高三物理功和能【教學結構】功是力的空間積累效果。有力做功，一定有能的轉化或轉移；功是能的轉化或轉移的量度。弄清一個物理過程中能量的變化情況，才能更深刻地理解這個過程，從而做出正確的判斷。學習“功和能”，重點掌握以下知識點：1．理解功的概念，掌握功的計算方法。做功總伴隨能的轉化或轉移，功是能量轉化或轉移的量度。計算恒力的功時用W=Fscosα，其中α是力F與位移S的夾角，它可以理解為位移方向的分力與位移的乘積或力的方向的分位移與力的乘積。在計算或定性判斷做功情況時，一定要明確是哪個力的功。2．會判斷正功、負功或不做功。判斷方法有：（1）用力和位移的夾角α判斷

當0≤α＜90°，力做正功

當α=90°時，力做功為零

當90°＜α≤180°，力做負功（2）用力和速度的夾角θ判斷定

當0≤θ＜90°，力做正功

當θ=90°時，力不做功

當90°＜θ≤180°時，力做負功（3）用動能變化判斷

當某物體的動能增大時，外力做正功

當某物體的動能不變時，外力不做功

當某物體的動能減小時，外力做負功

3．了解常見力做功的特點

重力做功和路徑無關，只與物體始末位置的高度差h有關：W=mgh，當末位置高于初位置時，W＞0，即重力做正功；反之則重力做負功。

滑動摩擦力做功與路徑有關。當某物體在一固定平面上運動時，滑動摩擦力做功的絕對值等于摩擦力與路程的乘積。

在彈性范圍內，彈簧做功與始末狀態(tài)彈簧的形變量有關系。4．理解力和功率的關系。某力做功的瞬時功率P與該瞬時力的大小F，速度υ及它們的夾角α有關：P=Fυcosα。應用此式時注意兩點：一是明確F指的哪個力；二是明確α是力與速度的夾角。當我們用P=Fυ分析汽車或汽船（此時cosα=1）的運動時，要注意條件。如果汽車啟動時可以看作勻加速直線運動，阻力可看作大小不變的力，則汽車的牽引力F的大小不變，由P=Fυ可知發(fā)動機的功率是逐漸增大的。但是當功率達到額定功率時不再增大，由P=Fυ可知牽引力F將逐漸減小，即汽車啟動時做勻加速運動的時間是有限度的。在發(fā)動機功率不變的條件下，汽車加速運動的加速度將不斷減小。5．掌握動能和動能定理

動能EK=mυ2是物體運動的狀態(tài)量，功是與物理過程有關的過程量。動能定理是：在某一物理過程中，外力對某物體做功等于該物體末態(tài)動能與初態(tài)動能之差，即動能增量，用數(shù)學表示為?W=－。動能定理表達了過程量功與狀態(tài)量動能之間的關系。在應用動能定理分析一個具體過程時，要做到三個“明確”，即明確研究對象（研究哪個物體的運動情況），明確研究過程（從初狀態(tài)到末狀態(tài)）及明確各個力做功的情況。6．理解勢能

勢能與相互作用的物體之間的相對位置有關，是系統(tǒng)的狀態(tài)量。例如重力勢能與物體相對地面的高度有關，彈性勢能與物體的形變有關。勢能的大小與參考點（此處勢能為零）的選取有關，但勢能的變化與參考點無關。重力勢能的變化與重力做功的關系是WG=Ep1－Ep2=mgh1－mgh2；彈性勢能的變化與彈簧做功有類似的關系。要區(qū)分重力做功WG=mgh中的“h”和重力勢能Ep=mgh中的“h”，前者是始末位置的高度差，后者是物體相對參考面的高度。7．掌握機械能

一個物體系統(tǒng)動能和勢能的總和，叫它的機械能。我們研究一個物體A，地球和一個輕彈簧組成的系統(tǒng)，其中A和彈簧，地球以某種方式相連。在A的某個運動過程中，可能有重力做功W重、彈簧做功W彈，還可能有摩擦力、推力、拉力等其他外力做功W其他；在初態(tài)的物體A的動能為mυ12，系統(tǒng)的重力勢能為mgh1，彈性勢能為Ep1，末態(tài)A的動能為mυ22，系統(tǒng)的重力勢能為mgh2，彈性勢能為Ep2。由動能定理可以得出：?W=mυ22－mυ12或W重+W彈+W其他=mυ22－mυ12

(1)

