二次函數(shù)系數(shù)a、b、c與圖像的關(6)由對稱軸公式x二一就可確定2a+b的符號.

系

知識要點

選擇題(共9小題)

二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號確實定：

1.(2014?威海)已知二次函數(shù)y=axz+bx+c

(aWO)的圖象如圖，則下列說法：

(l)a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，那么a>0;否那么a<0.

①c=0；②該拋物線的對稱軸是直線x=-

(2)b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x=一七判斷符號.

1；③當x=l時，y=2a；@am2+bm+a>0(mW-1).

(3)c由拋物線與y軸的交點確定：交點在y軸正半軸,那么0();

其中正確的個數(shù)是()

否那么c<0.

(4)b2-4ac的符號由拋物線與x軸交點的個數(shù)確定：2個交點，

A.lB2C3D.4

b2-4ac>0；1個交點，b2-4ac=0；沒有交點，b2-4acV0.

2.(2021?仙游縣二模)二次函數(shù)

(5)當x=l時,可確定a+b+c的符號，當X—1時，可確定a-b+c

y=ax2+bx+c(a=0)的圖象如下圖，給出以下

的符號.

結論：①a+b+c<0;②a-b+c<0;(3)b+2a<0;④abc>0.其中所

有正確結論的序號是〔)

A.③④B②③C①④D.①②③

3.（2014?南陽二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖象如圖所示，那么關于此二次函數(shù)的下

列四個結論：'

①a<0;②c>0;0b2-4ac>0;④三<0中，正確的結論有2b

A.1個D.4個

4.12021?襄城區(qū)模擬〕函數(shù)y=X2+bx+c與

y二x的圖象如圖,有以下結論：

①bz-4c<0;②c-b+l=0;③3b+c+6=0;④

當l<x<3時,X2+(b-1)x+c<0.

其中正確結論的個數(shù)為()

A.1D.4

5.[2021?宜城市模擬〕如圖是二次函數(shù)

y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為x=-l,\：I

且過點(-3,0)下列說法：弋?2"夕1

①abcVO；②2a-b=0；③4a+2b+cV0；④若1

(-5,y),(2,y)是拋物線上的兩點，則y>y.

其中說法正確的選項是〔〕

A.①②B②③C②③④D.①②④

6.(2021?莆田質(zhì)檢)如圖，二次函數(shù)y=X2+(2-m)

x+m-3的圖象交y軸于負半軸,對稱軸在y軸的右

側，那么m的取值范圍是〔)

A.m>2Bm<3Cm>3D.2<m<3

7.（2021?玉林一模）如圖是二次函數(shù)

y=ax2+bx+c圖象的一局部，圖象過點A3,

對稱軸為x=-l.給出四個結論:

①b2>4ac;②2a+b=0;③3a+c=0;@a+b+c=0.

其中正確結論的個數(shù)是〔

)

A.1個D.4個

8.（2021?樂山市中區(qū)模擬）如圖，.拋物線.，9.（2021?齊齊哈爾二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）的

y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1,0）,頂點坐標圖象與x軸交于點〔-1,0）,%0）,且lVx?2,以下結論

為(1,n),與正確的個數(shù)為（）

y軸的交點在（0,2）、[0,3）之間（包含端①b<0;②c<0;?a+c<0;@4a-2b+c>0.

點）.有以下結論:

A.1個D.4個

1WaW2knW4

①當x>3時，y<0；②3a+b>0;?--；?3

其中正確的選項是（

10>[2021?重慶）拋物線y=ax2+bx+c（a

/0）在平面直角坐標系中的位置如下圖，

A.①②B③④C①③D.①③④

那么以下結論中，正確的選項是1

）

A、a>0B>b<0C>c<0D>a+b+c>0

11、（2011?雅安）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的

圖象如圖,其對稱軸x=.l,給出以下結果①b2>4ac;②abc>0;

下說法:

③2a+b=0;④a+b+c>0;⑤a-b+cvO,那么正確的結論是（）

①c=0;②該拋物線的對稱軸是直線x=-l;③當x=l時,y=2a;

A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤

④am2+bm+a>0（m=-l].

12、12021?孝感）如圖，二次函數(shù)

?i其中正確的個數(shù)是（）

y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂

點坐標為[12,1）,以下結論：①ac<0;T-------------V

/萬'A.1B2C3D.4

②a+b=O;?4ac-b2=4a;?a+b+c<0.其中

正確結論的個數(shù)是1）

A、1B、2C、3D、4

考二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

答案點:

1.（2021?威海）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a=0）的圖象如圖，那么以

?選擇題（共9小題）分由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系,然后根據(jù)對稱軸及

析：拋物線與X軸交點情況進行推理,進而對所得結論進行判斷.

