莆田二中2021屆高三模擬試卷

數(shù)學(xué)試題(一)

(滿分：150分；考試時(shí)間120分鐘)

友情提示：所有的答案必須填寫到答題卡相應(yīng)的位置上

一、單項(xiàng)選擇題(共8道小題，每小題5分，共40分。每題只有一個正確選項(xiàng))

1.已知集合4={%€"|%—2<0},B={xeZ|k|<2},則AUB=()

A.{1}B.{-1,0,1,2}C.{0,1}D.(-2,2)

2.復(fù)數(shù)z="的模為()

1-z

A.1B.2C.J2D.也

2

3.莆田二中為激勵創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大教育資金投入，若該學(xué)校2018年全年投入教育資金130萬

元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該學(xué)校全年投入的教育資金開始超過

200萬元的年份是()

(參考數(shù)據(jù):1g1.12-0.05,lgl.3-0.ll,lg2~0.30)

A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年

4.一aT力為非零向量,“C二l=b二”為一“a一,6共線”的()

聞⑷

A.充分必要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.即不充分也不必要條件

5.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題：”今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末

廣八尺，無深，袤七尺.問積幾何”，羨除是一個五面體，其中三個面是梯形，另兩個面是三角形,

已知一個羨除的三視圖如圖粗線所示，其中小正方形網(wǎng)格的邊長為1,則該羨除的表面中，三個梯

形的面積之和為()

A.40B.43C.46D.47

6.已知數(shù)列{《,}的首項(xiàng)q=21,且滿足（2〃—5）a,,+|=（2〃—3）?！?4〃2-16〃+15,則①}的最

小的一項(xiàng)是（）

A.a5B.6C.%D.

7.已知函數(shù)/（X）=cos2等+*sincyx-g（<y>0,xeT?）,若函數(shù)/a）在區(qū)間（乃,24）內(nèi)沒有

零點(diǎn)，則。的最大值是()

8.不等式x-3e，—ainxZx+l對任意xe(l,+8)恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍()

A.(-oo,l-e]B.(-00,2-e2]C.(-oo,-2]D.(―,一3]

二、多項(xiàng)選擇題(共4道小題，每小題5分，共20分。每題答對一個選項(xiàng)得2分，全部答對得5

分)

9.2020年春節(jié)前后，一場突如其來的新冠肺炎疫情在全國蔓延.疫情就是命令，防控就是責(zé)任.在黨中

央習(xí)近平的堅(jiān)強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)和統(tǒng)一指揮下，全國人民眾志成城、團(tuán)結(jié)一心，掀起了一場堅(jiān)決打贏疫情防控

阻擊戰(zhàn)的人民戰(zhàn)爭.下圖表展示了2月14日至29日全國新冠肺炎疫情變化情況，根據(jù)該折線圖，下

列結(jié)論正確的是()

A.16天中每日新增確診病例數(shù)量呈下降趨勢且19日的降幅最大

B.16天中每日新增確診病例的中位數(shù)小于新增疑似病例的中位數(shù)

C.16天中新增確診、新增疑似、新增治愈病例的極差均大于2000

D.19日至29日每日新增治愈病例數(shù)量均大于新增確診與新增疑似病例之和

10.三個罐子分別編號為1,2,3,其中1號罐中裝有2個紅球和1個黑球，2號罐中裝有3個紅球

和1個黑球，3號罐中裝有2個紅球和2個黑球，則()

A.某人從中取1號罐，再從中任意取出一球，取得紅球的概率2.

3

3

B.某人從中取2號罐，再從中任意取出一球，取得紅球的概率二.

4

C.某人從中取3號罐，再從中任意取出一球，取得紅球的概率

2

23

D.若某人從中隨機(jī)取一罐，再從中任意取出一球，取得紅球的概率一.

36

11.某單位工會有500位會員，利用“健步行”開展全員參與的“健步走獎勵”活動.假設(shè)通過簡單隨機(jī)

抽樣，獲得了50位會員5月10日的走步數(shù)據(jù)如下：(單位：萬步)

1.11.41.31.60.31.60.91.41.40.9

1.41.21.51.60.91.21.20.50.81.0

1.40.61.01.10.60.80.90.81.10.4

0.81.41.61.21.00.61.51.60.90.7

1.31.10.81.01.20.60.50.20.81.4

頻率分布表：

分組頻數(shù)頻率

20.04

0.06

50.10

110.22

80.16

70.14

[1.4,1.6]bC

合計(jì)501.00

（注:（百分位數(shù)是八省聯(lián)考即2021屆省質(zhì)檢（包括高考）明確作為考試內(nèi)容）百分位數(shù):統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)語，

如果將一組數(shù)據(jù)從小到大排序，并計(jì)算相應(yīng)的累計(jì)百分位，則某一百分位所對應(yīng)數(shù)據(jù)的值就稱為這

一百分位的百分位數(shù)。可表示為：一組n個觀測值按數(shù)值大小排列。如，處于p%位置的值稱第p

百分位數(shù)，又如，中位數(shù)是第50百分位數(shù)。）

A.假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)該單位所有會員當(dāng)日步數(shù)的平均值

1.088萬步;

B.根據(jù)以上50個樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為34和35.

