清華大學(xué)建筑學(xué)院

參數(shù)估計(jì)與回歸分析參數(shù)估計(jì)對(duì)于許多要研究的對(duì)象（總體）不可能“窮盡”地一一調(diào)查測(cè)量，只能隨機(jī)地抽取一部分“樣本”，根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)來估計(jì)總體的“真值”。有的情況是知道（分析出）隨機(jī)變量的分布形態(tài)：泊松分布，正態(tài)分布等，如何根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，“估計(jì)”出該分布的參數(shù)，如泊松分布的λ，正態(tài)分布的μ和σ例：設(shè)某炸藥廠一天中發(fā)生著火現(xiàn)象的次數(shù)X服從

對(duì)于泊松分布，只有一個(gè)參數(shù)λ要估計(jì)。λ的估計(jì)值就是樣本平均數(shù)：驗(yàn)證一下：k=0樣本計(jì)算p=75/250=0.3；公式計(jì)算：0.295k=1樣本計(jì)算p=90/250=0.36；公式計(jì)算：0.360k=2樣本計(jì)算p=54/250=0.216；公式計(jì)算：0.220k=3樣本計(jì)算p=22/250=0.088；公式計(jì)算：0.089e－λ=e－1.22

=0.29523

對(duì)于正態(tài)分布，有兩個(gè)參數(shù)μ和σ要估計(jì)。μ的估計(jì)值就是樣本平均數(shù)，σ的估計(jì)值就是樣本方差的平方根：

這在講概率分布時(shí)已經(jīng)提到。對(duì)于二項(xiàng)分布有一個(gè)參數(shù)p要估計(jì)：p的估計(jì)值就是樣本平均數(shù)：

“十年一遇”，就是根據(jù)歷史記錄，發(fā)生該現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)平均是p=0.1

區(qū)間估計(jì)上面討論的參數(shù)估計(jì)，是用樣本的數(shù)值來估計(jì)總體的參數(shù)。但是，每一次樣本試驗(yàn)得到的參數(shù)估計(jì)值是不同的。例如我們可以認(rèn)定某個(gè)年齡段（10歲）兒童（男童或女童）的身高（作為總體）滿足正態(tài)分布，參數(shù)均值μ的估計(jì)值可以通過100名兒童身高的測(cè)量值的平均數(shù)得到。但再測(cè)量100名兒童，可能得到不同的值。多次做100名兒童身高的測(cè)量得到的值盡管各不相同，但都處于某個(gè)區(qū)間范圍之內(nèi)，把這些值加以平均的到的值（例如6次測(cè)量，共600名兒童平均）是否更“可信”一些？比做3次測(cè)量是否更可信一些，即“置信度”更高？還有一個(gè)問題：對(duì)不同的總體（或不同的組分，如男童和女童分開），抽樣得到樣本值離散性可能不同，即計(jì)算出的方差σ不同，有的組分（男童）樣本值之間差異?。é倚。?，有的組分（女童）樣本值之間差異大（σ大）。那么試驗(yàn)次數(shù)相同下，得到均值μ的估計(jì)值的“可信度”一樣嗎？方差σ大（離散性大）的組分試驗(yàn)的次數(shù)（樣本的數(shù)量）是否應(yīng)當(dāng)多一些呢？這就要引入統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)處理的“區(qū)間估計(jì)”。

通常，采用95%的置信度，有時(shí)也取99%或90%均值的區(qū)間估計(jì)已知方差，估計(jì)均值1、在總體服從正態(tài)分布的情況下，從某校學(xué)生中隨機(jī)抽選100人，調(diào)查到平均每天鍛煉時(shí)間為30分鐘，樣本方差為36。

試以95%的置信度來估計(jì)該校學(xué)生平均每天鍛煉的時(shí)間。解得：[28.81,

31.19]練習(xí)：2.某醫(yī)院欲估計(jì)一名醫(yī)生花在每個(gè)病人身上的平均時(shí)間。設(shè)要求置信度為95%，允許的誤差范圍在±2分鐘。依以前的經(jīng)驗(yàn)看病時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為6分鐘。

試問需要多大的樣本量（n=35）？解：上一屆同學(xué)在《建筑數(shù)學(xué)》課堂上，每人當(dāng)場(chǎng)測(cè)量自己心律的統(tǒng)計(jì)（次/分鐘），共192人。那么，總體分布的平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差在正態(tài)分布表中，置信度90%，即α=0.10，λ=1.65置信度95%，即α=0.05，λ=1.96置信度99%，即α=0.01，λ=2.58回歸分析

