概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望引例．有甲、乙兩射手各射擊100次，他們的射擊技術(shù)用下表給出：§4.1數(shù)學(xué)期望問(wèn)題：誰(shuí)的射擊水平高？解：“射擊水平”一般用平均擊中環(huán)數(shù)來(lái)反映.所以，只要對(duì)他們的平均擊中環(huán)數(shù)進(jìn)行比較即可.下頁(yè)引例．有甲、乙兩射手各射擊100次，他們的射擊技術(shù)用下表給出：?jiǎn)栴}：誰(shuí)的射擊水平高？解：“射擊水平”一般用平均擊中環(huán)數(shù)來(lái)反映。所以，只要對(duì)他們的平均擊中環(huán)數(shù)進(jìn)行比較即可.顯然，甲射手的水平較高.下面再對(duì)“平均擊中環(huán)數(shù)”的計(jì)算過(guò)程稍作分析.下頁(yè)顯然，“平均擊中環(huán)數(shù)”，是各種環(huán)數(shù)以頻率為權(quán)的加權(quán)平均.下頁(yè)定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=xk

}=pk，k=1,2,3…若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望（或均值），記作E（X），即“平均擊中環(huán)數(shù)”，是各種環(huán)數(shù)以頻率為權(quán)的加權(quán)平均。下頁(yè)例1.此例說(shuō)明了數(shù)學(xué)期望更完整地刻化了X的均值狀態(tài).下頁(yè)例2.下頁(yè)E(X)=10*(1/6)+30*(3/6)+50*(2/6)=33.33(分)（2）旅客8：20分到達(dá)(須考慮其后的5班車)X的分布率為下頁(yè)E(X)=10*(3/6)+30*(2/6)+50*(1/36)+70*(3/36)+90*(2/36)=27.22(分)常見(jiàn)分布的期望1)

0-1分布概率分布為:X10pk

p1-pE（X）=1×p+0×(1-p)=p

2)二項(xiàng)分布

設(shè)隨機(jī)變量X～B（n，p），其概率分布為:下頁(yè)常見(jiàn)分布的期望3)

泊松分布

設(shè)隨機(jī)變量X~P(λ)，其概率分布為，k=0,1,2,3,…,λ＞0下頁(yè)例3.如何確定投資決策方向?

某人有10萬(wàn)元現(xiàn)金，想投資于某項(xiàng)目，預(yù)估成功的機(jī)會(huì)為30%，可得利潤(rùn)8萬(wàn)元，失敗的機(jī)會(huì)為70%，將損失2萬(wàn)元．若存入銀行，同期間的利率為5%，問(wèn)是否作此項(xiàng)投資?解:設(shè)X為投資利潤(rùn)，則存入銀行的利息為,故應(yīng)選擇投資.二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，如果積分絕對(duì)收斂，則稱積分值為X的數(shù)學(xué)期望（或均值）.記作E（X），即下頁(yè)例4．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求X的數(shù)學(xué)期望．解：E(X)=0因?yàn)?，奇函?shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分等于0.下頁(yè)4)均勻分布

設(shè)X～U[a,b]概率密度為：常見(jiàn)分布的期望5)指數(shù)分布

設(shè)X～E(λ)概率密度為：下頁(yè)，（—∞＜x＜+∞)

令

6)正態(tài)分布

設(shè)X～N（μ,σ2）概率密度為常見(jiàn)分布的期望下頁(yè)

三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1.如果X為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為

P{X=xk}=Pk,k=1,2,3,…絕對(duì)收斂，

E（Y）=E[g(X)]=

且級(jí)數(shù)則有下頁(yè)例5.已知X的概率分布為

X-10125

P

0.30.10.20.150.25

令Y=X2，求E(Y)。解：E(Y)=g(-1)*0.3+g(0)*0.1+g(1)*0.2+g(2)*0.15+g(5)*0.25

=1*0.3+0*0.1+1*0.2+4*0.15+25*0.25=7.351*0.31*0.2

三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望2.如果X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，且積分

絕對(duì)收斂，

解：則有例6．已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度，試求Y=|X|的數(shù)學(xué)期望。下頁(yè)3.如果(X,Y)為離散型隨機(jī)向量，其聯(lián)合概率分布為

P{X=xiY=yj}=piji,j=1,2,3,…,則Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為下頁(yè)例7.設(shè)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.E(Z)=g(1,1)0.125+g(1,2)0.25+g(2,1)0.5+g(2,2)0.125

=20.125+30.25+50.5+60.125=4.25解:4.如果(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)向量，其聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為特別下頁(yè)例8．設(shè)二維隨機(jī)向量（X，Y）的概率密度為試求E(X)及E(XY).解:y=2(1-x)

例9.

