商洛市2024屆高三第一次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（文科）考生注意：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.2?請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上.3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.第Ⅰ卷一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A B. C. D.2.（）A. B.C. D.3.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，，，則（）A. B. C.或 D.或4.已知，則（）A. B.C. D.5.根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速最高為B.我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的中位數(shù)為C.我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的極差為D.我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的平均值為6已知，則（）A. B. C. D.7.已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則直線的斜率是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.9.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值是（）A.0 B. C. D.310.已知某比賽在這4支隊(duì)伍之間進(jìn)行，且隊(duì)伍有一名主力隊(duì)員缺席，導(dǎo)致隊(duì)伍無(wú)緣前2名，假設(shè)剩下的3支隊(duì)伍的水平相當(dāng)，則這2支隊(duì)伍都進(jìn)入前3名的概率是（）A. B. C. D.11.已知是直線與函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，若，則（）A4 B.4或8 C.2 D.2或1012.在正四棱臺(tái)中，，點(diǎn)在底面內(nèi)，且，則的軌跡長(zhǎng)度是（）A. B. C. D.第II卷二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知單位向量、滿足，則與的夾角為________．14.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件.，則最大值為__________.15.在正四面體中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是__________.16.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，且的左頂點(diǎn)為，則的離心率為__________.三?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在等差數(shù)列中，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.鎮(zhèn)安大板栗又稱中國(guó)甘栗?東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營(yíng)養(yǎng)豐富而著稱于世.現(xiàn)從某板栗園里隨機(jī)抽取部分板栗進(jìn)行稱重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按分成五組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示.（1）請(qǐng)估計(jì)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在和內(nèi)的板栗中抽取5顆，再?gòu)倪@5顆板栗中隨機(jī)抽取2顆，求抽取到的2顆板栗中至少有1顆的質(zhì)量在內(nèi)的概率.19.如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離.20.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)直線與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.21.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程，（2）證明：.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生從第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）已知直線，在第一象限內(nèi)，直線與曲線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求的值.[選修4-5：不等式選講]（10分）23.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍.商洛市2024屆高三第一次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（文科）考生注意：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.2?請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上.3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.第Ⅰ卷一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用交集性質(zhì)即可得.【詳解】由，，則.故選：C.2.（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)除法計(jì)算即可得.【詳解】.故選：B.3.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，，，則（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可得，則或.因?yàn)?，所以，所?故選：A4.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷a的范圍，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷的范圍，即可得答案.【詳解】因?yàn)闉镽上的單調(diào)減函數(shù)，為上的單調(diào)增函數(shù)，故，所以,故選:D5.根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速最高為B.我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的中位數(shù)為C.我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的極差為D.我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的平均值為【答案】C【解析】【分析】通過(guò)分析折線圖，結(jié)合中位數(shù)、極差、平均數(shù)的概念和公式解答即可.【詳解】對(duì)A，我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速?gòu)男〉酱笠来螢椋?我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速最高為，A正確.對(duì)B，我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的中位數(shù)為，B正確.對(duì)C，我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的極差為，C錯(cuò)誤.對(duì)D，我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的平均值為8.，D正確.故選：C.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系求得，再由二倍角的正切公式求解.【詳解】因?yàn)?,所以，所以，則.故選：.7.已知拋物線，過(guò)點(diǎn)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則直線的斜率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，由題意可得為的中點(diǎn)，然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，所以，故直線的斜率.故選：D8.已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知函數(shù)在每一段上為增函數(shù)，且在時(shí)，一次函數(shù)的值不小于二次函數(shù)的值，然后解不等式組可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，所以，解得.故選：B9.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值是（）A.0 B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)，將在上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為恒成立，再參變分離，轉(zhuǎn)化為恒成立，即求出的最小值即可得.【詳解】由題意可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，設(shè)，則，當(dāng)0時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即.故選：A.10.已知某比賽在這4支隊(duì)伍之間進(jìn)行，且隊(duì)伍有一名主力隊(duì)員缺席，導(dǎo)致隊(duì)伍無(wú)緣前2名，假設(shè)剩下的3支隊(duì)伍的水平相當(dāng)，則這2支隊(duì)伍都進(jìn)入前3名的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列出所有符合題意排名情況，再選出這2支隊(duì)伍都進(jìn)入前3名的所有情況，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，由于隊(duì)伍無(wú)緣前2名，所以這4支隊(duì)伍按排名先后的情況有：，共12種，其中這2支隊(duì)伍排在前3位的情況有：，共8種，故所求概率.