英國著名人類學(xué)家FranicsGalton

高爾頓（1822－1911）于1885年發(fā)表論文《身高遺傳向平均數(shù)方向的回歸》，分析兒童身高與父母身高之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)父母的身高可以預(yù)測(cè)子女的身高，當(dāng)父母越高或越矮時(shí)，子女的身高會(huì)比一般兒童高或矮，他將兒子與父母身高的這種現(xiàn)象擬合出一種線形關(guān)系。但他還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)父母非常高（或非常矮），其子女的身高不會(huì)象父母那樣非常高（或非常矮），而是比其父母更接近平均身高。高爾頓選用“回歸”（regression）一詞。高爾頓和他的學(xué)生K.Pearson觀察了1078對(duì)夫婦，分析出兒子的身高y與父親的身高x大致可歸結(jié)為以下關(guān)系：

y

=

0.516

x

+

33.73

(單位為英寸）

回歸分析（regressionanalysis)是確定兩種或兩種以上變數(shù)間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。在調(diào)查觀察中，會(huì)得到各種變量的樣本值，會(huì)發(fā)現(xiàn)某種變量與另一種變量之間有“相關(guān)”性。例如，住宅面積與經(jīng)濟(jì)指數(shù)，經(jīng)濟(jì)狀況好（指數(shù)高），住宅建設(shè)面積就大。能否用定量化的函數(shù)來表示兩者間的依賴關(guān)系？

首先觀察到樣本散點(diǎn)圖近似于一條直線，可以用一個(gè)線性函數(shù)來擬合：y=a＋bx稱為線性回歸。需要確定a和b兩個(gè)參數(shù)。如果按圖中紅線來擬合，所有樣本點(diǎn)xi的擬合值都大于樣本值yi，如果按圖中藍(lán)線來擬合，所有樣本點(diǎn)xi的擬合值都小于樣本值yi，兩者都不合適。顯然，擬合的直線應(yīng)“貫穿”于散點(diǎn)之中，如圖中黑線所示，以做到各樣本點(diǎn)的樣本值yi與擬合值

的差值：的平方和最小。即構(gòu)建一個(gè)以回歸系數(shù)a和b為變量的誤差函數(shù)：按函數(shù)的微分極值原理，求其在取極小值時(shí)的a和b的取值，就可得到線性回歸方程y=a+bx。此為最小二乘法。

相關(guān)系數(shù)0.95，表示住宅建設(shè)面積與經(jīng)濟(jì)指數(shù)確實(shí)相關(guān)。具體計(jì)算方法見下表：計(jì)算x的平均數(shù)、y的平均數(shù)，∑x2、∑y2和∑xy，即可計(jì)算回歸系數(shù)a和b。

相關(guān)系數(shù)r：0<|r|<1，r為正值即正相關(guān)，x增，y也增；r為負(fù)值即負(fù)相關(guān)，x增，y減。|r|接近1，表示y與x有很強(qiáng)的相關(guān)性，樣本值散點(diǎn)分布接近直線；|r|接近0，表示y與x相關(guān)性弱，樣本值散點(diǎn)分布很分散。高斯最小二乘法計(jì)算谷神星軌道

1801年，高斯用數(shù)學(xué)方預(yù)測(cè)出一顆小行星的軌道。天文學(xué)家在高斯指出的位置發(fā)現(xiàn)了小行星，后來被命名為谷神星（Ceres）。高斯8年后系統(tǒng)地完善了相關(guān)的數(shù)學(xué)理論，才將他的方法公布于眾，即“最小二乘法”。一元非線性回歸當(dāng)因變量Y與自變量x之間沒有線性關(guān)系時(shí)，一般用回歸曲線y=

f

(x)來描述它們之間的關(guān)系。但是通?？梢圆捎煤唵蔚淖兞孔儞Q，把非線性回歸的問題轉(zhuǎn)化為線性回歸來處理。

幾種常見的曲線方程，化為線性問題的變換公式：(1)列表，數(shù)據(jù)計(jì)算。多元回歸分析1.二元線性回歸方程

實(shí)際中，會(huì)需研究一個(gè)變量與多個(gè)變量之間的定量關(guān)系，就是多元分析問題。

上式稱為回歸平面，β0是常數(shù)，β1

，β2為回歸系數(shù)。

設(shè)隨機(jī)變量Y，自變量x1和x2，有：

有n

組觀測(cè)值：由多元函數(shù)極值原理，有：即整理得到：由第3式，得：代入第1，2式，消去β0得：其中：解得：例1：某公司的商品在15地區(qū)銷量y和人口數(shù)x1、戶均總收入x2資料見表。試求銷量對(duì)人口數(shù)、戶均總收入的回歸方程。按計(jì)算公式所求回歸方程：西安機(jī)場(chǎng)航空客運(yùn)量與國民生產(chǎn)的總值和旅游游客量二元回歸。根據(jù)1980-1994年陜西省的GNP（X1）和旅游游客量（X2）的數(shù)據(jù)，與西安機(jī)場(chǎng)年旅客吞吐量（y），作二元回歸，得到回歸方程。再了解了陜西省人大制定的十年經(jīng)濟(jì)發(fā)展計(jì)劃和旅游事業(yè)規(guī)劃的數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)未來10年的航空客運(yùn)量。

年旅客吞吐量y與GNP指數(shù)x1和旅游游客量指數(shù)x2的二元回歸方程：根據(jù)1980~1993年的實(shí)際數(shù)據(jù)（樣本數(shù)據(jù)），求算回歸系數(shù)：β0β1β2

上述二元相關(guān)分析的航空客運(yùn)量的實(shí)際值