二項式定理一（2018-2022）高考真題匯編

一、單選題（共4題；共20分）

1.（5分）（2022?北京）若（2%—1）4=+。3爐+，貝U劭+02+。4=

（）

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【解析】【解答】當X=1時，Qo+劭+即+。3+。4=1，當X=-1時，Qo-即+4一。3+

。4=81,兩式相加得劭+與+。4=41.

故答案為：B

【分析】令％=1和％=-1,所得兩式相加即可求解.

2

2.（5分）（2020?新課標團?理）（%+、）（％+y）5的展開式中x3y3的系數為（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】C

5srr

【解析】【解答】（x+y）展開式的通項公式為Tr+i=C^x~y（reN且r45）

所以（x+1）與（x+y）5展開式的乘積可表示為：

5rr6rr5rr4rr+2

xTr+1=xC^x-y=C^x~y或^-Tr+1=^CsX~y=Csx~y

6rr3333

在xTr+i=C^x~y中，令r=3,可得：xT4=C^xy,該項中xy的系數為10,

4rr+233

在^-Tr+1=Csx~y中，令r=l,可得：1乙=瑪%3y3,該項中xy的系數為5

所以x3y3的系數為10+5=15

故答案為：C

【分析】求得（x+y）5展開式的通項公式為77+1=砥%5-?「（reN且rW5）,即可求得

（x+t）與（x+y）5展開式的乘積為C^x6~ryr或麾久4-?『+2形式，對r分別賦值為3,1即可求

得x3y3的系數，問題得解.

3.（5分）（2020?北京）在（返一2）5的展開式中，X2的系數為（）.

A.-5B.5C.-10D.10

【答案】C

【解析】【解答】一2『展開式的通項公式為：T+=怎a）5-「（_2）＞=（一2）%我竽，

令寫=2可得：r=l,則久2的系數為：(一2)1嫌=(一2)x5=-10.

故答案為：C.

【分析】首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定X2的系數即可.

4.(5分)(2019?全國回卷理)(l+2x2)(l+x)4的展開式中x3的系數為()

A.12B.16C.20D.24

【答案】A

【解析】【解答】解：：(1+%)4的通項公式為77+1=以"，

二展開式中x3的系數為lx盤+2XQ=4+8=12,

故答案為：A.

4r

【分析】由已知利用(1+x)的通項公式為Tr+1=C^x,結合(1+2/)即可求出展開式中

的系數.

二、多選題(共1題；共5分)

krk

5.(5分)(2021?新高考回卷)設正整數n=%,2°+%?2+…+ak_x-2-+ak-2,其中a；e

[0,1},記w(n)=a。+%H-----F%.則()

A.eo(2n)=a)(ri)B.a)(2n+3)=a)(n)4-1

C.a)(Sn+5)=to(4n4-3)D.a)(2n—1)=n

【答案】A,C,D

12k

【解析】【解答】解：對于A,a)(ri)=劭+%++ak,2n=a0-24--2d-----Fak_x-2+

fc+1

ak?2,

則co(2n)=%+%+???+ak=a)(n)f故A正確；

對于B,取n=2,2+3=7=b2°+b21+l-22,則o)(7)=3,

而2=0?2°+l?2i,則co(2尸1,即co(7)#2a)(2)+l,故B錯誤；

34k+3234k+3

對于C8n+5=ao-2+ai-2+......+ak-2+5=1-20+1-2+a()-2+ai-2+........+ak-2

所以3(8n+5)=2+ao+ai+.......+ak.

2k+2,2k+2

4n+3=ao-2+ai-23+.......+ak-2+3=b2°+b2+ao-2+ai-23+........+ak-2,

所以3(4n+3)=2+ao+ai+.......+ak,

所以①(8n+5)=①(4n+3),故C正確；

對于D,2n-l=2°+2,+.......+2叫

所以3(2n-l)=n,故D正確.

故答案為：ACD

【分析】利用s（n）的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.

三、填空題（共13題；共65分）

6.（5分）（2022?浙江）已知多項式（X+2）（X-1）4=a。+a+++a/"+,貝（］

0,2=,%+做+口3+=?

【答案】8；?2

【解析1【解答】（x+2）（x-I）4=x（x—I），+2（x—1）3

??~C*4（-1）^+2c久-1）2=8；

令x=0,則劭=2,

令X=1，貝ij。。+%+做+。3+。4+。5=0，

??+。2+。3+。4+。5=-2?

故答案為：8,-2.