而W重=mgh1－mgh2，W彈=Ep1－Ep2

(2)由（1）（2）可得W其他=(mυ22+mgh2+Ep2)－(mυ12+mgh1+Ep1)=E2－E1

(3)上式中E1=mυ12+mgh1+Ep1為系統(tǒng)初態(tài)機械能，E2=mυ22+mgh2+Ep2為系統(tǒng)末態(tài)機械能。從上式可以看出，在一個物理過程中，如果只有系統(tǒng)內部的重力和彈簧做功，則系統(tǒng)的機械能變化為零，即機械能守恒。機械能守恒定律是力學中的重點定律，它的另一種表述是：如果沒有介質阻力做功，只發(fā)生動能和平方向略短的閉合曲線。拉力的方向總是沿繩的方向。沙包

Q

P的速度總在軌跡的切線方向。由題意可知，在M、N、P、Q四點，拉力與速度的夾角都是銳角，拉力做正功。因此A、B正確。

例3

列車在恒定功率機車的牽引下，從車站出發(fā)行駛5分鐘，速度達到20m/s，那么在這段時間內，列車行駛的路程（

）

A.一定小于3km

B.一定等于3km

C.一定大于3km

D.不能確定分析和解答

列車在恒功率下行駛，牽引力隨速度的增大而減小，因此列車做初速度為零的加速度不斷減小的加速運動，其速度圖象如右圖中的①所示。再畫出直線②作為參考，它代表勻加速直線運動。對比兩條圖線可知，如果列車做勻加速直線運動，在5min內速度由0增加到20m/s，它的路程是，在相同時間內，恒功率時的運動比勻加速運動的路程長。因此C選項是正確的。點評

解此題有兩點值得注意，一是分析對比的方法在定性分析物理問題時很有用。例4

額定功率為80km，質量為2.0t的汽車，在平直公路上行駛。在汽車的速度υ≤10m/s時，汽車受到的阻力保持不變，當υ＞10m/s時，阻力與速度成正比f=kυ=200υ(N)。問：（1）汽車的最大行駛速度多大？（2）如果汽車的速度為10m/s時，發(fā)動機的功率為額定功率，此時的加速度為多大？（3）如果速度達到10m/s以前，汽車做勻加速直線運動，達到10m/s后保持發(fā)動機功率為額定功率，那么汽車做勻加速運動的時間多長？分析和解答

(1)汽車以最大速度行駛時，發(fā)動機功率一定是額定功率，而且此時汽車的運動一定是勻速直線運動。設最大速度為υm，汽車牽引力F=P額/υ，阻力f=kυm，勻速運動時有

F=f

或=kυm所以

υm==20m/s(2)加速度由牛頓第二定律求出

a=①υ=10m/s時的牽引力和阻力分別是：

F=

②

f=kυ③由①②③式得出

a==3m/s2

（3）在速度達到10m/s以前，阻力保持不變，勻加速直線運動就意味著牽引力不變而功率增大，而功率的最大值應是額定功率，因此勻加速直線運動的時間有一限度t0。由前述分析可知，=10m/s時，a=3m/s2，此為勻加速直線運動的末速度和加速度，因此

t0==3.3(s)點評

汽車運動的不同階段有不同的運動規(guī)律，“勻加速直線運動”、“功率為額定功率”、“最大速度”是不同階段的運動情況。應在弄清運動情況的基礎，運用物理公式。例4

總質量為M的列車在平直軌道上勻速前進，途中一節(jié)質量為m的車廂脫鉤，當司機發(fā)現(xiàn)脫鉤并關閉發(fā)動機時，列車已前進了l。若列車前進時受到的阻力與重力成正比，求列車的兩部分都停止時相距多遠？分析和解答

先分析物理情景：車廂脫鉤后在阻力作用下作勻減速直線運動；由于車廂脫鉤前而列車的阻力減小，在關閉發(fā)動機以前，列車做勻加速直線運動，關閉發(fā)動機之后做勻減速直線運動。討論物體在不同力的作用下的運動距離問題，可以用動能定理。設阻力與重力的比值μ，機車牽引力為F，當整個列車勻速運動時，

