩點(diǎn)A、B，則p的取值范圍是()A．(－eq\f(2,3)，0) B．(0，eq\f(3,2))C．(0，eq\f(2,3)) D．(－∞，0)∪(eq\f(2,3)，＋∞)[答案]C[解析]設(shè)直線AB：y＝x＋b，代入y2＝2px中消去x得，y2－2py＋2pb＝0，∴y1＋y2＝2p，x1＋x2＝y(tǒng)1＋y2－2b＝2p－2b，由條件知線段AB的中點(diǎn)(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))，即(p－b，p)在直線x＋y－1＝0上，∴b＝2p－1，Δ＝4p2－8pb＝4p2－8p(2p－1)＝－12p2＋8p>0，∴0<p<eq\f(2,3).12．(2015·鄭州市質(zhì)檢)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若|PF2|＝|F1F2|，且2|PF1|＝3|QF1|，則橢圓的離心率為()A.eq\f(3,5) B．eq\f(4,5)C.eq\f(3,4) D．eq\f(3\r(2),5)[答案]A[解析]由已知得|PF2|＝|F1F2|＝2∴|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c，|QF1|＝eq\f(2,3)|PF1|＝eq\f(4,3)(a－c)，|QF2|＝2a－|QF1|＝2a－eq\f(2,3)(2a－2c)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)c|PQ|＝eq\f(10,3)(a－c)在△PF1F2和△PF2Q中，由余弦定理得：cos∠F2PQ＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(|PQ|2＋|PF2|2－|QF2|2,2|PQ|·|PF2|)即eq\f(2a－2c2＋2c2－2c2,22a－2c·2c)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)a－\f(10,3)c))2＋2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(4c,3)))2,2\f(10,3)a－\f(10,3)c·2c)整理得5c2－8ac＋3a2＝0，即5e2－8e＋3＝0，∴e＝eq\f(3,5)或e＝1(舍)．二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，將正確答案填在題中橫線上)13．(文)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與拋物線y2＝8x有公共焦點(diǎn)，且雙曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最短距離為1，則該雙曲線的離心率為________．[答案]2[解析]∵拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，∴雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中c＝2，又a＝1，∴e＝eq\f(c,a)＝2.(理)過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點(diǎn)作一條漸近線的垂線，垂足恰好落在曲線eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1上，則雙曲線的離心率為________．[答案]eq\r(2)[解析]不妨設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為(c,0)，(c>0)，一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－0＝－\f(a,b)x－c,y＝\f(b,a)x))得垂足的坐標(biāo)為(eq\f(a2,c)，eq\f(ab,c))，把此點(diǎn)坐標(biāo)代入方程eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1，得eq\f(a4,b2c2)＋eq\f(a2b2,a2c2)＝1，化簡，并由c2＝a2＋b2得a＝b，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).14．(文)設(shè)拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)P(1,4)的直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，則|eq\o(AF,\s\up6(→))|＋|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝________.[答案]10[解析]設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知x1＋x2＝2，且xeq\o\al(2,1)＝4y1，xeq\o\al(2,2)＝4y2，兩式相減整理得，eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝eq\f(1,2)，所以直線AB的方程為x－2y＋7＝0，將x＝2y－7代入x2＝4y整理得4y2－32y＋49＝0，所以y1＋y2＝8，又由拋物線定義得|eq\o(AF,\s\up6(→))|＋|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝y(tǒng)1＋y2＋2＝10.(理)橢圓Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為2c，若直線y＝eq\r(3)(x＋c)與橢圓Γ的一個交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________．[答案]eq\r(3)－1[解析]本題考查了橢圓離心率的求解．如圖，由題意易知F1M⊥F2M且|MF1|＝c，|MF2|＝eq\r(3)c，∴2a＝(eq\r(3)＋1)c，∴eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.15．(2015·濰坊市模擬)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O、F的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π，則拋物線方程為________．[答案]y2＝16x[解析]由圓的面積為36π，得圓的半徑r＝6，圓心到準(zhǔn)線的距離為eq\f(p,2)＋eq\f(p,4)＝6，得p＝8，所以拋物線方程為y2＝16x.16．(文)(2015·蘭州市診斷)橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若橢圓C的離心率等于eq\f(1,2)，且它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線x2＝8eq\r(3)y的焦點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．[答案]eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1[解析]由題設(shè)知拋物線的焦點(diǎn)為(0,2eq\r(3))，所以橢圓中b＝2eq\r(3).