【分析】a2相當于是用（x+2）中的一次項系數乘以A-1）4展開式中的一次項系數加上（x+2）中

的常數項乘以A-1）4展開式中的二次項系數之和；分別給x輔助令x=0,x=l,即可求得的+

。2+。3+。4+。5的值,

7.（5分）（2022?新高考圖卷）（1一3（%+刃8的展開式中的系數為（用數字作答）.

【答案】-28

【解析】【解答】解：（x+y）8的通項公式為77+1=俏%8-?,卜=0,1,2,……,8）,

①當8-r=2,即r=6時，，展開式中x2y6項為1xCgX2y6=28/#,

②當8-r=3,即r=5時，展開式中x2y6項為（一x得爐丫5=一56%2、6,

則展開式中x2y6項為-28/y6,

故答案為：?28

【分析】由二項式定理，分類討論求解即可.

8.（5分）（2022?上海）在（爐+》的展開式中，含3項的系數為

【答案】66

12

312-r1r

【解析】【解答】解—：由題意得（久3+］）的通項公式為77+］=Ci2（%）（x-）=

36-4r

C^2x(0<r<12,r￡N)

令36-4r=-4,得r=10,

貝，％

U&l=C-4=66X-4,

則妥項的系數為66.

故答案為：66

【分析】根據二項式定理直接求解即可.

d4

9.（5分）（2021?北京）（%3_］）展開式中常數項為

【答案】-4

【解析】【解答】解:由題意得二項展開式的通項公式為幾+］=C5（%3）4-fc（一］j=或（―1）^12f

令12-4k=0,得k=3

故常數項為％=73+1=或（-1）3=-4

故答案為：-4

【分析】根據二項展開式的通項公式直接求解即可.

34432

10.(5分)(2021?浙江)已知多項式(%—1)+(%+I)=x+a1x+a2x+a3x+a4>則

Q]=fQ，2+Q3+04=.

【答案】5；10

【解析】【解答】根據二項式定理的通項公式:由爐=c/3(_i)o+C1X3?13=5居故a,=5;

同理=C昂2.(一1)1+cjx2-12=3*故小=3；

3123

a3x=C3X-(-1)+C%i-1=3X+4X=7x,故a=7,

0304

a4=C3X-(-1)+C4X-l=0,

所以a2+a3+a4=10.

故答案為：5,10.

【分析】因為指數不高，直接展開。

66

11.（5分）（2021?天津）在（2x3+I）的展開式中，%的系數是.

【答案】160

【解析】【解答】解：（2%3+1）6的展開式的通項公式是7>+1=超（2%3）6-『0'=26-，.重?

x18-4r

令18-4r=6,得r=3

所以%6的系數是23瑤=160

【分析】根據二項式的展開式通項公式求解即可.

C6

12.（5分）（2020?新課標回,理）（%2+3的展開式中常數項是（用數字作答）.

【答案】240

【解析】【解答】v（%2+|）6

26-r

其二項式展開通項：Tr+1=霖?（x）-（j）"

=.?x12-2r（2）r-x-r

=砥2..%12-3r

當12-3r=0，解得r=4

???（x2+1）6的展開式中常數項是：-24=Cj-16=15x16=240?

故答案為：240.

O6

【分析】寫出（/+3二項式展開通項，即可求得常數項.

13.（5分）（2020?天津）在（x+4）5的展開式中，%2的系數是.

【答案】10

【解析】【解答】因為（%+-1）5的展開式的通項公式為G+i=儂5_（引’=麾.2「.％5-3r（r=

0,1,2,3,4,5），令5-3r=2,解得r=1.

所以%2的系數為Cgx2=10.

故答案為：10.

【分析】寫出二項展開式的通項公式，整理后令%的指數為2,即可求出.

14.（5分）（2020?浙江）設（l+2x）5=ao+aix+a2X2+a3X3+a4X4+a5X5,貝ija4=；ai+az+aa

【答案】80；130

【解析】【解答】解：（l+2x）5=ao+a?x+a2X2+ajx3+a4X4+a5X5,則=C5-24=80.

ai+az+a3=eg?2+或?4+C"8=130.

故答案為：80；130.

【分析】直接利用二項式定理的通項公式，求解即可.

6

15.（5分）（2019?上海）在（%+1）的展開式中，常數項等于.

【答案】15

【解析】【解答】解：（工+/展開式的通項為「什］=以號

令寫^=0得r=2,

展開式的常數項為第3項；

二常數項等于=15.

故答案為：15.

【分析】利用二項定理求出展開式中的通項公式，再利用展開式中的通項公式求出常數項。

16.（5分）（2019?浙江）在二項式（V2+x）9的展開式中，常數項是,系數為有理數的項

的個數是________

【答案】16&;5

【解析】【解答】解：（V2+X）9展開式的通項=6（0）9-「必，