高難拉分攻堅(jiān)特訓(xùn)(六)1．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋1,ex)－ax有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,e)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,e)))答案A解析f(x)＝eq\f(x＋1,ex)－ax，令f(x)＝0，可得ax＝eq\f(x＋1,ex)，當(dāng)x＝0時(shí)，上式顯然不成立；可得a＝eq\f(x＋1,xex)(x≠0)有且只有2個(gè)不等實(shí)根，等價(jià)為函數(shù)g(x)＝eq\f(x＋1,xex)的圖象和直線y＝a有且只有兩個(gè)交點(diǎn)．由g′(x)＝eq\f(ex－x2－x－1,xex2)<0恒成立，可得當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＜0時(shí)，g(x)單調(diào)遞減．且g(x)＝eq\f(x＋1,xex)>0在x>0或x<－1時(shí)恒成立，作出函數(shù)g(x)的大致圖象，如圖，由圖象可得a>0時(shí)，直線y＝a和y＝g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．故選A.2．已知底面是正六邊形的六棱錐P－ABCDEF的七個(gè)頂點(diǎn)均在球O的表面上，底面正六邊形的邊長(zhǎng)為1，若該六棱錐體積的最大值為eq\r(3)，則球O的表面積為_(kāi)_______．答案eq\f(25π,4)解析因?yàn)榱忮FP－ABCDEF的七個(gè)頂點(diǎn)均在球O的表面上，由對(duì)稱(chēng)性和底面正六邊形的面積為定值知，當(dāng)六棱錐P－ABCDEF為正六棱錐時(shí)，體積最大．設(shè)正六棱錐的高為h，則eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6×\f(1,2)×1×1×sin60°))h＝eq\r(3)，解得h＝2.記球O的半徑為R，根據(jù)平面截球面的性質(zhì)，得(2－R)2＋12＝R2，解得R＝eq\f(5,4)，所以球O的表面積為4πR2＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))2＝eq\f(25π,4).3．已知函數(shù)f(x)＝x2－1＋aln(1－x)，a∈R.(1)若函數(shù)f(x)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2.證明：eq\f(fx1,x2)>eq\f(fx2,x1).解(1)由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，1)，∵f′(x)＝2x－eq\f(a,1－x)＝eq\f(－2x2＋2x－a,1－x)(x<1)，對(duì)于y＝－2x2＋2x－a，∵Δ＝4－8a，①若Δ≤0，即a≥eq\f(1,2)，則－2x2＋2x－a≤0恒成立，∴f(x)在(－∞，1)上為單調(diào)減函數(shù)．②若Δ>0，即a<eq\f(1,2)，方程－2x2＋2x－a＝0的兩根為x1＝eq\f(1－\r(1－2a),2)，x2＝eq\f(1＋\r(1－2a),2)，x2>eq\f(1,2)>x1，∴當(dāng)x∈(－∞，x1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(1,2)))時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，不符合題意．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(2)證明：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以f′(x)＝0，在x<1上有兩個(gè)不等實(shí)根．即－2x2＋2x－a＝0在(－∞，1)上有兩個(gè)不等的實(shí)根x1，x2，設(shè)x1<x2，∴0<a<eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝1，,x1x2＝\f(a,2)，))∴x1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))eq\f(fx1,x2)＝eq\f(x\o\al(2,1)－1＋aln1－x1,x2)＝－(1＋x1)＋2x1ln(1－x1)，同理：eq\f(fx2,x1)＝－(1＋x2)＋2x2ln(1－x2)．設(shè)g(x)＝－(1＋x)＋2xln(1－x)，x∈(0,1)，則g′(x)＝－1＋2ln(1－x)－eq\f(2x,1－x)，設(shè)h(x)＝－1＋2ln(1－x)－eq\f(2x,1－x)，x∈(0,1)，∴h′(x)＝－eq\f(2,1－x)－eq\f(2,1－x2)<0，在(0,1)上恒成立，所以h(x)為(0,1)上的減函數(shù)．∴h(x)<h(0)＝－1<0，即g′(x)<0在(0,1)恒上成立，因此g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減．∵x1<x2，∴g(x1)>g(x2)，∴eq\f(fx1,x2)>eq\f(fx2,x1).4．武漢又稱(chēng)江城，是湖北省省會(huì)，它不僅有著深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化，更有著眾多名勝古跡與旅游景點(diǎn)，黃鶴樓與東湖便是其中的兩個(gè)．為合理配置旅游資源，現(xiàn)對(duì)已參觀黃鶴樓景點(diǎn)的游客進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查，若不游玩東湖記1分，若繼續(xù)游玩東湖記2分，每位游客選擇是否參觀東湖的概率均為eq\f(1,2)，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立．(1)從游客中隨機(jī)抽取3人，記這3人的總得分為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)①若從游客中隨機(jī)抽取m(m∈N*)人，記這m人的總分恰為m分的概率為Am，求數(shù)列{Am}的前10項(xiàng)和；②在對(duì)所有游客進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查的過(guò)程中，記已調(diào)查過(guò)的人的累計(jì)得分恰為n分的概率為Bn，探討B(tài)n與Bn－1(n≥2)之間的關(guān)系，并求數(shù)列{Bn}的通項(xiàng)公式．解(1)X的所有可能取值為3,4,5,6.P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,8)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(3,8)，P(X＝5)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(3,8)，P(X＝6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,8).所以X的分布列為X3456Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)所以E(X)＝3×eq\f(1,8)＋4×eq\f(3,8)＋5×eq\f(3,8)＋6×eq\f(1,8)＝eq\f(9,2).(2)①總分恰為m分的概率Am＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m，所以數(shù)列{Am}是首項(xiàng)為eq\f(1,2)，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．所以其前10項(xiàng)和S10＝eq\f(\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,210))),1－\f(1,2))＝eq\f(1023,1024).②因?yàn)橐颜{(diào)查過(guò)的人的累計(jì)得分恰為n分的概率為Bn，得不到n分的情況只有先得(n－1)分，再得2分，概率為eq\f(1,2)Bn－1(n≥2)．所以1－Bn＝eq\f(1,2)Bn－1(n≥2)，即Bn＝－eq\f(1,2)Bn－1＋1(n≥2)，所以Bn－eq\f(2,3)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Bn－1－\f(2,3)))(n≥2)，所以Bn－eq\f(2,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B1－\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1，易知B1＝