一、選擇題〔共16小題〕1、〔2023?湖南〕由直線與曲線y=cosx所圍成的封閉圖形的面積為〔〕 A、 B、1C、 D、解答：解：由定積分可求得陰影局部的面積為S=cosxdx==﹣〔﹣〕=，所以圍成的封閉圖形的面積是．應選D．2、〔2023?山東〕由曲線y=x2，y=x3圍成的封閉圖形面積為〔〕 A、 B、C、 D、解答：解：由題意得，兩曲線的交點坐標是〔1，1〕，〔0，0〕故積分區(qū)間是[0，1]所求封閉圖形的面積為∫01〔x2﹣x3〕dx═，應選A．3、〔2023?廣東〕甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā)，并沿同一路線〔假定為直線〕行駛．甲車、乙車的速度曲線分別為V甲和V已〔如下圖〕．那么對于圖中給定的t0和t1，以下判斷中一定正確的選項是〔〕 A、在t1時刻，甲車在乙車前面 B、t1時刻后，甲車在乙車后面 C、在t0時刻，兩車的位置相同 D、t0時刻后，乙車在甲車前面分析：利用定積分求面積的方法可知t0時刻前甲走的路程大于乙走的路程，那么在t0時刻甲在乙的前面；又因為在t1時刻前利用定積分求面積的方法得到甲走的路程大于乙走的路程，甲在乙的前面；同時在t0時刻甲乙兩車的速度一樣，但是路程不一樣．最后得到A正確，B、C、D錯誤．解答：解：當時間為t0時，利用定積分得到甲走過的路程=v甲dt=a+c，乙走過的路程=v乙dt=c；當時間為t1時，利用定積分得到甲走過的路程=v甲dt=a+c+d，而乙過的路程=v乙dt=c+d+b；從圖象上可知a＞b，所以在t1時刻，a+c+d＞c+d+b即甲的路程大于乙的路程，A正確；t1時刻后，甲車走過的路程逐漸小于乙走過的路程，甲車不一定在乙車后面，所以B錯；在t0時刻，甲乙走過的路程不一樣，兩車的位置不相同，C錯；t0時刻后，t1時刻時，甲走過的路程大于乙走過的路程，所以D錯．故答案為A4、由曲線xy=1，直線y=x，y=3所圍成的平面圖形的面積為〔〕 A、 B、2﹣ln3C、4+ln3 D、4﹣ln3解答：解：根據(jù)利用定積分的幾何意義，得：由曲線xy=1，直線y=x，y=3所圍成的平面圖形的面積：S=〔3﹣〕dx+=〔3x﹣lnx〕+2=3﹣ln3﹣1+2=4﹣ln3．應選D．5、 A、 B、C、 D、解答：解：可知此題求解的概率類型為關于面積的幾何概型，由圖可知根本領件空間所對應的幾何度量S〔Ω〕=1，滿足所投的點落在葉形圖內部所對應的幾何度量：S〔A〕==所以P〔A〕=．應選B．6、 A、 B、C、 D、解答：解：直線y=2x與拋物線y=3﹣x2解得交點為〔﹣3，﹣6〕和〔1，2〕拋物線y=3﹣x2與x軸負半軸交點〔﹣，0〕設陰影局部面積為s，那么==7、由曲線y=，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為〔〕 A、 B、4C、 D、6解答：解：聯(lián)立方程得到兩曲線的交點〔4，2〕，因此曲線y=，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為S=．8、〔2023?福建〕〔ex+2x〕dx等于〔〕 A、1 B、e﹣1C、e D、e2+1解答：解：∫10〔ex+2x〕dx=〔ex+x2〕|01=e+1﹣1=e9、〔2023?湖南〕dx等于〔〕 A、﹣2ln2 B、2ln2C、﹣ln2 D、ln2解答：解：∵〔lnx〕′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln210、〔2023?福建〕〔1+cosx〕dx等于〔〕 A、π B、2C、π﹣2 D、π+2解答：解：∵〔x+sinx〕′=1+cosx，∴〔1+cosx〕dx=〔x+sinx〕=+sin﹣=π+2．