因為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝2c，又因為a2－b2＝c2，聯(lián)立解得c＝2，a＝4，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(理)(2014·安徽理，14)若F1、F2分別是橢圓E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為________．[答案]x2＋eq\f(3,2)y2＝1[解析]如圖，由題意，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為c，∴c2＋eq\f(y2,b2)＝1，又b2＋c2＝1，∴y2＝b4，∴|AF2|＝b2，又∵|AF1|＝3|BF1|，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\f(5,3)c，－eq\f(1,3)b2)，代入橢圓方程得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)c2＋\f(－\f(1,3)b22,b2)＝1，,b2＝1－c2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c2＝\f(1,3)，,b2＝\f(2,3)))方程為x2＋eq\f(3,2)y2＝1.三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本題滿分10分)(2015·唐山市二模)已知拋物線E：x2＝4y，m，n是過點(diǎn)A(a，－1)且傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，其中m與E有唯一公共點(diǎn)B，n與E相交于不同的兩點(diǎn)C，D．(1)求m的斜率k的取值范圍；(2)當(dāng)n過E的焦點(diǎn)時，求B到n的距離．[解析](1)m：y＋1＝k(x－a)，n：y＋1＝－k(x－a)，分別代入x2＝4y，得x2－4kx＋4ka＋4＝0①，x2＋4kx－4ka＋4＝0②，由Δ1＝0得k2－ka－1＝0，由Δ2＞0得k2＋ka－1＞0，故有2k2－2＞0，得k2＞1，即k＜－1或k＞1.(2)E的焦點(diǎn)F(0,1)，kAF＝eq\f(－2,a)＝－k，所以ak＝2.∴k2＝ka＋1＝3，B(2k，k2)，所以B到n的距離d＝eq\f(|3k2－ak＋1|,\r(1＋k2))＝eq\f(|3k2－1|,\r(1＋k2))＝4.18．(本題滿分12分)(2015·石家莊市一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動圓經(jīng)過點(diǎn)(1,0)且與直線x＝－1相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)已知點(diǎn)A(5,0)，傾斜角為eq\f(π,4)的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A)且與曲線E交于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積的最大值，及此時直線l的方程．[解析](1)由題意可知圓心到點(diǎn)(1,0)的距離等于到直線x＝－1的距離，由拋物線的定義可知，圓心的軌跡方程：y2＝4x.(2)解法一：由題意，可設(shè)l的方程為y＝x－m，其中0＜m＜5由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－m,y2＝4x))，消去y，得x2－(2m＋4)x＋m2＝0①當(dāng)0＜m＜5時，方程①的判別式Δ＝(2m＋4)2－4m2＝16(1＋m)＞0成立．設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)則x1＋x2＝4＋2m，x1·x2＝m2，∴|MN|＝eq\r(2)|x1－x2|＝4eq\r(2＋2m)又因為點(diǎn)A到直線l的距離為d＝eq\f(5－m,\r(2))∴S△AMN＝2(5－m)eq\r(1＋m)＝2eq\r(m3－9m2＋15m＋25).令f(m)＝m3－9m2＋15m＋25，(0<m<5)，f′(m)＝3m2－18m＋15＝3(m－1)(m所以函數(shù)f(m)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,5)上單調(diào)遞減．當(dāng)m＝1時，f(m)有最大值32，故當(dāng)直線l的方程為y＝x－1時，△AMN的最大面積為8eq\r(2).解法二：由題意，可設(shè)l與x軸相交于B(m,0),l的方程為x＝y(tǒng)＋m，其中0＜m＜5由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝y(tǒng)＋m,y2＝4x))，消去x，得y2－4y－4m＝0①∵直線l與拋物線有兩個不同交點(diǎn)M、N，∴方程①的判別式Δ＝(－4)2＋16m＝16(1＋m)＞0必成立，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)則y1＋y2＝4，y1·y2＝－4m.∴S△＝eq\f(1,2)(5－m)|y1－y2|＝eq\f(1,2)(5－m)eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝2(5－m)eq\r(1＋m)＝2eq\r(m3－9m2＋15m＋25).令f(m)＝m3－9m2＋15m＋25，(0<m<5)，f′(m)＝3m2－18m＋15＝3(m－1)(m所以函數(shù)f(m)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,5)上單調(diào)遞減．當(dāng)m＝1時，f(m)有最大值32，故當(dāng)直線l的方程為y＝x－1時，△AMN的最大面積為8eq\r(2).19．(本題滿分12分)(文)設(shè)點(diǎn)P是曲線C：x2＝2py(p>0)上的動點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)(0,1)的距離和它到焦點(diǎn)F的距離之和的最小值為eq\f(5,4).(1)求曲線C的方程；(2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，過P作斜率為k(k≠0)的直線交C于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q且與PQ垂直的直線與C交于另一點(diǎn)N，問是否存在實數(shù)k，使得直線MN與曲線C相切？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．[解析](1)依題意知1＋eq\f(p,2)＝eq\f(5,4)，解得p＝eq\f(1,2).所以曲線C的方程為x2＝y(tǒng).(2)由題意直線PQ的方程為：y＝k(x－1)＋1，則點(diǎn)M(1－eq\f(1,k)，0)．聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1＋1,y＝x2))，消去y得x2－kx＋k－1＝0，得Q(k－1，(k－1)2)．所以得直線QN的方程為y－(k－1)2＝－eq\f(1,k)(x－k＋1)．代入曲線方程y＝x2中，得x2＋eq\f(1,k)x－1＋eq\f(1,k)－(1－k)2＝0.解得N(1－eq\f(1,k)－k，(1－k－eq\f(1,k))2)．所以直線MN的斜率kMN＝eq\f(1－k－\f(1,k)2,1－\f(1,k)－k－1－\f(1,k))＝－eq\f(1－k－\f(1,k)2,k).過點(diǎn)N的切線的斜率k′＝2(1－k－eq\f(1,k))．