高中數(shù)學基礎(chǔ)知識要點解析

第一章集合與簡易邏輯

1.集合中元素具有確定性、無序性、互異性.

2.集合的性質(zhì)：

①任何一個集合是它本身的子集，記為

②空集是任何集合的子集，記為。1A；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果Au8，同時8uA，那么A=B.

如果BcC,那么AqC.

［注意］:

①%：{整數(shù)}H)Z={全體整數(shù)}(x)

②已知集合S中4的補集是一個有限集，則集合A也是有限集.(x例：S=N；A=N-

則QA={0})

③空集的補集是全集.

④若集合4=集合B,則(軸=0,CAB=0G(CAB)=。(注：CAB=0).

3.①{(x,y)lxy=O,xGR,yGR}坐標軸上的點集.

②］(x,y)lxy<0,xWR,y^R}二、四象限的點集.

③1(x,y)Lr>,>0,x《R,y《R}一、三象限的點集.

［注］:①對方程組解的集合應(yīng)是點集.例：卜+)'=3解的集合{⑵I)}.

［2x-3y-1

②點集與數(shù)集的交集是。.(例：A={(x,y)ly=x+l}B={y\y=x2+\］貝ijACB=0)

4.①"個元素的子集有2"個.

②〃個元素的真子集有2"一1個.

③”個元素的非空真子集有2"-2個.

5.(1)①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題O逆命題.

②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題O逆否命題.

例：①若a+b*5,則a*2或6+3應(yīng)是真命題.

解：逆否：a=2且b=3,則4+b=5,成立，所以此命題為真.

②x*1且yW2,AX+y片3.

解：逆否：x+y=3Ax=1或y=2.且尸2**x+yH3,

故x+yw3是xw1且yw2的既不是充分，又不是必要條件.

(2)小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.例：若x>5,nx”5曲Y2.

6.集合的運算.

AnCfiUO=(AC|BUA(lc(4c?cC=Ac8cC

AU(3nO=(AUBnA\jc(4U?)UC=AUBUC

4n(4U8㈢AAU4n8=A

DeMorgan公式CACCB=C,(AUB)QIUCB=Q(4ClB)

7.容斥原理：對任意集合AB有|AUB|=|A|+同-|ADB卜

|AUBUC|=|A|+|B|+|c|-(|AnB|+|Anc|+|Bnc|)+|AnBnc|?

第二章函數(shù)

I.函數(shù)的三要素：定義域，值域，對應(yīng)法則.

2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以是整個定義域，也可以是定義域的一部分.對于具體的函數(shù)來說可

能有單調(diào)區(qū)間，也可能沒有單調(diào)區(qū)間，如果函數(shù)在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù)，在區(qū)間(1,2)

上為減函數(shù)，就不能說函數(shù)在(0,1)口(1,2)上為減函數(shù).

3.反函數(shù)定義：只有滿足X<M二>,函數(shù)y=/(x)才有反函數(shù).例：y=/無反函數(shù).函

數(shù)y=/(x)的反函數(shù)記為x=/T(y),習慣上記為y=/T(x).在同一坐標系，函數(shù)y=/(x)與

它的反函數(shù)y=/I(x)的圖象關(guān)于y=x對稱.

［注］:一般地，f-'(x+3)Hf(x+3)的反函數(shù).「'(X+3)是先f(x)的反函數(shù)，在左移三個

單位.f(x+3)是先左移三個單位，在f(x)的反函數(shù).

4.(1)單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，但并非反函數(shù)存在時一定是單調(diào)的.因此，所有偶函數(shù)不存

在反函數(shù).

(2)如果一個函數(shù)有反函數(shù)且為奇函數(shù)，那么它的反函數(shù)也為奇函數(shù).

(3)設(shè)函數(shù)y=/(x)定義域，值域分別為X、Y.如果y=/(x)在X上是增(減)

函數(shù)，那么反函數(shù)y=/k)在丫上一定是增(減)函數(shù)，即互為反函數(shù)的兩個函數(shù)增減性相

同.