C.根據(jù)以上50個樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為35和36.

D.如果定1.3萬步為健步走獲獎標(biāo)準(zhǔn)，一定能保證該單位至少30%的工會會員當(dāng)日走步獲得獎勵.

12.已知長方體ABC。-4與中，AB=4,BC=3,A41=2,空間中存在一動點(diǎn)P滿足

|即|=1,記L=A從A戶，I2=ADAP,I3=AC'}AP,則（）.

A.存在點(diǎn)P,使得4=/ZB.存在點(diǎn)P，使得乙=/3

C.對任意的點(diǎn)P,有A’2D.對任意的點(diǎn)P,有八＜A

三、填空題（本大題共2小題，每小題5分，共10分。）

13.銳角三角形ABC中，若NC=2/B,則三一的范圍是；

扭了

14.燃爆了，火力全開！“厲害了，我的國”，威武！中國航空母艦"遼寧艦'’將進(jìn)行一次編隊(duì)配置科學(xué)

實(shí)驗(yàn)，若要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，2艘驅(qū)逐艦和2艘護(hù)衛(wèi)艦分列左、右，同側(cè)不能都是同種

艦艇，則艦艇分配方案的方法數(shù)為.

四、雙空題（本大題共2小題，每小題5分，共10分。將答案填在題中橫線上）

15.已知（2—犬）（1+公）3的展開式的所有項(xiàng)系數(shù)之和為27,則實(shí)數(shù),展開式中含/的

項(xiàng)的系數(shù)是.

n

16.已知一簇雙曲線E"：/-y2=（---）2（〃GN*,且花2020）,設(shè)雙曲線瓦的左、右焦點(diǎn)分

2020

別為g、Fg,P”是雙曲線&右支上一動點(diǎn)，三角形九尸“,心的內(nèi)切圓G”與x軸切于點(diǎn)A”（斯,

0）,則[A,,Flh|-|^工,I=,4|+。2+...42020=.

五、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）在①asinC—及cos8cosC=&COS?C；②5ccos3+4Z?=5。；③（2Z7—a）cosC=

ccosA,這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,"c.且滿足.

（1）求sinC；

（2）已知a+0=5,△ABC的外接圓半徑為延，求仆ABC的邊A8上的高/2.

3

18.（12分）為了解學(xué)生自主學(xué)習(xí)期間完成數(shù)學(xué)套卷的情況，一名教師對（有限樣本空間）某班級的所有

學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表.

12345

男生14322

女生01331

（1）從這班學(xué)生中任選一名男生，一名女生，求這兩名學(xué)生完成套卷數(shù)之和為4的概率？

（2）若從完成套卷數(shù)不少于4套的學(xué)生中任選4人，設(shè)選到的男學(xué)生人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的

分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）試判斷男學(xué)生完成套卷數(shù)的方差s；與女學(xué)生完成套卷數(shù)的方差s；的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）.

19.（12分）平行四邊形ABC。所在的平面與直角梯形/WE尸所在的平面垂直，BE//AF,

AB^BE^-AF=\,且/W_LAF，ZCBA=-,BC=近,P為。尸的中點(diǎn).

J）

BE

（1）求證：P￡//平面ABC。；

（2）求證：AC±EF；

叵,求3”與平面AD廠所成

（3）若直線EF上存在點(diǎn)"，使得CE，所成角的余弦值為-

5

角的大小.

20.（12分）已知橢圓C：0+m=1（。＞匕＞0）的離心率為*2,且與拋物線y2=x交于M，N

兩點(diǎn)，AOMN（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2夜.

叮

-X

----------

（1）求橢圓。的方程；

（2）如圖，點(diǎn)A為橢圓上一動點(diǎn)（非長軸端點(diǎn)）F1,F?為左、右焦點(diǎn)，的延長線與橢圓交于

B點(diǎn),A0的延長線與橢圓交于C點(diǎn)，求AABC面積的最大值.

21.（12分）若無窮數(shù)列｛4｝滿足：%是正實(shí)數(shù)，當(dāng)〃N2時(shí)，|a“-a“_i|=max｛4，Q2,…，則

稱｛q,｝是“y-數(shù)列”.