由題意有－eq\f(1－k－\f(1,k)2,k)＝2(1－k－eq\f(1,k))．解得k＝eq\f(－1±\r(5),2).故存在實數(shù)k＝eq\f(－1±\r(5),2)使命題成立．(理)(2015·鄭州市質(zhì)檢)設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，B為短軸端點(diǎn)，且S△BF1F2＝4，離心率為eq\f(\r(2),2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恰有兩個交點(diǎn)M、N，且滿足|eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))|＝|eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))|？若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由．[解析](1)因為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由題意得S△BF1F2＝eq\f(1,2)×2c×b＝4，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，a2＝b2＋c2，所以解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.))所以橢圓C的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓x2＋y2＝r2，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點(diǎn)M，N，因為|eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))|＝|eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))|，所以有eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)該圓的切線方程為y＝kx＋m，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1))得x2＋2(kx＋m)2＝8，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，則Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)>0，即8k2－m2＋4>0，x1,2＝eq\f(－4km±\r(16k2m2－41＋2k22m2－8),21＋2k2)∴x1＋x2＝－eq\f(4km,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2m2－8,1＋2k2)；y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝eq\f(k22m2－8,1＋2k2)－eq\f(4k2m2,1＋2k2)＋m2＝eq\f(m2－8k2,1＋2k2)，要使eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，需x1x2＋y1y2＝0，即eq\f(2m2－8,1＋2k2)＋eq\f(m2－8k2,1＋2k2)＝0，所以3m2－8k2－8＝0，所以k2＝eq\f(3m2－8,8)≥0，又8k2－m2＋4>0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2>2,3m2≥8))，所以m2≥eq\f(8,3)，即m≥eq\f(2\r(6),3)或m≤－eq\f(2\r(6),3)，因為直線y＝kx＋m為圓的一條切線，所以圓的半徑為r＝eq\f(|m|,\r(1＋k2))，r2＝eq\f(m2,1＋k2)＝eq\f(m2,1＋\f(3m2－8,8))＝eq\f(8,3)，r＝eq\f(2\r(6),3)，所求的圓為x2＋y2＝eq\f(8,3)，此時圓的切線y＝kx＋m都滿足m≥eq\f(2\r(6),3)或m≤－eq\f(2\r(6),3)，而當(dāng)切線的斜率不存在時，切線為x＝±eq\f(2\r(6),3)與橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)，±\f(2\r(6),3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)，±\f(2\r(6),3)))滿足eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓x2＋y2＝eq\f(8,3)滿足條件．20．(本題滿分12分)(2015·北京文，20)已知橢圓C：x2＋3y2＝3.過點(diǎn)D(1,0)且不過點(diǎn)E(2,1)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，直線AE與直線x＝3交于點(diǎn)M.(1)求橢圓C的離心率；(2)若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；(3)試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說明理由．[分析]本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線的斜率、兩直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力．第一問，先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到a，b，c的值，再利用e＝eq\f(c,a)計算離心率；第二問，由直線AB的特殊位置，設(shè)出A，B點(diǎn)坐標(biāo)和直線AE的方程，由直線AE與x＝3相交于M點(diǎn)，得到M點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)B、點(diǎn)M的坐標(biāo)，求直線BM的斜率；第三問，分直線AB的斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論，第一種情況，直接分析即可得出結(jié)論，第二種情況，先設(shè)出直線AB和直線AE的方程，將橢圓方程與直線AB的方程聯(lián)立，消參，得到x1＋x2和x1x2，代入到kBM＝1中，只需計算出等于0即可證明kBM＝kDE，即兩直線平行．[解析](1)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.所以a＝eq\r(3)，b＝1，c＝eq\r(2).所以橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).(2)因為AB過點(diǎn)D(1,0)且垂直于x軸，所以可設(shè)A(1，y1)，B(1，－y1)．直線AE的方程為y－1＝(1－y1)(x－2)．令x＝3，得M(3,2－y1)．所以直線BM的斜率kBM＝eq\f(2－y1＋y1,3－1)＝1.(3)直線BM與直線DE平行．證明如下：當(dāng)直線AB的斜率不存在時，由(2)可知kBM＝1.又因為直線DE的斜率kDE＝eq\f(1－0,2－1)＝1，所以BM∥DE.當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝k(x－1)(k≠1)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線AE的方程為y－1＝eq\f(y1－1,x1－2)(x－2)．