(4)一般地，如果函數(shù)y=/(x)有反函數(shù)，且〃a)=b，那么尸⑸”.這就是說點(°,b)

在函數(shù))，=/(x)圖象上，那么點(b,a)在函數(shù)y=/T(x)的圖象上.

5.指數(shù)函數(shù)：y=〃定義域R,值域為(0,+8).

(1)①當指數(shù)函數(shù)：y=a*在定義域上為增函數(shù)；

②當OYOYI,指數(shù)函數(shù)：y=/在定義域上為減函數(shù).

(2)當axl時，y="的a值越大，越靠近y軸；當0Y“Y1時，則相反.

6.對數(shù)函數(shù)：如果。(,>o,力|)的方次嘉等于N,就是J=N,數(shù)％就叫做以a為底的N

的對數(shù)，記作log“N=〃(”0,。壬］，負數(shù)和零沒有對數(shù))；其中。叫底數(shù)，N叫真數(shù).

(1)對數(shù)運算：

log。(M?N)=log?M+log“N">log"2=log"M—log”N

N

，2>

log°M"=nloga(±M)logay/M=-log?M

n

a°^N=N換底公式：log?N=愜也

喘。

推論：logab?log；,c-log,,a=1

=>log%出Jog%?3-...-log(,n|a?=log%an

(以上M>0,N>0,a>0,aw1,b>0,b工1,c〉0,cw1必,a2...an>0,且一H1)

注意1：當a,b<0時，log(afe)=log(-a)+log(-fe).

注意2：當M>0時，取“+”，當〃是偶數(shù)時且MYO時，M">0,而"Y0,故取

“一”.例如：logax2*21ogaX；(21ogaX中X>0而loga?中XGR).

(2)y=ax(a>0,a*1)與y=logax互為反函數(shù).

當時，y=log〃x的。值越大，越靠近x軸；當OYaYl時，則相反.

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：

(1)偶函數(shù)：f(-x)=f(x)

設(shè)(a/)為偶函數(shù)上一點，則S也是圖象上一點.

偶函數(shù)的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關(guān)于y軸對稱，例如：y=、2+i在工_1)上不是偶函數(shù).

②滿足〃-x)=/(x),或/(-x)-/(x)=O,若/(x)WO時,#4=1.

/(-X)

(2)奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)

設(shè)(。*)為奇函數(shù)上?點，貝I(-a-b)也是圖象上一點.

奇函數(shù)的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關(guān)于原點對稱，例如：y=x3在口,-1)上不是奇函數(shù).

②滿足f(-x)=-/(X),或〃-x)+/(x)=0,若/(x)#0時,-^-=-1.

/(-X)

8.對稱變換：?y=f(x)=/(_x)

②y寸(x)刑對稱〉y=-f(X)

@y=f(x)原點對稱〉y=_/(_x)

9.判斷函數(shù)單調(diào)性(定義)作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如：

/5)_/晨2)=后后_后/=；口5+：),

?。?b+b

再進行討論.

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

X

例如：已知函數(shù)/(x)=1+——的定義域為A,函數(shù)加(x)］的定義域是8,則集合A

1-x

與集合B之間的關(guān)系是.

解：/(x)的值域是/(/(x))的定義域B,/(x)的值域eR,故BeR,而4=卜1》#1},

故BnA.

11.常用變換：

①f(x+y)=f(x)f(y)o/(x-y)=黑?

證：/(xX/Kx-yHyk/a-y)/。)

/(x)

②/(-)=/(x)-/(y)=/(x?y)=f(x)+f(y)

y

證：/(x)=/(--y)=/(-)+/(y)

yy

12.(1)熟悉常用函數(shù)圖象:

例：y=21d-Ixl關(guān)于y軸對稱.

例：'=松=2+￡n定義域{WLR},

值域{yly聲2,ywR}T值域4x前的系數(shù)之比.