F=μMg

①脫鉤車廂的阻力為μmg，脫鉤后運動的位移為Sm，由動能定理有

-μmgSm=0－mυ02

②式中υ0為列車勻速運動時的速度。設脫鉤后前部分列車的總位移為SM-m，由動能定理有Fl－μ(M－m)gSM-m=0－(M－m)υ02

③由①②③式可得SM-m－Sm=

④兩部分列車之間的距離△S為△S=SM-m－Sm=點評

此題也可以用牛頓運動定律求解，比較而言，用動能定理比較簡單。例5

一傳送皮帶與水平面夾角為30°，以2m/s的恒定速度順時針運行?，F(xiàn)將一質量為10kg的工件輕放于底端，經一段時間

送到高2m的平臺上，工件與皮帶間的動摩擦因數(shù)為（μ=），求帶動皮帶的電動機由于傳送工件多消耗的電能。分析和解答

首先要弄清什么是電動機“多消耗的電能”。當皮帶空轉時，電動機會消耗一定的電能?，F(xiàn)將一工件置于皮帶上，在摩擦力作用下，工件的動能和重力勢能都要增加；另外，滑動摩擦力作功還會使一部分機械能轉化為熱，這兩部分能量之和，就是電動機多消耗的電能。設工件向上運動距離s時，速度達到傳送帶的速度υ，由動能定理可知-mgssin30°+μmgcos30°s=0－mυ2代入數(shù)字，解得s=0.8m，說明工件未到達平臺時，速度已達到υ，所以工件動能的增量為

△Ek=mυ2=20J工件重力勢能增量為

△Ep=mgh=200J在工作加速運動過程中，工件的平均速度為υ=，因此工件的位移是皮帶運動距離s′的，即s′=2s=1.6m。由于滑動摩擦力作功而增加的內能E為

△E=f△s=mgcos30°(s′－s)=60J電動機多消耗的電能為

△Ek+△Ep+△E=280J點評

當我們分析一個物理過程時，不僅要看速度、加速度，還要分析能量轉化情況。在工件加速和勻速兩個階段，能量轉化情況不同。知道了能量變化情況，尤其是“多消耗”電能的涵義，問題就迎刃而解了。例6

固定光滑斜面體的傾角為θ=30°，其上端固定一個光滑輕質滑輪，A、B是質量相同的物塊m=1kg，用細繩連接后放置如右圖，從靜止釋放兩物體。當B落地后不再彈起，A再次將繩拉緊后停止運動。問：（1）B落地時A的速度？（2）A沿斜面上升的最大位移？（3）從開始運動到A、B均停止運動，整個系統(tǒng)損失了多少機械能？分析和解答

從靜止釋放A、B后，由于繩的作用，A、B具有共同速率；又由于無摩擦系統(tǒng)機械能守恒；B落地時與地碰撞，其動能變?yōu)闊?；繩的拉力消失后，A繼續(xù)沿斜面向上運動，其機械能守恒；當A再次將繩拉緊后，A停止運動，其動能損失掉，轉變?yōu)闊幔ɡK對A做功）。設B落地時A、B的速度為υ，根據機械能守恒定律，系統(tǒng)重力勢能的減少量等于系統(tǒng)重力勢能的減少量等于系統(tǒng)動能的增加量：

mBgh－mAghsinθ=(mA+mB)υ2得出

υ=1m/s設B落地后A沿斜面向上運動的最大位移為s，對A應用機械能守恒定律：

mAgssinθ=mAυ2由此得

s=0.1mA沿斜面運動的最大位移為SA=h+s=0.2+0.1=0.3m從釋放A、B到A、B均停止運動，系統(tǒng)機械能的損失E為初態(tài)機械能E1與末態(tài)機械能E2之差：

E=E1－E2=mBgh－mAgSAsin30°=0.5J點評

分析清楚每個階段運動情景，尤其是能量變化特征，是解此題的關鍵。

【課余思考】

1．舉例說明做功和能量之間的關系,既要定性說明，又要定量關系.如何計算變力做功？若質量為m的物體在水平推力作用下在水平面上繞半徑為R的圓運動一周，動摩擦因數(shù)為μ，摩擦力做功如何計算？如何判斷一個物理過程中機械能是否守恒？

【同步練習】1．用細繩將小球A、B連接起來并懸掛于0點，把它們從右圖所示位置由靜止開始釋放，在小球向下擺動過程中（

）

A.繩OA對A球做正功

B.繩AB對B球不做功

C.繩AB對A球做負功

D.繩AB對B球做正功

2．如右圖所示，板長為l，板的B端放有質量為m的小物體P，物體與板的摩擦因數(shù)為μ。開始時板水平，若板緩慢轉過一個小角度α的過程中，物體保持與板相對靜止，則在這個過程中（

）

A.摩擦力對P做功為mglcosα(1－cosα)

B.摩擦力對P做功為mglsinα(1－cosα)

C.彈力對P做功為mglsin2α

D.板對P做功為mglsinα

3．如右圖所示，水平傳送帶保持1m/s的速度運動。一質量為1kg的物體與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為0.2?，F(xiàn)將該物體無初速地放到傳送帶上的A點，然后運動到了距A1m的B點，則皮帶對該物體做的功