令x＝3，得點(diǎn)M(3，eq\f(y1＋x1－3,x1－2))．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3y2＝3，,y＝kx－1))得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0.所以x1＋x2＝eq\f(6k2,1＋3k2)，x1x2＝eq\f(3k2－3,1＋3k2).直線BM的斜率kBM＝eq\f(\f(y1＋x1－3,x1－2)－y2,3－x2).因為kBM－1＝eq\f(kx1－1＋x1－3－kx2－1x1－2－3－x2x1－2,3－x2x1－2)＝eq\f(k－1[－x1x2＋2x1＋x2－3],3－x2x1－2)＝eq\f(k－1[\f(－3k2＋3,1＋3k2)＋\f(12k2,1＋3k2)－3],3－x2x1－2)＝0，所以kBM＝1＝kDE.所以BM∥DE.綜上可知，直線BM與直線DE平行．21．(本題滿分12分)(文)(2015·南昌市一模)已知圓E：x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(9,4)經(jīng)過橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為A，且F1，E，A三點(diǎn)共線，直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且eq\o(MN,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))(λ≠0)．(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)三角形AMN的面積取到最大值時，求直線l的方程．[解析](1)如圖，圓E經(jīng)過橢圓C的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，∵F1，E，A三點(diǎn)共線，∴F1A為圓E的直徑，∴AF2⊥F1F2，∴F2(c,0)在圓上，∴c2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2＝eq\f(9,4)，∵c>0，∴c＝eq\r(2)，|AF2|2＝|AF1|2－|F1F2|2＝9－8＝1，∴|AF2|＝1,2a＝|AF1|＋|AF2|＝3＋1＝4，∴∵a2＝b2＋c2，解得b＝eq\r(2)，∴橢圓C的方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)點(diǎn)A的坐標(biāo)(eq\r(2)，1)，∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))(λ≠0)，所以直線l的斜率為eq\f(\r(2),2)，故設(shè)直線l的方程為y＝eq\f(\r(2),2)x＋m由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(2),2)x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y得，x2＋eq\r(2)mx＋m2－2＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)∴x1＋x2＝－eq\r(2)m，x1x2＝m2－2，Δ＝2m2－4m2＋8>0，∴－2<m<2，|MN|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(1＋\f(1,2))eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(12－3m2)，點(diǎn)A到直線l的距離d＝eq\f(\r(6)|m|,3)，S△AMN＝eq\f(1,2)|MN|·d＝eq\f(1,2)eq\r(12－3m2)×eq\f(\r(6),3)|m|＝eq\f(\r(2),2)eq\r(4－m2m2)≤eq\f(\r(2),2)×eq\f(4－m2＋m2,2)＝eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)4－m2＝m2，即m＝±eq\r(2)時，S△AMN取到最大值eq\r(2)，直線l的方程為y＝eq\f(\r(2),2)x±eq\r(2).(理)(2014·上海八校調(diào)研)已知點(diǎn)F1、F2為雙曲線C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點(diǎn)M，且∠MF1F2＝30°.圓O的方程是x2＋y2＝b2.(1)求雙曲線C的方程；(2)過雙曲線C上任意一點(diǎn)P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P1、P2，求eq\o(PP1,\s\up6(→))·eq\o(PP2,\s\up6(→))的值；(3)過圓O上任意一點(diǎn)Q(x0，y0)作圓O的切線l交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M，求證：|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OM,\s\up6(→))|.[解析](1)設(shè)F2、M的坐標(biāo)分別為(eq\r(1＋b2)，0)，(eq\r(1＋b2)，y0)，因為點(diǎn)M在雙曲線C上，所以1＋b2－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，即y0＝±b2，所以|MF2|＝b2，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°，|MF2|＝b2，所以|MF1|＝2b2，由雙曲線的定義可知|MF1|－|MF2|＝b2＝2，故雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,2)＝1.(2)由條件可知兩條漸近線方程為l1：eq\r(2)x－y＝0，l2：eq\r(2)x＋y＝0.設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)P(x0，y0)，兩漸近線的夾角為θ，y＝eq\r(2)x的傾斜角為α，則cosθ＝cos(π－2α)＝eq\f(sin2α－cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2－1,2＋1)＝eq\f(1,3).點(diǎn)P到兩條漸近線的距離分別為|PP1|＝eq\f(|\r(2)x0－y0|,\r(3))，|PP2|＝eq\f(|\r(2)x0＋y0|,\r(3))，因為P(x0，y0)在雙曲線C：x2－eq\f(y2,2)＝1上，所以2xeq\o\al(2,0)－yeq\o\al(2,0)＝2，所以eq\o(PP1,\s\up6(→))·eq\o(PP2,\s\up6(→))＝eq\f(|\r(2)x0－y0|,\r(3))·eq\f(|\r(2)x0＋y0|,\r(3))cos(π－θ)＝eq\f(|2x\o\al(2,0)－y\o\al(2,0)|,3)·(－eq\f(1,3))＝－eq\f(2,9).(3)證明：由題意，要證|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OM,\s\up6(→))|，即證OA⊥OB．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，切線l的方程為x0x＋y0y＝2.