第三章數(shù)列

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義%+i一冊=42=q(q*0)

an

遞推公式a?=a_t+d；a?=a_?+md

nm冊=?！?闖；冊=a,〃qf

a=a+(〃-l)d

通項公式n[a注=a、q(4],gwO)

中項4=3上巴地(G=±>Ja?_a(a?_a?a0)

2kn+kk+k

(〃,2￡N*,〃A2AO)

前〃項和

Sn=5(%+?！?啊(q=l)

S"=<aLdL叱皿(22)

n(n-l)

S"="”|+2d.\-q"q

重要性質(zhì)a+a〃=a+ciq(m,n,p,qeN*,

mpa,?■an=ap-aq(m,n,p,q&N*,m+n=p+q)

m+〃=p+q)

1.(1)等差、等比數(shù)列：

(2)看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法:

@an-an_｛=d（〃N2,d為常數(shù)）

②2〃“=an+1+an_l（n>2）

③冊=kn+b（%k為常數(shù)）.

（3）看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

①=冊_均（〃之2,4為常數(shù),且。0）

②a；=?n+iQ/〃+Mi。0）①

注①：

i.b=y[ac9是〃、b、c成等比的雙非條件，即匕氏c等比數(shù)列.

ii.b=y[ac（ac>0）一為b、c等比數(shù)列的充分不必要.

iii.b=±&^t為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.

iv.公土而且4CA0一為〃、氏。等比數(shù)列的充要.

注意：任意兩數(shù)。、c不一定有等比中項，除非有ac>0,則等比中項一定有兩個.

③a〃=cq〃（c,q為非零常數(shù)）.

④正數(shù)列｛%｝成等比的充要條件是數(shù)列｛log*%｝G1）成等比數(shù)列.

（4）數(shù)列｛冊｝的前N項和S,與通項冊的關(guān)系：4=『=%（”=1）

[注]:①為=%+（〃-1卜=""+（即-1）（"可為零也可不為零-?為等差數(shù)列充要條件（即

常數(shù)列也是等差數(shù)列）t若d不為0,則是等差數(shù)列充分條件）.

②等差｛明,｝前n項和S“=AM+B"=（?）2+（4]_?｝可以為零也可不為零一為

等差的充要條件-若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分

條件.

③非等常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）

2.①等差數(shù)列依次每k項的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的F倍

S*,S2k_Sk，S3k_S2k…；

②若等差數(shù)列的項數(shù)為2〃（〃eN+）,則S偶-S奇=加,且=上；

S偶。〃+1

③若等差數(shù)列的項數(shù)為2〃-1。eN+）,貝依2-1=（2〃-1）?.，且S奇-S偶=%,，邑i=」_

=>代入力到2"-1得到所求項數(shù).

3.常用公式：①1+2+3…+〃=巫生

2

②『+22+32+...〃2=也土咽±1)

6

③[3+23+3.3…

_2_

[注]:熟悉常用通項：9,99,999,=10"-1；5,55,555,=|(10"-1).

4.等比數(shù)列的前〃項和公式的常見應(yīng)用題：

(1)生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為“，年增長率為r,則

每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為1+r.其中第"年產(chǎn)量為a(l+r)"T,且過〃年后總產(chǎn)量為：

a+a(l+r)+a(l+r)2+...+a(l+r)n_1=如!~"

l-(l+r)

(2)銀行部門中按復(fù)利計算問題.例如：一年中每月初到銀行存。元，利息為r,每

月利息按復(fù)利計算，則每月的。元過〃個月后便成為a(l+r)"元.因此第二年年初可存款:

?(l+r)12+?(l+r)“+a(l+r嚴+…+磯1+「)=四±止史芷1.

l-(l+r)

(3)分期付款應(yīng)用題：。為分期付款方式貸款為。元；%為m個月將款全部付清；r為

年利率.a(l+r)m=x(l+，)"-'+x(l++x(l+r)+x=aQ+r>"=+"-----=x=""""—

r(l+r)m-1

5.數(shù)列常見的幾種形式：

(1)a,+2=Pa“+i+qa“(p、q為二階常數(shù))f用特證根方法求解.