（I）若｛4｝是“y-數(shù)列”且q=1,寫出包的所有可能值；

（11）設(shè)｛為｝是“y-數(shù)列”，證明：｛4｝是等差數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)｛q｝單調(diào)遞減；｛《,｝是等比數(shù)列當(dāng)且

僅當(dāng)｛為｝單調(diào)遞增；

22.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=e'cosx,g(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù).

（I）求/（X）的單調(diào)區(qū)間；

冗兀7T

（II）當(dāng)xe時(shí)，證明/（x）+g（x）（5—x）zo.；

（717t\

（III）設(shè)x〃為函數(shù)〃（％）=/（%）—1在區(qū)間（2根萬+1,2根乃十耳J內(nèi)的零點(diǎn)，其中〃cN,證明

八冗

2〃乃+---x<—

2nsin%-cosX。

莆田二中2021屆高三八省聯(lián)考暨省質(zhì)檢模擬試卷

數(shù)學(xué)試題（一）參考答案

1-4.BACB5-8.CACD9.BCI0.ABCD11.ACD12.CD

13.(得“腐14.3215.223；

2021

16.----

2

【詳解】如圖所示，設(shè)匕5與圓G“分別切于點(diǎn)4,C,,.

根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得：

IPnBn1=1PA,MBnFni1=14耳AA2HCnF,j,

又點(diǎn)P”是雙曲線E"右支上一動點(diǎn)，...

PFFp2a

\n?\-\nz,\==2020=Toio，

rjnH

???IA,￡|=—.,?a?-(-c?)-(c?-a?)=——.可得：a“=-

%517-1010""""10102020

_rZH1+2+……+20202021“依田二2021

可得：4|+42+…42020=------------------------------------------------------------.故答案為：-----.

202022

17.選擇條件①：

(1)因?yàn)閍sinC-GccosBcosCuA^cos?。，

所以由正弦定理得sinAsinC=逐sinCcos8cosC+Gsin5cos2C,

即sinAsinC=cosC(sinCcosB4-sinBcosC),

故sinAsinC=邪cosCsinA.又A￡(0,7)=>sinAw。，

所以sinC=GcosC,ntanC=6*C￡(0,?)=>C=2

所以sinC=sin工=?

32

(2)由正弦定理得c=2x拽sin工=4,

33

由余弦定理得c~—+b"-2flZ?cos——(a+b)—3ab=16,

所以a/,=@41二=勿,=3.于是得AABC的面積S=C=,

322

所以，ahsinC3x-T3日

h=----=-------=-----

c48

選擇條件②：

(1)因?yàn)?。以)$6+4/?=54,由正弦定理得5,吊。8$3+4$由3=5$吊24,

即5sinCcosB+4sinB=5sin(J?+C)=5sin5cosC+5cosBsinC,

4

于是sin5(4—5cosC)=0.在AABOhsin8w0,所以cos。=§,

sinC=Vl-cos2C=1.

(2)由正弦定理得c=2x拽x3=^,

355

由余弦定理得-cr+b2-2abcosC=(tz+Z?)——ab=,

-

-7192!5433ii

所以次?=(。+/7)~—乂攻=菰"，于是得A45c的面積S=5"sinC=]C%,

absinC433354336

所以〃==--------X-X------==-----------

c9058G720

選擇條件③：

(1)因?yàn)?28-a)cosC=ccosA,

所以由正弦定理得(2sinB-sinA)cosC=sinCeosA,

所以2sin8＜：05。=5抽(/1+。)=5m8,因?yàn)?￡(0,"),

所以sin5w0ncosC=g,又A?0,〃),所以C=q,所以sinC=￥

(2)由正弦定理得c=2x逑sin工=4,

33

由余弦定理得。2=?2+Z?2-2a/?cosy=(?+/?)--3。。=16,

所以出,=(2+")二16=曲=3?于是得AABC的面積S=:“AinC=gch,

322

所以，absinC3G.

h---------=------=------

c48

18.(1)設(shè)事件A：從這個班級的學(xué)生中隨機(jī)選取一名男生，一名女生,這兩名學(xué)生完成套卷

lx3+4xl7

數(shù)之和為4,由題意可知,P(A)=

12x896

(2)完成套卷數(shù)不少于4本的學(xué)生共8人，其中男學(xué)生人數(shù)為4人，故X的取值為0,123,4.

由題意可得p(x=o)

c；70

P（x=l）=卑*，P（x=2）=華=史=電

''C170351C：7035

與」.

P（X=3）=-^-=—=—;P（X=4）=

''Cl7035'C：70

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X01234

181881

P

7035353570

隨機(jī)變量X的均值EX=0XL1X3+2X型+3X3+4X-L=2.

7070707070

⑶s：>s；.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合解決概率的問題與超幾何分布的分布列與均值的求解.屬

于中等題型.