①當(dāng)y0≠0時，切線l的方程代入雙曲線C的方程中，化簡得(2yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0))x2＋4x0x－(2yeq\o\al(2,0)＋4)＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(4x0,2y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0))，x1x2＝－eq\f(2y\o\al(2,0)＋4,2y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0))，又y1y2＝eq\f(2－x0x1,y0)·eq\f(2－x0x2,y0)＝eq\f(1,y\o\al(2,0))[4－x0(x1＋x2)＋xeq\o\al(2,0)x1x2]＝eq\f(8－2x\o\al(2,0),2y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝－eq\f(2y\o\al(2,0)＋4,2y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0))＋eq\f(8－2x\o\al(2,0),2y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0))＝eq\f(4－2x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0),2y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0))＝0；②當(dāng)y0＝0時，易知上述結(jié)論也成立，即eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝0.綜上所述，OA⊥OB，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OM,\s\up6(→))|.22．(本題滿分12分)(文)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短軸長為2，且與拋物線y2＝4eq\r(3)x有共同的一個焦點(diǎn)，橢圓C的左頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P是橢圓C上位于x軸上方的動點(diǎn)，直線AP、BP與直線y＝3分別交于G、H兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)求線段GH的長度的最小值；(3)在線段GH的長度取得最小值時，橢圓C上是否存在一點(diǎn)T，使得△TPA的面積為1，若存在求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．[解析](1)由已知得，拋物線的焦點(diǎn)為(eq\r(3)，0)，則c＝eq\r(3)，又b＝1，由a2－b2＝c2，可得a2＝4.故橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)直線AP的斜率k顯然存在，且k>0，故可設(shè)直線AP的方程為y＝k(x＋2)，從而G(eq\f(3,k)－2,3)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,4)＋y2＝1.))得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.設(shè)P(x1，y1)，則(－2)x1＝eq\f(16k2－4,1＋4k2)，所以x1＝eq\f(2－8k2,1＋4k2)，從而y1＝eq\f(4k,1＋4k2).即P(eq\f(2－8k2,1＋4k2)，eq\f(4k,1＋4k2))，又B(2,0)，則直線PB的斜率為－eq\f(1,4k).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4k)x－2，,y＝3.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－12k＋2，,y＝3.))所以H(－12k＋2,3)．故|GH|＝|eq\f(3,k)－2＋12k－2|＝|eq\f(3,k)＋12k－4|.又k>0，eq\f(3,k)＋12k≥2eq\r(\f(3,k)·12k)＝12.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3,k)＝12k，即k＝eq\f(1,2)時等號成立．所以當(dāng)k＝eq\f(1,2)時，線段GH的長度取最小值8.(3)由(2)可知，當(dāng)GH的長度取最小值時，k＝eq\f(1,2).則直線AP的方程為x－2y＋2＝0，此時P(0,1)，|AP|＝eq\r(5).若橢圓C上存在點(diǎn)T，使得△TPA的面積等于1，則點(diǎn)T到直線AP的距離等于eq\f(2\r(5),5)，所以T在平行于AP且與AP距離等于eq\f(2\r(5),5)的直線l上．設(shè)直線l：y＝eq\f(1,2)x＋t.則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋t，,\f(x2,4)＋y2＝1.))得x2＋2tx＋2t2－2＝0.Δ＝4t2－8(t2－1)≥0.即t2≤2.由平行線間的距離公式，得eq\f(|2－2t|,5\r())＝eq\f(2\r(5),5)，解得t＝0或t＝2(舍去)．可求得T(eq\r(2)，eq\f(\r(2),2))或T(－eq\r(2)，－eq\f(\r(2),2))．(理)設(shè)橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，如圖．若拋物線C2：y＝x2－1與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過F1、F2點(diǎn)．(1)求橢圓C1的方程；(2)設(shè)M(0，－eq\f(4,5))，N為拋物線C2上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線C2的切線交橢圓C1于P、Q兩點(diǎn)，求△MPQ面積的最大值．[解析](1)由題意可知B(0，－1)，則A(0，－2)，故b＝2.令y＝0得x2－1＝0即x＝±1，則F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，故c＝1.所以a2＝b2＋c2＝5，于是橢圓C1的方程為：eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)N(t，t2－1)，由于y′＝2x知直線PQ的方程為：y－(t2－1)＝2t(x－t)．即y＝2tx－t2－1.代入橢圓方程整理得：4(1＋5t2)x2－20t(t2＋1)x＋5(t2＋1)2－20＝0，Δ＝400t2(t2＋1)2－80(1＋5t2)[(t2＋1)2－4]＝80(－t4＋18t2＋3)，x1＋x2＝eq\f(5tt2＋1,1＋5t2)，x1x2＝eq\f(5t2＋12－20,41＋5t2)，故|PQ|＝eq\r(1＋4t2)|x1－x2|＝eq\r(1＋4t2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(\r(5)·\r(1＋4t2)·\r(－t4＋18t2＋3),1＋5t2).設(shè)點(diǎn)M到直線PQ的距離為d，則d＝eq\f(|\f(4,5)－t2－1|,\r(1＋4t2))＝eq\f(|t2＋\f(1,5)|,\r(1＋4t2)).所以，△MPQ的面積S＝eq\f(1,2)|PQ|·d＝eq\f(1,2)eq\f(\r(5)·\r(1＋4t2)·\r(－t4＋18t2＋3),1＋5t2)·eq\f(t2＋\f(1,5),\r(1＋4t2))＝eq\f(\r(5),10)eq\r(－t4＋18t2＋3)＝eq\f(\r(5),10)eq\r(－t2－92＋84)≤eq\f(\r(5),10)eq\r(84)＝eq\f(\r(105),5).