具體步驟：

①寫出特征方程x2=Px+q(彳2對應(yīng)”計2，工對應(yīng)4“+]),并設(shè)二根巧,上

②若》產(chǎn)》2可設(shè)a..=C]Xl+C2X：,若X]=X2可設(shè)a“=(C]+C2，?)x'；:

③由初始值”|,。2確定C1，C2?

(2)%,=Pa,i+r(尸、;■為常數(shù))-用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項選代：③消去

常數(shù)”轉(zhuǎn)化為%+2=p%+i+g冊的形式，再用特征根方法求%;④*=C1+C'2P"T(公式法),

C\,c2由4]同2確定?

①轉(zhuǎn)化等差，等比：a+x=+x）=Pa+Px-x^>x----.

W+1n+1nP—\

②選代法：Pa〃_]+r=尸（2?！╛2+r）+，=…

na“=（a?+Pn~'一——={a+x）Pn-l-x=Pn-'+Pn-2-r+-+Pr+r.

p—1p-\}ai

③用特征方程求解：P""+'1相減,na“+i-a“=Pa“-Pa“_|=>%+]=（尸+1）an-Pan_^

%=P%i+rJ

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：c=—,c=a—,,p"-'+=(+—)Pn-'+—

tl-P2|+P-\a=c1caiP-1l-P

6.幾種常見的數(shù)列的思想方法：

(1)等差數(shù)列的前〃項和為S“，在"Y0時，有最大值.如何確定使5“取最大值時的〃

值，有兩種方法：

一是求使冊20,a,+iY0,成立的及值；二是由5,=《/+(利用二次函數(shù)

n〃十IH2'I2,

的性質(zhì)求”的值.

(2)如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項乘積，求此數(shù)列前〃項

和可依照等比數(shù)列前〃項和的推倒導(dǎo)方法：錯位相減求和.例如：

242"

(3)兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個

數(shù)列的第一個相同項，公差是兩個數(shù)列公差小，八的最小公倍數(shù).

第四章三角函數(shù)

1.①與a(0””<360。)終邊相同的角的集合(角a與角〃▲

的終邊重合）：{/7/=&x36（T+a,"€z}Lsinx

4I

②終邊在X軸上的角的集合：M/?=kx18O0,kez}cosx

COSXCOSX

③終邊在y軸上的角的集合：[m￡=kxl80°+90°,?€z}i4

''siiixsinx

④終邊在坐標軸上的角的集合：［夕1/?=&x90°,?ez}

S1MCOS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖

JI-A-A人1、2、3、4表示第一、二、三、

⑤終邊在y=x軸上的角的集合：四象限一半所在區(qū)域

物l/=1xl800+45°?wz}

⑥終邊在>=-》軸上的角的集合：物1￡=kxl8(T-45Fez}

⑦若角a與角。的終邊關(guān)于x軸對稱，則角a與角6的關(guān)系：a=360Z-￡

⑧若角a與角￡的終邊關(guān)于)，軸對稱，則角a與角夕的關(guān)系：a=36()°k+18()°-4

⑨若角a與角￡的終邊在一條直線上，則角a與角力的關(guān)系：a=180%+/?

⑩角a與角〃的終邊互相垂直，則角a與角乃的關(guān)系：a=360%+^±90°

2.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=27180°=乃1°=0.017451=57.30°=57°18

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

3.三角函數(shù)的定義域：

三角函數(shù)定義域

/(x)=sinx{x\xeR}

/(x)=cosx{xlxeR}

/(x)=tanxxXER旦Xk7T+—7C,kGZ

1[2.1

/(x)=cotr{x\xeR且x*ki,keZ}

f(x)=secxX￡R目JfW+L1,“WZ

x

21

f(x)=cscxx1xGR且x工k兀,keZ]

