2．5同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(一)

一、素質(zhì)教育目標(biāo)(一)知識教學(xué)點(diǎn)1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式．2．已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值．3．利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡三角函數(shù)式．4．利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明三角恒等式．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)1．牢固掌握同角三角函數(shù)的八個(gè)關(guān)系式并能靈活運(yùn)用于解題，提高學(xué)生分析，解決三角問題的思維能力．2．靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式的不同變形，提高三角恒等變形的能力，進(jìn)一步樹立化歸思想方法．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法1．教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握同角三角函數(shù)關(guān)系式．2．教學(xué)難點(diǎn)：(1)已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時(shí)正負(fù)號的選擇；(2)三角函數(shù)式的化簡；(3)證明三角恒等式．3．教學(xué)疑點(diǎn)：運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式中三個(gè)平方關(guān)系解題，在開平方時(shí)，根據(jù)角所在象限選擇符號．三、課時(shí)安排本課題安排2課時(shí)，本節(jié)課是第1課時(shí)．四、教與學(xué)過程設(shè)計(jì)(一)復(fù)習(xí)任意角三角函數(shù)定義師：上節(jié)課我們已學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)定義．如圖2—17示，設(shè)α是任意大小的角，角α的六個(gè)三角函數(shù)是如何定義的呢？生：在∠α的終邊上任意取一點(diǎn)P(x，y)，它與原點(diǎn)的距離是r(r＜0)，則角α的六個(gè)三角函數(shù)值是：(二)推導(dǎo)同角三角函數(shù)關(guān)系式師：請同學(xué)們觀察上述六個(gè)三角函數(shù)的定義，哪些是互為倒數(shù)、商數(shù)關(guān)系？(學(xué)生在草稿紙上演算，教師巡視．)生甲：通過計(jì)算我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)有三對函數(shù)是互為倒數(shù)關(guān)系．由于sin所以sinα與cscα，cosα與secα，tgα與ctgα互為倒數(shù)．ctgα與sinα，cosα之間存在商數(shù)關(guān)系．師：這些三角函數(shù)中還存在平方關(guān)系，請同學(xué)們計(jì)算sin2α+cos2α的值．師：我們現(xiàn)在sin2α+cos2α=1作恒等變形，當(dāng)cos2α≠0時(shí)，等式理當(dāng)sin2α≠0時(shí)，等式兩邊同除以sinα可得1+ctg2α=csc2α．現(xiàn)在我們將同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式總結(jié)如下：(1)倒數(shù)關(guān)系sinα·cscα=1，cosα·secα=1，tgα·ctgα=1．(3)平方關(guān)系sin2α+cos2α=1，1+tg2α=sec2α，1+ctg2α=csc2α．上面這些關(guān)系式，我們都稱之為恒等式，即當(dāng)α取使關(guān)系式兩邊都有意義的任意值時(shí)，關(guān)系式兩邊的值相等．請同學(xué)們注意，以后我們所說的恒等式都是指這個(gè)意義下的恒等式．例如1+tg2α=sec2α，使恒等時(shí)，如果沒有特別說明，一般都把關(guān)系式看成是有意義的，其次，在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式時(shí)，要注意其前提“同角”的條件．(三)同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用師：同角三角函數(shù)關(guān)系式十分重要，應(yīng)用廣泛，其中一個(gè)重要應(yīng)用是根據(jù)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，求出這個(gè)角的其它三角函數(shù)值．解：∵α是第三象限角，∴cosα＜0．提問：若去掉α是第三象限這個(gè)條件，應(yīng)如何求α的其它三角函數(shù)值？α可能是第三象限或第四象限角，應(yīng)分象限進(jìn)行討論．(1)當(dāng)α是第二象限角時(shí)(2)當(dāng)α是第四象限角時(shí)例3已知ctgα=m(m≠0)，求cosα．分析：由于ctgα=m，m正負(fù)未定，故要分象限討論．聯(lián)想到1+ctg2α=csc2α，考慮按cscα的符號分第一、二象限角及第三、四象限角兩種情形討論．解：∵ctgα=m≠0，∴∠α的終邊不落在坐標(biāo)軸上．(1)當(dāng)α是第一，二象限角時(shí)，則有cscα＞0．(2)若α是第三、四象限角時(shí)，則有cscα＜0．在三角求值過程中應(yīng)盡量避免開方運(yùn)算，在不可避免時(shí)，先計(jì)算與已知函數(shù)有平方關(guān)系的三角函數(shù)，這樣可只進(jìn)行一次開方運(yùn)算，并可只進(jìn)行一次符號的說明．師：同角三角函數(shù)關(guān)系式還經(jīng)常用于化簡三角函數(shù)式，請看例4．例4化簡下列各式：=|sin20°-cos20°|=cos20°-sin20°．總結(jié)：在(2)中運(yùn)用1的代換1=sin2α+cos2α，從而構(gòu)造完全平方數(shù)，下節(jié)課我們還會(huì)進(jìn)一步研究1的代換技巧．師：同角三角函數(shù)關(guān)系式還經(jīng)常用于求證三角恒等式，請看例5．∴左=右，∴原命題成立．又∵sin2A(csc2A-ctg2A)=sin2A×1=sin2A，∴(1-sin2A)(sec2A-1)=sin2A(csc2A-ctg2A)．總結(jié)：三角恒等式證明的基本策略是化繁為簡，證一是分別從左、右兩邊推向相同的結(jié)果，還經(jīng)常從左證到右或從右證到左，在化簡證明過程中還要注意化歸思想方法的運(yùn)用．(