當(dāng)t＝±3時取到“＝”，經(jīng)檢驗此時Δ>0，滿足題意．綜上可知，△MPQ的面積的最大值為eq\f(\r(105),5).[方法點(diǎn)撥]1.涉及直線與二次曲線有兩個交點(diǎn)時，一般方法是設(shè)出直線的方程與曲線方程聯(lián)立，用根與系數(shù)的關(guān)系“整體代入設(shè)而不求”和用判別式處理，中點(diǎn)弦問題還可用點(diǎn)差法解決．2．涉及圓錐曲線的焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)三角形問題，常結(jié)合定義，正余弦定理等知識解決．3．涉及垂直問題可結(jié)合向量的數(shù)量積解決．反饋練習(xí)一、選擇題1．(文)“a＝2”是“直線ax＋2y＝0平行于直線x＋y＝1”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]若a＝2，則直線ax＋2y＝0平行于直線x＋y＝1，反之也成立，即“a＝2”是“直線ax＋2y＝0平行于直線x＋y＝1”的充要條件，故應(yīng)選C.(理)若直線2tx＋3y＋2＝0與直線x＋6ty－2＝0平行，則實數(shù)t等于()A.eq\f(1,2)或－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)[答案]B[解析]由條件知，eq\f(2t,1)＝eq\f(3,6t)≠eq\f(2,－2)，∴t＝eq\f(1,2).2．(文)若直線l1：x－ay＋1＝0與直線l2：(a＋4)x＋(2a－1)y－5＝0互相垂直(a<0)，則直線l1A．45° B．135°C．60° D．30°或135°[答案]B[解析]∵l1⊥l2，∴1×(a＋4)－a(2a∴a＝－1或2，∵a<0，∴a＝1，∴l(xiāng)1的方程為x＋y＋1＝0，∴l(xiāng)1的傾斜角為135°.(理)若曲線y＝2x2的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則切線l的方程為()A．x＋4y＋3＝0 B．x＋4y－9＝0C．4x－y＋3＝0 D．4x－y－2＝0[答案]D[解析]y′＝4x，直線x＋4y－8＝0的斜率k＝－eq\f(1,4)，令4x＝4得x＝1，∴切點(diǎn)(1,2)，∴切線l：y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0，故選D．3．(2015·東北三省四市第二次聯(lián)考)已知直線y＝2eq\r(2)(x－1)與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M(－1，m)，若eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，則m＝()A.eq\r(2) B．eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D．0[答案]B[解析]求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算建立方程求解．聯(lián)立直線y＝2eq\r(2)(x－1)和拋物線C：y2＝4x，解得A(2,2eq\r(2))，B(eq\f(1,2)，－eq\r(2))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝(3,2eq\r(2)－m)·(eq\f(3,2)，－eq\r(2)－m)＝eq\f(9,2)＋(2eq\r(2)－m)(－eq\r(2)－m)＝0，化簡得m2－eq\r(2)m＋eq\f(1,2)＝0，∴m＝eq\f(\r(2),2)，故選B．[點(diǎn)評]當(dāng)A、B坐標(biāo)互換時，求得m的另一個值，但結(jié)合選項知只能選B．4．(2015·廣東理，7)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率e＝eq\f(5,4)，且其右焦點(diǎn)為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 D．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1[答案]C[解析]本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題．因為所求雙曲線的右焦點(diǎn)為F2(5,0)且離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求雙曲線方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故選C.5．(文)(2014·天津理，5)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：y＝2x＋10，雙曲線的一個焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1 B．eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(3x2,25)－eq\f(3y2,100)＝1 D．eq\f(3x2,100)－eq\f(3y2,25)＝1[答案]A[解析]由于一個焦點(diǎn)在直線y＝2x＋10上，則一個焦點(diǎn)為(－5,0)，又由漸近線平行于直線y＝2x＋10.則eq\f(b,a)＝2，結(jié)合a2＋b2＝c2，c＝5得，∴a2＝5，b2＝20，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1，選A.(理)(2014·江西文，9)過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A、O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(x2,7)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1[答案]A[解析]如圖設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)F，右頂點(diǎn)B，設(shè)漸近線OA方程為y＝eq\f(b,a)x，由題意知，以F為圓心，4為半徑的圓過點(diǎn)O，A，∴|FA|＝|FO|＝r＝4.∵AB⊥x軸，A為AB與漸近線y＝eq\f(b,a)x的交點(diǎn)，∴可求得A點(diǎn)坐標(biāo)為A(a，b)．∴在Rt△ABO中，|OA|＝eq\r(OB2＋AB2)＝eq\r(a2＋b2)＝c＝|OF|＝4，∴△OAF為等邊三角形且邊長為4，B為OF的中點(diǎn)，從而解得|OB|＝a＝2，|AB|＝b＝2eq\r(3)，∴雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1，故選A.6．(文)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為eq\r(3)，則p＝()A．1 B．eq\f(3,2)C．2 D．3[答案]C[解析]∵e＝eq\f(c,a)＝2，∴b2＝c2－a2＝3a2，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，不妨設(shè)A(－eq\f(p,2)，eq\f(\r(3)p,2))，B(－eq\f(p,2)，－eq\f(\r(3)p,2))，則AB＝eq\r(3)p，又三角形的高為eq\f(p,2)，則S△AOB＝eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(3)p＝eq\r(3)，∴p2＝4，又p>0，∴p＝2.