設(shè)國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口農(nóng)產(chǎn)品的需求量X(單位：t)是隨機(jī)變量，它服從[1200，3000]上的均勻分布．若售出這種農(nóng)產(chǎn)品1t，可賺2萬(wàn)元，但若銷售不出去，則每噸需付倉(cāng)庫(kù)保管費(fèi)1萬(wàn)元，問(wèn)每年應(yīng)準(zhǔn)備多少噸產(chǎn)品才可得到最大利潤(rùn)?解:

設(shè)每年準(zhǔn)備該種商品a噸,年利潤(rùn)為Y(大寫(xiě)字母)得到平均利潤(rùn)為則利潤(rùn)為下頁(yè)解:利潤(rùn)為得到平均利潤(rùn)為當(dāng)a=2400時(shí)，取到最大值，故每年準(zhǔn)備此種商品2400t，可使平均利潤(rùn)達(dá)到最大．

例9.

設(shè)國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口農(nóng)產(chǎn)品的需求量X(單位：t)是隨機(jī)變量，它服從[1200，3000]上的均勻分布．若售出這種農(nóng)產(chǎn)品1t，可賺2萬(wàn)元，但若銷售不出去，則每噸需付倉(cāng)庫(kù)保管費(fèi)1萬(wàn)元，問(wèn)每年應(yīng)準(zhǔn)備多少噸產(chǎn)品才可得到最大利潤(rùn)?下頁(yè)四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)1

E（C）=C(C為常數(shù))性質(zhì)2

E（CX）=CE（X）(C為常數(shù))性質(zhì)3

E（X+Y）=E（X）+E（Y）性質(zhì)4設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有

E（XY）=E（X）·E（Y）推廣（1）E（X1+X2+…+Xn）=E（X1）+E（X2）+…+E（Xn）（3）若X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，則E(X1X2…Xn）=E(X1)E(X2)…E(Xn)（2）E（C1X1+C2X2+…+CnXn）=E(C1X1)+E(C2X2)+…+E(CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+…+CnE(Xn)特別

E（E（X））=E（X）下頁(yè)已知E（X+4）=10，且E[（X+4）2]=116，試求E（X），E（X2）若X～U[0，1]，Y～U[2，4]，且X與Y獨(dú)立，則

E（XY）=（）證明：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x），則(2)(3)(4)練習(xí)1:2:6

523/2下頁(yè)思考1.已知X的分布律，求E（2X3+5）X-2013Pk1/3?1/121/122.若X～N（0，1），則E（X）=（）.3.若已知X的分布函數(shù)，求E（2X）.5.設(shè)（X，Y）的求E（XY）.4.已知X的密度求E（X）.下頁(yè)1.離散型2.連續(xù)型3.Y=g（X）4.Z=g（X，Y）小結(jié)下頁(yè)作業(yè)：

97頁(yè)

1,2,3,4，5，6，7結(jié)束1.離散型2.連續(xù)型3.Y=g（X）4.Z=g（X，Y）下頁(yè)數(shù)學(xué)期望定義(復(fù)習(xí))數(shù)學(xué)期望性質(zhì)(復(fù)習(xí))性質(zhì)1

E（C）=C(C為常數(shù))性質(zhì)2

E（CX）=CE（X）(C為常數(shù))性質(zhì)3

E（X+Y）=E（X）+E（Y）性質(zhì)4設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有

E（XY）=E（X）·E（Y）特別

E（E（X））=E（X）下頁(yè)§4.2方

差0.方差概念的引入

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)特征，反應(yīng)了隨機(jī)變量取值的平均大小，但只知道隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是不夠的.引例1：從甲、乙兩車床加工的零件中各取５件，測(cè)得尺寸如下：

甲：8，9，10，11，12；乙：9.6，9.8，10，10.2，10.4已知標(biāo)準(zhǔn)尺寸為10(cm),公差d=0.5cm,問(wèn)那一臺(tái)車床好？以X甲，X乙分別表示甲、乙兩車床加工零件的長(zhǎng)度.易得：E(X甲)=E(X乙)＝10。

雖然甲乙車床加工零件的均值相等，但其零件的質(zhì)量有顯著差異，甲加工的零件只有１件合格，乙加工全合格.1081191210考慮

E(|X-E(X)|)

E{(X-E(X))2}下頁(yè)引例2．有甲、乙兩人射擊，他們的射擊技術(shù)用下表給出.X表示甲擊中環(huán)數(shù)，Y表示乙擊中環(huán)數(shù)，誰(shuí)的射擊水平高？解：=9.2(環(huán))=9.2(環(huán))因此，從平均環(huán)數(shù)上看，甲乙兩人的射擊水平是一樣的，但兩人射擊水平的穩(wěn)定性是有差別的。這表明乙的射擊水平比較穩(wěn)定.下頁(yè)偏離期望平方的期望