4.三角函數(shù)的公式：

(-)基本關(guān)系

公式組一公式組二

situ,cscx=ltanx=s'nxsin2v+cos2x=lsin(-x)=-sinx

cosx

cos(-x)=COSX

,COSX.22

cosx-secx=lcotx=—1+tanx=secxtan(-x)=-tanx

taru?cotx=ll+cot2x=csc2xcot(—x)--cotx

公式組三公式組四公式組五公式組六

sin(2^^+x)=sinxsin(^+x)=-sinxsin(2^-x)=-sinxsin(^-x)=sinx

COS(2k7T+X)=COSXCOS(7T+x)=-COSXcos(2^--x)=cosxcos(^-x)=-cosX

tan(2^^+x)=tanxtan(^+x)=tanxtan(2^-x)=-tanxtan(^-x)=-tanx

C0t(2&4+x)=cotXC0t(4+x)=cotxcot(2^--x)=-cotxcot(4-x)=-cotx

(二)角與角之間的互換

公式組一公式組二

cos(a+0=cosacos夕一sinasinpsin2a=2sinacosa

cos(a-P)=cosacos/?+sinasin°cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

.//)、?".or2tana

sin(a4-p)=smacosp+cosasmptan2a=------------

1-tan“a

1-cosa

sin(a~/3)=sinacosp-cosasinpsin4=±、

2V2

tana+tan￡1+cosa

tan(a+〃)=cos—=±.

1-tanatanB22

tana-tana/1-cosasinal-cosa

tan(a-p)~tan——=±J----------=-----------=—；-------

1+tanatanp2Yl+cosa1+cosasina

Ca1、?

2tan—]cos(一4一a)=sina

2

cin/y2sinfzcosB——lsin(a+/7)+sin(a—Z7)1

i2a2.J、

1+tan—1sin(—=cosa

cosasinj3=—[sin(a+y0)-sin(a-/?)]

Z1、

l-tan?—cosacos/3=—[cos(a4-)ff)+cos(a-^)]tan(—^--a)=cota

cosa=------------2

2ai

]+tan-萬sinasinp=-—[cos(^+/?)-cos(a-yff)]cos(；;r+a)=-sina

9tan—八3a+0a-Btan(gzr+。)=-cota

°cosa+cosp=2cos------cos......-

tana=-------------22

i，2a.J、

1—tan—cc+BCL—B

2cosa-cosZ?=-2sin-----sin--------8111(-^4-a)=cosa

22

—力-7535='Ctanl5…75dStan75=cotl5=2+石

sina+sin尸=2sin干cos4/sina-sin/J^cos^sin^

5.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì):

/y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=Asin(5+e)

(A、(o>0)

JA1xG/?Fbk7r+—7r,kez\

定義域RR{x1xGR且xHki、keZ}R

I2J

值域[-1,+1][-1,+1]RR[—A,A]

周期性212乃71n24

co

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當e。0,非奇非偶

當e=o,奇函數(shù)

Q-i%,.(--+k7T,-+k7t}(AT，G+1%)上為減函

…冗

[--+2k7t,I22J2k兀--(p

22kn}7

數(shù)(keZ)---------------(A),

-+2k7T]上為增函上為增函數(shù)(0

2?1

2k冗+一兀一(p

數(shù)(jteZ)

上為增函----------------(-4)

_(0」

[2k兀,

數(shù)；(2fc+l>J

上為增函數(shù)；

上為減函

…兀

數(shù)2K7T+------(P

[—F2k冗,

-----2—⑷，

單調(diào)性(keZ)(0

—+2k7l]~3

2K7T+-7C-(p

-(-A)

上為減函CO

上為減函數(shù)

數(shù)(AeZ)

(keZ)

注意：①y=-sinxy=sinx的單調(diào)性正好相反；y=-cosx與y=cosx的單調(diào)性也同

樣相反.一般地，若），=/*）在口㈤上遞增（減）,則），=-/（此在他向上遞減（增）.

②），=而工|與y=|cosx|的周期是n.