(理)已知點(diǎn)F1、F2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，若eq\f(|PF2|2,|PF1|)的最小值為9a，則雙曲線的離心率為()A．2 B．5C．3 D．2或5[答案]B[解析]由雙曲線定義得|PF2|＝2a＋|PF1∴eq\f(|PF2|2,|PF1|)＝eq\f(2a＋|PF1|2,|PF1|)＝|PF1|＋eq\f(4a2,|PF1|)＋4a，其中|PF1|≥c－a.當(dāng)c－a≤2a時，y＝x＋eq\f(4a2,x)在[c－a，＋∞)上為減函數(shù)，沒有最小值，故c－a>2a，即c>3a?e>3，y＝x＋eq\f(4a2,x)在[c－a，＋∞)上為增函數(shù)，故f(x)min＝f(c－a)＝c－a＋eq\f(4a2,c－a)＋4a＝9a，化簡得10a2－7ac＋c2＝0，兩邊同除以a2可得e2－7e＋10＝0，解得e＝5或e＝2(舍去)．7．(2015·邯鄲市二模)已知點(diǎn)P為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上一點(diǎn)，點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)I為△PF1F2的內(nèi)心，若△PIF1和△PIF2的面積和為1，則△IF1F2的面積為()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．1 D．2[答案]B[解析]由橢圓方程知，a＝2，c＝1，設(shè)內(nèi)心到三邊距離為d，則由橢圓定義及條件知，S△PIF1＋S△PIF2＝eq\f(1,2)|PF1|·d＋eq\f(1,2)|PF2|·d＝eq\f(1,2)(|PF1|＋|PF2|)·d＝2d＝1，∴d＝eq\f(1,2)，∴S△IF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·d＝cd＝eq\f(1,2).8．拋物線y＝x2(－2≤x≤2)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個如圖所示的旋轉(zhuǎn)體，在此旋轉(zhuǎn)體內(nèi)水平放入一個正方體，使正方體的一個面恰好與旋轉(zhuǎn)體的開口面平齊，則此正方體的棱長是()A．1 B．2C．2eq\r(2) D．4[答案]B[解析]當(dāng)x＝2時，y＝4，設(shè)正方體的棱長為a，由題意知(eq\f(\r(2),2)a,4－a)在拋物線y＝x2上，∴4－a＝eq\f(1,2)a2，∴a＝2.9．(文)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于O，A兩點(diǎn)，若△AOF的面積為b2，則雙曲線的離心率等于()A.eq\r(3) B．eq\r(5)C.eq\f(3,2) D．eq\f(\r(5),2)[答案]D[解析]∵A在以O(shè)F為直徑的圓上，∴AO⊥AF，∴AF：y＝－eq\f(a,b)(x－c)與y＝eq\f(b,a)x聯(lián)立解得x＝eq\f(a2c,a2＋b2)，y＝eq\f(abc,a2＋b2)，∵△AOF的面積為b2，∴eq\f(1,2)·c·eq\f(abc,a2＋b2)＝b2，∴e＝eq\f(\r(5),2).(理)過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點(diǎn)作實軸的垂線，交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長度恰等于焦距，則雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(5)＋1,2) B．eq\f(\r(10),2)C.eq\f(\r(17)＋1,4) D．eq\f(\r(22),4)[答案]A[解析]依題意得eq\f(2b2,a)＝2c，c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，(e－eq\f(1,2))2＝eq\f(5,4)，又e>1，因此e－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(5),2)，e＝eq\f(\r(5)＋1,2)，故選A.10．(2015·洛陽市期末)若直線l：ax＋by＋1＝0(a≥0，b≥0)始終平分圓M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周長，則a2＋b2－2a－2bA.eq\f(4,5) B．eq\f(9,5)C．2 D．eq\f(9,4)[答案]B[解析]由題意知直線經(jīng)過圓心(－2，－1)，∴2a＋b－1＝0，∴(a－1)2＋(b－1)2的最小值為(1,1)到直線2a＋b－1＝0的距離的平方，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))))2＝eq\f(4,5)，∴a2＋b2－2a－2b＋3的最小值為eq\f(4,5)＋1＝eq\f(9,5).11．(2014·唐山市二模)已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)與圓C2：x2＋y2＝b2，若在橢圓C1上存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，則橢圓C1的離心率的取值范圍是()A．[eq\f(1,2)，1) B．[eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)]C．[eq\f(\r(2),2)，1) D．[eq\f(\r(3),2)，1)[答案]C[解析]如圖，設(shè)切點(diǎn)為A、B，則OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠APB＝90°，連接OP，則∠APO＝45°，∴AO＝PA＝b，OP＝eq\r(2)b，∴a≥eq\r(2)b，∴a2≤2c2，∴eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，∴e≥eq\f(\r(2),2)，又∵e<1，∴eq\f(\r(2),2)≤e<1.12．(2015·河南八市質(zhì)量監(jiān)測)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若A(3，y0)且AF＝4，則△OAB的面積為()A.eq\f(2\r(3),3) B．eq\r(3)C.eq\f(4\r(3),3) D．eq\f(5\r(3),3)[答案]C[解析]由條件及拋物線的定義知，4＝3＋eq\f(p,2)，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x，∴A(3,2eq\r(3))，kAF＝eq\r(3)，∴l(xiāng)AB：y＝eq\r(3)(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝\r(3)x－1))可得3(x－1)2－4x＝0，解得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)，所以y1＝2eq\r(3)，y2＝－eq\f(2\r(3),3)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)＋\f(2\r(3),3)))＝eq\f(4\r(3),3).二、填空題13．