定義

設(shè)X是隨機(jī)變量，如果E{[X—E(X)]2}存在，則稱E{[X—E（X）]2}為X的方差，記為D(X)即1.方差的概念并稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差記為σ(X)。D(X)=E{[X—E（X）]2}其中P{X=xk}=pk

k=1,2,3,….連續(xù)型隨機(jī)變量

ò+￥￥--=dxxfXExXD)()]([)(2離散型隨機(jī)變量2.方差的計(jì)算下頁(yè)=E（X2）-[E（X）]2

3.方差計(jì)算公式公式證明：D（X）=E{[X-E（X）]2}=E{X2-2X·E（X）+[E（X）]2}=E（X2）-2E（X）·E（X）+[E（X）]2

例1．設(shè)隨機(jī)變量X～（0-1）分布，其概率分布為P{X=1}=p，P{X=0}=q，0＜p＜1，p+q=1，求D（X）

解：因E（X）=p，而E（X2）=12·p+02·q=p于是D（X）=E（X2）-[E（X）]2=p-

p2=pq。下頁(yè)例2．設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度,求D(X).所以解：下頁(yè)4.常見(jiàn)分布的期望與方差1)

0-1分布概率分布為X10pk

p1-pE（X）=1×p+0×(1-p)=p

2)二項(xiàng)分布

設(shè)隨機(jī)變量X～B（n，p），其概率分布為:D（X）=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=p(1-p)=

pq

下頁(yè)

2)二項(xiàng)分布

設(shè)隨機(jī)變量X～B（n，p），其概率分布為:D（X）=E（X2）-[E（X）]2所以D（X）=E（X2）-[E（X）]2=n(n-1)p2+np-n2p2=npq下頁(yè)4.常見(jiàn)分布的期望與方差3)

泊松分布

設(shè)隨機(jī)變量X~Ｐ（λ），其概率分布為：，k=0,1,2,3,…,λ＞0下頁(yè)4.常見(jiàn)分布的期望與方差3)

泊松分布

設(shè)隨機(jī)變量X~π（λ），其概率分布為：，k=0,1,2,3,…,λ＞0D（X）=E（X2）-[E（X）]2因此,D（X）=E（X2）-[E（X）]2=λ2+λ-λ2=λ下頁(yè)4)均勻分布

設(shè)X～U[a,b]概率密度為：4.常見(jiàn)分布的期望與方差下頁(yè)5)指數(shù)分布

設(shè)X～E(λ)概率密度為：4.常見(jiàn)分布的期望與方差故，下頁(yè)，（—∞＜x＜+∞)

令

6)正態(tài)分布

設(shè)X～N（μ,σ2）概率密度為：4.常見(jiàn)分布的期望與方差下頁(yè)，（—∞＜x＜+∞)6)正態(tài)分布

設(shè)X～N（μ,σ2）概率密度為：4.常見(jiàn)分布的期望與方差下頁(yè)5.方差的性質(zhì)性質(zhì)1

D（C）=0性質(zhì)2

D（CX）=C2D（X）

性質(zhì)3

D（X+C）=D（X），D（aX+b）=a2D（X）

性質(zhì)4若X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有D（X+Y）=D（X）+D（Y）性質(zhì)5

D（X）=0的充要條件是P{X=E（X）}=1

推廣若X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，則D(X1+X2+…+Xn)=方差的性質(zhì)（下設(shè)a，b，C均為常數(shù)）下頁(yè)證明：(2)D(CX)=E{[CX-E(CX)]2}=C2E{[X-E(X)]2}=C2D(X)(3)D(X+C)=E{[(X+C)-E(X+C)]2}=E{[X–E(X)]2}=D(X)而E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E[XY-E(X)Y-E(Y)X+E(X)E(Y)]

=E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)由于X,Y相互獨(dú)立，故有E(XY)=E(X)E(Y)從而有E{[X—E(X)][Y—E(Y)]}=0(4)D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}=E{[X-E(X)]+[Y-E(Y)]}2=E{[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2}+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}，于是D(X+Y)=D(X)+D(Y)．練習(xí)：若X，Y相互獨(dú)立，證明D（X-Y）=D（X）+D（Y）。下頁(yè)D（X）=D（X1+X2+…+Xn）令i=1,2,…,n顯然Xi均服從（0-1）分布,即E（Xi）=p,D(Xi)=pq（i=1，2，…，n）且X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立。于是E（X）=E（X1+X2+…+Xn）=E（X1）+E（X2）+…+E（Xn）=np=D（X1）+