③），=sin（應(yīng)+*）或），=cos（儂+9）（。。0）的周期丁=容.

x的周期為2萬（7_萬=7_24，如圖，翻折無效）?

y=tan—1—：~~7n1—Ln

2網(wǎng)

④丁=sin（m+e）的對稱軸方程是工=攵萬+］（kGZ）,對稱中心（k7t^）;y=cos（d>x+（p）

的對稱軸方程是x=A兀（ZwZ）,對稱「I」心（左4+，乃0）；y=tan（〃，x+e）的對稱中心

2，

k兀

（-^-,0）-y=cos2x—煩**,稱>），=-cos（-2x）=-coslx

⑤當tana-tan>0=1,a+P=k7t+—(keZ);tana-tan/?=-1,a-P=k7t+—(keZ).

⑥y=cosx與y=sin(x+&+2k乃)是同一函數(shù)，而y=(5+尹)是偶函數(shù)，則

y-(cox+夕)=sin(a?c+krr+-TT)=±cos(ox)?

⑦函數(shù)y=tanx在R上為增函數(shù).（x）［只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個定

義域，y=tanx為增函數(shù)，同樣也是錯誤的］.

⑧定義域關(guān)于原點對稱是f具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：

一是定義域關(guān)于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：〃_x）=/（x），奇函

數(shù)：/（-X）=-/（X））

奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：y=tan尤是奇函數(shù)，y=tan（x+；T）是非奇非偶.（定

義域不關(guān)于原點對稱）

奇函數(shù)特有性質(zhì)：若Owx的定義域，則/（x）一定有/（0）=0.（0任》的定義域，則無

此性質(zhì)）

⑨y=sin|.r|不是周期函數(shù);y=|sinx|為周期函數(shù)（7二打）;

y=8則是周期函數(shù)（如圖）；y=|cos目為周期函數(shù)（T

y=88Id圖饗

尸圖象

y=cos2x+』的周期為乃（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如:lcosii+l/2l

2

y=于(x)=5=f(x+k),kwR.

@y=acosa+bsin0=^Ja2+b2sin(a+(f>)-^cos(p=—>la2+b2>Iv|.

a

6、反三角函數(shù).

1.反三角函數(shù):

(1)反正弦函數(shù)y=arcsinx是奇函數(shù)，故arcsin(-x)=-arcsinx,%e[-i,i](一定要

注明定義域，若工￡(-8,+<?)，沒有冗與y一—對應(yīng)，故丁=5由次無反函數(shù))

注：sin(arcsinx)=x，xe\-1,11,arcsinxe--?

L22_

(2)反余弦函數(shù)y=arccosx非奇非偶，但有arccos(-x)+arccos(x)=萬+2k兀，

注：?cos(arccosx)=x，arccosXG[O,^]?

②/二^^工是偶函數(shù)，y=arccosx非奇非偶，而y=$也欠和y=arcsinx為奇函數(shù).

(3)反正切函數(shù)：y=arctanx?定義域(—8,+°o)，值域Qy=arctanx是奇

函數(shù)，arctan(-x)=-arctanx,XG(-oo,+co).

注：tan(arctanx)=x,xe(-co,+oo).

rr-rr

(4)反余切函數(shù)：y=arccotx^定義域(-oo,+oo)，值域(一于萬)，y="CCOtX是

非奇非偶.arccot(-x)+arccot(x)=TT+2k兀，XG(-oo,+co).

注：①cot(〃rccotx)=x，XG(-oo,+oo)?

②y=arcsinx與y=arcsin(l-x)互為奇函數(shù)，y=arctanx同理為奇而y=arccosx與

y-arccotx非奇非偶但滿足arccos(-x)+arccosx=/r+2k/r,xG[-1,1]，

arccotx+arccot(-x)=7+2攵乃,xe.

2.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集:

〃的取值范圍解集”的取值范圍解集

①sinx=〃的解集②C0SX=4的解集

同>10|?|>10

同=1{xIx=2k7r+arcsina,keZ}同=1{xIA:=2kn+arccosa,keZ}

|?|<1卜Ix=丘+(-1)"arcsin￡Z

[《V1{x\x=kn±arccosa,keZ}

③tanx=a的解集：{xIx=4用+arctana,kEZ}③COtX=4的解集：{x\x=k7r+arccota,keZ}

7、三角恒等式.