已知圓C：(x＋1)2＋y2＝8.若點(diǎn)Q(x，y)是圓C上一點(diǎn)，則x＋y的取值范圍為________．[答案][－5,3][分析]設(shè)x＋y＝t，則Q是⊙C與直線x＋y＝t的公共點(diǎn)，則問題轉(zhuǎn)化為直線與⊙C有公共點(diǎn)時，求參數(shù)t的取值范圍問題．[解析]設(shè)x＋y＝t，∵Q(x，y)是⊙C上任意一點(diǎn)，∴直線與圓相交或相切，∴eq\f(|－1＋0－t|,\r(2))≤2eq\r(2)，∴－5≤t≤3.14．已知圓C的圓心與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F關(guān)于直線y＝x對稱，直線4x－3y－2＝0與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝6，則圓C的方程為________．[答案]x2＋(y－1)2＝10[分析]由圓心C與F關(guān)于直線y＝x對稱可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，再由弦長|AB|＝6可求得圓的半徑，進(jìn)而可得圓的方程．[解析]拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F(1,0)關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)C(0,1)是圓心，C到直線4x－3y－2＝0的距離d＝eq\f(|4×0－3×1－2|,5)＝1，又圓截直線4x－3y－2＝0的弦長為6，∴圓的半徑r＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10).∴圓方程為x2＋(y－1)2＝10.15．(文)已知直線eq\r(2)ax＋by＝1(其中a、b為非零實數(shù))與圓x2＋y2＝1相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB為直角三角形，則eq\f(1,a2)＋eq\f(2,b2)的最小值為________．[答案]4[解析]∵△AOB為等腰直角三角形，⊙O的半徑為1，∴O到直線eq\r(2)ax＋by－1＝0的距離為eq\f(\r(2),2)，即eq\f(1,\r(2a2＋b2))＝eq\f(\r(2),2)，∴2a2＋b2＝2，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(2,b2)＝(eq\f(1,a2)＋eq\f(2,b2))(eq\f(2a2＋b2,2))＝2＋eq\f(2a2,b2)＋eq\f(b2,2a2)≥4，等號在eq\f(2a2,b2)＝eq\f(b2,2a2)，即b2＝2a2＝1時成立，∴所求最小值為4.(理)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為α，長度不超過8的弦，弦所在的直線與圓x2＋y2＝eq\f(3,4)有公共點(diǎn)，則α的取值范圍是________．[答案][eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]∪[eq\f(2π,3)，eq\f(3π,4)][解析]F(1,0)，直線AB：y＝tanα(x－1)，由條件知，圓心(0,0)到直線AB的距離d＝eq\f(|tanα|,\r(1＋tan2α))≤eq\f(\r(3),2)，∴－eq\r(3)≤tanα≤eq\r(3).(1)將y＝k(x－1)代入y2＝4x中消去y得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝eq\f(4,k)，∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為P(eq\f(k2＋2,k2)，eq\f(2,k))，∵|AB|≤8，∴P到準(zhǔn)線的距離eq\f(k2＋2,k2)＋1≤4，∴|k|≥1，∴|tanα|≥1，(2)由(1)(2)得eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)≤α≤eq\f(3π,4).16．(文)(2014·吉林市質(zhì)檢)已知點(diǎn)F為拋物線y2＝－8x的焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上一動點(diǎn)，A在拋物線上，且|AF|＝4，則|PA|＋|PO|的最小值是________．[答案]2eq\r(13)[分析]設(shè)O關(guān)于直線x＝2的對稱點(diǎn)為O′，則|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|，故當(dāng)P、A、O′三點(diǎn)共線時取到最小值．[解析]如圖，∵|AF|＝4，∴A到準(zhǔn)線距離為4，又準(zhǔn)線方程為x＝2，∴A(－2,4)，作點(diǎn)O關(guān)于直線x＝2的對稱點(diǎn)O′，則O′的坐標(biāo)為(4,0)，連接AO′與直線x＝2相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求，|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|＝|AO′|＝2eq\r(13).(理)已知直線l1：x－y＋5＝0，和l2：x＋4＝0，拋物線C：y2＝16x，P是C上一動點(diǎn)，則P到l1與l2距離之和的最小值為________．[分析]觀察拋物線C與直線l2的系數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，l2為C的準(zhǔn)線，由拋物線的定義可將P到l2的距離轉(zhuǎn)化為P到焦點(diǎn)F的距離，則問題變?yōu)镻到F的距離與P到l1的距離之和最小，畫出圖形易見，當(dāng)PF⊥l1時，“距離之和”取到最小值．[答案]eq\f(9\r(2),2)[解析]在同一坐標(biāo)系中畫出直線l1、l2和曲線C如圖．P在C上任意一點(diǎn)，由拋物線的定義知，|PF|＝d2，∴d1＋d2＝d1＋|PF|，顯見當(dāng)PF⊥l1，即P為P1點(diǎn)時d1＋d2＝|FM|，此時距離之和取到最小值，∵|FM|＝eq\f(9\r(2),2)，∴所求最小值為eq\f(9\r(2),2).[點(diǎn)評]當(dāng)問題涉及拋物線上動點(diǎn)到焦點(diǎn)(或準(zhǔn)線)的距離，或雙曲線(橢圓)上動點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離時，應(yīng)考慮定義是否能發(fā)揮作用．三、解答題17．(文)已知圓C1：x2＋y2＝r2截直線x＋y－eq\f(\r(2),2)＝0所得的弦長為eq\r(3).拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)在圓C1上．(1)求拋物線C2的方程；(2)過點(diǎn)A(－1,0)的直線l與拋物線C2交于B、C兩點(diǎn)，又分別過B、C兩點(diǎn)作拋物線C2的切線，當(dāng)兩條切線互相垂直時，求直線l的方程．[解析](1)易求得圓心到直線的距離為eq\f(1,2)，所以半徑r＝eq\r(\f(1,2)2＋\f(\r(3),2)2)＝1.∴圓C1：x2＋y2＝1.拋物線的焦點(diǎn)(0，eq\f(p,2))在圓x2＋y2＝1上，得p＝2，所以x2＝4y.(2)設(shè)所求直線的方程為y＝k(x＋1)，B(x1，y1)，C(x2，y2)．將直線方程代入拋物線方程可得x2－4kx－4k＝0，∴x1x2＝－4k.因為拋物線y＝eq\f(x2,4)，所以y′＝eq\