19.(1)解法1：取AR的中點(diǎn)。，連結(jié)

在直角梯形環(huán)中,AQ=BE=1,BE//AQ,所以四邊形ABEQ為平行四邊形，

所以AB"EQ,在AADF中PR=QO,,所以PQ//AD,

又因?yàn)锳WflAB=A,所以平面PQE//平面A3CO,

又PEu平面PQE,所以P￡//平面ABCD.

解法2：取AD中點(diǎn)M,連結(jié)

在zVlDE中，PF=PD,=肱4,所以MP//A/7,且MP=」4尸,

2

又BE=^AF,BE//AF,所以MP//BE,MP=BE,所以四邊形

BEPM為平行四邊形，

所以PE//M8,因?yàn)镻Ez平面ABCD,EWu平面ABCD,所以PE”平面ABCD.

（2）在AABC中AB=1,NCBA=X，6C=&,

4

所以AC?=AB2+3C2—zABxBCxcos/CBAul,所以AC2+AB?=8。2,

所以/WJ_AC,又平面ABCD1平面ABEF,平面ABCDQ平面ABEF=A5,ACu平面

ABCD,^以AC，平面A5砂，因?yàn)镋Fu平面A5KF,所以AC_L律.

（3）由（1）（2）以A為原點(diǎn)，以AB、AF、AC所在直線為X、丁、z軸建立空間直角

坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.所以8（1,0,0）,C（0,0,1）,0（T,0,1）,E（1[,0）*（0,2,0），所以

所以加=（0,2,-1）,而=（-1,1,0）,屜=（0,1,0）,

設(shè)汨=2麗=（一4,4,0）,所以加=而+國=（一；1,1+；1,0）,

BHCF21+刈M2(1+肛2

所以一||一=L/,=三，所以2/、2=1,所以4=

則CF75x^7(1717522+Z+122

所以麗=131,0）,設(shè)平面AOE的法向量為3=（x,y,z）,

n-AD=Qy=0

所以《

n-AF=Q-x+z=0

所以令x=l,則3=（1,0,1）,如3”與平面ADE成的角為夕

4所以即初與面A近成的角為會

所以sinO=

20.(1)橢圓C:鼻+[=1(。>方〉0)與拋物線V=x交于M,N兩點(diǎn)，

a

可設(shè)M(x,、&)，N(X,—6),AOMN的面積為26，：?x6=2g,

解得x=2,，M(2,&),N(2,-42),

￡_也

a2

42

由己知得J/+底=1解得a=2正,b-2>c—2,

a2=b2+c2

22

???橢圓C的方程為L+E=l.

84

(2)①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，不妨取A(2,夜)，5(2,-72),C(一2,-拒)，故

AA8C」x20x4=40

2

②當(dāng)直線A3的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=2),A(%,yJ,6(9,%)，

y=k(x-2)

聯(lián)立方程《尤2/，化簡得(2公+1卜2一版2%+8左2―8=0,

---F--=1

84

則△=64火2一4(2公+*8f—8)=32儼+1)>0,

8公8公—8

%+X,=-Z——，X,-X,=-5——，

1-2k2+11-2k2+1

|AB|=J(l+92)?[(%]+%2)2.4%.X?

二+1

=4-72-

2k2+\

\-2k\2kl

點(diǎn)。到直線七一。一2&=0的距離dJ，

止+1lk2+\

_4|￡1_

因?yàn)?。是線段AC的中點(diǎn),所以點(diǎn)C到直線AB的距離為2d=

收+1

k2+i、4|上

S^c=^-\AB\-2d=\\^-=8-^2-

2k2+i)麻7T

../("+1)=獷出+1)<左2(42+])_工

又公￥^+i，所以等號不成立.

?(2公+1『^2+(^+1)]2~4k2(k2+1)~4

ASwc=8近.<40,

綜上，AA5C面積的最大值為40.

21.(I)由題可知同一則4=。或2,

1ax

-聞=max{o1M2),當(dāng)“2=。時(shí)，|。3-=b{L0}=L則%=1或T，

當(dāng)“2=2時(shí)，|q-2|=max{l,2}=2,則%=。或4,

,.,\a4-蜀=max{q,02g},，當(dāng)/=T時(shí)，|q+1|=max{l,0,-1}=1,則4=?；蛞?,

當(dāng)q=0時(shí)，laa-OK111ax{1，2,。}=2,則4=-2或2,

當(dāng)％=1時(shí)；l|=max{l,0,l}=l,則4=0或2,

當(dāng)0,=4時(shí)，則4=?；?,

綜上,出的所有可能值為-2,0,2,8；

(H)?.,k-q|=q,...“2=0或2q,

當(dāng)｛4｝是等差數(shù)列時(shí)，假設(shè)4=2%,則%=2%-卬=3q,

此時(shí)也一生仁巧，而max｛4，%｝=陰，矛盾，