解解：拋物線與y軸交于原點，

答：

c=0,（故①正確）；

該拋物線的對稱軸是：二I坦二-L

直線X=l,〔故②正確）；

當x=l時,y=a+b+c

???對稱軸是直線x=-L

-b/2a=-1,b=2a,

y=3a,1故③錯誤)；

x二m對應的函數(shù)值為y=am2+bm+c,

x=-1對應的函數(shù)值為y=a-b+c,

又???x二-1時函數(shù)取得最小值，

a-b+c<am2+bm+c,BPa-b<am2+bm,

Vb=2a,

.*.am2+bm+a>0(mW-1).〔故④正確).

應選：C.

點此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系?二次函數(shù)y=axz+bx+c

評：(aWO)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸

的交點、拋物線與X軸交點的個數(shù)確定.

2.(2021?仙游縣二模)二次函數(shù)y二ax外bx+c(aWO)的圖象

如下圖，給出以下結論：①a+b+c<0;②a-b+c<0;③b+2a<

0;?abc>0.其中所有正確結論的序號是〔)

A.③④B②③C①④D.①②③

*

考二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

占.

八、、?

專數(shù)形結合.

題:

分由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判

析：斷c的符號,然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推

理,進而對所得結論進行判斷.

解解：①當x=l時,y=a+b+c=O,故①錯誤；

答：

②當x=l時，圖象與x軸交點負半軸明顯大于T,

y=a-b+c<0,

故②正確；

③由拋物線的開口向下知a<0,

,對稱軸為0<x=-上<1,

2a

,-2a+b<0,點二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號確實定：

評：

故③正確；

(l)a由拋物線開口方向確定：開口方向向上,那么a>0;否那么

④對稱軸為x=-上>0,a<02aa<0;

(2)b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x二-上判斷符

2a

,a、b異號，即b>0,

號；

由圖知拋物線與y軸交于正半軸，?一

c>0(3)c由拋物線與y軸的交點確定：交點在y軸正半軸,那么c

>0;否那么c<0;

Aabc<0,

(4)當x=l時，可以確定y=a+b+c的值；當x=-l時，可以確

故④錯誤；

定y=a-b+c的值.

應選：B.

3.(2021?南陽二模)二次函數(shù)丫=2乂2+6乂+.的圖象如下圖，那么

關于此二次函數(shù)的以下四個結論：

?a<0;@c>0;③b2-4ac>0;?q<0中，正確的結論有況進行推理,進而對所得結論進行判斷.

2b

()

解解：①，??圖象開口向下，???a<0;故本選項正確;

答：

A]B2C3②一?該二次函數(shù)的圖象與y軸交于正半軸，???c>0;故本選

項

正確;

考二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.③??-二次函數(shù)y=gx2+bx+c的圖象與x軸有兩個不相同交點,

根的判別式A=b2-4ac>0;故本選項正確;

④二?對稱軸*=-上>(),???包〈0;故本選項正確；2a2b

專數(shù)形結合.

綜上所述,正確的結論有4個.

題:

應選D.

分由拋物線的開口方向判斷a與。的關系，由拋物線與y軸的交

點此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解答此題關鍵是掌握

析：點判斷c與0的關系,然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情

評：二次函數(shù)廠ax2+bx+c系數(shù)符號確實定，做題時要注意數(shù)形結合

思想的運用，同學們增強練習即可掌握,屬于根底題.

4.12021?襄城區(qū)模擬)函數(shù)y=X2+bx+c與y=x的圖象如圖，有以

下結論：

①b2-4c<0;②c-b+1=0;③3b+c+6=0;④當l<x<3時，X2+(b-1)

x+c<0.

其中正確結論的個數(shù)為1)

A.1B2C3D.4

考二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

占.

八、、?

分由函數(shù)y'+bx+c與x軸無交點，可得b2-4c<0;當x=-l時，

析：y=l-b+c>0;當x=3時，y=9+3b+c=3;當l<x<3時,二次函

數(shù)值小于一次函數(shù)值,可得X2+bx+cVx,繼而可求得答案.

解解：；函數(shù)y=X2+bx+c與x軸無交點，

答：

.*.b2-4ac<0;

故①正確；

當x二T時，y=l-b+c〉0,

故②錯誤；

??，當x=3時,y=9+3b+c=3,

A3b+c+6=0;

③正確；

??-當lVx<3時，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，

X2+bx+c<x,

X2+(b-1)x+c<0.

故④正確.

應選C.

點主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系.此題難度適中，注

評：意掌握數(shù)形結合思想的應用.

5.(2021?宜城市模擬)如圖是二次函數(shù)［axz+bx+c圖象的一局部,

其對稱軸為x=-l,且過點(-3,0)以下說法：

①abc<0;②2a-b=0;③4a+2b+c<0;④假設(-5,y),(2,y)

12

是拋物線上的兩點，那么y>y.12

其中說法正確的選項是〔〕

A.①②B②③C②③④D.①②④

考二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

占.

八、、?

分根據(jù)拋物線開口方向得到a>0,根據(jù)拋物線的對稱軸得b=2a>

0,那么2a-b=0,那么可對②進行判斷；根據(jù)拋物線與y軸的交點

析：在X軸下方得到c<0,那么abc<0,于是可對①進行判斷；由于???x=2時,y>0,

x=-2時,y<0,那么得到4a-2b+c<0,那么可對③進行判斷；通

???4a+2b+c>0,所以③錯誤；

過點Q5,yl）和點［2,y2）離對稱軸的遠近對④進行判斷.