11、那么∫﹣aacosxdx=〔a＞0〕，那么∫0acosxdx=〔〕 A、2 B、1C、 D、分析：根據(jù)定積分的幾何意義知，定積分的值∫﹣aacosxdx=〔a＞0〕是f〔x〕=cosx的圖象與x軸所圍成的平面圖形的面積的代數(shù)和，結合偶函數(shù)的圖象的對稱性即可解決問題．解答：解：原式=∫﹣a0cosxdxdx+∫0acosxdx．∵原函數(shù)y=cosx為偶函數(shù)，∴在y軸兩側的圖象對稱，∴對應的面積相等，那么∫0acosxdx==．應選D．12、曲線y=x2+2與直線y=3x所圍成的平面圖形的面積為〔〕 A、 B、C、 D、1解：聯(lián)立曲線與直線得，解得或設曲線y=x2+2與直線y=3x所圍成的平面圖形的面積為A那么A=∫12[3x﹣〔x2+2〕]dx=|12=13、以下計算錯誤的選項是〔〕 A、∫﹣ππsinxdx=0 B、∫01=C、cosxdx=2cosxdx D、∫﹣ππsin2xdx=0解答：解：∫﹣ππsinxdx=〔﹣cosx〕|﹣ππ=〔﹣cosπ〕﹣〔﹣cos〔﹣π〕=0因為y=cosx為偶函數(shù)所以=π應選D14、計算的結果是〔〕 A、4π B、2πC、π D、分析：根據(jù)積分所表示的幾何意義是以〔0，0〕為圓心，2為半徑第一象限內圓弧與坐標軸圍成的面積，只需求出圓的面積乘以四分之一即可．解答：解：表示的幾何意義是以〔0，0〕為圓心，2為半徑第一象限內圓弧與坐標軸圍成的面積=π×4=π15、假設∫0k〔2x﹣3x2〕dx=0，那么k等于〔〕 A、0 B、1C、0或1 D、以上均不對解答：解：∫0k〔2x﹣3x2〕dx=∫0k2xdx﹣∫0k3x2dx=x2|0k﹣x3|0k=k2﹣k3=0，解可得k=0假設k=1．16、如下圖，曲線y=x2和曲線y=圍成一個葉形圖〔陰影局部〕，其面積是〔〕 A、1 B、C、 D、解答：解：聯(lián)立得，解得或，設曲線與直線圍成的面積為S，那么S=∫01〔﹣x2〕dx=18、如下圖解答：解：陰影局部的面積為∫02〔x2〕dx，而∫02〔x2〕dx=〔x3〕|02=，19、由曲線y2=2x和直線y=x﹣4所圍成的圖形的面積為18．解答：解：解得曲線y2=2x和直線y=x﹣4的交點坐標為：〔2，﹣2〕，〔8，4〕選擇y為積分變量∴由曲線y2=2x和直線y=x﹣4所圍成的圖形的面積S==〔y2+4y﹣y3〕|﹣24=1820、由曲線和直線y=x﹣4，x=1，x=2圍成的曲邊梯形的面積是ln2+1．解答：解：聯(lián)立兩條直線的方程，得和∴曲線y=與直線y=x﹣4，x=2，x=1所圍成的圖形面積為=〔﹣x2+lnx+4x〕|12=ln2+121、〔2023?陜西〕解答：解：長方形區(qū)域的面積為3，陰影局部局部的面積為，所以點M取自陰影局部局部的概率為22、〔2023?山東〕設函數(shù)f〔x〕=ax2+c〔a≠0〕，假設，0≤x0≤1，那么x0的值為．解答：解：∵f〔x〕=ax2+c〔a≠0〕，∴f〔x0〕=∫01f〔x〕dx=[+cx]01=+c．又∵f〔x0〕=ax02+c．∴x02=，∵x0∈[0，1]∴x0=．23、〔2002?天津〕求由三條曲線y=x2，4y=x2，y=1所圍圖形的面積．解答：解：如圖，因為y=x2，4y=x2是偶函數(shù)，根據(jù)對稱性，只算出y軸右邊的圖形的面積再兩倍即可．解方程組和，得交點坐標〔﹣1，1〕，〔1，1〕，〔﹣2，1〕，〔2，1〕．選擇x為積分變量，那么S=2[+]=．24、假設y=f〔x〕的圖象如下圖，定義，那么以下對F〔x〕的性質描述正確的有〔1〕〔2〕〔4〕．〔1〕F〔x〕是[0，1]上的增函數(shù)；〔2〕F′〔x〕=f〔x〕；〔3〕F〔x〕是[0，1]上的減函數(shù)；〔4〕?x0∈[0，1]使得F〔1〕=f〔x0〕．解答：解：由