組一

3

cosacos2acos4a…cos2"a=sin3a=3sintr-4sina

即，％sin2a-sin20-sin(a+/)sin(a一4)

2n+lsinacos3a=4cos3a-3cosa

=cos2。一cos2a

組二

aaaaa

=cos—cos—cos---cos—=sin

2482”a

A=1VTsin

r

,,八/八/八sin((n+\)d)cos(x4-nd)

COS(X+KCl)=cosx+cos(x+[)+???+cos(x+nci)=-------------------

E,_nsind

”./,八../八./八sin((w+1)J)sin(x+nd)

sin(x+ka)=sinx+sin(x+d)+???+sin(/+nd)=-------------------

EDsin"

tan(a+4+y)—tana+tan」+tany-tanatan夕tany

1-tanatan/7-tan/7tany-tan/tana

組三三角函數(shù)不等式

sinx<x<tanx,xG(0,—)f(x)=包4在(0,幻上是減函數(shù)

2x

若A+8+C=/r,則d+V+z?之2)憶cosA+2xzcosB+2xycosC

第五章平面向量

I.長度相等且方向相同的兩個向量是相等的量.

注意：①若為單位向量，則2=不.(X)單位向量只表示向量的模為1,并未指明

向量的方向.

②若a=g,則,〃幾(<)

2.①2(曲)=(加)5

②(2+〃)5-Aa+/ja

③加+勾=花+4

④設(shè)〃=(七，力)*=(工2，%)義￡氏a+b=(x]+x2,y1+y2)a-b=(x)-x2,yi-y2)

蒼=（疝］，辦2）=xxx2+乃y2同=&+）,;（向量的模，針對向量坐標求模）

⑤平面向量的數(shù)量積：ab=時?例cos。

@a-b=b-a

⑦（標）4=旅局=小彷）

?［a+h）-c=a-c+b-c

注意：①（晨同］=展［?）不一定成立；ab=bc^a=c.

②向量無大?。ā按笥凇薄ⅰ∮?'對向量無意義），向量的模有大小.

③長度為0的向量叫零向量，記。，。與任意向量平行，6的方向是任意的，零向量與

零向量相等，且-0=5.

④若有一個三角形ABC,則短+就+且=0；此結(jié)論可推廣到〃邊形.

⑤若mG=碗（m,nwR）,賄tn-n.（x）當G等于6時，，疝=7疝=6,而陽，〃不一

定相等.

@5-5=lal2,\a\=4^（針對向量非坐標求模），Id萬隆Idl?向I.

⑦當G聲6時，由展3=0不能推出不#0,這是因為任一與。垂直的非零向量卻都有

a-b=0.

⑧若"〃h//c9則（x）當了等于。時，不成立.

3.①向量不與非零回革2共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)義，使得3=應(yīng)（平行向量

或共線向量）.

當;與各共線同向：當aYO,々與3共線反向；當各則為6,6與任何向量共線.

注意：若共線，則口=/lg（X）

若c是。的投影，夾角為6,則cos。七二。，cos^-|a|=|clN）

②設(shè)5=（xi，yj,b=（x2,y2）

a//bx］y2-x2y}=0<^>a=Ah<^>a-b=a?b

a.Lb=〃?/?=。。工[工2+)'2yl=0

③設(shè)4（X],yJ,夙心，）”）?！?，）'），貝l」A、B、C三點共線?！?co力（4H0）

<=>（冗2_陽，,2-力）=4（x3-X）,yj-y?）（2^0）

o（）-（y-ji）=（x-X|）?（）

X2-X,33y2-yi

④兩個向量d、6的夾角公式：w-"2+.平

&+yj犬

⑤線段的定比分點公式：（義力0和-1）

設(shè)PlA=X鶴（或9FLPP1）,月.尸],尸,尸2的坐標分別是（項，力）,（工,〉）,（％2，乃），則