???點（-5,yl）離對稱軸要比點〔2.2）離對稱軸要遠，

解解：：?拋物線開口向上，

???y>y,所以④正確.

答：IS

???a>0,

應選D.

???拋物線對稱軸為直線x=-也=-1,

2a

點此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c

?b=2a>。,那么2計=0,所以②正確；評：［2=0）,二次項系數(shù)a決定拋物

線的開口方向和大小，當a

???拋物線與y軸的交點在x軸下方，

>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)

和二次項系數(shù)共同決定對稱軸的位置：當與同

,??c<0,6aab

號時（即ab>0）,對稱軸在丫軸左；當a與b異號時（即ab

??abcvO,所以①正確;

<0）,對稱軸在y軸右.〔簡稱：左同右異）.拋物線與y軸交于（0,

c).拋物線與x軸交點個數(shù)：/=b2-4ac>0時，拋關于m的不等式，由圖象交y軸于負半軸也可得到關于m的

物線與x軸有2個交點；A=b2-4ac=0時,拋物線與x軸有1析：不等式，再求兩個不等式的公共局部即可得解.

個交點；A=b2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點.

解解：,??二次函數(shù)y=x2+(2-m)x+m-3的圖象交y軸于負半軸，

6.(2021?莆田質(zhì)檢)如圖，二次函數(shù)y=x2+(2-m)x+m-3的圖答：

m-3<0,

象交y軸于負半軸,對稱軸在y軸的右側,那么m的取值范圍是()

解得m<3,

A.m>2Bm<3Cm>3D.2Vm<3

???對稱軸在y軸的右側，

.x=2iM〉0,

考二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

解得m>2,

點:

.2<m<3.

應選：D.

分由于二次函數(shù)的對稱軸在y軸右側，根據(jù)對稱軸的公式即可得到

況進行推理,進而對所得結論進行判斷.

點此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì),解題的關鍵是利用對稱軸的

評：公式以及圖象與y軸的交點解決問題.

解解：二?拋物線的開口方向向下，

答：

7.（2021?玉林一模）如圖是二次函數(shù)丫=a*2+6乂+.圖象的一局部，圖

,??a<0;

象過點A（-3,0）,對稱軸為x=-l,給出四個結論：

???拋物線與x軸有兩個交點,

?b2>4ac;②2a+b=0;@3a+c=0;④a+b+c=0.

...b2-4ac>0,即b2>4ac,①正確;

其中正確結論的個數(shù)是（）

由圖象可知：對稱軸x=-[=-l,

A.1個B2個C3個D.4個...2a=b,2a+b=4a,

考二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.點：：

分由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交

析：點判斷c與0的關系,然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情

VaAO,

???2a+bW0,②錯誤;

???圖象過點A(-3,0),

9a-3b+c=0,2a=b,

所以9a-6a+c=0,c=-3a,③正確；

???拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上,

Ac>0

由圖象可知：當x=l時y=0,

a+b+c=O,④正確.

應選C.

點考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系,解答此題關鍵是掌握二次

評：函數(shù)y=ax2+bx+c(a/0)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、

拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數(shù)確定.

8.12021?樂山市中區(qū)模擬〕如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于

點A（-1,0）,頂點坐標為[l,n),與

y軸的交點在［0,2）、（0,3）之間〔包含端點〕.有以下結論:

①當x>3時，y<0;②3a+b〉0;0-lWaW-4

33

其中正確的選項是〔）

A.①②B③④C①③D.①③④

考二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.④把頂點坐標代入函數(shù)解析式得到n=a+b+c=&,利用c的取值3

解解：①???拋物線丫=@乂2+6乂+.與x軸交于點AGl,()),對稱

答:軸直線是x=l,

???該拋物線與x軸的另一個交點的坐標是(3,0),

分①由拋物線的對稱軸為直線X=l,一個交點A(-l,0),得到

析：另一個交點坐標,利用圖象即可對于選項①作出判斷；

???根據(jù)圖示知，當x>3時,y<0.

②根據(jù)拋物線開口方向判定a的符號，由對稱軸方程求得b與a

故①正確；

的關系是b=-2a,將其代入(3@+6),并判定其符號；

②根據(jù)圖示知,拋物線開口方向向下,那么a<0.

③根據(jù)兩根之積上二-3,得到a=-二然后根據(jù)c的取值范圍利a

3

A

用不等式的性質(zhì)來求a的取值范圍；,..對稱軸乂=—=l,2a

??b二一2a,

范圍可以求得n的取值范圍.

??-3a+b=3a-2a=a(0,艮口3a+b<0.

故②錯誤;

③,??拋物線與X軸的兩個交點坐標分別是（-1,0）,（3,0）,

-1X3=-3,

-=-3,那么a=aJ

,?，拋物線與y軸的交點在