故選：C11.已知是直線與函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，若，則（）A.4 B.4或8 C.2 D.2或10【答案】D【解析】【分析】因?yàn)榈膱D象與直線的相鄰交點(diǎn)的距離為或，占周期的比例為或，由此結(jié)合周期公式列式求解即可.【詳解】設(shè)的最小正周期為，則或，即或，解得或.故選：D12.在正四棱臺(tái)中，，點(diǎn)在底面內(nèi)，且，則的軌跡長(zhǎng)度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖1，連接，作，垂足為，結(jié)合正四棱臺(tái)的性質(zhì)可證平面，根據(jù)已知條件求出，再結(jié)合可求得，而為定點(diǎn)，從而可得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的弧，再分別作，可求出，再利用弧長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖1，連接，作，垂足為，因?yàn)樗睦馀_(tái)為正四棱臺(tái)，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平?因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)辄c(diǎn)在底面內(nèi)，且，所以.以為圓心，為半徑畫圓，如圖2，則是的軌跡.分別作，垂足分別為.由題意可得，在和中，，所以，所以，故的軌跡長(zhǎng)度是.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查立體幾何中的軌跡問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，從而可得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于較難題.第II卷二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知單位向量、滿足，則與的夾角為________．【答案】【解析】【分析】在等式兩邊平方，求出的值，結(jié)合向量夾角的取值范圍可求得結(jié)果.【詳解】由可得，得，所以，，，因此，.故答案為：.14.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件.，則的最大值為__________.【答案】4【解析】【分析】首先畫出可行域，然后通過(guò)平移直線即可確定取最大值時(shí)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，進(jìn)而可得答案.【詳解】畫出可行域如下：因?yàn)?，所以，將向上平移，?jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有最大值；即當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，且最大值為.故答案為：4.15.在正四面體中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是__________.【答案】【解析】【分析】作輔助線，作出異面直線與所成角或其補(bǔ)角，求出相關(guān)線段的長(zhǎng)，解三角形即可求得答案.【詳解】如圖，取線段的中點(diǎn)，連接.因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，則為的中位線，故，則是異面直線與所成角或其補(bǔ)角.正四面體中,設(shè)，由于是棱的中點(diǎn)，故，則，從而.在中，由余弦定理可得，由于異面直線所成角范圍為大于等于小于，故異面直線與所成角的余弦值是，故答案為：16.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，且的左頂點(diǎn)為，則的離心率為__________.【答案】2【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法，找出之間的等量關(guān)系式，利用解方程的方法即可求出雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的焦距為.過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，垂足為.雙曲線的漸近線方程為：，易得，所以，由可得，即，所以，得，所以，故.故答案為：2.三?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在等差數(shù)列中，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組，求得首項(xiàng)和公差，即得答案.（2）由（1）可得的表達(dá)式，確定數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，解得故.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，則，從而.因?yàn)?，所以是首?xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列.由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得.18.鎮(zhèn)安大板栗又稱中國(guó)甘栗?東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營(yíng)養(yǎng)豐富而著稱于世.現(xiàn)從某板栗園里隨機(jī)抽取部分板栗進(jìn)行稱重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按分成五組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示.（1）請(qǐng)估計(jì)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在和內(nèi)的板栗中抽取5顆，再?gòu)倪@5顆板栗中隨機(jī)抽取2顆，求抽取到的2顆板栗中至少有1顆的質(zhì)量在內(nèi)的概率.【答案】（1）57.5（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可求判斷板栗質(zhì)量的中位數(shù)在內(nèi)，然后設(shè)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)為，列方程可求得結(jié)果；（2）根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)頻率分布直方圖可求出從質(zhì)量在和內(nèi)的板栗中所抽取的數(shù)量，然后利用列舉法可求得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)在內(nèi).設(shè)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)為，則，解得，即該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)約為57.5.【小問(wèn)2詳解】由題意可知采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取2顆，分別記為；從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆，分別記為.從這5顆板栗中隨機(jī)抽取2顆的情況有，共10種，其中符合條件的情況有，共7種，故所求概率.19.如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）借助三棱柱的性質(zhì)與線面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的判斷定理即可得；（2）借助等體積法求點(diǎn)面距.【小問(wèn)1詳解】由三棱柱的性質(zhì)可知，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且是等邊三角形，所以，因?yàn)?、平面，且，所以平面；【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，則的面積，作，垂足為，有平面，所以，又因?yàn)?、平面，，所以平面，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，則，因?yàn)槠矫?，、平面，所以，，則，故的面積，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐的體積，因?yàn)?，所以，所?20.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義可確定橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)以及焦距，進(jìn)而求得，即得答案.（2）首先設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，由此求得弦長(zhǎng)，結(jié)合原點(diǎn)到直線的距離，即可求得面積表達(dá)式，然后換元，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋允且詾榻裹c(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.設(shè)的方程為，則，可得.又橢圓焦距為，所以，所以的方程為；【小問(wèn)2詳解】由題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，則，.由弦長(zhǎng)公式可得.點(diǎn)到直線的距離，則的面積，設(shè)，則，因?yàn)?，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，即面積最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解面積的最大值，一般方法是要結(jié)合直線和橢圓方程，求出面積的表達(dá)式，進(jìn)而利用基本不等式或者是結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，求解最值.21.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程，（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解